272二次函數的圖象與性質(7)

1、27.2二次函數的圖象與性質(7)教學目標：1 會用描點法畫出二次函數的圖象，能通過圖象和關系式認識二次函數的性質. 2、會運用配方法確定二次函數圖象的頂點、開口方向和對稱軸.重點：二次函數的圖象與性質難點：二次函數的圖象與性質 本節(jié)知識點 會根據不同的條件，利用待定系數法求二次函數的函數關系式. 教學過程般地，函數關系式中有幾個獨立的系數，那么就需要有相同個數的獨立條件才能求出26. 2. 9 所示，現測得水面寬 1. 6m，涵洞頂點O 到水面的距離為 2. 4m,在圖中直角坐標系內， 涵洞所在的拋物線的函數關系式是什么？ 分析 如圖，以 AB 的垂直平分線為 y 軸，以過點 O 的 y 軸

2、的垂線為 x 軸，建立了直角坐 標系這時，涵洞所在的拋物線的頂點在原點，對稱軸是y 軸，開口向下，所以可設它的函2數關系式是y ax (a 0)此時只需拋物線上的一個點就能求出拋物線的函數關系式. 解 由題意，得點B 的坐標為(0. 8, -2 . 4),又因為點 B 在拋物線上，將它的坐標代入y ax2(a 0)，得22.4 a 0.8所以a415因此，函數關系式是yx2.4例 2根據下列條件，分別求出對應的二次函數的關系式.(1)已知二次函數的圖象經過點A ( 0, -1 )、B ( 1, 0)、C (-1 ,2);(2) 已知拋物線的頂點為(1, -3),且與 y 軸交于點(0, 1);

3、(3) 已知拋物線與 x 軸交于點 M (-3, 0)、(5, 0),且與 y 軸交于點(0, -3);(4) 已知拋物線的頂點為(3, -2),且與 x 軸兩交點間的距離為 4.分析(1 )根據二次函數的圖象經過三個已知點，可設函數關系式為函數關系式例如：我們在確定一次函數y kx b(k 0)的關系式時，通常需要兩個獨立的條件:k確定反比例函數y (k 0)的關系式時，通常只需要x一個條件：如果要確定二次函數y ax2bx c(a 0)的關系式，又需要幾個條件呢?實踐與探索例 1.某涵洞是拋物線形，它的截面如圖y ax2bx c的形式；(2)根據已知拋物線的頂點坐標，可設函數關系式為y a

4、(x 1)23，再根據拋物線與y軸的交點可求出a的值； (3)根據拋物線與x軸的兩個交點的坐標， 可設函數關系式 為y a(x 3)( x5)，再根據拋物線與 y 軸的交點可求出 a 的值；(4)根據已知拋物線的頂點坐標(3, -2)，可設函數關系式為y a(x 3)22，同時可知拋物線的對稱軸為 x=3， 再由與 x 軸兩交點間的距離為 4,可得拋物線與 x 軸的兩個交點為(1，0)和(5，0)，任 選一個代入y a(x 3)22，即可求出 a 的值.解 (1)設二次函數關系式為y ax2bx c，由已知，這個函數的圖象過(0, -1)，可 以得到 c= -1.又由于其圖象過點(1，0)、(

5、-1，2)兩點，可以得到a b 1a b 3解這個方程組，得a=2， b= -1.所以，所求二次函數的關系式是y 2x22x 1.(2)因為拋物線的頂點為(1,-3 )，所以設二此函數的關系式為y a(x 1)23，又由于拋物線與 y 軸交于點(0，1)，可以得到1a(0 1)23解得a 4.所以，所求二次函數的關系式是y 4(x 1)23 4x28x 1.(3) 因為拋物線與 x 軸交于點 M (-3，0 )、(5，0 )，所以設二此函數的關系式為y a(x 3)(x 5).又由于拋物線與 y 軸交于點(0，3)，可以得到3a(0 3)(0 5).解得a1.51122所以，所求二次函數的關系

