矩陣分析所有習題及標準答案ppt課件

1、習題習題3-13-1已知已知A A CnCn n n是正定是正定HermiteHermite矩陣矩陣, , , ,Cn.Cn.定義內(nèi)積定義內(nèi)積 ( ( , , )=)= A A * *. .試證它試證它是內(nèi)積是內(nèi)積; ;寫出相應的寫出相應的C-SC-S不等式不等式: :Cauchy-Schwarz:Cauchy-Schwarz不等式：不等式： *,()(),;TAAAA *(, )( , );kk Ak *(, )()( , ) ( , );AAA *( , ) 0; ( , )0,0 ( A).A 因 正定|( , )| 11nnnnnni ijji ijji ijjijijijxa yxa

2、 xya y習題習題3-3(1)3-3(1)#3-3(1):#3-3(1):已知已知A= ,A= ,試求試求U U UnUn n n使使U U* *AU=RAU=R為為上三角矩陣上三角矩陣. .解解:det(:det( E-A)=(E-A)=( +1)3+1)3給出給出 =-1=-1是是A A的的3 3重特征值重特征值. .顯然顯然, , 1=(0,1,0)T1=(0,1,0)T是是A A的一個特征向量的一個特征向量. .作酉矩陣作酉矩陣V=(V=( 1,1, 2,2, 3),3), 2=(1,0,0)T,2=(1,0,0)T, 3=(0,0,1)T,3=(0,0,1)T,那么那么 V V*

3、*AV= AV= 子矩陣子矩陣A1A1的特征值仍是的特征值仍是-1,-1,對應的單位特征向量對應的單位特征向量是是 1=(-2/1=(-2/ 5,1/5,1/ 5)T,5)T,作作2 2階酉矩陣階酉矩陣W1=(W1=( 1,1, 2),2), 2=(1/2=(1/ 5,2/5,2/ 5)T,5)T,則則W1W1* *A1W1=A1W1=作作3 3階酉矩陣階酉矩陣W=diag(1,W1),U=VW,W=diag(1,W1),U=VW,那么那么 U U* *AU=AU=為上三角矩陣為上三角矩陣. .5026138035283,0063152083063111AA101011001010530110

4、06311*111WAW21010105521U=VW= 10001055001120125555 習題習題3-93-9#3-9:#3-9:若若S,TS,T分別為實對稱分別為實對稱, ,反實對稱矩陣反實對稱矩陣, ,則則A=(E+T+iS)(E-T-iS)-1A=(E+T+iS)(E-T-iS)-1為酉矩陣為酉矩陣. . 證證: :A A* *A=(E-T-iS)A=(E-T-iS)* *)-1(E+T+iS)-1(E+T+iS)* *(E+T+iS)(E-T-(E+T+iS)(E-T-iS)-1iS)-1 =(E+T+iS)-1(E-(T+iS)(E+(T+iS)(E-T-iS)- =(E+

5、T+iS)-1(E-(T+iS)(E+(T+iS)(E-T-iS)-1 1 =(E+T+iS)-1(E+T+iS)(E-T-iS)(E-T-iS)-1 =(E+T+iS)-1(E+T+iS)(E-T-iS)(E-T-iS)-1 =E =E注注: :可以不證可以不證 AAAA* *=E;=E;(E-(T+iS)(E+(T+iS)=(E+(T+iS)(E-(T+iS)(E-(T+iS)(E+(T+iS)=(E+(T+iS)(E-(T+iS) =(E+T+iS)(E-T-iS) =(E+T+iS)(E-T-iS)習題習題3-123-12設(shè)設(shè)A,BA,B均是正規(guī)矩陣均是正規(guī)矩陣, ,試證試證:A:A與

6、與B B酉酉相似的充要條件是相似的充要條件是A A與與B B的特征值相同的特征值相同 證證: :充分性：因為充分性：因為A,BA,B是正規(guī)矩陣是正規(guī)矩陣, ,所以存在所以存在U,VU,V UnUn n n 使得使得 A=Udiag(A=Udiag( 1,1, n)Un)U* *, B=Vdiag(, B=Vdiag( 1,1, n)Vn)V* *, , 其中其中 1,1, n n是是A,BA,B的特征值集合的特征值集合. .于是于是B=VUB=VU* *AUVAUV* *=W=W* *AW, W=UVAW, W=UV* * UnUn n n即得證即得證A A與與B B酉相似酉相似. . 必要性

7、必要性: :顯然顯然, ,因為因為, ,相似矩陣有相同的特征值相似矩陣有相同的特征值. . 習題習題3-133-13#3-13:#3-13:若若A A HnHn n,A2=A,n,A2=A,則存在則存在U U UnUn n n使得使得 U U* *AU=diag(Er,0),r=rank(A).AU=diag(Er,0),r=rank(A).證證: :存在存在U U UnUn n n使得使得 A=Udiag(A=Udiag( 1,1, n)Un)U* *, (, (* *) )其中其中 1,1, n n是是A A的特征值的任意排列的特征值的任意排列. . A2=A A2=A 和和 A2=Udi

