第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)

1、第一章集合與常用邏輯用語(yǔ) §1.1 集合的概念與運(yùn)算一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.集合：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合.2.元素：集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素，簡(jiǎn)稱元.3.子集：如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素（若則），則稱集合A為集合B的子集，記為AB或BA；如果AB，并且AB，這時(shí)集合A稱為集合B的真子集，記為AB或BA.4.集合的相等：如果集合A、B同時(shí)滿足AB、BA，則A=B.5.補(bǔ)集：設(shè)AS，由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集，記為 .6.全集：如果集合S包含所要研究的各個(gè)集合，這時(shí)S可以看做一個(gè)全集，全集通常記作U.7.交集

2、：一般地，由所有屬于集合A且屬于B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的交集，記作AB.8.并集：一般地，由所有屬于集合A或者屬于B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的并集，記作AB.9.空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作.10.有限集：含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集.11.無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合稱為無(wú)限集.12.集合的常用表示方法：列舉法、描述法、圖示法（Venn圖）.13.常用數(shù)集的記法：自然數(shù)集記作N，正整數(shù)集記作N+或N，整數(shù)集記作Z，有理數(shù)集記作Q，實(shí)數(shù)集記作R. 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.符號(hào)，=，表示集合與集合之間的關(guān)系，其中“”包括“”和“=”兩種情況，同樣“”包括“”和“=”兩種情況.

3、符號(hào)，表示元素與集合之間的關(guān)系.要注意兩類不同符號(hào)的區(qū)別.2.在判斷給定對(duì)象能否構(gòu)成集合時(shí)，特別要注意它的“確定性”，在表示一個(gè)集合時(shí)，要特別注意它的“互異性”、“無(wú)序性”.3.在集合運(yùn)算中必須注意組成集合的元素應(yīng)具備的性質(zhì).4.對(duì)由條件給出的集合要明白它所表示的意義，即元素指什么，是什么范圍用集合表示不等式（組）的解集時(shí)，要注意分辨是交集還是并集，結(jié)合數(shù)軸或文氏圖的直觀性幫助思維判斷空集是任何集合的子集，但因?yàn)椴缓糜梦氖蠄D形表示，容易被忽視，如在關(guān)系式中，B=易漏掉的情況.5.若集合中的元素是用坐標(biāo)形式表示的，要注意滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形是什么，用數(shù)形結(jié)合法解之.6.若集合中含有參數(shù)，須對(duì)參

4、數(shù)進(jìn)行分類討論，討論時(shí)既不重復(fù)又不遺漏.7.在集合運(yùn)算過(guò)程中要借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)平面、Venn圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來(lái).8.要注意集合與方程、函數(shù)、不等式、三角、幾何等知識(shí)的密切聯(lián)系與綜合使用. 9.含有n個(gè)元素的集合的所有子集個(gè)數(shù)為：，所有真子集個(gè)數(shù)為：-1 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 已知集合M=y|y =x21,xR,N=y|y =x1,xR，則MN=（ ）A（0，1），（1，2） B（0，1），（1，2）Cy|y=1,或y=2 Dy|y1錯(cuò)解：求MN及解方程組 得 或 選B錯(cuò)因：在集合概念的理解上，僅注意了構(gòu)成集合元素的共同屬性，而忽視了集合的元素是什么事實(shí)上M、N的元素是數(shù)而不是實(shí)數(shù)對(duì)

5、(x,y)，因此M、N是數(shù)集而不是點(diǎn)集,M、N分別表示函數(shù)y=x21(xR)，y=x1(xR)的值域，求MN即求兩函數(shù)值域的交集正解：M=y|y=x21,xR=y|y1， N=y|y=x1,xR=y|yRMN=y|y1y|(yR)=y|y1, 應(yīng)選D注：集合是由元素構(gòu)成的，認(rèn)識(shí)集合要從認(rèn)識(shí)元素開始，要注意區(qū)分x|y=x21、y|y=x21,xR、(x,y)|y=x21,xR，這三個(gè)集合是不同的例2 已知A=x|x23x2=0,B=x|ax2=0且AB=A，求實(shí)數(shù)a組成的集合C錯(cuò)解：由x23x2=0得x=1或2當(dāng)x=1時(shí)，a=2， 當(dāng)x=2時(shí)，a=1錯(cuò)因：上述解答只注意了B為非空集合，實(shí)際上，B

