中考數(shù)學(xué)多動(dòng)點(diǎn)綜合題中等腰三角形的專題研究

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資獰_ 歡迎下載多動(dòng)點(diǎn)綜合題中等腰三角形的專題研究一、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)在一個(gè)角的兩邊上“逆向”運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)定點(diǎn)在角的頂點(diǎn)上的等腰三角形【案例1】（2008山西）如圖（1），已知直線的解析式為-.:，直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），又已知點(diǎn)P在x軸上從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q在直線從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)。點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，且移 動(dòng)的速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒（丨 |l）o（1）求直線的解析式。（2）設(shè)厶PCQ的面積為S,請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式。（3）試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，PCQ為等腰三角形？jy-x+6解：（1）過(guò)程略，答案：一的解析式

2、為I（2）過(guò)程略，答案:（3）【分析】 確定定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向這類問(wèn)題首先要弄清楚對(duì)于PCQ而言，那些是頂點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，那些點(diǎn)是定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在 哪條線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向是怎樣的，所以我們?cè)趫D（1）上標(biāo)出了厶PCQ的動(dòng)點(diǎn)（P、Q）和定點(diǎn)（C）,以及P、Q的運(yùn)動(dòng)方向，由此我們可以看出這個(gè)動(dòng)點(diǎn)三角形屬于兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)在一 個(gè)角的兩條邊上“逆向”運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)定點(diǎn)在角的頂點(diǎn)上的等腰三角形。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資獰_ 歡迎下載2畫出動(dòng)態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖（“動(dòng)”中取“靜”）按照運(yùn)動(dòng)時(shí)間先后的順序，往往存在三種情況，這里體現(xiàn)了分類討論的思想，PCQ的三邊兩兩分別相等，如圖QP=QC，CP=CQ，PC=PQ，這個(gè)過(guò)程需要讀者

3、在備用圖 中試畫。只有畫出來(lái)才能求出來(lái)，所以這一步在整個(gè)問(wèn)題中是相當(dāng)關(guān)鍵的，注意不要重復(fù)和遺漏。3在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方 程根據(jù)題意我們可知，很多和問(wèn)題有關(guān)的邊長(zhǎng)都可以用時(shí)間-的式子表示出來(lái)，CQ=_，建立等式模型時(shí)，我們往往要運(yùn)用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似，但利用以上的 方法所需的基本圖形是直角三角形，所以我們這里要把一個(gè)等腰三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等的直角三角形。-1（10-0如圖，當(dāng)QC=QP,過(guò)Q作QD丄-軸于D , D點(diǎn)為PC中點(diǎn)，則CD= 1 PC=,圖形中可確定三邊的RtBOC恰好這個(gè)直角三角形與我們把等腰三角形QPC分割出來(lái)的CD=

4、CQRtQDC公共/BCO根據(jù)“A”型相似或平行相似，則QDCsBOC,二，即-1.,解得 一如圖，當(dāng)CP=CQ時(shí)，這時(shí)CP與CQ正好也在/BCO勺兩邊上，一：一 ：，解得一-1 1J一I如圖，當(dāng)PC=PQ時(shí)，過(guò)P作PE丄于E,貝U CE= 1 CQ=，這時(shí)分割出的RtPEC與已知的RtBOC仍然公共/BCO并形成斜“A”型相似，則PECsBOC,優(yōu)秀學(xué)習(xí)資獰_ 歡迎下載CE CP 2l10-;80二-衛(wèi)，即：_:/ ，解得,5080I 綜上所述，當(dāng) ，或5,或二時(shí)，（都滿足.-I）,PCQ為等腰三角形【總結(jié)】以上題目是動(dòng)點(diǎn)和函數(shù)思想相結(jié)合以幾何圖形為背景，以動(dòng)點(diǎn)為元素，構(gòu)造動(dòng)態(tài)型幾何問(wèn)題。解

