人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系名師

1、21.2.4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（胡雯雯）一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)本節(jié)是一元二次方程的解法的最后一節(jié)課.在之前一元二次方程的解法已經(jīng)掌握的基礎(chǔ)上，學(xué)生經(jīng)歷探索，嘗試發(fā)現(xiàn)韋達(dá)定理，感受不完全歸納驗(yàn)證以及演繹證明，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和綜合判斷的能力，激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性，激勵(lì)學(xué)生勇于探索的精神.（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系.2. 靈活運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解決實(shí)際問題.3. 提高學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)分析解決較復(fù)雜問題的能力.（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)對(duì)根與系數(shù)關(guān)系的理解和推導(dǎo)二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)任務(wù)1：填寫下表.

2、abc方程x1x2x1 x2x1·x2132-2-1-321-3-186-33-1814-10-4-10112<0，故無實(shí)根觀察上面的計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是 a=1時(shí)，若一元二次方程有實(shí)根（0）兩根和等于一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)，兩根積等于常數(shù)項(xiàng) （文字表達(dá)）；結(jié)論： a=1時(shí)， （用字母表達(dá)）.2：填寫下表.abc方程x1x2x1 x2x1·x2231-1-386-16-82-6-16211<0，故無實(shí)根觀察上面的計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是 若一元二次方程有實(shí)根（0）, 兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)的商的相反數(shù),兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.（文

3、字表達(dá)）；結(jié)論： 若一元二次方程有解x1，x2（0），則 （用字母表達(dá)）.預(yù)習(xí)自測(cè)1.解方程,則=_,=_;=_,=_.【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程【解題過程】解方程可得=3，=-1.進(jìn)而得到=2，=-3.【思路點(diǎn)撥】解出方程的根即可得解.【答案】=3，=-1；=2，=-32.解方程,則=_,=_;=_,=_.【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程【解題過程】解方程可得=，=-1.進(jìn)而得到=，=-.【思路點(diǎn)撥】解出方程的根即可得解.【答案】=，=-1； =，=-.3.一元二次方程的一個(gè)解是-1,則另一個(gè)解_.【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】-1是方程的一個(gè)解，而=2, =3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩根之和和其中一根

4、可求出另一根.【答案】34.一元二次方程的一個(gè)解是1, 則=_.=【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】=-3，=1, =-3, =-2 m=4【思路點(diǎn)撥】方程中a，c確定，即可確定兩根積；從而可得到另一根，進(jìn)而得出兩根和，由此得到m的值.【答案】4 (二)課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧（1）一元二次方程的一般形式:（2）一元二次方程根的判別式:（3）一元二次方程的求根公式：2.問題探究探究一 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理的猜想與證明活動(dòng)大膽猜想，探索新知回顧預(yù)習(xí)活動(dòng)中的表格兩個(gè)根兩根和兩根積a與b之間的關(guān)系a與c之間的關(guān)系-2-1-32326-33-18-3-18 -4-104-10-1-82 -6-

5、166-16 猜想：一元二次方程的兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)的商的相反數(shù),兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.師問：方程,有上述特征嗎？生答：沒有.因?yàn)樯厦鎯蓚€(gè)方程的判別式小于0，故方程無實(shí)根.總結(jié)：上面猜想的規(guī)律的前提是一元二次方程有實(shí)根，即 【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，引導(dǎo)學(xué)生由觀察得到的初步認(rèn)識(shí)，再從特殊到一般，體會(huì)數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性和邏輯推理的嚴(yán)密性.活動(dòng) 從特殊到一般，嚴(yán)密推理推導(dǎo)一元二次方程兩根和與兩根積和系數(shù)的關(guān)系（請(qǐng)學(xué)生小組討論，并形成小組結(jié)論）設(shè)x1、x2是方程ax2bxc=0（a0）的兩個(gè)根試計(jì)算（1）x1x2（2）.故有：一元二次方程,當(dāng)時(shí)，它的兩根滿足注

6、：使用條件： 注意符號(hào)【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從前面的感性認(rèn)識(shí)，逐步推廣到一般情況，鍛煉數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯思維能力.探究二 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理的應(yīng)用活動(dòng) 熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系（口答）下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少？【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.【解題過程】（1）a=1，b=-2，c=1 =2，=1.（2）a=1，b=-9，c=10 =9，=10.（3）a=4，b=-7，c=1（4）先整理為一般式：a=1，b=-9，c=0 =9，=0.【思路點(diǎn)撥】尋找一元二次方程的兩根和與積，首先要化為一般式，找準(zhǔn)各項(xiàng)系數(shù)，同時(shí)，要注意使用定理的前提是判別式0.【答案】（1）=2，=1.（

