八年級數(shù)學教案：整式的乘除與因式分解

1、八年級數(shù)學教案：整式的乘除與因式分解以下是查字典數(shù)學網(wǎng)為您推薦的 整式的乘除與因式分解 ,希望本篇文章對您學習有所幫助。整式的乘除與因式分解一、學習目標：1.掌握與整式有關(guān)的概念;2.掌握同底數(shù)冪、冪的乘法法那么 ,同底數(shù)冪的除法法那么 ,積的乘方法那么;3.掌握單項式、多項式的相關(guān)計算;4.掌握乘法公式：平方差公式 ,完全平方公式。5.掌握因式分解的常用方法。二、知識點總結(jié)：1、單項式的概念：由數(shù)與字母的乘積構(gòu)成的代數(shù)式叫做單項式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式。單項式的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù) ,字母指數(shù)和叫單項式的次數(shù)。如： 的 系數(shù)為 ,次數(shù)為4 ,單獨的一個非零數(shù)的次數(shù)是0。2、多

2、項式：幾個單項式的和叫做多項式。多項式中每個單項式叫多項式的項 ,次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)。如： ,項有 、 、 、1 ,二次項為 、 ,一次項為 ,常數(shù)項為1 ,各項次數(shù)分別為2 ,2 ,1 ,0 ,系數(shù)分別為1 ,-2 ,1 ,1 ,叫二次四項式。3、整式：單項式和多項式統(tǒng)稱整式。注意：凡分母含有字母代數(shù)式都不是整式。也不是單項式和多項式。4、多項式按字母的升(降)冪排列：如：按 的升冪排列：按 的降冪排列：按 的升冪排列：按 的降冪排列：5、同底數(shù)冪的乘法法那么： ( 都是正整數(shù))同底數(shù)冪相乘 ,底數(shù)不變 ,指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項式或單項式。如：6、冪的乘方法那么： ( 都是

3、正整數(shù))冪的乘方 ,底數(shù)不變 ,指數(shù)相乘。如：冪的乘方法那么可以逆用：即如：7、積的乘方法那么： ( 是正整數(shù))積的乘方 ,等于各因數(shù)乘方的積。如：( =8、同底數(shù)冪的除法法那么： ( 都是正整數(shù) ,且同底數(shù)冪相除 ,底數(shù)不變 ,指數(shù)相減。如：9、零指數(shù)和負指數(shù); ,即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。( 是正整數(shù)) ,即一個不等于零的數(shù)的 次方等于這個數(shù)的 次方的倒數(shù)。如：10、單項式的乘法法那么：單項式與單項式相乘 ,把他們的系數(shù) ,相同字母分別相乘 ,對于只在一個單項式里含有的字母 ,那么連同它的指數(shù)作為積的一個因式。注意：積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積 ,先確定符號 ,再計算絕對值。相同字母

4、相乘 ,運用同底數(shù)冪的乘法法那么。只在一個單項式里含有的字母 ,那么連同它的指數(shù)作為積的一個因式單項式乘法法那么對于三個以上的單項式相乘同樣適用。單項式乘以單項式 ,結(jié)果仍是一個單項式。如：11、單項式乘以多項式 ,就是用單項式去乘多項式的每一項 ,再把所得的積相加 ,即 ( 都是單項式)注意：積是一個多項式 ,其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同。運算時要注意積的符號 ,多項式的每一項都包括它前面的符號。在混合運算時 ,要注意運算順序 ,結(jié)果有同類項的要合并同類項。如：12、多項式與多項式相乘的法那么;多項式與多項式相乘 ,先用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項 ,再把所的的積相加。如：13、平方差

5、公式： 注意平方差公式展開只有兩項公式特征：左邊是兩個二項式相乘 ,并且這兩個二項式中有一項完全相同 ,另一項互為相反數(shù)。右邊是相同項的平方減去相反項的平方。如：14、完全平方公式：公式特征：左邊是一個二項式的完全平方 ,右邊有三項 ,其中有兩項是左邊二項式中每一項的平方 ,而另一項為哪一項左邊二項式中兩項乘積的2倍。注意：完全平方公式的口訣：首平方 ,尾平方 ,加上首尾乘積的2倍。15、三項式的完全平方公式：16、單項式的除法法那么：單項式相除 ,把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除 ,作為商的因式 ,對于只在被除式里含有的字母 ,那么連同它的指數(shù)作為商的一個因式。注意：首先確定結(jié)果的系數(shù)(即系數(shù)相除)

