數(shù)學模型SARS

1、SARS傳播的數(shù)學模型摘 要通過對題目附件1的SARS模型進行分析和評價，加深了對SARS的認識和了解。根據(jù)傳染病的傳播特點，建立了關(guān)于SARS病人率和疑似病人率兩個常微分方程模型。以所給數(shù)據(jù)為基本依據(jù)，用Matlab軟件進行數(shù)值計算，與圖形模擬方法求得模型中的有關(guān)參數(shù)。當1 =1.5 和2 =1時，理論圖形與實際圖形有良好的吻合，分別得到了SARS病人率和疑似病人率比較符合實際數(shù)據(jù)的變化圖，能正確地預(yù)測它們的發(fā)展趨勢。他們對于模型中的參數(shù)有非常強的靈感性，1的值作微小的改變對于整個疫情的發(fā)展有很大的影響，所以政府采取對SARS疫情的有關(guān)措施是完全正確的。本文重點分析了關(guān)于SARS病人率的模型

2、一，根據(jù)求得的參數(shù)，利用相軌線理論對結(jié)果加以分析并對整個疫情作出預(yù)測，并推論出SARS病人率關(guān)于t的表達式i(t),然后提出了對傳染病的控制方案，同時列舉了具體方法，并論證了方法的合理性和可行性，用其它地區(qū)的數(shù)據(jù)對模型進行檢驗，說明模型的參數(shù)有區(qū)域性。關(guān)鍵詞：SARS 微分方程 曲線擬合 數(shù)學模型 相軌線一 、問題的提出SARS俗稱非典型肺炎，是21世紀第一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。我國作為發(fā)展中大國深受其害：SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響。在黨和政府的統(tǒng)一領(lǐng)導(dǎo)下，全國人民與SARS頑強抗爭，取得了可喜的階段性勝利，并從中得到了許多重要的經(jīng)驗和教訓，認識到在沒有

3、找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的強制性政策對抑制SARS自然發(fā)展最有效辦法。而本題的目的就是要建立一個適當?shù)哪Ｐ蛯ARS傳播規(guī)律進行定量地分析、研究，為預(yù)測和控制SARS蔓延提供可靠、足夠的信息，無論對現(xiàn)在還是將來都有其重要的現(xiàn)實意義。二 、模型的假設(shè)1 地總?cè)藬?shù)N可視為常數(shù)，即流入人口等于流出人口。2 據(jù)人口所處的健康狀態(tài)，將人群分為：健康者，SARS病人，退出者（被治愈者、 免疫者和死亡者）。 3在政府的強制措施下，人口基本不流動，故無病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基數(shù)。4 隔離的人斷絕了與外界的聯(lián)系，不具有傳染性。5 SARS康復(fù)者二度感染的概率為0。6 國家完善

4、了監(jiān)控手段，加強了對SARS病毒監(jiān)控的力度，故可假設(shè)所有感染SARS病毒的人群都進入了SARS病人類和疑似類。7 由于對SARS病原體的研究不夠深入，無有效藥物可以使人體免疫，同時SARS病毒感染后，大量繁殖，破壞免疫系統(tǒng)，故不可免疫。 三、模型的建立（一） 參數(shù)的設(shè)定和符號說明s(t)：t時刻健康者在總體人群中的比例i(t)：t時刻SARS病人在總體人群中的比例l(t)：t時刻疑似病人在總體人群中的比例r(t)：t時刻被治愈者、死亡者和免疫者在總體人群中的比例之和。 ：SARS病人日接觸率。為每個病人每天有效接觸（足以使健康者受感染變?yōu)椴∪耍┑钠骄藬?shù)。：日治愈率。為每天被治愈的病人占病人總

5、數(shù)的比例。：日轉(zhuǎn)化率。為每天危險群體中的疑似病人被確診為SARS患者的比例。：日死亡率。為每天SARS病人死亡的數(shù)量和當天病人總數(shù)量的比值。：疑似感染率。為每天感染為疑似病人的比例。（二）模型建立模型一 感染為SARS患者情況由假設(shè)，每個病人每天可使個健康者變?yōu)椴∪?，因為病人人?shù)為，所以每天共有個健康者被感染，于是就是病人數(shù)的增加率，又因為每天被治愈率為，死亡率為，所以每天有個病人被治愈，有個病人死亡。那么病人的感染為由于 對于退出者 () 由假設(shè)可知： 故SARS患者率模型一的方程建立如下： (3) 模型二 疑似患者的變化情況與前面同樣的分析，得到疑似患者率模型二： (5)四、模型求解（一）

