線性系統(tǒng)理論

1、第五章 線性系統(tǒng)理論 數(shù)學(xué)模型是由描述系統(tǒng)的變量和常量構(gòu)成的數(shù)學(xué)表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型后，首先要區(qū)分系統(tǒng)是線性還是非線性的。 以前的科學(xué)研究主要對象是線性系統(tǒng)，而今正轉(zhuǎn)向非線性系統(tǒng)，并且未來科學(xué)的本質(zhì)上是非線性科學(xué) 線性與非線性原本就是一對數(shù)學(xué)關(guān)系，用以區(qū)分不同變量之間的兩種基本的相互關(guān)系。常量之間并沒有線性和非線性的區(qū)分。一對多多對多一對一 變量之間最簡單最基本的對應(yīng)關(guān)系多對一變量之間的關(guān)系因變量和自變量成比例的變化，即變化過程中二者的比值不變，稱為線性函數(shù)函數(shù)函數(shù)線性函數(shù)非線性函數(shù)因變量和自變量之間的變化過程中二者的比值變化最簡單的一元線性函數(shù)的一般形式為:y=ax+ba:代表因變量與自變量

2、的不同比率b: 線性函數(shù)的截距截距有實(shí)際意義，函數(shù)形式為y=ax+b沒有實(shí)際意義，則x1=x+ b/ay=ax1線性靜態(tài)系統(tǒng)簡單的變量關(guān)系用一元函數(shù)表示較為復(fù)雜的變量關(guān)系須用多元函數(shù)表示如，z=ax+by，函數(shù)所表示的圖形就是3維空間中的一張平面。 函數(shù)僅僅是描述一個變量對另一個變量的依存關(guān)系，如果要表示多個變量之間的相互依存關(guān)系，則應(yīng)該用以下的數(shù)學(xué)形式：a11x1+a12x2+a13x3b1a21x1+a22x2+a23x3b2它表示變量x1，x2，x3只能在給定的若干個代數(shù)關(guān)系內(nèi)變化，并且每個變量的變化都影響另外兩個變量的變化。以上所講的變量之間的關(guān)系都是靜態(tài)相互關(guān)系，都是用函數(shù)和代數(shù)方程

3、進(jìn)行描述。實(shí)際上的動態(tài)過程中的諸變量的相互依存關(guān)系要豐富的多。其數(shù)學(xué)表達(dá)式中將出現(xiàn)微分、差分、積分等描述動態(tài)特性的項(xiàng)，反映這些動態(tài)量對各個變量的依存關(guān)系。例如某動態(tài)過程有兩個變量x和y，均為時(shí)間的可 微函數(shù)，導(dǎo)數(shù)代表它們的變化速率，dx/dt=ax+bydy/dt=px+qy從公式可以看出兩個導(dǎo)數(shù)同時(shí)取決與x和y，反映了x和y相互的動態(tài)作用。線性動態(tài)系統(tǒng)若f(x)滿足一下條件，（1）加和性，f(x1 +x2)=f(x1)+f(x2)（2）齊次性，f(k x)=kf(x) 即f(a x1 +b x2)=af(x1)+bf(x2)就稱f為線性的。其中f代表某種數(shù)學(xué)操作，x為數(shù)學(xué)操作對象，f(x)表

4、示對x施行操作f。這種數(shù)學(xué)操作具有線性的基本要求，稱為疊加原理。線性和非線性可以區(qū)分不同的序關(guān)系序關(guān)系線性序非線性序一個序列中的事物前后順序銜接，一個接著一個排成一條長鏈。序列中存在分支、閉合環(huán)路或者其他復(fù)雜情形。當(dāng)實(shí)際問題被表示為數(shù)學(xué)形式，特別是解析形式時(shí)，線性與非線性的區(qū)別顯而易見，只包含變量的一次項(xiàng)是線性特性，企業(yè)的均為非線性特性。而沒有給出數(shù)學(xué)表達(dá)式的實(shí)際現(xiàn)象往往可以通過直觀的判斷。 能夠用線性數(shù)學(xué)模型描述的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。 所具有線性基本特性：1、輸出響應(yīng)特性、2、狀態(tài)響應(yīng)特性、3、狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性等，它們均滿足疊加原理。這些特性即對線性系統(tǒng)的基本限制稱為線性假設(shè)，是一種理論假設(shè)。一個

5、系統(tǒng)能否使用線性模型，它取決于1、系統(tǒng)本身非線性特性的強(qiáng)弱；2、實(shí)際應(yīng)用場合對允許誤差的要求；sssu1u2y1y2u1+u2y1+y2如圖所示，以系統(tǒng)為對象揭示了疊加原理的內(nèi)涵：加和性的意義是現(xiàn)行系統(tǒng)表示互不相干的獨(dú)立作用；齊次性不是加和性的簡單擴(kuò)展，它意味著如果在系統(tǒng)中將輸入倍化，那么輸出也將同樣倍化，不會發(fā)生定性的、結(jié)構(gòu)性的變化。例如三角函數(shù)， y=cost 和 y=acost,注意點(diǎn)：滿足疊加原理是線性系統(tǒng)的基本判斷依據(jù)。有了數(shù)學(xué)模型，就可以直接按模型判別；如果沒有數(shù)學(xué)模型可以采用實(shí)驗(yàn)手段進(jìn)行判別。但是如果未加假設(shè)的話，疊加原理只適用于有限項(xiàng)之和。1 線性系統(tǒng)是一種數(shù)學(xué)抽象，是忽略了系

