有限元第7章-流體流動(dòng)問(wèn)題的有限元法

1、7 流體流動(dòng)問(wèn)題的有限元法本章應(yīng)用加權(quán)余量法，將求解域的微分方程，轉(zhuǎn)化為積分表達(dá)式，然后通過(guò)求積分的極值，找到原問(wèn)題的解。7-1 問(wèn)題的提出如果可以找到與微分方程對(duì)應(yīng)的泛函積分表達(dá)式，則可以通過(guò)變分原理，建立有限元格式。但是以下兩種情況沒有泛函：（1）解函數(shù)在求解域不連續(xù)或不可導(dǎo)；（2）無(wú)法找到與微分方程相對(duì)應(yīng)的泛函表達(dá)式。描述穩(wěn)態(tài)不可壓縮流體流動(dòng)的微分方程就沒有與之對(duì)應(yīng)的泛函表達(dá)式。而流體流動(dòng)問(wèn)題卻是工程中經(jīng)常遇到的問(wèn)題（1）車輛高速運(yùn)行時(shí)的氣動(dòng)穩(wěn)定性；（2）兩列高速運(yùn)行的列車會(huì)車時(shí)的壓力波動(dòng)；（3）列車進(jìn)入隧道時(shí)的壓力波動(dòng)；（4）建筑物的風(fēng)載荷；（5）室內(nèi)的通風(fēng)與空調(diào)；（6）橋梁的風(fēng)致振動(dòng)

2、；（7）船舶的運(yùn)行阻力；（8）飛機(jī)的升力、阻力。不論是那種原因，如果找不到與微分方程對(duì)應(yīng)的泛函表達(dá)式，那么就無(wú)法利用變分原理建立有限元的計(jì)算格式。這時(shí)我們只有尋求另外的途徑。這個(gè)途徑就是：加權(quán)余量法。二 加權(quán)余量法加權(quán)余量法的基本思想：通過(guò)使試探函數(shù)與真值的加權(quán)誤差在求解域內(nèi)的總和為零，以求得滿足微分方程的近似解。設(shè)某物理問(wèn)題的控制微分方程及其邊界條件分別為 上的邊界在域內(nèi)在域Sgf 0 0為待求函數(shù)。如果無(wú)法或不易直接求解，可選一個(gè)試探函數(shù)式中 ci待定常數(shù)； i試探函數(shù)項(xiàng)。將試探函數(shù)帶入控制微分方程及其邊界條件，一般來(lái)講不可能正好滿足方程，在域內(nèi)和邊界S上會(huì)產(chǎn)生誤差，即式中R和Rb稱為余量

3、（或殘數(shù)，殘差，殘值）。niiic1 上邊界在域內(nèi)在域SRgRfb 加權(quán)余量法的基本思想：在域內(nèi) 和/或 邊界S上尋找n個(gè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)Wi(i=1,2,n)，使余量R和Rb在加權(quán)求和的意義上等于零，即這里Wi稱為權(quán)函數(shù)。加權(quán)余量法所假設(shè)的試探函數(shù)并不能滿足微分方程及其邊界條件，但是當(dāng)加權(quán)的試探函數(shù)與真值的誤差（余量）在求解域上積分為零時(shí)，那么試探函數(shù)就在總體上滿足微分方程及其邊界條件。當(dāng)n足夠大時(shí)，試探函數(shù)就趨近于真解。0 , 0SibidWRdWR介紹兩種常用的權(quán)函數(shù)。1 最小二乘加權(quán)余量法設(shè)有滿足邊界條件的試探函數(shù)帶入控制微分方程將產(chǎn)生余量如果希望余量R在最小二乘的意義下為最?。戳頡的

4、平方和為最?。?，則構(gòu)造niiic1 fR dRcIi2)(使比較可知，權(quán)函數(shù)通過(guò)求解可求出ci，進(jìn)而得到 。nidcRRdRcccIiiii, 2 , 1 , 02)(20dWRiiicRW nidcffdcRRii, 2 , 1 , 02 伽遼金加權(quán)余量法如果選用試探函數(shù)中的試探函數(shù)項(xiàng)i作為權(quán)函數(shù)Wi，就成為伽遼金加權(quán)余量法。即在許多物理問(wèn)題控制微分方程的有限元法求解過(guò)程中，都采用伽遼金加權(quán)余量法推導(dǎo)有限元計(jì)算格式。niiic1 nidfdRdWRiii, 2 , 1 , 07-2 二維流體流動(dòng)的有限元計(jì)算格式二維穩(wěn)態(tài)可不壓縮流體流動(dòng)方程由連續(xù)方程和動(dòng)量方程描述方程中的待求變量為流體速度u,