8、ag(A2=Udiag( 1,1, n)Un)U* *Udiag(Udiag( 1,1, n)Un)U* * =Udiag( =Udiag( 12,12, n2)Un2)U* * i2=i2= i,i,即即 i i 0,1,i=1,n,.0,1,i=1,n,.取取 1,1, n n的排列使特征值的排列使特征值0 0全排在后面全排在后面, ,那么那么( (* *) )式即給出所需答案式即給出所需答案. .習題習題3-143-14#3-14:#3-14:若若A A HmHm n,A2=E,n,A2=E,則存在則存在U U UnUn n n使得使得 U U* *AU=diag(Er,-En-r).A

9、U=diag(Er,-En-r).證證: :存在存在U U UnUn n n使得使得 A=Udiag(A=Udiag( 1,1, n)Un)U* *, (, (* *) )其中其中 1,1, n n是是A A的特征值的任意排列的特征值的任意排列. . A2=E=Udiag(1,1)U A2=E=Udiag(1,1)U* * 和和 A2=Udiag(A2=Udiag( 1,1, n)Un)U* *Udiag(Udiag( 1,1, n)Un)U* * =Udiag( =Udiag( 12,12, n2)Un2)U* * i2=1,i2=1,即即 i=i= 1,i=1,n,.1,i=1,n,.取取

10、 1,1, n n的排列使特征值的排列使特征值1(1(設(shè)共有設(shè)共有r r個個) )全排在全排在前面前面, ,那么那么( (* *) )式即給出所需答案式即給出所需答案. .習題習題3-163-16#3-16:#3-16:設(shè)若設(shè)若A,BA,B HnHn n,n,且且A A為正定為正定HermiteHermite矩陣矩陣, , 試證試證:AB:AB與與BABA的特征值都是實數(shù)的特征值都是實數(shù). .證證1:1:由定理由定理3.9.4,A1/23.9.4,A1/2是正定矩陣是正定矩陣, ,于是于是A-1/2(AB)A1/2=A1/2BA1/2=MA-1/2(AB)A1/2=A1/2BA1/2=M Hm

11、Hm n,n,即即ABAB相似于一個相似于一個HermiteHermite矩陣矩陣M.M. (AB)=(AB)= (M)(M) R,R,得證得證ABAB的特征值都是實數(shù)的特征值都是實數(shù). .又又 A1/2(BA)A-1/2=A1/2BA1/2=MA1/2(BA)A-1/2=A1/2BA1/2=M HmHm n,n,即即BABA相似于一個相似于一個HermiteHermite矩陣矩陣M.M. (BA)=(BA)= (M)(M) R,R,得證得證BABA的特征值都是實數(shù)的特征值都是實數(shù). .#3-16:#3-16:設(shè)若設(shè)若A,BA,B HmHm n,n,且且A A正定正定, ,試證試證:AB:AB

12、與與BABA的的特征值都是實數(shù)特征值都是實數(shù). .證證2:2:由定理由定理3.9.1,PAP3.9.1,PAP* *=E,=E,那么那么PABP-1=PAPPABP-1=PAP* *(P(P* *)-1BP-1=(P)-1BP-1=(P* *)-1BP-1=M)-1BP-1=M HmHm n,n,即即ABAB相似于一個相似于一個HermiteHermite矩陣矩陣M.M. (AB)=(AB)= (M)(M) R,R,得證得證ABAB的特征值都是實數(shù)的特征值都是實數(shù). .又又因因BABA的非零特征值與的非零特征值與ABAB的非零特征值完全相的非零特征值完全相同同, ,故故BABA的特征值也都是實

13、數(shù)的特征值也都是實數(shù). .證證3:det(3:det( E-AB)=det(A(E-AB)=det(A( A-1-B)A-1-B) =det A det( =det A det( A-1-B)=0.A-1-B)=0.但但det A 0,det A 0,和和det(det( A-1-B)=0A-1-B)=0的根全為實數(shù)的根全為實數(shù)( (見見例例.1的相關(guān)證明的相關(guān)證明) )習題習題3-193-19設(shè)設(shè)A A是正定是正定HermiteHermite矩陣且矩陣且A A UnUn n,n,則則A=E A=E 證證: :存在存在U U UnUn n n使得使得 A=Udiag(A=Udi

14、ag( 1,1, n)Un)U* *, (, (* *) )其中其中 1,1, n n是是A A的特征值的任意排列的特征值的任意排列. . A A 是正定蘊含是正定蘊含 i0,i=1,n i0,i=1,n A A UnUn n n 蘊含蘊含| | i|=1,i=1,ni|=1,i=1,n 因而因而 i=1,i=1,ni=1,i=1,n A=Udiag( A=Udiag( 1,1, n)Un)U* *=UEU=UEU* *=UU=UU* *=E.=E.習題習題3-20 3-20 試證試證: :兩個半正定矩陣之和是半兩個半正定矩陣之和是半正定正定; ;半正定矩陣與正定矩陣之和是正定矩半正定矩陣與正