6、統(tǒng)固有的非線性因素的結(jié)果，系統(tǒng)的非線性效應(yīng)就是整體涌現(xiàn)性。2 即使是線性系統(tǒng)，其整體功能也不能歸結(jié)為部分功能之和，二者一般沒有可比性，部分或部分簡單相加不 具備與整體可作數(shù)量比較的功能。3 不同系統(tǒng)的整體涌現(xiàn)性一般在質(zhì)和量都有表現(xiàn)，線性模型僅描述那些只有平庸的、低水平的涌現(xiàn)性的系統(tǒng)，部分之間相互作用的相干效應(yīng)在定量方面的表現(xiàn)微弱，因而可以忽略。但是系統(tǒng)功能等定性性質(zhì)的涌現(xiàn)性不能忽略。疊加原理和整體涌現(xiàn)性的區(qū)別： 連續(xù)線性系統(tǒng)的動力學(xué)方程：對于變系統(tǒng)系統(tǒng)，系統(tǒng)的系數(shù)為t的函數(shù)因此，對于最簡單的一維系統(tǒng)就有：對于二維系統(tǒng)，有：矩陣式描述對象整體特性的數(shù)學(xué)工具之一，方程給定后，借助代數(shù)方法，通過分析

7、系數(shù)矩陣，可以全面的了解系統(tǒng)的動態(tài)行為。以此類推至多維線性系統(tǒng)。系統(tǒng)到達(dá)后若沒有外部作用將保持不變或可以回歸的狀態(tài)稱為定態(tài)，動態(tài)系統(tǒng)有不同類型的定態(tài)。最簡單的一類定態(tài)用數(shù)學(xué)中的奇點(diǎn)或不動點(diǎn)表示。線性系統(tǒng)定態(tài)點(diǎn)的主要類型為鞍點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)和焦點(diǎn)，如下圖所示二維空間二維空間鞍點(diǎn)在三維空間中定義（圖中的坐標(biāo)原點(diǎn)），經(jīng)過鞍點(diǎn)平行于z軸的平面束代表無窮多個發(fā)展方向，每個平面與曲面相交得到對應(yīng)的曲線，代表該方向的發(fā)展軌跡。不同的方向有的上升，有的下降。影射汽車市場，諸如二手車置換的興旺、汽車金融的產(chǎn)生、弱者被淘汰出局、汽車出口呈上升態(tài)勢、自主品牌的崛起、技術(shù)創(chuàng)新成企業(yè)競爭王牌不同的方面將有不同的發(fā)展。yxxt不

8、穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，如組織潰散、文化感弱的團(tuán)隊(duì)會越來越難以形成一個有機(jī)的有力整體。yxxt穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，如團(tuán)隊(duì)的建立，起初建立起來的團(tuán)隊(duì)是動蕩不穩(wěn)定的，但是最后有一個趨于穩(wěn)定有效的過程。yxyx兩張圖分別表示穩(wěn)定焦點(diǎn)和不穩(wěn)定焦點(diǎn)，舉例來說就如企業(yè)團(tuán)隊(duì)在合作的過程中團(tuán)隊(duì)成員向團(tuán)隊(duì)核心人物靠攏或著遠(yuǎn)離團(tuán)隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)人。線性系統(tǒng)的劃一性：線性系統(tǒng)的劃一性：1、線性系統(tǒng)的軌道穩(wěn)定性完全取決于控制參量或特征值，與系統(tǒng)初態(tài)無關(guān)。（如音量調(diào)節(jié)器，不論初始音量事多少，我們旋轉(zhuǎn)音量按鈕，則音量固定為幾分貝而不是當(dāng)前初始值的多少倍。）2、只要判明一條軌道穩(wěn)定或不穩(wěn)定，既可斷定所有軌道是否穩(wěn)定。唯一例外的是存在鞍點(diǎn)的情況，有一個特征方向上存在穩(wěn)定軌道，但是其他所有軌道并不是穩(wěn)定的。3、與布滿相空間的無窮多條不穩(wěn)定軌道相比，個別穩(wěn)定軌道的存在不能改變整個系統(tǒng)不穩(wěn)定的結(jié)論?？偨Y(jié)： 一個線性系統(tǒng)是否穩(wěn)定不能只看某條軌道是否穩(wěn)定，而應(yīng)整體看待。因?yàn)榫€性系統(tǒng)只可能存在不動點(diǎn)型的定態(tài)，這一單純性決定了系統(tǒng)行為的單純性和平庸性。所以線性系統(tǒng)不存在極限環(huán)，即表明它不可能自發(fā)的產(chǎn)生周期運(yùn)動，只有外部輸入周期性強(qiáng)迫作用