6、式是y (x 3)(x 5)x2x 3.555(4 )根據前面的分析，本題已轉化為與(2)相同的題型，請同學們自己完成.回顧與反思確定二此函數的關系式的一般方法是待定系數法，在選擇把二次函數的關系式設成什么形式時，可根據題目中的條件靈活選擇，以簡單為原則.二次函數的關系式可設如下三種形式：(1)一般式：y ax2bx c(a 0)，給出三點坐標可利用此式來求.(2) 頂點式：y a(x h)2k(a 0)，給出兩點，且其中一點為頂點時可利用此式來求.(3)交點式：y a(xxi)(x X2)(a 0)，給出三點，其中兩點為與x 軸的兩個交點(Xi,0)、(X2,0)時可利用此式來求.當堂課內練

7、習1 根據下列條件，分別求出對應的二次函數的關系式.(1) 已知二次函數的圖象經過點(0, 2)、(1,1 )、( 3, 5);(2) 已知拋物線的頂點為(-1 , 2),且過點(2, 1);(3) 已知拋物線與 x 軸交于點 M (-1, 0)、(2, 0),且經過點(1 , 2).2.二次函數圖象的對稱軸是x= -1，與 y 軸交點的縱坐標是,且經過點(2, 10),求此二次函數的關系式.本課課外作業(yè)A 組1已知二次函數yx2bxc的圖象經過點 A (-1,12)、B(2, -3),(1) 求該二次函數的關系式；(2)用配方法把(1 )所得的函數關系式化成y a(xh)2k的形式，并求出該

8、拋物線 的頂點坐標和對稱軸.2.已知二次函數的圖象與一次函數y 4x 8的圖象有兩個公共點 P (2, m)、Q(n, -8),如果拋物線的對稱軸是 x= -1，求該二次函數的關系式.3某工廠大門是一拋物線型水泥建筑物，如圖所示，大門地面寬AB=4m，頂部 C離地面高度為 4.4m.現有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門， 貨物頂部距地面 2.8m , 裝貨寬度為 2. 4m .請判斷這輛汽車能否順利通過大門.4.已知二次函數yax2bx c，當 x=3 時，函數取得最大值10,且它的圖象 在 x 軸上截得的弦長為 4,試求二次函數的關系式.B 組25.已知二次函數y x bx c的圖象經過(1,

9、0)與(2, 5)兩點.(1) 求這個二次函數的解析式；(2) 請你換掉題中的部分已知條件，重新設計一個求二次函數y x2bx c解析式的題目，使所求得的二次函數與(1)的相同.6.拋物線y x22mx n過點(2, 4),且其頂點在直線y 2x 1上，求此二次函數的 關系式.課堂小結:教學反思：? 一般地，由 y=ax2 的圖象便可得到二次函數y=a(x-h)2+k 的圖象：y=a(x-h)2+k(a豐0)的圖象可以看成 y=ax2 的圖象先沿 x 軸整體左(右)平移|h|個單位(當 h0 時，向右平移；當 h0 時向上平移；當 k0 時，開口向上；當 av0 時，開口向下；(2) 對稱軸是

10、直線 x=k ;(3) 頂點坐標是(h , k)o我們知道：代數式 b2-4ac 對于方程的根起著關鍵的作用.當 b2b vb24ac2a0 時,方程 ax2bx c 0 a 0 有兩個相等的實數根:bxi,2.2a0 時，方程 ax2bx c 0 a 0 沒有實數根我們把代數式 b24ac 叫做方程 ax2bx c 0 a 0 的 根的判別式 用來表示即b24ac.一元二次方程根的情況與 b2-4ac 的關系0 時，方程 ax2bx c 0a 0 有兩個不相等的實數根4ac當 b2當 b2xi,24ac4ac二次函數y=ax2+bx+c的圖象和 x 軸交點的 橫坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關系？二次函數y=ax2+bx+c 的圖 象和 X 軸交點一兀一次方程ax2+bx+c=0 的根一兀一次方程ax2+bx+c=0 艮的判別式 =b2-4ac有兩個交點有兩個不相 等的實數根b2-4ac 0只有一個交點有兩個相等 的實數根b2-4ac =