6、=時(shí)，仍滿足AB=A.當(dāng)a=0時(shí)，B=，符合題設(shè)，應(yīng)補(bǔ)上，故正確答案為C=0，1，2正解：AB=A BA 又A=x|x23x2=0=1，2B=或 C=0，1，2例3已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，則有： （ ）Am+nA B. m+nB C.m+nC D. m+n不屬于A，B，C中任意一個(gè)錯(cuò)解：mA，m=2a,a,同理n=2a+1,aZ, m+n=4a+1,故選C錯(cuò)因是上述解法縮小了m+n的取值范圍.正解：mA, 設(shè)m=2a1,a1Z, 又n,n=2a2+1,a2 Z ,m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , m+nB, 故選B.例4 已知集合A=x|x23x100，集

7、合B=x|p1x2p1若BA，求實(shí)數(shù)p的取值范圍錯(cuò)解：由x23x100得2x5欲使BA，只須 p的取值范圍是3p3.錯(cuò)因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"這一結(jié)論，即B=時(shí)，符合題設(shè) 正解：當(dāng)B時(shí)，即p12p1p2.由BA得：2p1且2p15.由3p3. 2p3當(dāng)B=時(shí)，即p1>2p1p2.由、得：p3.點(diǎn)評(píng)：從以上解答應(yīng)看到：解決有關(guān)AB=、AB=，AB等集合問(wèn)題易忽視空集的情況而出現(xiàn)漏解，這需要在解題過(guò)程中要全方位、多角度審視問(wèn)題例5 已知集合A=a,ab,a2b，B=a,ac,ac2若A=B，求c的值分析：要解決c的求值問(wèn)題，關(guān)鍵是要有方程的數(shù)學(xué)思想，此題

8、應(yīng)根據(jù)相等的兩個(gè)集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性，無(wú)序性建立關(guān)系式 解：分兩種情況進(jìn)行討論 （1）若ab=ac且a2b=ac2，消去b得：aac22ac=0，a=0時(shí)，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故a0c22c1=0，即c=1，但c=1時(shí)，B中的三元素又相同，此時(shí)無(wú)解（2）若ab=ac2且a2b=ac，消去b得：2ac2aca=0，a0，2c2c1=0，即(c1)(2c1)=0，又c1，故c=點(diǎn)評(píng)：解決集合相等的問(wèn)題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進(jìn)行檢驗(yàn).例6 設(shè)A是實(shí)數(shù)集，滿足若aA，則A，且1ÏA.若2A，則A中至少還有幾個(gè)元素？求出這幾個(gè)

9、元素.A能否為單元素集合？請(qǐng)說(shuō)明理由.若aA，證明：1A.求證：集合A中至少含有三個(gè)不同的元素.解：2A Þ 1A Þ A Þ 2A A中至少還有兩個(gè)元素：1和如果A為單元素集合，則a即0該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，A不可能是單元素集aA Þ A Þ AÞA，即1A由知aA時(shí)，A， 1A .現(xiàn)在證明a,1, 三數(shù)互不相等.若a=,即a2-a+1=0 ，方程無(wú)解，a若a=1，即a2-a+1=0，方程無(wú)解a1 若1 =，即a2-a+1=0，方程無(wú)解1.綜上所述，集合A中至少有三個(gè)不同的元素.點(diǎn)評(píng)：的證明中要說(shuō)明三個(gè)數(shù)互不相等，否則證明

10、欠嚴(yán)謹(jǐn).例7 設(shè)集合A=|=,N+，集合B=|=,N+，試證：AB證明：任設(shè)A， 則=(2)24(2)5 (N+), nN*， n2N* aB故 顯然，1，而由B=|=,N+=|=，N+知1B，于是AB 由、 得AB點(diǎn)評(píng)：（1）判定集合間的關(guān)系，其基本方法是歸結(jié)為判定元素與集合之間關(guān)系（2）判定兩集合相等，主要是根據(jù)集合相等的定義四、典型習(xí)題導(dǎo)練1集合A=x|x23x100，xZ，B=x|2x2x60， x Z，則AB的非空真子集的個(gè)數(shù)為（） A16          B14 C15&

11、#160;        D322數(shù)集1，2，x23中的x不能取的數(shù)值的集合是（）A2，-2     B2，  C±2，±      D，3. 若P=y|y=x2,xR，Q=y|y=x21,xR，則PQ等于（ ）APBQ C D不知道4. 若P=y|y=x2,xR，Q=(x，y)|y=x2,xR，則必有（ ）APQ= BP Q CP=Q DP Q5若集合M，N|，則MN（ ）A