15、定矩陣之和是正定矩陣陣解解: : 設(shè)設(shè)A,BA,B HnHn n n 分別是半正定矩陣分別是半正定矩陣, ,正定矩陣正定矩陣. .那么那么A A* *=A&B=A&B* *=B =B (A+B) (A+B)* *=A+B =A+B HnHn n n x x Cn,xCn,x* *AxAx 0,x0,x* *BxBx 0 0 x x Cn,xCn,x* *(A+B)x(A+B)x 0 0 A+B A+B是半正定是半正定HermiteHermite矩陣矩陣. . 0 0 x x Cn,xCn,x* *AxAx 0,x0,x* *Bx0 Bx0 0 0 x x Cn,xCn,x* *

16、(A+B)x=x(A+B)x=x* *Ax+xAx+x* *Bx0Bx0 A+B A+B是正定是正定HermiteHermite矩陣矩陣. .習題習題3-223-22設(shè)設(shè)A,BA,B均是正規(guī)矩陣均是正規(guī)矩陣, ,試證試證:A:A與與B B相似的充要條件是相似的充要條件是A A與與B B酉相似酉相似證證: :因為因為A,BA,B是正規(guī)矩陣是正規(guī)矩陣, ,所以存在所以存在U,VU,V UnUn n n 使使得得 A=Udiag(A=Udiag( 1,1, n)Un)U* *, B=Vdiag(, B=Vdiag( 1,1, n)Vn)V* *, , 其中其中 1, 1, n,n, 1,1, n n

17、分別是分別是A,BA,B的特征值的特征值集合的任意排列集合的任意排列. .必要性：若必要性：若A A與與B B相似相似, ,那么那么 i=i= i,i=1,n,i,i=1,n,于是于是B=VUB=VU* *AUVAUV* *=W=W* *AW, W=UVAW, W=UV* * UnUn n n即得證即得證A A與與B B酉相似酉相似. . 充分性充分性: :顯然顯然, ,因為因為, ,酉相似必然相似酉相似必然相似. . 習題習題3-233-23設(shè)設(shè)A A* *=A.=A.試證試證: :總存在總存在t0,t0,使使得得A+tEA+tE是正定是正定;A-tE;A-tE是負定是負定證證: :因為因為

18、A A是是HermiteHermite矩陣矩陣, ,所以存在所以存在U U UnUn n n 使得使得 A=Udiag(A=Udiag( 1,1, n)Un)U* *, , 其中其中 1, 1, n n是是A A的特征值并且全為實數(shù)的特征值并且全為實數(shù). .令令tMax|tMax| 1|,|1|,| n|,n|,于是于是,A+tE,A+tE是是HermiteHermite矩陣矩陣并且特征值全為正數(shù)，即得證并且特征值全為正數(shù)，即得證A+tEA+tE是正定是正定HermiteHermite矩陣矩陣. A. AtEtE是是HermiteHermite矩陣矩陣并且特征值全為負數(shù)，即得證并且特征值全為負

19、數(shù)，即得證A AtEtE是負定是負定HermiteHermite矩陣矩陣. .習題習題3-253-25#3-25:A#3-25:A* *=-A(A=-A(A SHnSHn n)n) U=(A+E)(A-E)- U=(A+E)(A-E)-1 1 UnUn n.n.(A(A SHnSHn n nA A E E的特征值全不為的特征值全不為0,0,從而從而A A E E可逆可逆) )解解: U: U* *=U-1=U-1 (A-E) (A-E)* *)-1(A+E)-1(A+E)* *=(A-E)(A+E)-1=(A-E)(A+E)-1 (-A-E)-1(-A+E)=(A-E)(A+E)-1 (-A-

20、E)-1(-A+E)=(A-E)(A+E)-1 (A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1 (A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1 (A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) (A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) A2-E=A2-E A2-E=A2-E 因最后一式恒成立因最后一式恒成立, ,得證得證U U* *=U-1,=U-1,從而從而 U=(A+E)(A-E)-1U=(A+E)(A-E)-1 UnUn n.n.習題習題3-263-26設(shè)設(shè)A A為正規(guī)矩陣特征值為為正規(guī)矩陣特征值為 1, 1, n.n.試證試證:A:A* *A A的特征值為的特征值為| | 1|2,

21、|1|2,| n|2.n|2.證證: :因為因為A A是正規(guī)矩陣是正規(guī)矩陣, ,所以存在所以存在U U UnUn n n 使得使得 A=Udiag(A=Udiag( 1,1, n)Un)U* *, , 其中其中 1, 1, n n是是A A的特征值的特征值. .于是于是, ,A A* *A=Udiag(|A=Udiag(| 1|2,|1|2,| n|2)Un|2)U* *. .因?qū)蔷仃囈驅(qū)蔷仃嘾iag(|diag(| 1|2,|1|2,| n|2)n|2)酉相似于酉相似于A A* *A,A,故故A A* *A A的特征值為的特征值為 | | 1|2,|1|2,| n|2n|2習題習題3-2

