高等代數(shù)課件第3章線性方程組3.2線性方程組解的結(jié)構(gòu)

1、證證必要性必要性,有解有解設(shè)方程組設(shè)方程組bAx = =( ( ) )( ( ) ),BRAR 設(shè)設(shè)則則B B的行階梯形矩陣中最后一個非零行對應(yīng)矛盾的行階梯形矩陣中最后一個非零行對應(yīng)矛盾方程，方程，( () ).,2的秩的秩陣陣的秩等于增廣矩的秩等于增廣矩矩陣矩陣的充分必要條件是系數(shù)的充分必要條件是系數(shù)有解有解元非齊次線性方程組元非齊次線性方程組定理定理bABAbxAnnm= = = 這與方程組有解相矛盾這與方程組有解相矛盾.( ( ) )( ( ) ).BRAR= =因此因此非齊次方程組的解法非齊次方程組的解法并令并令 個自由未知量全取個自由未知量全取0 0，rn- -即可得方程組的一個解即

2、可得方程組的一個解充分性充分性. .( ( ) )( ( ) ),BRAR= =設(shè)設(shè)( ( ) )( ( ) )( () ),nrrBRAR = = =設(shè)設(shè)證畢證畢個非零行，個非零行，的行階梯形矩陣中含的行階梯形矩陣中含則則rB其余其余 個作為自由未知量個作為自由未知量, ,rn- - 把這把這 行的第一個非零元所對應(yīng)的未知量作為行的第一個非零元所對應(yīng)的未知量作為非自由未知量非自由未知量, ,r小結(jié)小結(jié)有唯一解有唯一解bAx = =( ( ) )( ( ) )nBRAR= = =( ( ) )( ( ) )nBRAR = =有無窮多解有無窮多解. .bAx = =方程組的通解方程組的通解性性程

3、組的任一解，稱為線程組的任一解，稱為線定義：含有個參數(shù)的方定義：含有個參數(shù)的方非齊次線性方程組：非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；簡形矩陣，便可寫出其通解；.0,1)( 2121的解的解為對應(yīng)的齊次方程為對應(yīng)的齊次方程則則的解的解都是都是及及設(shè)設(shè)= =- -= = = = =AxxbAxxx 證明證明( () ). 021= =- -= =- -bbA . 021= =- -= =Axx滿滿足足方方程程即即 bAbA= = =21, 非齊次線性方程組解的性質(zhì)非齊次線

4、性方程組解的性質(zhì)非齊次線性方程組解的性質(zhì)非齊次線性方程組解的性質(zhì)證明證明( () ) AAA = = ,0bb = = = =.的解的解是方程是方程所以所以bAxx= = = = 證畢證畢.,0,2)( 的解的解仍是方程仍是方程則則的解的解是方程是方程的解的解是方程是方程設(shè)設(shè)bAxxAxxbAxx= = = = = = = = .11 - - - = = rnrnkkx其中其中 為對應(yīng)齊次線性方程為對應(yīng)齊次線性方程組的通解，組的通解， 為非齊次線性方程組的任意一個特為非齊次線性方程組的任意一個特解解.rnrnkk- - - 11 非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組非齊

5、次線性方程組Ax=b的通解為的通解為與方程組與方程組 有解等價的命題有解等價的命題bAx = =;, 21線線性性表表示示能能由由向向量量組組向向量量nb ;,2121等等價價與與向向量量組組向向量量組組bnn ( () )( () ).,2121的秩相等的秩相等與矩陣與矩陣矩陣矩陣bBAnn = = =線性方程組線性方程組 有解有解bAx = =線性方程組的解法線性方程組的解法（1 1）應(yīng)用克萊姆法則）應(yīng)用克萊姆法則（2 2）利用初等變換）利用初等變換特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計算量大，容易出錯，但有重要的理論價值，可計算量大，容易出錯，