6、 ,然后同底數(shù)冪相除 ,如果只在被除式里含有的字母 ,那么連同它的指數(shù)作為商的一個因式如：17、多項式除以單項式的法那么：多項式除以單項式 ,先把這個多項式的每一項除以這個單項式 ,在把所的的商相加。即：18、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法三、知識點分析：1.同底數(shù)冪、冪的運算：aman=am+n(m ,n都是正整數(shù)).(am)n=amn(m ,n都是正整數(shù)).例題1.假設(shè) ,那么a= ;假設(shè) ,那么n= .例題2.假設(shè) ,求 的值。例題3.計算練習1.假設(shè) ,那么 = .2.設(shè)4x=8y-1,且9y=27x-1,那么x-y等于 。2.積的乘方(ab)n=anbn(

7、n為正整數(shù)).積的乘方 ,等于把積的每一個因式分別乘方 ,再把所得的冪相乘.例題1. 計算：3.乘法公式平方差公式：完全平方和公式：完全平方差公式：例題1. 利用平方差公式計算：20092019-20192例題2.利用平方差公式計算： .例題3.利用平方差公式計算： .例題4.(a-2b+3c-d)(a+2b-3c-d)變式練習1.廣場內(nèi)有一塊邊長為2a米的正方形草坪 ,經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后 ,南北方向要縮短3米 ,東西方向要加長3米 ,那么改造后的長方形草坪的面積是多少?2.(3+1)(32+1)(34+1)(32019+1)- .3. 求 的值4、 ,求xy的值5.如果a +b -2a +4b +

8、5=0 ,求a、b的值6.試說明(1) 兩個連續(xù)整數(shù)的平方差必是奇數(shù)(2) 假設(shè)a為整數(shù) ,那么 能被6整除7.一個正方形的邊長增加4cm ,面積就增加56cm ,求原來正方形的邊長4.單項式、多項式的乘除運算(1)(a- b)(2a+ b)(3a2+ b2);(2)(a-b)(a+b)2(a2-2ab+b2)-2ab.(3).x2+x-1=0 ,求x3+2x2+3的值.5. 因式分解：1.提公因式法：式子中有公因式時 ,先提公因式。例1把 分解因式.分析：把多項式的四項按前兩項與后兩項分成兩組 ,并使兩組的項按 的降冪排列 ,然后從兩組分別提出公因式 與 ,這時另一個因式正好都是 ,這樣可以

9、繼續(xù)提取公因式.解：說明：用分組分解法 ,一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解 ,由此合理選擇分組的方法.此題也可以將一、四項為一組 ,二、三項為一組 ,同學不妨一試.例2把 分解因式.分析：按照原先分組方式 ,無公因式可提 ,需要把括號翻開后重新分組 ,然后再分解因式.解：說明：由例3、例4可以看出 ,分組時運用了加法結(jié)合律 ,而為了合理分組 ,先運用了加法交換律 ,分組后 ,為了提公因式 ,又運用了分配律.由此可以看出運算律在因式分解中所起的作用.2. 公式法：根據(jù)平方差和完全平方公式例題1 分解因式3.配方法：例1分解因式解：說明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法 ,配方后將二次

10、三項式化為兩個平方式 ,然后用平方差公式分解.當然 ,此題還有其它方法 ,請大家試驗.4.十字相乘法：(1). 型的因式分解這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn) ,其特點是：(1) 二次項系數(shù)是1;(2) 常數(shù)項是兩個數(shù)之積;(3) 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和.因此 ,運用這個公式 ,可以把某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式.例1把以下各式因式分解：(1) (2)解：(1)(2)說明：此例可以看出 ,常數(shù)項為正數(shù)時 ,應分解為兩個同號因數(shù) ,它們的符號與一次項系數(shù)的符號相同.例2把以下各式因式分解：(1) (2)解：(1)(2)說明：此例可以看出 ,常數(shù)項為負數(shù)時 ,應分解為兩個異號的因數(shù)

11、,其中絕對值較大的因數(shù)與一次項系數(shù)的符號相同.例3把以下各式因式分解：(1) (2)分析：(1) 把 看成 的二次三項式 ,這時常數(shù)項是 ,一次項系數(shù)是 ,把 分解成 與 的積 ,而 ,正好是一次項系數(shù).(2) 由換元思想 ,只要把 整體看作一個字母 ,可不必寫出 ,只當作分解二次三項式 .解：(1)(2)(2).一般二次三項式 型的因式分解大家知道 , .反過來 ,就得到：我們發(fā)現(xiàn) ,二次項系數(shù) 分解成 ,常數(shù)項 分解成 ,把 寫成 ,這里按斜線交叉相乘 ,再相加 ,就得到 ,如果它正好等于 的一次項系數(shù) ,那么 就可以分解成 ,其中 位于上一行 , 位于下一行.這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)

12、 ,從而將二次三項式分解因式的方法 ,叫做十字相乘法.必須注意 ,分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況 ,所以往往要經(jīng)過屢次嘗試 ,才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解.例4把以下各式因式分解：(1) (2)解：(1)(2)說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要.當二次項系數(shù)不是1時較困難 ,具體分解時 ,為提高速度 ,可先對有關(guān)常數(shù)分解 ,交叉相乘后 ,假設(shè)原常數(shù)為負數(shù) ,用減法湊 ,看是否符合一次項系數(shù) ,否那么用加法湊 ,先湊絕對值 ,然后調(diào)整 ,添加正、負號.練習1、 , ,求 的值。2、 假設(shè)x、y互為相反數(shù) ,且 ,求x、y的值提高練習1.(2x2-4x-10xy)( )= x