22、73-27#3-27(1):A#3-27(1):A* *A,AAA,AA* *都是半正定都是半正定HermiteHermite矩陣矩陣. . (2): (2):若若A A CmCm n,n,則則A A* *A,AAA,AA* *的非零特征值相的非零特征值相同同( (它們的譜可能不一樣它們的譜可能不一樣) )證證:(1): (A:(1): (A* *A)A)* *=A=A* *A,(AAA,(AA* *) )* *=AA=AA* *. . x x Cn,xCn,x* *(A(A* *A)x =(Ax)A)x =(Ax)* *Ax=(Ax,Ax)Ax=(Ax,Ax) 0.0. (2): (2):

23、對對AAAA* *的任意非零特征值的任意非零特征值 有有AAAA* *x=x= x,xx,x 0.0. 于是于是 A A* *A(AA(A* *x)=x)= (A(A* *x).x). 因因 x x 0,0,故故A A* *x x 0,0,從而得證從而得證AAAA* *的任意非零特的任意非零特征值征值 也是也是A A* *A A的非零特征值的非零特征值. . 同理可證同理可證:A:A* *A A的任意非零特征值的任意非零特征值 也是也是AAAA* *的非的非零特征值零特征值. .習題習題3-27(2)3-27(2)另一解法另一解法證證: :不難驗證下列矩陣等式不難驗證下列矩陣等式: : 因因S

24、= S= 可逆可逆, ,故故從而從而det(det( E-AAE-AA* *)=0)=0與與det(det( E-AE-A* *A)=0A)=0有相同非零有相同非零解解, ,得證得證AAAA* *與與A A* *A A有相同的非零特征值有相同的非零特征值. .AAAEAEAAAAAAAAEAEAAAnmnm*0000nmEAEAAASAAASAAA*1*000000習題習題3-283-28設(shè)設(shè)A A為正規(guī)矩陣為正規(guī)矩陣. .試證試證: :若若Ar=0,Ar=0,則則A=0.A=0.若若A2=A,A2=A,則則A A* *=A.=A.證證: :因為因為A A是正規(guī)矩陣是正規(guī)矩陣, ,所以存在所以

25、存在U U UnUn n n 使得使得 A=Udiag(A=Udiag( 1,1, n)Un)U* *, , 其中其中 1, 1, n n是是A A的特征值的特征值. .于是于是, ,Ar=Udiag(Ar=Udiag( 1r,1r, nr)Unr)U* *=0=0蘊涵蘊涵 ir=0,i=1,n.ir=0,i=1,n.后者又蘊涵后者又蘊涵 1=1= n=0. n=0. A=Udiag(0,0)U A=Udiag(0,0)U* *=0. =0. 假設(shè)假設(shè) A2=A, A2=A, 那么那么 i2=i2= i,i=1,n. i,i=1,n. 后者又蘊后者又蘊涵涵 i=0i=0或或1, i=1,n,(

26、1, i=1,n,(即正規(guī)矩陣即正規(guī)矩陣A A的特征的特征值全為實數(shù)值全為實數(shù)).). A A* *=Udiag(=Udiag( 1,1, n)Un)U* *=A. =A. 習題習題3-303-30#3-30:#3-30:若若A A CnCn n,n,則則A A可唯一地寫為可唯一地寫為A=B+C,A=B+C,其中其中B B HnHn n,Cn,C SHnSHn n.n.證證: :存在性存在性 取取 B=(1/2)(A+AB=(1/2)(A+A* *),C=(1/2)(A-A),C=(1/2)(A-A* *), ), 則顯然則顯然B,CB,C分別是分別是HermiteHermite矩陣和反矩陣和

27、反HermiteHermite矩陣矩陣, ,并且滿足并且滿足A=B+C.A=B+C. 唯一性唯一性 假設(shè)假設(shè) A=B+C,A=B+C,其中其中B B HnHn n,Cn,C SHnSHn n,n,那那么么A A* *=(B+C)=(B+C)* *=B=B* *+C+C* *=B-C.=B-C.于是于是 B=(1/2)(A+AB=(1/2)(A+A* *),C=(1/2)(A-A),C=(1/2)(A-A* *). ). 證畢證畢注注: :令令T=-iC,T=-iC,則則T T* *=iC=iC* *=i(-C)=T,=i(-C)=T,即即T T HnHn n.n.由此由此推出推出:A:A可唯一