6、參數(shù)的確定和分析：1.的確定 =， =， =用EXCEL電子表格處理題目附件2中所給數(shù)據(jù)得： =0.055076，=0.038183，=0.002443。（處理數(shù)據(jù)見附件）2的確定確定 很明顯從我們建立的模型是無法得到s、i、的解析解。為了解決這個問題我們用MATLAB軟件中龍格庫塔方法求出他們的數(shù)值解。先通過實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)算出每一天的s、i、做出它們與時間的函數(shù)圖象圖1，然后我們再對取一組數(shù)，分別畫出由通過模型解出的數(shù)值解隨時間變化的圖象圖2，將這組圖象與由實際數(shù)據(jù)所得圖象相比較,調(diào)試。我們發(fā)現(xiàn)當1.5時，理論圖形與實際圖形有最佳的吻合。圖形如下：<圖1>:根據(jù)實際數(shù)據(jù)擬合的圖象（

7、畫圖程序見附件）<圖2>通過數(shù)值解作出的關(guān)于時間t 的變化（畫圖程序見附件）分析兩個圖形可知，它們的高峰期、緩解期和平穩(wěn)期曲線相當符合，具有相同的發(fā)展趨勢。但是在0,10的SARS初期范圍內(nèi)，曲線變化不相同。這主要是因為在4月24日之前，沒有相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計和報道，由于數(shù)據(jù)的不全，根據(jù)邊界值畫出來的曲線與通過數(shù)值解得到的曲線相比較，不能準確反映SARS產(chǎn)生初期時的趨勢，所以邊界值應(yīng)該去掉，而通過數(shù)值解模擬的曲線可以得到之前的發(fā)展趨勢。并且通過對SARS蔓延期特點的分析，<圖2>在符合所給數(shù)據(jù)反映的規(guī)律基礎(chǔ)上，還能夠模擬缺乏數(shù)據(jù)的SARS初始狀態(tài)，所以曲線是合理的。（2）確

8、定與確定時類似，先根據(jù)實際數(shù)據(jù)畫出圖形<圖3>實際數(shù)據(jù)圖形然后再對取一組數(shù)，分別畫出通過模型解出的數(shù)值解隨時間變化的圖象，將這組圖象與由實際數(shù)據(jù)所得圖象相比較,調(diào)試。發(fā)現(xiàn)當1.0時，理論圖形與實際圖形有最佳的吻合。圖形如下：<圖4>在0,10的初期范圍內(nèi)，曲線趨勢不同，原因同前。整個曲線反映了疑似患者在SARS的過程中的變化規(guī)律。五、結(jié)果分析與檢驗（一）討論 的性質(zhì)平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域為從模型（一）中消去，利用的定義，可得 （6）由（6）式解得 （7）（二）對于合理確定的，我們可以畫出圖，圖形如下：<圖5>（畫圖程序見附件由于在這個SAR

9、S病毒發(fā)展過程中，是變化的，故可以畫出取不同值時的圖形，如下取0.4192，0.2858、0.1858時的圖形。<圖6>分析（3）式和（7）式，可知：1 不論初始條件，如何，病人終會消失，即SARS最終會被消滅,亦即。證明省略。從圖形上看，相軌線終將與s軸相交（t充分大）。2 設(shè)最終未被感染的健康者的比例是，在（7）式中令得到方程 （8）是（8）在（0,1/）內(nèi)的根，在圖形上是相軌線與s軸在（0,1/）內(nèi)交點的橫坐標。對于確定下來的=0.0383，可以代入（8）式解出03 SARS疾病傳染過程分析整個傳染過程，隨著政府和公眾對SARS的重視程度的變化，可知接觸數(shù)隨著治愈率、死亡率和

10、接觸率的不斷變化而變化。（1）在SARS爆發(fā)的初期，由于潛伏期的存在，社會對SARS病毒傳播的速度和危害程度認識不夠，所以政府和公眾沒有引起重視。治愈率和死亡率很小，而接觸率相對較大，所以很小。當，則開始增加，可認為是疾病蔓延階段。（2）當=時，達到最大值 （9）對于我們確定的，可以求出0.8368，可認為是疾病傳染到達了高峰期。（3）當<時，單調(diào)減小至零，單調(diào)減小至。這一時期病人比例絕不會增加，傳染病不會蔓延，進入緩解期。4群體免疫和預(yù)防根據(jù)對模型的分析，當是傳染病不會蔓延。所以為制止蔓延，除了提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平，使閾值1/變大以外，另一個途徑是降低，這可以通過預(yù)防接種使群體免疫。第二