5、v和壓力p。22222222220yvxvxpyvxuvyuxuxpyuvxuyvxu根據(jù)有限元法的計(jì)算思路，首先選取插值函數(shù)來(lái)近似描述速度u,v和壓力p在單元內(nèi)的變化情況。式中N單元形狀函數(shù)；ui, vi, pi單元節(jié)點(diǎn)處的速度和壓力值。 PNpNpVNvNvUNuNuTmiiiTmiiiTmiii111這里的插值函數(shù)，就作為加權(quán)余量法中的試探函數(shù)；其中的形狀函數(shù)，就作為加權(quán)余量法中的權(quán)函數(shù)。 0202022222222)()()(dxdyyVNxVNyPNyVNvxUNvxVNuNdxdyyUNxUNxPNyUNvyVNuxUNuNdxdyyVNxUNNTTTTTTTTTTTTTTeee經(jīng)

6、過(guò)推導(dǎo)和簡(jiǎn)化，可得單元方程為或其中分別為單元?jiǎng)偠染仃?、單元?jié)點(diǎn)列向量和單元節(jié)點(diǎn)受到的來(lái)自“鉸鏈”的“節(jié)點(diǎn)力”。 0021212222111211FFPVUCCCKKCKKTT )()()(eeeFK 0 , ,021)()(212222111211)(FFFPVUCCCKKCKKKeeTTe )()()()()(222221 ,2eeeeeSTSTTTTTTTTdyxUNNdxPNNyUNNFdxdyNyNCdxdyyNyNxNxNyNNvxNNuKdxdyxNNvK )()()()()(111211 , ,2eeeeeSTTSTTTTTTTdyPNNxUNNdxyUNNFdxdyNyNCdx

7、dyyNNuKdxdyyNyNxNxNyNNvxNNuK將 在求解區(qū)域內(nèi)分別按節(jié)點(diǎn)號(hào)疊加，就可以構(gòu)成整個(gè)流場(chǎng)的有限元計(jì)算的總體方程 )()()(eeeFK和、 求解區(qū)域單元總數(shù)。用。按節(jié)點(diǎn)號(hào)疊加的總外作；和壓力求節(jié)點(diǎn)速度按節(jié)點(diǎn)號(hào)疊加的總體待剛度矩陣；按節(jié)點(diǎn)號(hào)疊加的總流場(chǎng)其中01)(1)(1)(000 , EFFpvuKKFKEeeEeeEee7-3 流場(chǎng)有限元分析的幾個(gè)特殊問(wèn)題1 速度和壓力插值函數(shù)的階次。速度插值函數(shù)要高于壓力一階，否則方程會(huì)出現(xiàn)“病態(tài)”。2 主對(duì)角線元素為零。采用罰函數(shù)法，將壓力用速度表示。求出速度后，再計(jì)算壓力。3 剛度矩陣不對(duì)稱。原來(lái)介紹的壓縮存儲(chǔ)方法全部沒有用。4 非線性方程組需要迭代計(jì)算。小結(jié)：（1）本章討論了利用有限元法求解非結(jié)構(gòu)問(wèn)題的又一個(gè)例子流體流動(dòng)問(wèn)題的計(jì)算。所用方法為加權(quán)余量法，通過(guò)將試探函數(shù)帶入控制微分方程，基于使所產(chǎn)生的誤差（余量）在加權(quán)平均的意義上等于零的思想，來(lái)推導(dǎo)該控制方程的有限元計(jì)算格式。（2）本章簡(jiǎn)要介紹了加權(quán)余量法的基本概念，最小二乘加權(quán)余量法中權(quán)函數(shù)的計(jì)算，以及伽遼金加權(quán)余量法中權(quán)函數(shù)的確定。對(duì)于無(wú)法利用變分原理，即找不到等價(jià)的泛函極值問(wèn)題的控制微分方程有限元求解問(wèn)題，一般來(lái)講，都可以利用加權(quán)余量法推導(dǎo)其有限元計(jì)算格式。（3）本章簡(jiǎn)