28、地寫為可唯一地寫為A=B+iT,A=B+iT,其中其中B,TB,T HnHn n.n.習題習題3 3* *1 1試證：向量長度的齊次性試證：向量長度的齊次性#3#3* *1:1:試證試證證證: :令令 =(a1,an)T ,=(a1,an)T ,那么那么 k k =(a1,an)T =(a1,an)T ,nkkkCC2222111nnniiiiiikkakakak習題習題3 3* *2 2試證：在酉空間試證：在酉空間V V中成立廣義中成立廣義商高定理商高定理#3#3* *2:2:試證試證 1,1, k k V &(V &( i,i, j)=0,j)=0, i i j j 或等價

29、地或等價地( ( 1+1+ k,k, 1+1+ k)=(k)=( 1,1, 1)+(1)+( k,k, k k) )證證: :對對k k用歸納法證明用歸納法證明.k=2.k=2時時, ,有有 ( ( 1+1+ 2,2, 1+1+ 2)2=(2)2=( 1,1, 1)+(1)+( 1,1, 2)+(2)+( 2,2, 1)+(1)+( 2,2, 2)2) =( =( 1,1, 1)+(1)+( 2,2, 2)2)若若k-1k-1時結(jié)論成立時結(jié)論成立, ,那么那么 ( ( 1+1+ k-1,k-1, k)=0k)=0( ( 1+1+ k,k, 1+1+ k)=(k)=( 1+1+ k-k-1)+1

30、)+ k,(k,( 1+1+ k-1)+k-1)+ k)k) =( =( 1+1+ k-1,k-1, 1+1+ k-1)+(k-1)+( k,k, k)k) =( =( 1,1, 1)+(1)+( k,k, k)+(k)+( k,k, k)k)22211.kk 習題習題3 3* *3 3令令 1=(1,1,1,1)T,1=(1,1,1,1)T, 2=(3,3,-1,-2=(3,3,-1,-1)T, 1)T, 3=(-2,0,6,8)T,3=(-2,0,6,8)T,求求SpanSpan 1,1, 2,2, 33的標正基的標正基解解: : 1,1, 2,2, 3 3就是所要求的標正基就是所要求的標

31、正基. .11(1,1,1,1) ;T2122111( , )(2,2, 2, 2);( , )T 32313212211( ,)( , )( 1,1, 1,1) .( ,)( , )T 1111 1 1 1( , , , ) ;2 2 2 2T2221 111( , ,) ;2 222TT)21,21,21,21(333習題習題3 3* *5(i)5(i)用歸納法證明用歸納法證明1+3+5+(2n-1)2=n21+3+5+(2n-1)2=n2證證: :對對k k用歸納法證明用歸納法證明.k=1.k=1時結(jié)論顯然成立時結(jié)論顯然成立. . 若若n-1n-1時結(jié)論成立時結(jié)論成立1+3+5+(2n-

32、3)=(n-1)21+3+5+(2n-3)=(n-1)2那么那么 1+3+5+(2n-1)2 1+3+5+(2n-1)2 =1+3+5+(2n- =1+3+5+(2n-3)+(2n-1) 3)+(2n-1) =(n-1)2+(2n-1) =(n-1)2+(2n-1) =n2-2n+1+2n-1 =n2-2n+1+2n-1 =n2 =n2習題習題3 3* *6 6試證試證: : 為正規(guī)矩陣為正規(guī)矩陣解解所以所以A A為正規(guī)矩陣為正規(guī)矩陣. .易見易見:A:A不是對角陣且不是對角陣且A A* * A A和和A A* * -A-A因而因而,A,A不是不是HermiteHermite矩陣矩陣, ,也不

33、是反也不是反HermiteHermite矩陣矩陣. .0010 ,10 01iAiii 00000010102 00 0 10 0 10 0 2iiiAAiiiAAii 習題習題3 3* *7 7證明證明: :對任意正定矩陣對任意正定矩陣A,A,任意任意正整數(shù)正整數(shù)k k 都有正定矩陣都有正定矩陣S S 使使 Sk=ASk=A證證: :因為因為A A是正定矩陣是正定矩陣, ,所以存在所以存在U U UnUn n n 使使得得 A=Udiag(A=Udiag( 1,1, n)Un)U* *, , 其中其中 1, 1, n n是全為正數(shù)是全為正數(shù). .令令S=Udiag(S=Udiag( 11/k

34、,11/k, n1/k)Un1/k)U* *, , 其中其中 i1/ki1/k是正數(shù)是正數(shù) i i的的k k次算術(shù)根次算術(shù)根, ,也全為正也全為正數(shù)數(shù). .由此推出由此推出: Sk=A,: Sk=A,并且并且S S酉相似于對角酉相似于對角元全為正數(shù)的對角矩陣元全為正數(shù)的對角矩陣, ,從而得證從而得證S S是正是正定定HermiteHermite矩陣矩陣習題習題4-1(1)4-1(1)4-1:4-1:求求 A= A= 的滿秩分解的滿秩分解. .解解1: A 1: A = C = C A=BC, B=(A5,A3,A1)= A=BC, B=(A5,A3,A1)=020210114011050121

