高等數(shù)學(xué)教學(xué) 第五節(jié) 極限的運(yùn)算法則ppt課件

1、一、極限運(yùn)算法那么一、極限運(yùn)算法那么二、求極限方法舉例二、求極限方法舉例三、小三、小 結(jié)結(jié)2/171、無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)、無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理定理1 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍 是無(wú)窮小是無(wú)窮小.一、極限運(yùn)算法那么一、極限運(yùn)算法那么留意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小留意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小. .是是無(wú)無(wú)窮窮小小，時(shí)時(shí)例例如如nn1, .11不不是是無(wú)無(wú)窮窮小小之之和和為為個(gè)個(gè)但但nn3/17推論推論1 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小積是無(wú)窮小.推論推論2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮

2、小常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論推論3 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.xxxxx1arctan,1sin,0,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例如如都是無(wú)窮小都是無(wú)窮小定理定理2 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.4/17. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)定理定理35/17推論推論1 1.)(lim)(lim,)(limcAxfcxcfcAxf 則則為常數(shù)為常數(shù)而而存在存在如果如果常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面常數(shù)因子可以提到極限

3、記號(hào)外面.)(lim)(lim,)(limnnnAxfxfnAxf 則則是正整數(shù)是正整數(shù)而而存在存在如果如果推論推論2 2推論推論3.)(lim)(lim, 0,)(lim,)(lim)(lim)(BxgxgAxfxfBABxgAxf 則則不不同同時(shí)時(shí)為為、且且如如果果6/17二、求極限方法舉例二、求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 7/

4、17小結(jié)小結(jié): :則則有有設(shè)設(shè),)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0則則商商的的法法則則不不能能應(yīng)應(yīng)用用若若 xQ8/17解解)32(lim21 xxx, 0 商的法那么不能商的法那么不能用用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系由無(wú)

5、窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx9/17解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時(shí)時(shí)x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無(wú)窮小先約去不為零的無(wú)窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)10/17例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無(wú)窮大分母的極限都是無(wú)窮大分子分子時(shí)時(shí) x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無(wú)無(wú)窮窮小小

6、去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無(wú)窮小因子分出法無(wú)窮小因子分出法)11/17小結(jié)小結(jié): :為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)無(wú)窮小分出法無(wú)窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子, ,分母分母, ,以分出無(wú)窮小以分出無(wú)窮小, ,然后再求極限然后再求極限. .12/17例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是是無(wú)無(wú)限限多多個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮小小之之和和時(shí)

7、時(shí), n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.關(guān)于數(shù)列，也有類似的極限運(yùn)算法那關(guān)于數(shù)列，也有類似的極限運(yùn)算法那么么13/17例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,為無(wú)窮小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx .sin 是有界函數(shù)是有界函數(shù)而而x. 0sinlim xxxxxysin 14/17.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(00000AufxfxxxfAufaxxaxaxxxuauxxauxx 時(shí)的極限也存在，且時(shí)的極限也存在，且當(dāng)當(dāng)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)，又，又的某去心鄰域內(nèi)的某

8、去心鄰域內(nèi)但在點(diǎn)但在點(diǎn)，即，即時(shí)的極限存在且等于時(shí)的極限存在且等于當(dāng)當(dāng)運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù)運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù)定理（復(fù)合函數(shù)的極限定理（復(fù)合函數(shù)的極限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意義：意義：15/17例例8 8.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)()(lim原原式式3233232)(limaaxxaxax 0 323203limauuaxu 令令16/17) 7( ) 5() 3(149 P業(yè)業(yè)作作三、小結(jié)三、小結(jié)1、極限的四那么運(yùn)算法那么及其推論、極限的四那么運(yùn)算法那么及其推論;2、極限求法、極限求法;a.多項(xiàng)式與分式函

9、數(shù)代入法求極限多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.3、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法那么、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法那么用時(shí)用時(shí)1課時(shí)課時(shí)17/17思索題思索題 在某個(gè)過(guò)程中，假設(shè)在某個(gè)過(guò)程中，假設(shè) 有極限，有極限， 無(wú)極限，那么無(wú)極限，那么 能否有極限？為能否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 18/17思索題解答思索題解答沒(méi)有極限沒(méi)有極限假設(shè)假設(shè) 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有

10、極限，有極限，由極限運(yùn)算法那么可知：由極限運(yùn)算法那么可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與知矛盾，與知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤故假設(shè)錯(cuò)誤19/17._1sinlim320 xxx、._33lim132 xxx、一、填空題一、填空題:._)112)(11(lim22 xxxx、._coslim4 xxxeex、練練 習(xí)習(xí) 題題20/17二、求以下各極限二、求以下各極限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、)(lim4xxxxx 、21/17一一、1 1、- -5 5； 2 2、3 3； 3 3、2 2； 4 4、

11、51； 5 5、0 0； 6 6、0 0； 7 7、21； 8 8、30)23(. .二二、1 1、2 2； 2 2、x2； 3 3、- -1 1； 4 4、- -2 2； 5 5、21； 6 6、0 0； 7 7、nmnm . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案22/17集合運(yùn)算法那么中的對(duì)偶律：集合運(yùn)算法那么中的對(duì)偶律：cccBABA )(IABBABAcBA)(證明：證明：BAx BxAx 且且ccBxAx 且且ccBAx cccBABA )(ccccBxAxBAx 且且又又BxAx 且且cBAx)( cccBABA )(cccBABA )(故故BAxBAxc )(I 23/17IAB BABAcB

12、A)(集合運(yùn)算法那么中的對(duì)偶律：集合運(yùn)算法那么中的對(duì)偶律：cccBABA )(證明：證明：BAx BxAx 且且ccBxAx 且且ccBAx cccBABA )(ccccBxAxBAx 且且又又BxAx 且且cBAx)( cccBABA )(cccBABA )(故故BAxBAxc )( 24/17IABBBA ABA cBA)(集合運(yùn)算法那么中的對(duì)偶律：集合運(yùn)算法那么中的對(duì)偶律：cccBABA )(證明：證明：BAx BxAx 且且ccBxAx 且且ccBAx cccBABA )(ccccBxAxBAx 且且又又BxAx 且且cBAx)( cccBABA )(cccBABA )(故故BAxBAxc )( 25/17IABBABAcBA)(集合運(yùn)算法那么中的對(duì)偶律：集合運(yùn)算法那么中的對(duì)偶律：cccBABA )(證明：證明：BAx BxAx 或或ccBxAx 或或ccBAx cccBABA )(ccccBxAxBAx 或或又又BxAx 或或cBAx)( cccBABA )(cccBABA )(故故BAxBAxc )( 26/17集合運(yùn)算法那么中的對(duì)偶律：集合運(yùn)算法那么中的對(duì)偶律：cccBABA )(證明：證明：BAx BxAx 或或ccBxAx 或或ccBAx cccBABA )(ccccBxAxBAx 或或又又BxAx 或或cBAx)( ccc