11、個途徑通過預(yù)防接種使群眾免疫，免疫后就不會被感染上病毒。按照我們?nèi)巳旱姆诸愊到y(tǒng)，將免疫人群歸為退出者類，所以免疫人群的出現(xiàn)，不與模型的分類系統(tǒng)相矛盾。忽略病人比例的初始值，有=1-，于是SARS不再蔓延的條件可以表示為： （10）所以只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例滿足（10），就可以制止SARS的蔓延。5數(shù)值驗證與估量根據(jù)上面的分析，阻止SARS蔓延有兩種手段，一是提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平，即降低日接觸率，提高日治愈率，二是群體免疫，即提高移出者比例的初值。我們以最終未感染的健康者的比例和病人比例達到最大值，作為傳染病蔓延程度的度量指標。給定不同的，用（）式計算，用（9）式計算1.00.

12、30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.02001.00.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200從計算得到的和可以看出：（1）對于一定的，降低，提高，使閾值1/變大，會使變大，變小。于是驗證了群體免疫和預(yù)防中提出的提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平，

13、可以使SARS最終的患者比例縮小，健康群體增加。（2）對于一定的，提高 ，會使變大，變小。所以實行群體免疫，降低受感染的基數(shù)，可以有效地減緩SARS蔓延的速度。在（8）式中略去很小的，即有 （11）6模型驗證首先，由方程（1）和（3）可以得到 （12） （13）當時，?。?3）式右端Taylor展開的前三項，在初始值下的解為 （14）其中,從（14）式算出 （15）將（14）代入（12），再將（12）代入（7），得到（其中，）對于表達式中的參數(shù)，已通過前面的參數(shù)分析得出，代入表達式，就可以對t時的患病率做預(yù)測，達到了預(yù)測的目的，滿足題目的要求。7對衛(wèi)生部措施的評估在模型中，的取值大小能充分反映

14、接觸率的變化。若采取的隔離措施提前T天，那么將相應(yīng)減小，反之則增加。不妨將的值取為1.3和1.7，作出相應(yīng)的圖形7和圖8。圖7圖8由以上圖形可見，T對SARS病人的增長有顯著影響，因此，衛(wèi)生部采取的提前或延后5天的隔離措施有其數(shù)學背景和科學依據(jù)。至于到底提前或延后幾天最好，還有待進一步研究。六、模型評價及改進 1、評價模型首先根據(jù)所給數(shù)據(jù)的分析，采用微分方程建立兩個模型，分設(shè)變量。再通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)擬和求得各自的參數(shù)值，利用數(shù)值計算得到結(jié)果并加以分析，得出傳染病的傳染規(guī)律，最后根據(jù)此分析提出對傳染病預(yù)測與控制的方案。模型采用了數(shù)值計算，圖形觀察與理論分析相結(jié)合的方法，先有感性認識，再用相軌線

15、做理論分析，最后進行數(shù)值驗證和估算，可以看作計算機技術(shù)與建模的配合。模型采用微分方程本身就有一定的缺限，其計算結(jié)果的準確性、可靠性將受到限制，再加之數(shù)值解的不確定性，模型對長時間的預(yù)測有它的局限性。因時間限制模型沒能更多考慮交叉分類進行。2、改進 若能建立以隨機偏微分方程組為基礎(chǔ)的數(shù)學模型，將大大提高計算的準確性與可靠性，使得預(yù)測更加準確，但這樣做將遇到模型求解，數(shù)據(jù)準確收集和數(shù)值求解的不精確性等諸多困難。 七、對附件1模型的評價1、 合理性該模型的基本假設(shè)符合事實，對照解得的結(jié)果與實際病例數(shù)據(jù)也相當吻合，所以該模型基本是合理的。具體表現(xiàn)：模型中的參數(shù)K（平均每病人每天可傳染K個人）、L（平均

16、每個病人可以直接感染他人的時間為L天）的確定是由已公布的數(shù)據(jù)統(tǒng)計計算和數(shù)據(jù)擬合得來，具有一定的可靠性。特別是對K的分段處理，反映了傳染病的許多特性，同時也反應(yīng)了社會的警覺程度、政府和公眾采取的措施反過來也會影響K值。但是該模型建立得較為粗糙，它沒有考慮疑似病例患者和已治愈病人的情況。因此為使建立的模型更準確，更符合實際，考慮將該模型優(yōu)化的方向是把疑似病例患者和治愈患者加入到模型中。2、實用性模型對北京地區(qū)中期的計算值與實際值基本吻合，說明該模型有一定的實用性。但對后期預(yù)測與后來的實際情況卻有一定差距，同時該模型中K值是從香港和廣州兩地實際情況統(tǒng)計處理得來，而實際上，各地區(qū)的政策及人們生活習慣各