35、311415213212011210114013212020210114015092111211221020210114011050習題習題4-1(1)4-1(1)4-1:4-1:求求 A= A= 的滿秩分解的滿秩分解. .解解2: A 2: A = C = C A=BC, B=(A1,A2,A3)= A=BC, B=(A1,A2,A3)=54511001011022201121311415213212011210114013212110501011012131131152212545151515258100010001習題習題4-1(2)4-1(2)4-1(2):4-1(2):求求 A= A

36、= 的滿秩分解的滿秩分解. .解解: A : A = C = C A=BC, B=(A1,A3)= A=BC, B=(A1,A3)=000001111001011131321111001011111101111001011121001習題習題4-24-2求求 A= A= 的奇異值分解的奇異值分解. .解解: : A A的奇異值是的奇異值是: : 2,1; 2,1; =diag(=diag( 2,1)2,1) AA AA* *的對應于特征值的對應于特征值2,12,1的單位特征向量是的單位特征向量是(1/(1/ 2,1/2,1/ 2,0)T, (1,0,0)T2,0)T, (1,0,0)T0100

37、0;10002121212121211UU100101)2)(1(100011011|;100011011*AEAAVUAV1001100100010001121212111A A的奇異值分解是的奇異值分解是: :10010010020100021212121UDVA100110021000A2121*11VU或習題習題4 4* *1A1A與與B B酉等價酉等價A A與與B B奇異值相同奇異值相同 必要性必要性: A=UBV : A=UBV AA AA* *=UBVV=UBVV* *B B* *U U* *=UBB=UBB* *U U* * BBBB* * AA AA* *與與BBBB* *有

38、相同的特征值集有相同的特征值集, ,得證得證A A與與B B有相有相同的奇異值集同的奇異值集. . 充分性充分性: :作作A,BA,B的奇異值分解的奇異值分解A=UDVA=UDV* *,B=U1DV1,B=U1DV1* *,D=diag(,D=diag( ,0),0),其中其中, , 是由它們的全部正奇異值組成的正對角是由它們的全部正奇異值組成的正對角矩陣矩陣. .于是于是U U* *AV=D=U1AV=D=U1* *BV1 BV1 A=(UU1 A=(UU1* *)B(V1V)B(V1V* *) )因酉矩陣的乘積因酉矩陣的乘積 UU1UU1* *,V1V,V1V* * 仍為酉矩陣仍為酉矩陣,

39、 ,故上故上式表明式表明A A酉等價于酉等價于B.B.習題習題4 4* *2 24 4* *2: 2: 設(shè)設(shè)A A CrmCrm n,Un,U UmUm m,Vm,V UnUn n n使使B=UB=U* *AV=diag(AV=diag( ,0),0), =diag(b1,br=diag(b1,br), (), (* *) ) 那么那么|b1|,|br|b1|,|br|為為A A的全部正奇異值的全部正奇異值. . 證證: U: U* *AAAA* *U=BBU=BB* *=diag(=diag(* *,0) ,0) 寫成寫成 2 2不對！不對！ =diag(|b1|2,|br|2,0,0)=d

40、iag(|b1|2,|br|2,0,0) AA AA* * |b1|,|br| |b1|,|br|為為A A的全部正奇異值的全部正奇異值. .奇異值分解定理另一奇異值分解定理另一( (更強更強) )表述表述定理定理: : 令令 1,1, r r為為A A CrmCrm n n的全部正奇異值的全部正奇異值; ; =diag(=diag( 1,1, r),r),則有則有U U UmUm m,Vm,V UnUn n n使使 U U* *AV= =DAV= =D CrmCrm n n ( (* *) ) 反之反之, ,若有若有U U UmUm m,Vm,V UnUn n n使使( (* *) )成立成

41、立, ,其中其中 =diag(d1,dr),=diag(d1,dr), i,di0,i,di0,則則d1,drd1,dr為為A A的全部正奇異值的全部正奇異值.(.(奇異值分解的某種唯一奇異值分解的某種唯一性性) )證證: AA: AA* *=U V=U V* *V UV U* *=U U=U U* * diag(d12,dr2,0,0) diag(d12,dr2,0,0) d1,dr d1,dr為為A A的全部正奇異值的全部正奇異值. .注注: :后半部等價于補充題后半部等價于補充題4 4* *2.2.00000020000004 4* *3 3已知已知A A奇異值求奇異值求AT,AAT,A

42、* *,A-1,A-1的奇的奇異值異值補充題補充題4 4* *3: 3: 令令 1,1, r r為為A A CrmCrm n n的全部正奇的全部正奇異值異值; ; =diag(=diag( 1,1, r),r),則有則有U U UmUm m,Vm,V UnUn n n使使 A=U VA=U V* *=Udiag(=Udiag( ,0)V,0)V* * ( (* *) ) 易見易見 A A* *=Vdiag(=Vdiag( ,0)U,0)U* *AT=(Udiag(AT=(Udiag( ,0)V,0)V* *)T=(V)T=(V* *)Tdiag()Tdiag( ,0)UT,0)UT 1,1,