5、此類題目，應(yīng)從相關(guān)圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分類討論來(lái)解決。此類問(wèn)題較多地關(guān)注學(xué)生對(duì)圖形性質(zhì)的理解，用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)去看待一般函數(shù)和圖形結(jié)合的問(wèn)題，具有較強(qiáng)的綜 合性。【練習(xí)】（2009濟(jì)南）女口圖（2）,在梯形厶I二中，丨 / 丄uV圖（2）_一I?動(dòng)點(diǎn)二從J點(diǎn)出發(fā)沿線段丄I以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn) 同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)1運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 一秒.（1）求_1的長(zhǎng)。（過(guò)程略，J.I）50t二 _（2）當(dāng).粉;/ A_時(shí)，求:的值。（過(guò)程略，）（3）試探究：:為何值時(shí)，AWC為等腰三角形。解：（3）【分析】 確定定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向（請(qǐng)讀者自行在圖（2）中完

6、成）優(yōu)秀學(xué)習(xí)資獰_ 歡迎下載2畫出動(dòng)態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖（請(qǐng)讀者自行在練習(xí)圖中完成）3在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程點(diǎn)撥：此問(wèn)所需要確定三邊的直角三角形，目標(biāo)就鎖定到梯形分割出右邊的這個(gè)直角三角形，這個(gè)三邊都可以求出的直角三角形還與動(dòng)態(tài)八忒公共/C,可利用案例一的討論方法求出相應(yīng)的時(shí)間，注意這題中M N兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的速度不一樣了，此問(wèn)答案為當(dāng) 、:60f二_或1.時(shí)，AWC為等腰三角形，過(guò)程請(qǐng)讀者自行完成?！景咐?】（2009仙桃）如圖（3），直角梯形ABCD中,AD/ BC/ABC= 90，已知AD=AB=3,BO 4,動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段

7、BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)， 沿線段DA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng).過(guò)Q點(diǎn)垂直于AD的射線交AC于點(diǎn)M交BC于點(diǎn)N. P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止 運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.求NC MC的長(zhǎng)（用t的代數(shù)式表示）；（過(guò)程略，4）（2）當(dāng)|為何值時(shí)，四邊形PCDQ勾成平行四邊形？（過(guò)程略，-:）（3）是否存在某一時(shí)刻，使射線QN恰好將AASC的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí):的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（過(guò)程略，不存在）探究：:為何值時(shí)，_T為等腰三角形？?jī)?yōu)秀學(xué)習(xí)資獰_ 歡迎下載圖解：（3）【分析】 確定定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向 由題意

8、可知Q、M、N三點(diǎn)在同一條直線 上，M、N隨著Q點(diǎn)的移動(dòng)而移動(dòng) 畫出動(dòng)態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖畫出動(dòng)態(tài)me的三種情況，如圖、在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程此問(wèn)所用到的方法和案例1有所不同，這時(shí)只知道P、Q兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的速度，所以動(dòng)態(tài)me的CM邊不能直接用f的式子表示出來(lái)，此題的PC=4-f，CN=l+f，接下來(lái)就要圍繞者PC，CN兩邊來(lái)建立方程。如圖，當(dāng)MP=MC，而MN丄PC,則N點(diǎn)為PC中點(diǎn)，有PC=2NC,有：一二如圖，當(dāng)CM=CP時(shí)，CM=CP=,CN=.匚，而由圖中可以知RtMNC與RtCMCM 4-i1+r11_ 二_ _t =ABC公共

9、/ACB根據(jù)“A”型相似或平行相似，CACB ,54,解得：9優(yōu)秀學(xué)習(xí)資獰_ 歡迎下載如圖，當(dāng)PM=PC時(shí)，PM=PC= 4-i，貝U PN=CN PC=2f-3,RtMNC與RtABC公共/ACB本應(yīng)該利用這種平行相似關(guān)系建立方程，可RtMNC只有一邊CN可以由f表示優(yōu)秀學(xué)習(xí)資獰_ 歡迎下載出來(lái)，只有利用其它方法建立等式，由上可知RtMN沖的PM、PN都可以用一表示出來(lái)，只差最后一邊MN沒(méi)有用一表示出來(lái)，這里剛好可以利用RtMN（與RtABC相似把MN也MN CN MN1+iJ 、- -二-_一（1. +） _ _ 一用一表示出來(lái)，f二，二 -，則MN= .，最后我們利用在RtMN沖存在勾股