17、有所不同，因此用一個地區(qū)所獲得的參數(shù)去預(yù)測另一地區(qū)，其結(jié)果只具有參考性，而不具備很強的可靠性。所以該模型的實用性有一定局限。八、SARS對北京旅游人數(shù)影響的經(jīng)濟模型年1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月19971998199920002001200220039.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.69.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.910.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9

18、25.8 29.3 29.8 23.6 16.511.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.511.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.713.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.915.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2依據(jù)上表的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，我們分別建立回歸模型對各個月的游客數(shù)量進行預(yù)測。由MATLAB統(tǒng)計工具箱中的回歸分析命令，編程可解得：

19、若沒有受SARS沖擊，2003年1月到12月游客將達到的數(shù)量。再用當月實際游客量變化所呈現(xiàn)的規(guī)律對9月到12月進行預(yù)測，最后分別模擬作出受到SARS沖擊前后的游客量隨時間的變化趨勢圖。具體求法如下：我們記1997年為開始記為t=0,那么2003年就可表示成t=6。將年份用矩陣表示為：t=0,1,2,3,4,5,；每年1月的游客量用矩陣表示為：y=9.4，9.6，10.1 ，11.4 ，11.5 ，13.7MATLAB命令：p,S=polyfit(t,y,2) %二次多項式回歸 y=polyval(p,6) %計算出t=6,即2003年一月的預(yù)測量計算得y=15.2000，再用同樣方法求得200

20、3年2月到12月的預(yù)測數(shù)量依次為36.4700、25.9700、32.1500、32.8300、31.6000 、29.3300、36.4000、33.1400、32.8500、26.8500、27.7900。由命令函數(shù)：Y=polyconf(p,t,2)和plot(t,y,t,Y) 作出如下曲線圖9再由2003年各月實際量推算出9月到12月的游客量分別為15.4127 、20.1860 、26.1721 、33.3709。同樣我們作出圖10為便于直觀分析我們將兩組數(shù)據(jù)所作出的圖形移到圖11中：模型分析：從圖中我們可以看到，1月份實際游客量與預(yù)測數(shù)據(jù)較吻合，因為SARS剛出現(xiàn)，沒有引起人們重視

21、；而以后各月差值先逐漸增大，到6月份后又開始漸漸縮小，這是因為SARS疫情逐漸攀升到六月份達到高峰后漸漸的得到有效控制。人們在這段時期內(nèi)的出行受到SARS的影響，所以在2月到6月游客量不斷的大量減少，但是隨著SARS疫情得到控制，以及公共衛(wèi)生系統(tǒng)的進一步完善，人們生活又漸漸的恢復(fù)到SARS前的一般規(guī)律，在圖形中反映為6月中下旬，隨著抗擊SARS取得初步成效，游客量開始逐步增加，旅游業(yè)也重新回升到常態(tài)。但是由于用以預(yù)測未知量的已知量較少，我們?yōu)榱耸沟妙A(yù)測值真實可信，只考慮預(yù)測到11月份，這樣做同時還因為時間越長要考慮的不定因素也就越多。從模型及模型分析說明我們所預(yù)測的數(shù)據(jù)是基本合理、符合實際的。

22、九、參考文獻1 姜啟源等，數(shù)學模型（第三版），北京；高等教育出版社，2003.82 李海濤等，MATLAB 6.1 基礎(chǔ)及應(yīng)用技巧，北京；國防工業(yè)出版社，2002.33 趙靜等，數(shù)學建模與數(shù)學實驗，北京；高等教育出版社，2002.94 王沫然，MATLAB 5.X與科學計算，北京；清華大學出版社，2000.55 幺煥民等，數(shù)學建模，哈爾濱；哈爾濱工業(yè)大學出版社，2003.4短文SARS與數(shù)學模型2003年春天，SARS這一突發(fā)疫情襲擊了世界上20多個國家和地區(qū)，給全球經(jīng)濟的發(fā)展以及人們的正常生活等帶來了很大的影響，在經(jīng)過與SARS幾個回合的較量之后，我們終于贏了。當SARS正在慢慢淡出我們身邊

