人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)講義學(xué)生

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)講義第11章 三角形一、 三角形的概念1 三角形的定義由不在同一直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做三角形要點(diǎn)：三條線(xiàn)段；不在同一直線(xiàn)上；首尾順次相接2三角形的表示ABC中，邊：AB，BC，AC 或 c，a，b頂點(diǎn)：A，B，C 內(nèi)角：A ，B ，C二、 三角形的邊1. 三角形的三邊關(guān)系:（證明所有幾何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意兩邊之和大于第三邊:b+ca(2) 三角形任意兩邊之差小于第三邊:b-ca時(shí),就可構(gòu)成三角形.1.2 確定三角形第三邊的取值范圍: 兩邊之差第三邊AE，CE=ABAB+ACAE DE=ADAE=2AD AB+ACAE AB+AC2AD例2如圖C

2、B，CD分別是鈍角AEC和銳角ABC的中線(xiàn)，且AC=AB求證：CE=2CD證明：延長(zhǎng)CD至，使DF=CD，連接BF，在ADF和BDC中 AD=BDADF=BDCCD=DFADFBDCAF=BC，AFBC CAF+ACB=180， ACB=ABC，ABC+CBE=180CAF=CBE 又因?yàn)锳C=BE，CAFCBECE=CF例3、 如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求證：為的角平分線(xiàn)證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連結(jié)在和中，而又，例4、如圖，在中，是邊的中線(xiàn)，E是AD上一點(diǎn)，且BEAC，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F求證：AFEF證明：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，使AD=DG，連結(jié)BG是邊的中線(xiàn) DC=

3、DB在ADC和GDB中AD=DGADC=GDBDC=DBADCGDB （SSS）CAD=BGD BG=AC又BE=AC，BE=BGBED=GBED=AEF，AEF=CAD，即：AEF=FAE，AF=EF二 截長(zhǎng)補(bǔ)短法截長(zhǎng):1.過(guò)某一點(diǎn)作長(zhǎng)邊的垂線(xiàn)2.在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線(xiàn)段，再證剩下的線(xiàn)段與另一短邊相等。補(bǔ)短:1.延長(zhǎng)短邊2.通過(guò)旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起?！纠}精講】例1. 如圖，ABC中，ACB2B，12 求證：ABACCD證法一：（補(bǔ)短法） 延長(zhǎng)AC至點(diǎn)F，使得AFAB 在ABD和AFD中 ABDAFD（SAS） BF ACB2B ACB2F 而ACBFFDC FFDC C

4、DCF 而AFACCF AFACCD ABACCD證法二：（截長(zhǎng)法） 在AB上截取AEAC，連結(jié)DE 在AED和ACD中 AEDACD（SAS）例2、 如圖，在ABC中，AD為BC邊上的高，B=2C.求證：CD=AB+BD.證明：在DC上截取DE=DB，連接AE，在ADB和ADE.中DE=DB，ADB=ADE,AD=ADADEADB（SAS） AE=AB，AEB=B， AEB=C+CAE，B=2C，ED=BD， AEB=2C. C=CAE，故CE=AE=AB. CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD.例3、如圖，AD/BC，BE、AE分別是ABC、BAD的平分線(xiàn)，點(diǎn)E在CD上，求證：AB=A

5、D+BC證明：在AB上截取AF=AD，連接EFAE平分BAD，1=2在FAE和DAE中，AF=AD1=2AE=AEFAEDAE AFE=D又 AD/BCC+D=180而 BFE+AFE= 180 C=BFE在BFE 和 BCE中C=BFE3=4，BE=BE BFE BCE BF=BC AD+BC=AB例4、如圖，ABC中，ABAC，AD是BAC的角平分線(xiàn)，P是線(xiàn)段AD上任一點(diǎn)除A、D外的任意一點(diǎn)。求證：ABACPBPC證明：在AB是截取AEAC在ACP與AEP中，有： ACAE （已知） EAPCAP （已知AD是BAC角平分線(xiàn)） APAP （公共邊） ACPAEP （SAS） PCPE （全

6、等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） BEPBPE （三角形兩邊差小于第三邊） BEPBPC （等量代換） BEABAEACAEBEPBPC ABACPBPC三 與角平分線(xiàn)有關(guān)的輔助線(xiàn)角平分線(xiàn)具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱(chēng)性；b、角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。1 截取構(gòu)造全等例1 如圖1，在中，平分，求：的值A(chǔ)CBBDF（圖2）CABDE（圖1）解法1：在上截取使，連結(jié)，又，解法2：延長(zhǎng)到，使，連結(jié) FAD=CAD，AD=ADCADFAD(SAS)AC=AF又 AB+BF=AF BD=BF ABC=2F=2C2、“角平分線(xiàn) + 垂線(xiàn)”構(gòu)造全等三角形或等腰三角形例2 如圖3，在四邊形中，平分求證：ABCDEF（圖3