10、定理，完成建立方程的步驟，丄二:.-J-J ,211103f _ _綜上所述當(dāng) 一e、或一 L 時(shí)，APMC為等腰三角形二、兩動(dòng)點(diǎn)在兩條平行線上同向運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在另一邊上運(yùn)動(dòng)的等腰三角形問(wèn)題【案例3】（2008溫州）如圖（4），在RtABC中，/A=90?,AB=6,AC=8,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ丄BC于Q,過(guò) 點(diǎn)Q作QR/BA交AC于R,當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng).設(shè)BQ=x,QR=y.DH=-（1） 求點(diǎn)D到BC的距離DH的長(zhǎng)；（過(guò)程略，f ）3 *y=-x+6（2） 求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍，過(guò)程略

11、，:）;（3） 是否存在點(diǎn)卩，使厶PQR為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（3）【分析】確定定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向 由題意可知，點(diǎn)Q隨點(diǎn)P向右移動(dòng)而向右 平行移動(dòng)，而點(diǎn)R又隨Q的移動(dòng)而移動(dòng)。 畫出動(dòng)態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖 畫出動(dòng) 態(tài)的三種情況，如圖、2尹記+（2“=103廠(-1舍)H(4)-(-x + 6)3-x-=_.，由題意可知Z1+Z2=90 ,/C+ZB=90，/2=ZB,則/ 仁/C,QM .PQ即RtQMPsRtCAB,二.1i，即3-xIQ812二丄ul，解得18X 512-x+6如圖，當(dāng)QP=QR時(shí)，1=,解得r如圖，當(dāng)RP=RQ

12、時(shí)，過(guò)R作RN丄PQ于N，貝U NQ= PQ=,ZNQRZRQC=90,ZRQC +ZC=90 ,則ZNQRZC,貝U RtQNRsRtCAB，上nJ，即戈二I3:-尹+615I，解得1,在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方DH=-i+6根據(jù)題意我們可知，PQ=f,BQ=x,RQ=，建立等式模型時(shí)，和案例1相同，我們這里要把一個(gè)等腰三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等的直角三角形。如圖，當(dāng)PQ=PR，過(guò)P作PM丄RQ于M,M點(diǎn)為RQ中點(diǎn),案例3(3)圖案例3(3)圖H Q案例3(3)圖優(yōu)秀學(xué)習(xí)資獰_ 歡迎下載1815綜上所述，當(dāng)丄為，或6，或時(shí)，PQR為等腰三角形?！揪毩?xí)】

13、（2009江西）如圖（5），在等腰梯形.；二二：中，丄，二是”上的中點(diǎn), 過(guò)點(diǎn)二作廠交上于點(diǎn)：（1）求點(diǎn)二到一的距離；（過(guò)程略，二到_的距離為.-J（2）點(diǎn)為線段丄上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)丄作二2F交一于點(diǎn)二,過(guò)二作門工|、U交折線 蟲DC于點(diǎn)M，連結(jié)設(shè)EP二x.1當(dāng)點(diǎn)I在線段一匚 上時(shí)，如圖（6） , 一 的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出二二：的周長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；（過(guò)程略，U的周長(zhǎng)s乙-二-：.）2當(dāng)點(diǎn)：；在線段丄卜】上時(shí)，如圖（7）,是否存在點(diǎn)丄，使一丄C為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的:.的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由C優(yōu)秀學(xué)習(xí)資獰_ 歡迎下載圖（6）解：（3）【分析】確定定點(diǎn)、動(dòng)

14、點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向（請(qǐng)讀者自行在圖（7）中完成）畫出動(dòng)態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖（請(qǐng)讀者自行在練習(xí)圖中完成）3在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方練習(xí)（2-2）圖練習(xí)（2-2）圖練習(xí)（2-2）圖優(yōu)秀學(xué)習(xí)資獰_ 歡迎下載點(diǎn)撥：當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PMN勺形狀發(fā)生改變，但MNC恒為等邊三角形。過(guò)E作EG丄BC于G PM=EG=l；，GM=EP=，MN=NC=MC=5-，此問(wèn)用到的方法與案例3類似，只不過(guò)這題/B的度數(shù)更為特殊，由等腰三角形分解為直角三角形就為30的直角三角形，所以用銳角三角函數(shù)比相似更容易建立方程，此問(wèn)答案為當(dāng)二或J _4時(shí)，PMN為等腰三角形