23、，我們的工作和生活漸漸回歸正常時，那曾經(jīng)經(jīng)歷的恐懼、困擾、焦慮、無奈和痛苦，那曾深深擊中過我們軟肋，使我們的弱點暴露無遺的SARS將會成為烙在我們心靈上一塊永遠抹不去的印。不過，令人欣慰的是我們并沒有被擊倒，尤其是我們的白衣天使們，他們在與SARS的較量中，充分展現(xiàn)了職業(yè)道德和人性的光輝，書寫出了最壯麗的人生篇章。     現(xiàn)在這個時刻，我們有必要梳理和總結(jié)過去的日子，將我們對SARS、對病毒、對疾病、對危機的認識、責任以及處理方法推向前進。因為我們將不得不面對將有可能和SARS共存相當長時間的現(xiàn)實。在我們還不能完全認識它、戰(zhàn)勝它并最終消滅它時，我們必須

24、時刻警覺，將SARS對我們的侵害降低到最小。使得若當它卷土重來時，我們能夠聚集起更強大的力量，快速而從容地與它過招。我們都知道SARS的傳播，在沒能找到真正的藥物治療方法前，只能依靠政府采取強制性政策去預(yù)防、控制疫情。人類對傳染病的研究長期以來還都只是通過不斷的試驗來獲取數(shù)據(jù)，而且相關(guān)試驗只能在動物身上做，而不可能在活人體上做類似試驗，另外有關(guān)傳染病的數(shù)據(jù)也只能從爆發(fā)后的相關(guān)報道與文字材料中獲得，不但不能快速得到信息，連其數(shù)據(jù)的全面性都很難達到。因而，在對傳染病流行的控制研究問題上，迫切需要有一種行之有效、簡便易行的辦法來代替它。而數(shù)學模型恰恰是通過采用數(shù)學基礎(chǔ)工具以及計算機模擬等手段從非醫(yī)學

25、中的病理分析研究角度去進行科學描述，所以我們可以根據(jù)以前總結(jié)的一些經(jīng)驗和統(tǒng)計的實際數(shù)據(jù)，從數(shù)學角度建立SARS傳染病模型，通過科學、合理的分析和推論，提供足夠的可靠數(shù)據(jù)、信息給政府用以制定相關(guān)政策。這是一項艱巨的任務(wù)，不但需要我們的努力，也更需政府和媒體的大力支持。附件已確診病例累計現(xiàn)有疑似病例死亡累計治愈出院累計當天退出數(shù)當天病人數(shù)當天病例退出率治愈率3394021833174310.0394430.076566482610254365200.0115380.0826925886662846166190.0258480.0743136937823555136840.0190060.08040

26、97748633964127740.0155040.082687877954427398730.0103090.0836298810934876109900.0101010.076768111412555678310650.0028170.0732391199127559781212100.0099170.0644631347135866831612910.0123930.0642911440140875901713880.0122480.06484115531415821001814540.012380.06877616361468911091115410.0071380.070733174

27、1149396115715920.0043970.07223618031537100118616790.0035740.07028189715101031211717360.0097930.0697196015231071341018080.0055310.074115204915141101411318850.0068970.074801213614861121521819130.0094090.07945621771425114168919450.0046270.086375222713971161751519740.0075990.088652226514111201863119980.

28、0155160.093093230413781292084120100.0203980.103483234713381342441319920.0065260.1224923701308139252619970.0030050.126189238813171402571720080.0084660.127988240512651412733820060.0189430.136092242012501453072719820.0136230.154894243412501473322019580.0102150.169561243712491503495019450.0257070.179434

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32、19360.1506411.498932252215518415431107950.1383651.940881252231841653966850.1401462.4131392522518617471985890.3361632.966044252241871944523910.1329924.971867252231891994213390.0619475.882006252231892015-575319-1.802516.3166142523218314463788940.4228191.61745252321861821565160.1085273.5290725232187187

33、6-0.289883.118497求病人變化(數(shù)值解)function y=ill(t,x)w=1.5;z=0.0575;y=w.*x(1).*x(2)-z.*x(1),-w.*x(1).*x(2)'ts=0:0.01:70;x0=402/13000000,1-402/13000000; t,x=ode45('ill',ts,x0);t,x; plot(t,x(:,1),grid,pause（按實際數(shù)據(jù)模擬）t=1:64;z= Columns 1 through 14 143 106 105 81 103 111 126 85 148 93 113 83 105 62 Columns 15 through 28 94 63 89 87 41 50 38 39 43 23 18 17 15 14 Columns 29 through 42 3 7