7、2）=9，=10.（3）=，=.（4）=9，=0.【設(shè)計(jì)意圖】更加熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系活動(dòng) 已知方程一根，求另一根例1：已知方程的根是2，求它的另一根及k的值【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】2是方程的一個(gè)解，而=, k=-7【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩根之積和其中一根可求出另一根，繼而得到兩根和并求出待定系數(shù)的值.【答案】-7【設(shè)計(jì)意圖】此題有多種解法，可請(qǐng)同學(xué)展示多種方法，從中比較各種方法的優(yōu)劣性，從而認(rèn)識(shí)到根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用價(jià)值.活動(dòng) 已知方程兩根，求待定系數(shù)值.例2：已知方程的兩個(gè)根是1和3，求m，n的值【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】1和3是方程的兩個(gè)解，而=,

8、 =4 n=12【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩根可求出兩根之積與兩根之和，進(jìn)而得出待定系數(shù)的值.【答案】，n=12【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)上例中方法，更多地體現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用價(jià)值.探究三 綜合應(yīng)用活動(dòng) 由根與系數(shù)的關(guān)系求相關(guān)代數(shù)式的值例3：已知是一元二次方程的兩根，則【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及完全平方公式的應(yīng)用【解題過程】首先化為一般式，可由根與系數(shù)關(guān)系得到兩根和與兩根積，【思路點(diǎn)撥】將各式變形為已知的式子，即可解決.【答案】練習(xí)：已知x1，x2是方程的兩個(gè)根，試求：（1） (2) .【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】，【思路點(diǎn)撥】將各式變形為已知的式子，即可解決.【答案】【設(shè)計(jì)意

9、圖】通過前面的訓(xùn)練，同學(xué)們已經(jīng)對(duì)根與系數(shù)的關(guān)系有了初步的了解，此例題的目的在于鞏固前面的知識(shí)，并能和完全平方公式相關(guān)的式子進(jìn)行靈活求解.活動(dòng)2 根與系數(shù)的關(guān)系中的整體思想例4設(shè)a、b是方程的兩實(shí)數(shù)根，則【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】整體思想【解題過程】由根與系數(shù)的關(guān)系可知，而a是方程的一個(gè)根，故有，即.所以=2019.【思路點(diǎn)撥】將所求的代數(shù)式分解成可求的代數(shù)式【答案】2019練習(xí)：設(shè)是方程的兩實(shí)根，求的值.【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】整體思想【解題過程】是方程的解，.即，故原式=2019.【思路點(diǎn)撥】降次，將所求代數(shù)式分解成可求的代數(shù)式.【答案】2019【設(shè)計(jì)意圖】能夠在較為復(fù)

10、雜的代數(shù)式中分離出可整體求出的式子，從而整體代入求解.活動(dòng)3 含參方程的根與系數(shù)的關(guān)系例5已知的兩實(shí)根的平方和為2，求m.【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.【解題過程】，m=±3.，m=3【思路點(diǎn)撥】應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的前提是判別式0.【答案】3.練習(xí)：已知有兩個(gè)不相等的實(shí)根；求k的取值范圍是否存在k，使兩根的倒數(shù)和等于0？【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系， 【解題過程】（1） k0，且，且.（2） 則，即，故不存在.【思路點(diǎn)撥】應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的前提是判別式0.【答案】(1) 且. (2)不存在【設(shè)計(jì)

11、意圖】通過對(duì)含參方程的分析，提高學(xué)生符號(hào)計(jì)算的能力. 同時(shí)，加強(qiáng)對(duì)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，注意前提：判別式0的理解.3. 課堂總結(jié)知識(shí)梳理（1）若一元二次方程有實(shí)根（0）, 兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)的商的相反數(shù),兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.（2）應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的前提是判別式0重難點(diǎn)歸納（1）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（2）隱含條件：二次項(xiàng)系數(shù)不為0，判別式非負(fù).（3）常見題型：不解方程，判斷方程兩根的和與積； 已知方程和方程一根，求另一個(gè)根及字母系數(shù)；方法：根據(jù)兩根之積和其中一根可求出另一根，繼而得到兩根和并求出待定系數(shù)的值. 不解方程求含有方

12、程兩根的式子的值. 方法：先得出兩根和與積，再通過完全平方公式等數(shù)學(xué)公式，或一些特殊結(jié)構(gòu)整體代入求值.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型 自主突破1判定下列各方程后面的兩個(gè)數(shù)是不是它的兩個(gè)根（1）； （-1，7）（2）； （）（3） （3，3）【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】（1）-1×77，故不是；（2），故不是；（3）先化為一般式，故是【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系判斷.【答案】（1）、（2）不是，（3）是2. 一元二次方程的兩個(gè)根分別是x1和x2，則【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】解：一元二次方程x23x2=0的二次項(xiàng)系數(shù)a=1，一次項(xiàng)系數(shù)b=3， 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元

13、二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，解答即可【答案】33.已知關(guān)于x的方程的兩根為3和1，則p= ，q= 【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】解：關(guān)于x的方程x2pxq=0的兩根為3和1，3（1）=p，（3）×（1）=q，p=4，q=3【思路點(diǎn)撥】由根與系數(shù)的關(guān)系可得出關(guān)于p或q的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論【答案】4；34. 已知關(guān)于x的方程的一個(gè)根為2，則另一個(gè)根是（）A3 B2 C3 D6【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為t，根據(jù)題意得2t=1，解得t=3，即方程的另一個(gè)根是3【思路點(diǎn)撥】設(shè)方程的另一個(gè)根為t，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到2t=1，然后解一元一次方程即