43、r r為為A A* *,AT, ,AT, 的全部正奇異值的全部正奇異值( (利用利用奇異值分解定理的更強表述奇異值分解定理的更強表述).).A-1=(UA-1=(U V V* *)-1=V)-1=V -1U-1U* *=Vdiag(=Vdiag( 1-1,1-1, n-1)Un-1)U* * 1-1,1-1, n-1n-1為為A-1A-1的全部正奇異值的全部正奇異值. .000*000VUAA習題習題#5-1(2)#5-1(2)試證試證: : x,yx,y V,xV,x yy |x-y|.|x-y|.證：首先證：首先x=(x-y)+yx=(x-y)+y x-y+yx-y+y x-y x-y x

44、-y.x-y.其次其次x-y=-(y-x)=y-xx-y=-(y-x)=y-x y-x= -(x-y)y-x= -(x-y) x-y x-y |x-y|.|x-y|.此外此外 x+y=x-(-y)x+y=x-(-y) |x-y|=|x-y|x-y|=|x-y| x x yy |x-y|.|x-y|.習題習題#5-2#5-2試證試證A= n maxi,j|aij|A= n maxi,j|aij|是矩是矩陣范數(shù)陣范數(shù) A=(aij)A=(aij) CnCn n n證證: : 非負性非負性, ,齊次性顯然齊次性顯然 三角不等式三角不等式: :A+B= n maxi,j|aij+bij|A+B= n

45、maxi,j|aij+bij| n maxi,j|aij|+n n maxi,j|aij|+n maxi,j|bij|=A+Bmaxi,j|bij|=A+B 相容性相容性: :AB= n maxi,j|ai1b1j+ainbnj|AB= n maxi,j|ai1b1j+ainbnj| n2 maxi,t|ait| maxtj|btj| n2 maxi,t|ait| maxtj|btj| =n maxi,j|aij|(n =n maxi,j|aij|(n maxi,j|bij|)=ABmaxi,j|bij|)=AB習題習題#5-3#5-3設(shè)設(shè)是誘導范數(shù)是誘導范數(shù)detAdetA 0 0 試證試證

46、: : A A CnCn n,A-1n,A-1 A-1A-1和和 A-1-1= minxA-1-1= minx 0(Ax/x).0(Ax/x).證證: 1=E=AA-1: 1=E=AA-1 AA-1AA-1 detA detA 0 0 A0 A0 A-1 A-1 1/A=A-1.1/A=A-1.A-1= maxxA-1= maxx 0(A-1x/x)0(A-1x/x) = maxy = maxy 0(y/Ay) y=A-1x0(y/Ay) y=A-1x 0 0 x x 0 0 = maxy = maxy 0(1/(Ay/y)0(1/(Ay/y) = 1/miny = 1/miny 0(Ay/y

47、)0(Ay/y) A-1-1= minx A-1-1= minx 0(Ax/x).0(Ax/x).同一向量的三種范數(shù)之間的大小關(guān)系同一向量的三種范數(shù)之間的大小關(guān)系習題習題#5-4:#5-4:對對n n維線性空間的任意向量維線性空間的任意向量x x成立成立 xx x2 x2 x1 x1 nxnx nx2 nx2 nx1 nx1 n2xn2x 證證: :xx = max|x1|,|xn|= max|x1|,|xn| ( ( i=1n|xi|2)1/2 = x2i=1n|xi|2)1/2 = x2 (|x1|+|xn|)2)1/2 = (|x1|+|xn|)2)1/2 = x1x1 n max|x1

48、|,|xn| = n max|x1|,|xn| = nxnx 習題習題#5-6A#5-6A CnCn n n是正定矩陣是正定矩陣,x,x CnCn 證明證明:x=(x:x=(x* *Ax)1/2 Ax)1/2 是向量范數(shù)是向量范數(shù). .解解1:1:因因A A是正定是正定HermiteHermite矩陣矩陣A,A,故存在可逆故存在可逆矩陣矩陣B B使得使得A=BA=B* *B.B.則則x x的上述表示式可寫的上述表示式可寫為為: :x=(xx=(x* *Ax)1/2 =(Bx)Ax)1/2 =(Bx)* *(Bx)1/2 (Bx)1/2 =Bx2=Bx2 其中其中2 2 是向量是向量2-2-范數(shù)

49、范數(shù). .再注意可逆矩陣再注意可逆矩陣B B的性質(zhì)的性質(zhì):x=0 :x=0 Bx=0, Bx=0,即可直接推出非即可直接推出非負性負性. .kx=B(kx)2=|k|Bx2=|k|xkx=B(kx)2=|k|Bx2=|k|x 推出齊次性推出齊次性; ;三角不等式則由下式推出三角不等式則由下式推出: :x+y=B(x+y)2x+y=B(x+y)2 Bx2+By2Bx2+By2#5-6 A#5-6 A正定正定, ,定義定義x x Cn,x=(xCn,x=(x* *Ax)1/2Ax)1/2試證試證: : 是一個向量范數(shù)是一個向量范數(shù). .解解2:2:驗證矩陣范數(shù)驗證矩陣范數(shù)3 3條公理成立條公理成立