6、但有重要的理論價值，可用來證明很多命題用來證明很多命題特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的各種情形，全部運算在一個矩陣（數(shù)無窮多解的各種情形，全部運算在一個矩陣（數(shù)表）中進(jìn)行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效表）中進(jìn)行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效的計算方法的計算方法例例4 4 求解方程組求解方程組 - -= = - - -= =- - - -= = - - -.2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施行初等行變換施行初等行變換對增廣矩陣對增廣矩陣B - - - - - - - -= =2132111311

7、101111B,00000212100211011 - - - -并有并有故方程組有解故方程組有解可見可見, 2)()(= = =BRAR = = = =.212,2143421xxxxx , 042= = =xx取取,2131= = =xx則則即得方程組的一個解即得方程組的一個解.021021 = = 取取中中組組在對應(yīng)的齊次線性方程在對應(yīng)的齊次線性方程,2,43421 = = = =xxxxx ,100142 = = 及及xx,210131 = = 及及則則xx程組的基礎(chǔ)解系程組的基礎(chǔ)解系即得對應(yīng)的齊次線性方即得對應(yīng)的齊次線性方,1201,001121 = = = = 于是所求通解為于是所

8、求通解為).,( ,0210211201001121214321Rccccxxxx = = = =- - = = - -= =- - = = .123438,23622, 2323, 75432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 - - - -= =12134382362120231213711111B例例5 5 求下述方程組的解求下述方程組的解 - - - - - -0000000000002362120711111( ( ) )( ( ) ).,知知方方程程組組有有解解由由BRAR= =( ( ) ), 3, 2= =- -= =rnAR又又所以方程組

9、有無窮多解所以方程組有無窮多解.且原方程組等價于方程組且原方程組等價于方程組 - - = = - - - -= = 236227543254321xxxxxxxxx求基礎(chǔ)解系求基礎(chǔ)解系.100,010,001543 = = xxx 令令依次得依次得.32,10,212121 - - - - - - -= = xx - - = = - - - -= = 236227543254321xxxxxxxxx代入代入.10032,01010,0012121321 - -= = - -= = - - -= = 求特解求特解.223,29, 021543= =- -= = = = =xxxxx得得令令所以方

10、程組的通解為所以方程組的通解為故得基礎(chǔ)解系故得基礎(chǔ)解系.0002232910032000100012121321 - - - - - - - - -= =kkkx.,321為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中kkk另一種解法另一種解法 - - - -= =12134382362120231213711111B - - - - - -0000000000002362120711111 - - -00000000000022331211029202101則原方程組等價于方程組則原方程組等價于方程組 - - - -= =- - - -= =223321292215432531xxxxxxx = = = =

11、- - - -= =- - - -= =5544335432531223322922xxxxxxxxxxxxx所以方程組的通解為所以方程組的通解為( ( ) )( ( ) )nBRAR= = =( ( ) )( ( ) )nBRAR = =有無窮多解有無窮多解. .bAx = =非齊次線性方程組非齊次線性方程組bAx = =小結(jié)小結(jié);有唯一解有唯一解bAx = =思考題思考題.,?,12105, 3153, 363, 1324321432143214321求求出出一一般般解解況況下下情情在在方方程程組組有有無無窮窮多多解解的的有有無無窮窮多多解解有有唯唯一一解解方方程程組組無無解解取取何何值值

12、時時當(dāng)當(dāng)討討論論線線性性方方程程組組tptxxxxxxpxxxxxxxxxx = = - - -= = - - -= = = = 思考題解答思考題解答 - - - - -= =tpB121051315133163113211解解 - - - - - - - -191260066402242013211tp - - -53000422001121013211tp;, 4)()(,2)1(方程組有唯一解方程組有唯一解時時當(dāng)當(dāng)= = = BRARp - - - - -1000021000112101321153000420001121013211ttB有有時時當(dāng)當(dāng),2)2(= =p;, 4)(3)(,1方程組無解方程組無解時時當(dāng)當(dāng)= = = = BRARt - - - -0000021000302108000100000210001121013211B且且., 3)()(,1方程組有無窮多解方程組有無窮多解時時當(dāng)當(dāng)