第八講定積分的概念與微積分基本定理的練習(xí)題答案

1、第八講：定積分的概念與微積分基本定理的練習(xí)題答案一、 單項選擇題（每小題4分，共24分）1設(shè)初等函數(shù)在區(qū)間有定義，則在上一定 （C）A可導(dǎo) B可微C可積 D不連續(xù)解：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)必連續(xù)，連續(xù)必可積。2若連續(xù)，下列各式正確的是 （D）A BC D解：選D3下列關(guān)系式中正確的是 （B）A BC D以上都不對解：（1）在區(qū)間內(nèi)：（2）由比較定理： 選B4下列各式中，正確的是 （B）A BC D以上都不對解：（1）令， （2）由估值定理：5下列函數(shù)在區(qū)間上可用牛頓萊布尼茲公式的是 （A）A B C D解：，選A6設(shè)在上，記，則有 （B）A BC D解：選B二、填空題（每小題4分，共24分）7

2、解：原式= 8設(shè)連續(xù)，且，則解： 9設(shè)連續(xù)，則 解： =10設(shè)則解：令， ，11設(shè)連續(xù)，且則解：，令，故 12設(shè)，則y的極小值為 解：（1）駐點，（2）為極小值點，（）極小值三、 計算題（每小題8分，共64分）13方程，確定，求解：（1）（2）當(dāng)時， （3），故有14設(shè)在連續(xù)，且滿足，求 解：（1）在連續(xù)，令（2） 故有（3）15討論方程在區(qū)間內(nèi)實根的個數(shù)解：（1）令故至多有一實根（2）在連續(xù)，且由零點定理，至少有一實根（3）綜上所述：在有且僅有一個實根16設(shè)在連續(xù)，且在單調(diào)減少，討論在區(qū)間的單調(diào)性解：，由積分中值定理 在，故在單調(diào)減少17求解：原式= =18設(shè)其中為連續(xù)函數(shù)，求解：19設(shè)，且

3、可導(dǎo)，求解：（1）且（2），由得，故有20若為連續(xù)的奇函數(shù)，判別的奇偶性解：令故為偶函數(shù)同理：若為連續(xù)偶函數(shù)，則為奇函數(shù)四、綜合題（每小題10分，共20分）21設(shè)討論在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性解：（1）且故在處連續(xù)（2），故在處可導(dǎo)22利用拉格郎日中值定理的推論，計算之值，其中解：（1）令由拉格郎日中值定理的推論知：（2）確定常數(shù) C，故有五、證明題（每小題9分，共18分）23證明證：（1）令（2）。令，駐點（3），（4）比較上述函數(shù)值大小：，由估值定理知： 證畢24若在連續(xù)，且，又，證明在有且只有一實根證：（1）在單調(diào)增，故在至多有一實根（2）在連續(xù)，且，由零點定理知：在至少有一實根（3）綜上所述

4、：在有且只有一實根 證畢選作題：若為連續(xù)偶函數(shù)，判別的奇偶性，（a為常數(shù)）解：（1）當(dāng)時，為奇函數(shù)（2）時，=偶函數(shù)+奇函數(shù)=非奇非偶函數(shù)第九講：定積分的計算方法與廣義積分的練習(xí)題答案一、單項選擇題（每小題4分，共24分）1設(shè)是的一個原函數(shù)，則 （ A ）A BC D解：（1）（2）原式= 選A2已知，則 （ B ）A1 B2 C3 D4解:原式= 選B3下列積分為零的是 （ D ）A BC D解：為奇函數(shù)，為偶函數(shù)為奇函數(shù)，故 選D4下列廣義積分收斂的是 （ A ）A BC D解：收斂（或） 選A5 （ C ）A0 B1 C2 D解：原式=選C6設(shè)為線性函數(shù)，且則 （ C ）A BC D解：

5、（1）（2）故選C二、填空題（每小題4分，共24分）7= 解：原式= 8 解：原式=9 解：原式=10，則 解：原式=11 解：原式=12設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則 解：，原式=0三、計算題（每小題8分，共64分）13解：原式=14解：原式=15設(shè)，求解：16設(shè)求解：17解：原式=18解：原式=19解：令，即當(dāng)，原式=20已知，求解：原式=四、綜合題（每小題10分，共20分）21設(shè)在區(qū)間連續(xù)，證明并由此計算解：（1）又（2）計算：令 22設(shè)連續(xù)，證明并由此計算解：（1）（2）計算五、證明題（每小題9分，共18分）23設(shè)，證明證：令 移項 證畢24設(shè)在連續(xù)，證明證：左式=右式注：本題可用二重積分的交換積分