14、可【答案】A5.已知實(shí)數(shù)x1，x2滿足，則以x1，x2為根的一元二次方程是（）A B C. D 【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】解： 一元二次方程中：，=30當(dāng)a=1時(shí)，【思路點(diǎn)撥】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合兩根之和及兩根之積的即可得出, =30，當(dāng)a=1時(shí)，即可找出b、c的值，此題得解【答案】A6.若x1，x2是方程 的兩個(gè)根，且 ，則m的值為（）A1或2 B1或2 C2 D1【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系 【解題過程】解：x1，x2是方程x22mxm2m1=0的兩個(gè)根， ，即，解得： 方程 有實(shí)數(shù)根，解得：m1m=1【思路點(diǎn)撥】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m

15、的值，再根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，從而可確定m的值【答案】D能力型 師生共研7.設(shè)x1，x2是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值（1）；（2）【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系 【解題過程】（1）原式= （2）原式=【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得.【答案】，8. 已知是方程的實(shí)數(shù)根，求的值.【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系 【解題過程】解：為的實(shí)數(shù)根，即，、為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，= ，= ，2235=5×3×（）1=12【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程解的定義得到，即，則可表示為5（）31，再根據(jù)根與系

16、數(shù)的關(guān)系得到=，=，然后利用整體代入的方法計(jì)算【答案】12探究型 多維突破9.已知關(guān)于的一元二次方程（k為常數(shù)）（1） 求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2） 設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且試求方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根和k值【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式 【解題過程】解：（1）=0，故方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）， x2=8，x1=-2，故有k=±4【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)關(guān)于x的方程, 得出0，即證.（2）由兩根之和為6，可得x2=8，進(jìn)而得出另一根和k的值.【答案】見解析10.已知關(guān)于x的方程x2（2k1）x4（k）=0（1）求證：無論k取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；（2）能否找

17、到一個(gè)實(shí)數(shù)k，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若能找到，求出k的值；若不能，請(qǐng)說明理由（3）當(dāng)?shù)妊切蜛BC的邊長a=4，另兩邊的長b、c恰好是這個(gè)方程的兩根時(shí)，求ABC的周長【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；解一元二次方程因式分解法；根的判別式；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì) 【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】證明：（1）=（2k1）216（k）=（2k3）20，方程總有實(shí)根；解：（2）兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，x1x2=2k1=0，解得k=0.5；（3）當(dāng)b=c時(shí)，則=0，即（2k3）2=0，k=，方程可化為x24x4=0，x1=x2=2，而b=c=2，bc=4=a不適合題意舍去；當(dāng)b=a=4，則424（

18、2k1）4（k）=0，k=，方程化為x26x8=0，解得x1=4，x2=2，c=2，CABC=10，當(dāng)c=a=4時(shí)，同理得b=2，CABC=10，【思路點(diǎn)撥】（1）整理根的判別式，得到它是非負(fù)數(shù)即可（2）兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，讓=0即可求得k的值（3）分b=c，b=a兩種情況做【答案】見解析自助餐1.關(guān)于x的方程2x2mxn=0的兩個(gè)根是2和1，則nm的值為（）A8 B8C16D16【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】解：關(guān)于x的方程2x2mxn=0的兩個(gè)根是2和1，=1，=2，m=2，n=4，nm= =16 【思路點(diǎn)撥】由方程的兩根結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可求出m、n的值，將其代入nm中即可求出結(jié)論

19、【答案】C2.關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則a的值為（）A2B0C1D2或0【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系 【解題過程】解：設(shè)方程的兩根為x1，x2，根據(jù)題意得x1x2=0，所以-（a22a）=0，解得a=0或a=2，當(dāng)a=2時(shí)，方程化為x21=0，=40，故a=2舍去，所以a的值為0【思路點(diǎn)撥】設(shè)方程的兩根為x1，x2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得-（a22a）=0，解得a=0或a=2，然后利用判別式的意義確定a的取值【答案】B3.已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 ，則（x11）（x21）的值是 【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系 【解題過程】解：一元二次方程x23x2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，x

20、1x2=3， =2，（x11）（x21）=（x1x2）1=231=4【思路點(diǎn)撥】由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x2=3, =2，將其代入中，即可求出結(jié)論【答案】44.已知a、b是方程x2x3=0的兩個(gè)根，則代數(shù)式a3a23b2的值為 【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系 【解題過程】解：a、b是方程x2x3=0的兩個(gè)根，a2a=3，ab=1，a3a23b2=a（a2a）3b2=3a3b2=3（ab）2=1【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程的解結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出a2a=3、ab=1，將其代入a3a23b2=a（a2a）3b2中，即可求出結(jié)論【答案】15.已知關(guān)于x的一元二次方程x2（m3）xm=0（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2