平面直角坐標(biāo)變換

1、§ 5.7平面直角坐標(biāo)變換為了考慮同一圖形在不同的坐標(biāo)系下的方程之間的關(guān)系，我們首先需要建立同一個(gè)點(diǎn)在不同的坐標(biāo)系下的坐標(biāo)之間的關(guān)系， 這就是坐標(biāo)變換的問題， 因?yàn)槲覀冄芯康膱D形是點(diǎn)的軌 跡.我們僅考慮平面直角坐標(biāo)變換.設(shè)在平面上給出了由兩個(gè)標(biāo)架 O; i, j 和O' i', j'所決定的右手直角坐標(biāo)系， 這里i和j以及i'和j'是兩組坐標(biāo)基向量， 它們是平面上的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，我們依次稱這 兩個(gè)坐標(biāo)系為舊坐標(biāo)系和新坐標(biāo)系.由于坐標(biāo)系的位置完全由原點(diǎn)和坐標(biāo)基向量所決定，所以新坐標(biāo)系與舊坐標(biāo)系之間的關(guān)系，就由O'在O; i, j 中的坐

2、標(biāo)以及i'和j'在O; i, j 中的分量所決定.任一直角坐標(biāo)變換總可以分解成移軸（也叫坐標(biāo)平移）和轉(zhuǎn)軸 （也叫坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)）兩個(gè)步驟.1. 移軸如果兩個(gè)標(biāo)架O; i, j 和O' i, j' 的原點(diǎn)O與O'不同，O'在O; i, j 中的坐 標(biāo)為（xo, y°），但兩標(biāo)架的坐標(biāo)基向量相同，即有i' = i, j' = j那么標(biāo)架O' i', j'可以看成是由標(biāo)架 O; i, j 將原點(diǎn)平移到O'點(diǎn)而得來的（圖5.7.1）.這種坐標(biāo)變換叫做 移軸（坐標(biāo)平移）. 設(shè)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它對(duì)標(biāo)架O

3、; i,（x； y ）,則有OP =OO O P但OP =xi 亠yj ,O P = x i y j , OO =xoi yo j 于是有x i y j =（x xo） i （y yo） j 故x, y = xo, yo + x', y' 根據(jù)向量相等的定義得移軸公式為從中解出x'和y',就得逆變換公式為j和O' i', j'的坐標(biāo)分別為（x, y）與X = X 亠 Xoy = y"+y。X = X xo y'=yy。(5.7- 1)(5.7-2)89892. 轉(zhuǎn)軸O = O'，但坐標(biāo)基向量不同,若兩個(gè)標(biāo)架O;

4、i, j 和O' i', j'的原點(diǎn)相同，即且有/ （i, i'）=，則標(biāo)架O' i', j'可以看成是由標(biāo)架O; i, j 繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角而得來的（圖5.7.2）.這種由標(biāo)架O; i, j 至悔架O' i', j'的坐標(biāo)變換叫做 轉(zhuǎn)軸（坐標(biāo)旋 轉(zhuǎn)）.下面推導(dǎo)轉(zhuǎn)軸公式.設(shè)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它對(duì) O; i,j 和O' i', j'的坐標(biāo)分別為（x, y）與 （x； y ），即有OP =xi y j0 P = x i 亠 y j因?yàn)? （i, i' ） = :，新舊坐標(biāo)基本向量之間 有關(guān)

5、系 I1I i = icost 亠 jsinfl=i cos :.兀丄丄n |丄.I sini sin 二亠 j cos、f2 2于是有OP =x（ i cosh " j si n 二） y （ i sin 二:卜 j cos® = （xcos:-ysi nM）i （x si nr " y coss） j因?yàn)镺和O'是同一點(diǎn)，OP =O P，故可直接得到轉(zhuǎn)軸公式：I =x"cosa -y sin a y =x "si na + y"cosa從（5.7 3）中解出x'和y',就得到用舊坐標(biāo)表示新坐標(biāo)的逆變換公式:

6、(5.7- 3)= xcos”:亠 ysin .篇=-xsin 很亠 y cos二(5.7-4)式中的為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角.（5.7 4）式也可看成是由標(biāo)架式.O ; i', j'繞O旋轉(zhuǎn)-：角變到O;i, j的轉(zhuǎn)軸公*根據(jù)線性代數(shù)的理論,(5.7 3)可寫為Q，這里的坐標(biāo)變換的矩陣_y_ycos a -sinaQ = .0cosa 一是一個(gè)正交矩陣，因而其逆矩陣Q=QT，逆變換公式可以直接由3. 般坐標(biāo)變換公式在一般情況下，由舊坐標(biāo)系 O xy變成新坐標(biāo)系O' x'y'，總可以分兩步來完成.即先 移軸使坐標(biāo)原點(diǎn)與新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O'重合，變成坐標(biāo)系