12、 BC D6.已知集合A=x|x2(m2)x1=0,xR，若AR=，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_7.（06高考全國(guó)II卷）設(shè)，函數(shù)若的解集為A，求實(shí)數(shù)的取值范圍。8.已知集合A=和B=滿足AB=，AB=，I=R，求實(shí)數(shù)a,b的值.§1.2常用邏輯用語(yǔ)一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1邏輯聯(lián)結(jié)詞：“且”、“或”、 “非”分別用符號(hào)“”“”“”表示.2命題：能夠判斷真假的陳述句 3簡(jiǎn)單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題4復(fù)合命題：由簡(jiǎn)單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題，復(fù)合命題的基本形式：p或q；p且q；非p5四種命題的構(gòu)成：原命題：若p則q； 逆命題：若q則p；否命題：若p 則q ；逆否命題：若q 則p.6原命題與逆否命題同

13、真同假，是等價(jià)命題，即“若p則q”“若q 則p ” .7反證法：欲證“若p則q”，從“非q”出發(fā)，導(dǎo)出矛盾，從而知“若p則非q”為假，即“若p則q”為真 . 8充分條件與必要條件 ：pq ：p是q的充分條件；q是p的必要條件； pq ：p是q的充要條件 . 9常用的全稱量詞：“對(duì)所有的”、“ 對(duì)任意一個(gè)”“ 對(duì)一切”“ 對(duì)每一個(gè)”“任給”等；并用符號(hào)“” 表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱命題.10常用的存在量詞：“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“有些”、“有一個(gè)”、 “有的”、“對(duì)某個(gè)”； 并用符號(hào)“”表示.含有存在量詞的命題叫做特稱命題.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1基本題型及其方法 （1）由給定的復(fù)合命

14、題指出它的形式及其構(gòu)成；（2）給定兩個(gè)簡(jiǎn)單命題能寫出它們構(gòu)成的復(fù)合命題，并能利用真值表判斷復(fù)合命題的真假；（3）給定命題，能寫出它的逆命題、否命題、逆否命題，并能運(yùn)用四種命題的相互關(guān)系，特別是互為逆否命題的等價(jià)性判斷命題的真假.注意：否命題與命題的否定是不同的.（4）判斷兩個(gè)命題之間的充分、必要、充要關(guān)系； 方法：利用定義（5）證明的充要條件是；方法：分別證明充分性和必要性（6）反證法證題的方法及步驟：反設(shè)、歸謬、結(jié)論.反證法是通過(guò)證明命題的結(jié)論的反面不成立而肯定命題的一種數(shù)學(xué)證明方法，是間接證法之一.注：常見關(guān)鍵詞的否定：關(guān)鍵詞是都是（全是）（）至少有一個(gè)至多有一個(gè)任意存在否定不是不都是（全

15、是）（）一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)存在任意2全稱命題與特稱命題的關(guān)系：全稱命題p:,它的否定:；特稱命題p:,它的否定:；即全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題.否定一個(gè)全稱命題可以通過(guò)“舉反例”來(lái)說(shuō)明.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 把命題“全等三角形一定相似”寫成“若p則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命題與逆否命題.錯(cuò)解：原命題可改寫成：若兩個(gè)三角形全等，則它們一定相似.逆命題：若兩個(gè)三角形相似，則它們?nèi)?否命題：若兩個(gè)三角形不一定全等，則它們不一定相似.逆否命題：若兩個(gè)三角形不一定相似，則它們不一定全等.錯(cuò)因：對(duì)“一定”的否定把握不準(zhǔn)，“一定”的否定 “一定不”，在邏輯知識(shí)中求否定相當(dāng)

16、于求補(bǔ)集，而“不一定”含有“一定”的意思.對(duì)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)要多與日常生活中的例子作比較，注意結(jié)合集合知識(shí).因而否命題與逆否命題錯(cuò)了.正解：否命題：若兩個(gè)三角形不全等，則它們不相似.逆否命題：若兩個(gè)三角形不相似，則它們不全等.例2 將下列命題改寫成“若p則q”的形式，并寫出否命題.a>o時(shí)，函數(shù)y=ax+b的值隨x值的增加而增加.錯(cuò)解：原命題改為：若a>o時(shí)，x的值增加，則函數(shù)y=ax+b的值也隨著增加.錯(cuò)因：如果從字面上分析最簡(jiǎn)單的方法是將a>o看作條件，將“隨著”看作結(jié)論，而x的值增加，y的值也增加看作研究的對(duì)象，那么原命題改為若a>o時(shí)，則函數(shù)y=ax+b的值隨著x