15、，過(guò)程請(qǐng)讀者自行完成。三、兩動(dòng)點(diǎn)在同一直線上運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)在另一邊上運(yùn)動(dòng)的等腰三角形問(wèn)題【案例4】（2009懷化）如圖（8），在直角梯形OABC中，OA/CB,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo) 分別為A（15,0） ,B（10,12）,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、B兩點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單 位的速度沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿BC向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P停止 運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).線段OB、PQ相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE/OA,交AB于 點(diǎn)E,射線QE交丄軸于點(diǎn)F.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒）.5（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PABQ是等腰梯形，請(qǐng)寫出推理過(guò)程；（過(guò)程略，t ）（2） 當(dāng)t=2秒時(shí)

16、，求梯形OFBC的面積；（過(guò)程略，S=174）（3）當(dāng)t為何值時(shí)，PQF是等腰三角形？請(qǐng)寫出推理過(guò)程.解：（3）【分析】確定定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向點(diǎn)P、F同向向x軸右移動(dòng)，點(diǎn)Q在與x軸平行的BC上向左移動(dòng)畫出動(dòng)態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思 想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程點(diǎn)撥：此題由于動(dòng)態(tài)PQF的三邊任何時(shí)候都可以表示出來(lái)，所以分析可以忽略，直接把三邊表示出來(lái)（表示三邊的過(guò)程用到了相似與勾股定理），令其兩兩分別相等建立方程。由題意可知QB=t,OP=2t，可推到出AF=2t，進(jìn)而PF=15-2t+2t=15,QP=：、iJU”：y：QF=I：I j I，

17、丨I 優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載19當(dāng)一丄一二_ 1當(dāng)PQ=PF時(shí)，則一二心=15，解得一或動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)二；出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿：軸向左作勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿射線DE的方向作勻速運(yùn)動(dòng).設(shè) 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為-秒.p3=t I（1）請(qǐng)用含f的代數(shù)式分別表示出點(diǎn)C與點(diǎn)P的坐標(biāo)；（答案：C0-hO）,I弓丿）（2）以點(diǎn)C為圓心、個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的與：軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），連接PA、PB.當(dāng)匚與射線DE有公共點(diǎn)時(shí)，求一的取值范圍；當(dāng)QP=QF時(shí)，則712a+(W-3i)，解得5/ =-6當(dāng)FQ=FP時(shí)，則J=15，解得 _ 或14(舍)1t 綜上

18、所述， 當(dāng);195L ，三時(shí)，PQF是等腰三角形.【拓展】（2009江蘇）如圖（9-1），已知射線DE與；軸和；軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)圖（9-1）優(yōu)秀學(xué)習(xí)資獰_ 歡迎下載解：（2-2）【分析】 確定定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向A、B同向向x軸左移動(dòng)，P點(diǎn)由點(diǎn)D向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)畫出動(dòng)態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上， 利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程點(diǎn)撥：此題由于動(dòng)態(tài)PAB的三邊任何時(shí)候都可以表示出來(lái)，所以分析可以忽略，直接把三邊表示出來(lái)（表示三邊的過(guò)程用到了相似與勾股定理），令其兩兩分別相等建立方程。如圖（9-2）由題意可知1一IMC=t，BC=CA=，貝UMB=BC=CA=1一L，進(jìn)而AB=t，優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載19自行完成。新課程實(shí)施以來(lái)，以動(dòng)點(diǎn)幾何為背景的壓軸題,以等腰三角形為重要考點(diǎn)，是近年來(lái)中考?jí)狠S題中的一種重要題型。 這類試題將代數(shù)和幾何的眾多知識(shí)有效整合,能有效考查學(xué)生分析新問(wèn)題和解決新問(wèn)題的能力，將解等腰三角形的所涉及到的分類思想,數(shù)形結(jié)合、化歸、方程思想（根據(jù)勾股定理，相似，銳角三