7、O' x y ,然后再由輔助坐標(biāo)系O' x"y"轉(zhuǎn)軸而成新坐標(biāo)系 O' x'y'（圖5.7.3）.設(shè)平面上任一點(diǎn) P的舊坐標(biāo)與新坐標(biāo)分別為（x, y）與（x', y'）,而在輔助坐標(biāo)系 O' x"y"中的坐標(biāo)為（X", y"），那么由（5.7 1）與（5.7 4）分別得89"x =x" +xy =y+xo.IJx'cosg _y "sinot與dy =x sin° +y cos a由上兩式得一般坐標(biāo)變換公式為x = x co

8、s二-y sin ： £ 亠 x4*(5.7-5)y =x sn：.亠 y cos ：.亠 y°由(5.7-5)解出x', y'便得逆變換公式"x" = xcosa +ysina -(x0 cosa + y0sinot) 丿 *(5.7 6)y =rsina+ycosa (fsina+y0 cosot)平面直角坐標(biāo)變換公式(5.7 5)是由新坐標(biāo)系原點(diǎn)的坐標(biāo)(Xo, yo)與坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角:-決定的.4 .由給定的新坐標(biāo)軸確定的坐標(biāo)變換確定坐標(biāo)變換公式，除了坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)外，還可以有其它方法.假定已給出了新坐標(biāo)系的兩坐標(biāo)軸在舊坐標(biāo)系中的方

9、程, 可以確定又一種坐標(biāo)變換公式.設(shè)在直角坐標(biāo)系xOy里給定了兩條相互垂直的直線li: Ax B1 y C = 0 ,I2：九乂 亠B2y 亠C2 = 0 其中AA2 B1B2 =o .如果取直線li為新 坐標(biāo)系中的橫軸O'x'，而直線I2為縱軸O'y'，并設(shè)平面上任意點(diǎn)M的舊坐標(biāo)與新坐標(biāo)分別是（x, 丫）與（x', y'）.因?yàn)閨x' |是點(diǎn)M （x, y）到O'y'軸的距離，也就 是M點(diǎn)到I2的距離（圖5.7.4）,所以有| , Ax + by+CzlI X 1,Af - B；同理可得|Aix+Biy+Ci|y122y

10、a +Bi于是在去掉絕對(duì)值符號(hào)以后，便得到一個(gè)坐標(biāo)變換公式X _ _ A2X_B2y_C2A BI丄 AiX + Biy +CiI7Ja； +B；并規(guī)定了一個(gè)軸的正方向， 就(5.7 7)為了使新坐標(biāo)系仍然是右手坐標(biāo)系，可將（5.7 7）式與公式（5.7 4）比較來決定（5.7-7 )中的符號(hào)因 二 A二 B2cos ：,sin ：A2 B；、兀 B；-A二 Bisin,cos.z.ABi. ABi因此(5.7- 7)中的第一式右端的x的系數(shù)應(yīng)與第二式的右端的y的系數(shù)相等，所以(5.77 )的符號(hào)選取要使得這兩項(xiàng)的系數(shù)是同號(hào)的.這種坐標(biāo)變換的方法常用來在求得一般中心二次曲線的主直徑的情況下，用

11、兩條主直徑作為新坐標(biāo)軸，把二次曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.以上給出的坐標(biāo)變換的公式(5.7 5)、( 5.7 6)和(5.7 7)實(shí)質(zhì)上都是一樣的.*5 .坐標(biāo)變換下代數(shù)曲線及其次數(shù)的不變性F (x, y) = 0的形式，其中在直角坐標(biāo)系下，如果我們所討論的平面曲線的方程能寫成F(x, y)是關(guān)于x和y的多項(xiàng)式，那么這種方程就叫做 代數(shù)方程，它所表示的平面曲線叫做 代數(shù)曲線不是代數(shù)曲線的曲線叫做 超越曲線代數(shù)方程的次數(shù)叫做 代數(shù)曲線的次數(shù).由于上面給出的幾個(gè)坐標(biāo)變換公式都是一次式(線性的)，而任何代數(shù)方程經(jīng)過一次式的變換之后必然還是代數(shù)方程，任何超越方程經(jīng)過一次式的變換之后也必然還是超越方 程因此

12、有命題5.7.1曲線的代數(shù)性和超越性在線性坐標(biāo)變換下保持不變.另一方面，代數(shù)方程的次數(shù)在一次式的變換之下也是保持不變的，因此還有命題5.7.2代數(shù)曲線的次數(shù)在線性坐標(biāo)變換下保持不變.例1已知新坐標(biāo)系的x'軸與y'軸的方程分別為 3x 4y + 6= 0與4x + 3y 17= 0,求坐標(biāo)變換公式，并求點(diǎn) A ( 0, 1)關(guān)于新坐標(biāo)系的坐標(biāo).解 由題意，設(shè)M (x, y)是舊坐標(biāo)系下任一點(diǎn)，其新坐標(biāo)為(x', y')，則有=.4x 3y -17_5 3x 4y 6根據(jù)上面的符號(hào)選取法則得變換公式為:* 4x+3y-1753x 4y 64x+3y17x =5* 3x4y+6 y =90 90 若選第一個(gè)坐標(biāo)變換公式，則點(diǎn)A (0, 1)關(guān)于新坐標(biāo)系的坐標(biāo)是(-14/5, - 2/5);若選第二個(gè)，