6、次序證明選作題：計算題解：令，當(dāng)，當(dāng)原式= =第十講：定積分的應(yīng)用的練習(xí)題答案一、單項選擇題（每小題4分，共24分）1設(shè)在連續(xù)，則曲線與直線，所圍平面圖形的面積為 （ C ）A BC D解： 選C2曲線及拋物線所圍平面圖形的面積 （ A ）A B6 C D解：選A3若曲線與所圍平面圖形的面積為，則 （ B ）A0 B1 C-2 D2解：（1）交點（2）選B4在上，曲線與直線所圍圖形面積 （ A ）A B C D解：選A5曲線，與所圍平面圖形。繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積 （ C ）A B C D解： 選C6由曲線軸所圍平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積 （ D ）A B C D解： 選D二、填空題（

7、每小題4分。共24分）7橢圓的面積 解： 8曲線與所圍平面圖形的面積 解：9曲線與直線及所圍平面圖形的面積 解：10曲線及所圍圖形的面積 解：11曲線及所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的體積= 解：12曲線及所圍平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積 解：注：（柱殼法）三、計算題（每小題8分，共64分）13求由曲線與，所圍平面圖形面積解：（1）畫出平面圖形（2）為了不分塊，選x為積分變量面積 14求由及所圍平面圖形的面積解：（1）畫出平面圖形（2）（3）為了不分塊，選y為積分變量面積 15求由曲線及其它在點的法線與x軸所圍平面圖形的面積解：（1）求法線方程：法線方程：即（2）畫出平面圖形 注：16利用極坐標(biāo)計算

8、曲線與所圍平面圖形的面積解：（1）畫出平面圖形，（2）17求由曲線所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積解：（1）畫出平面圖形（2）18求由曲線所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積解：（1）畫出平面圖形（2）19求由曲線與及x軸所圍平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)的體積解：（1）畫出平面圖形（2）注：20求圓繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積解：（1）畫出平面圖形（2）四、證明題（本題8分）21設(shè)為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，證明在內(nèi)存在唯一點，使直線將所圍曲面梯形的面積二等分解：（1）畫出示意圖（2）（3）單調(diào)增加，故在至多有一實根（4）在連續(xù)，且，由零點定理知：在至少有一點使（5）綜上所述：在有且只有一點使 證畢五、綜合題

9、（每小題10分，共30分）22求曲線與曲線在點處的法線所圍圖形的面積解：（1）求法線方程：法線方程：即（2）畫出平面圖形或（3）選擇y為積分變量23求由曲線所圍平面圖形分別繞x軸y軸旋轉(zhuǎn)的體積及解：（1）畫出平面圖形交點或（2）（3）24設(shè)曲線，問t為何值時，圖中的陰影部分面積與之和最小解：（1）選擇y為積分變量（2）（3）求極值令，駐點，為極小值點，由單峰原理，也是最小值點答：當(dāng)時最小第十一講：向量代數(shù)的練習(xí)題答案一、單項選擇題（每小題4分，共24分）1已知且，則k= （ B ）A1 BCD解：（） 故（）選B設(shè)，且與互相垂直，則（C）ABCD解：（）（）選C垂直且同時垂直于y 軸的單位向量

10、（D）ABCD解：又選D設(shè)且，則必有（D）ABCD解：要使且成立，即至少有一個為零向量，故選D已知，則=（C）ABCD解：（）（）選C已知則（B）ABCD解：（），故有（）選B二、填空題（每小題分，共24分）若是向量的方向角，則解：設(shè)，則在上的投影解：設(shè)與互相垂直，則m解：，故10設(shè)，互相平行，則y 解：故有11已知，則解：故12設(shè)則解：故三、計算題（每小題8分，共64分）13已知向量的起點為求向量的終點B的坐標(biāo)解：設(shè)B的坐標(biāo)為，故有答： B點坐標(biāo)B（3，2，9）14求的模，反向余弦及與同方向的單位向量解：（1） （2）（3）與同向的單位向量15已知，求解：（1）（2）（3）16設(shè)求解：=注意到=0，=0，=原式=2=2=17求與共線，且與的數(shù)量積為的向量解：（1）設(shè) （2）與共線故代入得 代入得即18設(shè)求解：（1）（2）19設(shè)求以為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長度解：（1）