7、）證明：過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)平分，又，ABCDFE（圖4例3 如圖4，已知等腰三角形中，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)求證： 證明：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，是的平分線(xiàn)， 是等腰三角形 ，角平分線(xiàn)的性質(zhì)1、角的平分線(xiàn)的性質(zhì)角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。ABCDEOP例1，如圖，OC是AOB的角平分線(xiàn)，點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，PDOA于點(diǎn)D，PEOB于E，求證：PD=PE。證明：PDOA，PEOB（已知）ODP=OEP=900（垂直的定義）又OC平分AOB（已知）AOC=BOC（角的平分線(xiàn)定義）在RtDOP和RtEOP中RtDOPRtEOP（AAS）PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)

8、邊相等）2、角的平分線(xiàn)的逆應(yīng)用（角平分線(xiàn)的判定）角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上。例2已知：如圖，點(diǎn)P在AOB內(nèi)部的一條射線(xiàn)OC上，并且PDOA于點(diǎn)D，PEOB于E，PD=PE。求證：射線(xiàn)OC是AOB的平分線(xiàn)。證明：PDOA，PEOB（已知）ODP=OEP=900（垂直的定義）在RtDOP和RtEOP中，RtDOPRtEOP（HL）DOP=EOP（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） 即射線(xiàn)OC平分AOB【典型例題】OABCDE例3：如圖，已知OE平分AOB，BCOA，ADOB。求證：EA=EB例4：如圖，已知CDAB于D，BEAC于E，CD，BE相交于點(diǎn)O，OB=OC。ABCDEO12求證

9、：1=2ABDPOMN例5：如圖所示，已知OD平分AOB，在OA，OB邊上取OA=OB，點(diǎn)P在OD上，且PMBD，PNAD。求證：PM=PNABCDEFO例6：如圖，AD是ABC中BAC的平分線(xiàn)，DE，DF分別是ABD和ACD的高，那么EF與AD有何特殊的位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論。例7：如圖，在四邊形ABCD中，BCBA，AD=DC，BD平分ABC。求證：A+C=1800。ABCD第13章 軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)圖形(1)定義：如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形這條直線(xiàn)就是它的對(duì)稱(chēng)軸兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)(或一個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形)，則對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(

10、對(duì)折后重合的線(xiàn)段)相等；對(duì)應(yīng)角(對(duì)折后重合的角)相等對(duì)稱(chēng)軸垂直平分連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線(xiàn)段(2)性質(zhì)(3)垂直平分線(xiàn)定義：經(jīng)過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)性質(zhì)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等判定：與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上作軸對(duì)稱(chēng)圖形用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)變換：由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱(chēng)圖形，叫做軸對(duì)稱(chēng)變換P(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)P(x，y)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)性質(zhì)等腰三角形定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(等邊對(duì)等角)(2)等腰三角形的頂角平分線(xiàn)

11、、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合(三線(xiàn)合一)1、 軸對(duì)稱(chēng)及軸對(duì)稱(chēng)圖形軸對(duì)稱(chēng)圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形。這條直線(xiàn)就是它的對(duì)稱(chēng)軸。這時(shí)我們就說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)（或軸）對(duì)稱(chēng)。如下左圖，ABC是軸對(duì)稱(chēng)圖形。ABClAAABBCCl規(guī)律方法小結(jié)：軸對(duì)稱(chēng)圖形是指“一個(gè)圖形”；軸對(duì)稱(chēng)是指“兩個(gè)圖形”的位置關(guān)系，在某種情況下，二者可以互相轉(zhuǎn)換，如果把軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形。等腰三角形和等邊三角形1、 等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形2、 等腰三角形的性質(zhì)： 等邊對(duì)等角 三線(xiàn)合一（1） 兩腰相等

12、 （2） 兩底角相等（3） “三線(xiàn)合一”，即頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高互相重合3、 等腰三角形的判定：（1） 有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（2） 有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形4、 等邊三角形的定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形5、 等邊三角形的性質(zhì)：三邊都相等，三個(gè)角都相等，每一個(gè)角都等于606、 等邊三角形的判定：（1） 三條邊都相等的三角形是等邊三角形（2） 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形（3） 有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形【典型例題】例1：已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1：4，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為（ ）A、200 B、1200 C、200

13、或1200 D、360ABDC800例2： 如圖，在ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，BAD=800，AB=AD=DC，則C=_例2：若等腰三角形的底邊長(zhǎng)為8cm，腰長(zhǎng)是5cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（ ）A、21cm B、18cm C、18cm或21cm D、13cm或26cmABCD例3：如圖，ABC中，C=900，ABC=600，BD平分ABC，若AD=6，則CD=_ABDEC例4：如圖，在ABC中，AB=AC，AE是BAC的外角DAC的平分線(xiàn)。試判斷AE與BC的位置關(guān)系。例5：如圖，ABD和ACE是等邊三角形。求證：BE=CDDACBE例6已知如圖所示, 在ABC中, BD是AC邊上的中線(xiàn), DBBC于B, ABC=120o, 求證: AB=2BCBA D C EABCDE例7：如圖，在ABC中，C=900，BAC=600，AB的垂直平分線(xiàn)DE交AB于E，交BC于E