13、-1- y.2.假設(shè)x+y=8 ,x2y2=4 ,那么x2+y2=_.3.代數(shù)式4x2+3mx+9是完全平方式那么m=_.4.(-a+1)(a+1)(a2+1)等于( )(A)a4-1 (B)a4+1 (C)a4+2a2+1 (D)1-a45.a+b=10 ,ab=24 ,那么a2+b2的值是 ( )(A)148 (B)76 (C)58 (D)526.(2)( +3y)2-( -3y)2;(2)(x2-2x-1)(x2+2x-1);7.(1- )(1- )(1- )(1- )(1- )的值.8.x+ =2 ,求x2+ ,x4+ 的值.9.(a-1)(b-2)-a(b-3)=3 ,求代數(shù)式 -a

14、b的值.10.假設(shè)(x2+px+q)(x2-2x-3)展開后不含x2 ,x3項 ,求p、q的值.?整式的乘除與因式分解?單元試題一、選擇題：(每題3分 ,共18分)1、以下運算中 ,正確的選項是( )A.x2x3=x6 B.(ab)3=a3b3 C.3a+2a=5a2 D.(x)= x52、以下從左邊到右邊的變形 ,是因式分解的是( )(A) (B)(C) (D)3、以下各式是完全平方式的是( )A、 B、 C、 D、4、以下多項式中能用平方差公式分解因式的是( )(A) (B) (C) (D)5、如(x+m)與(x+3)的乘積中不含x的一次項 ,那么m的值為( )A. 3 B. 3 C. 0

15、 D. 16、一個正方形的邊長增加了 ,面積相應增加了 ,那么這個正方形的邊長為( )A、6cm B、5cm C、8cm D、7cm二、填空題：(每題3分 ,共18分)7、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式8、 _9、假設(shè)3x= ,3y= ,那么3x-y等于10、繞地球運動的是7.910米/秒 ,那么衛(wèi)星繞地球運行8105秒走過的路程是三、計算題：(每題4分 ,共12分)11、 12、13、(x-2y) +(x-2y)(2y+x)-2x(2x-y)2x.四、因式分解：(每題4分 ,共16分)14、 15、2x2y-8xy+8y16、a2(x-y)-4b2(x-y)五、解方程或不等式：(每題5分 ,共10分)

16、17、六、解答題：(第2224小題各6分 ,第25小題8分 ,共26分)18、假設(shè) ,求 的值。23、自己作圖：大正方形的邊長為a, 小正方形的邊長為b,利用此圖證明平方差公式。24、如圖 ,某市有一塊長為 米 ,寬為 米的長方形地塊 ,規(guī)劃部門方案將陰影局部進行綠化 ,中間將修建一座雕像 ,那么綠化的面積是多少平方米?并求出當 , 時的綠化面積.25、察以下各式(x-1)(x+1)=x2-1(x-1)(x2+x+1)=x3-1課本、報刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆是,但學生寫作文運用到文章中的甚少,即使運用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記死的緣故。要解決這個問題,方法很簡單,每

17、天花3-5分鐘左右的時間記一條成語、一那么名言警句即可?？梢詫懺诤蠛诎宓摹胺e累專欄上每日一換,可以在每天課前的3分鐘讓學生輪流講解,也可讓學生個人搜集,每天往筆記本上抄寫,教師定期檢查等等。這樣,一年就可記300多條成語、300多那么名言警句,日積月累,終究會成為一筆不小的財富。這些成語典故“貯藏在學生腦中,自然會出口成章,寫作時便會隨心所欲地“提取出來,使文章增色添輝。(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1(1)根據(jù)規(guī)律可得(x-1)(xn-1+x +1)= (其中n為正整數(shù))(2)計算：單靠“死記還不行,還得“活用,姑且稱之為“先死后活吧。讓學生把一周看到或聽到的新鮮事記下來,摒棄那些假話套話空話,寫出自己的真情實感,篇幅可長可短,并要求運用積累的成語、名言警句等,定期檢查點評,選擇優(yōu)秀篇目在班里朗讀或展出。這樣,即穩(wěn)固了所學的材料,又鍛煉了學生的寫作能力,同時還培養(yǎng)了學生的觀察能力、思維能力等等,到達“一石多鳥的效果。(3)計算：“教書先生恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱呼 ,從最初的門館、私塾到晚清的學堂 ,“教書先生那一行當怎么說也算是讓國人景仰甚或敬畏的一種社會職業(yè)。只是更早的“先生概念并非