數(shù)量積 向量積PPT課件

1、ab cos|baba ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積點(diǎn)積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.結(jié)論結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積乘積. .第1頁(yè)/共24頁(yè)關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證證證 ,2,2 為了方便由記：2a aa

2、第2頁(yè)/共24頁(yè),kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式第3頁(yè)/共24頁(yè) cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為第4頁(yè)/共24頁(yè)數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2

3、）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)： ),()()(bababa 若若 、 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)： ).()()(baba 第5頁(yè)/共24頁(yè)例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求，求（1）ba ；（2）a與與b的夾角；的夾角；（3）a在在b上的投影上的投影.解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 第6頁(yè)/共24頁(yè)例例 2 2 證證明明向向量量c與與向向量量acbbca)()( 垂垂直直.證

4、證cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(第7頁(yè)/共24頁(yè)| |MOQ sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于于OP與與F所所決決定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.實(shí)例實(shí)例二、兩向量的向量積LFPQO 設(shè)設(shè)O為一根杠桿為一根杠桿L的支點(diǎn)， 有一力的支點(diǎn)， 有一力 F作作用于這杠桿上用于這杠桿上P點(diǎn)處 力點(diǎn)處 力F與與OP的夾角為的夾角為 ，力力F對(duì)支點(diǎn)對(duì)支點(diǎn)O的力矩是一向的力矩是一向量量M，它的模，它的模 第8頁(yè)/共24頁(yè)向向量量a與與b的的向向量量積積為為 bac sin|bac (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)

5、定義定義c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于 b. . a, , b, , c符合右手系法則符合右手系法則. . 關(guān)于向量積的說(shuō)明：關(guān)于向量積的說(shuō)明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.第9頁(yè)/共24頁(yè)向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 為實(shí)數(shù)：為實(shí)數(shù)： ).()()(bababa 第10頁(yè)/共24頁(yè),kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji ,

6、0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式第11頁(yè)/共24頁(yè)向量積還可用三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出第12頁(yè)/共24頁(yè)zzyxbaaa 000,0 xyaa表表示示補(bǔ)充補(bǔ)充|ba 表表示示以以a和和b為為鄰鄰邊邊的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積.xb、yb、zb不不能能同同時(shí)時(shí)為為零零，但但允允許許兩兩個(gè)個(gè)為為零零，例如，abbac 第13頁(yè)/共24頁(yè)例例 3 3 求求與與kjia423 ，

7、kjib2 都都垂垂直直的的單單位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj第14頁(yè)/共24頁(yè)例例 4 4 在頂點(diǎn)為在頂點(diǎn)為)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的三角形中，求的三角形中，求AC邊上的高邊上的高BD. ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形ABC的面積為|21ABACS 115, 12, 162,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD第15頁(yè)/共24頁(yè)例例 5 5

8、設(shè)向量設(shè)向量pnm,兩兩垂直，符合右手規(guī)則，且兩兩垂直，符合右手規(guī)則，且4| m，2| n，3| p，計(jì)算，計(jì)算pnm )(.解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依題題意意知知nm 與與p同同向向，第16頁(yè)/共24頁(yè)向量的數(shù)量積向量的向量積（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)向量）三、小結(jié)第17頁(yè)/共24頁(yè)思考題思考題已已知知向向量量0 a，0 b，證證明明2222)(|bababa .第18頁(yè)/共24頁(yè)思考題解答思考題解答)(sin|,2222bababa )(cos1|,222baba 22|ba )(cos|,222bab

9、a 22|ba .)(2ba 第19頁(yè)/共24頁(yè)一、一、 填空題：填空題： 1.1.已知已知a=3=3，b=26=26，ba =72,=72,則則ba =_=_； 2.2.已知（已知（,a b ）= =32 ，且，且a=1=1，b=2=2，則，則 2)(ba =_=_； 3 3. .ab 的幾何意義是以的幾何意義是以ba,為其鄰邊的為其鄰邊的_； 4.4.設(shè)設(shè)23ab，則則22aba b _； 5.5.兩向量的的內(nèi)積為零的充分必要條件是至少其中兩向量的的內(nèi)積為零的充分必要條件是至少其中 有一個(gè)向量為有一個(gè)向量為_，或它們互相，或它們互相 _； 6.6.兩向量的外積為零的充分必要條件是至少兩向量

10、的外積為零的充分必要條件是至少其中其中 有一個(gè)向量為有一個(gè)向量為_，或它們互相，或它們互相_； 練練 習(xí)習(xí) 題題第20頁(yè)/共24頁(yè)7 7. .設(shè)設(shè)kjia23 ，kjib 2 , , 則則ba = _ = _， ba = _ = _ , , ba3)2( = _ = _, , ba2 = _ = _，),cos(ba = = _ _ ； 8 8. .設(shè)設(shè)a= =kji 32, ,kjib3 和和,2jic 則則 bcacba)()( =_ , =_ , )()(cbba _ , _ , cba )( = _ . = _ . 二二、 已已 知知cba,為為 單單 位位 向向 量量 ， 且且 滿滿

11、 足足0 cba，計(jì)計(jì)算算accbba . .三、設(shè)三、設(shè)a是非零向量，是非零向量， 14ba b ， ，求極限，求極限0limxaxbax. 第21頁(yè)/共24頁(yè)四、四、 設(shè)設(shè) 4,1,2,2,5,3 ba，問(wèn)，問(wèn) 與與怎樣的關(guān)系怎樣的關(guān)系能使行能使行zba與與 軸垂直軸垂直 . .五、五、 應(yīng)用向量證明：應(yīng)用向量證明：1 1、 三角形的余弦定理；三角形的余弦定理；2 2、 直徑所對(duì)的圓周角是直角直徑所對(duì)的圓周角是直角 . .六、六、 已知已知cba,兩兩垂直，且兩兩垂直，且 cbascba 求求,3,2,1的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度 與它和與它和cba,的夾角的夾角 . .七、七、 計(jì)算以向量計(jì)算以向量212eep 和和212eeq 為邊的三角為邊的三角形的面積，其中形的面積，其中1e和和2e是相互垂直的單位向量是相互垂直的單位向量 . .第22頁(yè)/共24頁(yè)練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1.1.30 ； 2.3 2.3； 3.3.平行四邊形的面積；平行四邊形的面積； 4.364.36； 5. 5.零向量零向量, ,垂直；垂直； 6.6.零向量零向量, ,平行；平行； 7.3, 7.3, 57