17、的值增加而增加，其否命題為若ao時(shí)，則函數(shù)y=ax+b的值不隨x值的增加而增加.此題錯(cuò)解在注意力集中在“增加”兩個(gè)字上，將x值的增加當(dāng)做條件，又不把a(bǔ)>o看作前提，就變成兩個(gè)條件的命題，但寫否命題時(shí)又沒按兩個(gè)條件的規(guī)則寫，所以就錯(cuò)了.正解：原命題改為： a>o時(shí)，若x的值增加，則函數(shù)y=ax+b的值也隨著增加.否命題為： a>o時(shí)，若x的值不增加，則函數(shù)y=ax+b的值也不增加.原命題也可改為：當(dāng)x的值增加時(shí)，若a>o，則函數(shù)y=ax+b的值也隨著增加.否命題為： 當(dāng)x增加時(shí)，若ao，則函數(shù)y=ax+b的值不增加.例3 已知h>0，設(shè)命題甲為：兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b滿足，

18、命題乙為：兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b滿足且，那么 A甲是乙的充分但不必要條件 B甲是乙的必要但不充分條件C甲是乙的充要條件 D甲是乙的既不充分也不必要條件錯(cuò)解：,故本題應(yīng)選C.錯(cuò)因：（1）對(duì)充分、必要、充要條件的概念分不清，無(wú)從判斷，憑猜測(cè)產(chǎn)生錯(cuò)誤；（2）不能運(yùn)用絕對(duì)值不等式性質(zhì)作正確推理而產(chǎn)生錯(cuò)誤.正解：因?yàn)?所以兩式相減得故即由命題甲成立推出命題乙成立，所以甲是乙的必要條件.由于同理也可得因此，命題甲成立不能確定命題乙一定成立，所以甲不是乙的充分條件，故應(yīng)選B.例4 已知命題甲：a+b4, 命題乙:a且b，則命題甲是命題乙的 .錯(cuò)解：由逆否命題與原命題同真同假知，若a=1且b=3則a+b=4成立，所以

19、命題甲是命題乙的充分不必要條件.錯(cuò)因 ：對(duì)命題的否定不正確.a且b的否定是a=1或b=3.正解：當(dāng)a+b4時(shí),可選取a=1,b=5，故此時(shí)a且b不成立(a=1).同樣，a,且b時(shí)，可選取a=2,b=2,a+b=4，故此時(shí)a+b=4.因此，甲是乙的既不充分也不必要條件.注：a且b為真時(shí)，必須a,b同時(shí)成立.例5 已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q成立的 ( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件分析：本題考查簡(jiǎn)易邏輯知識(shí).因?yàn)閜rsq但r成立不能推出p成立，所以,但q成立不能推出p成立，所以選A解：選A 例6 已知關(guān)于x的一元二

20、次方程 (mZ) mx24x40 x24mx4m24m50 求方程和都有整數(shù)解的充要條件.解：方程有實(shí)根的充要條件是解得m1.方程有實(shí)根的充要條件是，解得故m=1或m=0或m=1. 當(dāng)m=1時(shí)，方程無(wú)整數(shù)解.當(dāng)m=0時(shí)，無(wú)整數(shù)解；當(dāng)m=1時(shí)，都有整數(shù).從而都有整數(shù)解m=1.反之，m=1都有整數(shù)解.都有整數(shù)解的充要條件是m=1.例7 用反證法證明：若、，且，則、中至少有一個(gè)不小于0證明： 假設(shè)、均小于0，即： - ； - ； -； +得， 這與矛盾， 則假設(shè)不成立， 、中至少有一個(gè)不小于0 例8 已知命題p:方程x2mx1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根；命題q:方程4x24(m2)x10無(wú)實(shí)根若“p或q”為真，“p且q”為假，求m的取值范圍分析：“p或q”為真，則命題p、q至少有一個(gè)為真，“p且q”為假，則命題p、q至少有一為假，因此，兩命題p、q應(yīng)一真一假，即命題p為真，命題q為假或命題p為假，命題q為真.解： 若方程x2mx1=0有兩不等的負(fù)根，則解得m2，即命題p：m2若方程4x24(m2)x10無(wú)實(shí)根，則16(m2)21616(m24m3)0