50、. .前兩條顯然成立前兩條顯然成立. .只須證三角不等式只須證三角不等式. . x+y2=(x+y) x+y2=(x+y)* *A(x+y)=(xA(x+y)=(x* *+y+y* *)(Ax+Ay)(Ax+Ay) =x =x* *Ax+yAx+y* *Ay+xAy+x* *Ay+yAy+y* *AxAx =x2+y2+2Re(x =x2+y2+2Re(x* *Ay)Ay)令令B B為為A A的正定的正定HermiteHermite平方根平方根:A=BB,:A=BB,那么那么 x x* *Ay=xAy=x* *BBy=(Bx)BBy=(Bx)* *(By)=(Bx,By) (By)=(Bx,B

51、y) 標準內(nèi)積標準內(nèi)積由由Cauchy-SchwarzCauchy-Schwarz不等式不等式 |2Re(x|2Re(x* *Ay)| Ay)| 2|x 2|x* *Ay|Ay| 2(Bx,Bx)1/2(By,By)1/2 = 2(Bx,Bx)1/2(By,By)1/2 = 2xy2xy x+y2 x+y2 (x+y)2, (x+y)2, 得證所需結(jié)論得證所需結(jié)論. .習題習題#5-7#5-7試找一個收斂的試找一個收斂的2 2階可逆方陣序列其極限矩階可逆方陣序列其極限矩陣不可逆陣不可逆 解解: :下列矩陣序列滿足所提條件下列矩陣序列滿足所提條件: :AkAk的行列式都大于的行列式都大于0,0,

52、故可逆故可逆, ,但極限矩陣是但極限矩陣是行列式不為行列式不為0 0的不可逆矩陣的不可逆矩陣: :,.3 , 2 , 1;11kAkk01)(lim1lim1kkkkA習題習題#5-9 #5-9 計算矩陣冪級數(shù)計算矩陣冪級數(shù) 試計算冪級數(shù)試計算冪級數(shù): : 解解1:1:利用利用JordanJordan標準形標準形B=Pdiag(.5,-.3)P-1,P=B=Pdiag(.5,-.3)P-1,P=解解2:2:利用譜半徑小于利用譜半徑小于1 1的矩陣性質(zhì)的矩陣性質(zhì), , (B)=0.51.(B)=0.51. E+ E+ k=1k=1 Bk=(E-B)-1=Bk=(E-B)-1= 答案是答案是 k=

53、1k=1 Bk =Bk =解解3: 3: 也可利用也可利用 (B)(B) B1=BB1=B =0.91=0.91=R.:21=R. 所以所以, ,此矩陣冪級數(shù)發(fā)散此矩陣冪級數(shù)發(fā)散. .(2):(2):解解: :因因A1=MAX0.9,0.8,0.9=0.91=R,A1=MAX0.9,0.8,0.9=0.91=R=MAX1.1,0.9,0.6=1.11=R2011,0AAkk04.02.01.01.07.08.03.00,0AkAkk補充題補充題5 5* *5 5下列矩陣冪級數(shù)是否絕對收斂下列矩陣冪級數(shù)是否絕對收斂? ?(3)(3)解解1:1:此矩陣冪級數(shù)對應冪級數(shù)的收斂半徑此矩陣冪級數(shù)對應冪級

54、數(shù)的收斂半徑因因AA =MAX1.7,1.9=1.9R,=MAX1.7,1.9=1.9R.(A1=2.3R發(fā)散？）發(fā)散？）解解2:2:此矩陣冪級數(shù)等價于此矩陣冪級數(shù)等價于而的矩陣冪級數(shù)絕對收斂而的矩陣冪級數(shù)絕對收斂(B(B =0.951).=0.951).8 .01 .15 .02 .1,20AAkkk2lim12121kkkR4 . 055. 05 . 26 . 0,22000BBAAkkkkkkk習題習題#6-5#6-5求已知矩陣求已知矩陣A A的最小多項式的最小多項式 知知 A= A= 解解I:I:解解II: II: A(A( )=dn()=dn( )=Dn()=Dn( )/Dn-1()

55、/Dn-1( ) ) =( =( -1)3/(-1)3/( -1)=(-1)=( -1)2 -1)2 1114320013) 1(111432001det)det()(AED22) 1()(,0, 0321532110321532110)(AEAEA故因11143,1142,1132,*01gcd1nD習題習題#6-5#6-5求已知矩陣求已知矩陣A A的最小多項式的最小多項式 知知 A= A= 解解I:I:因因 A+E A+E 和和 A-2EA-2E都都 0,0,并且并且(A-2E)(A+E)= 0,(A-2E)(A+E)= 0,故故 A(A( )=()=( -2)(-2)( +1)+1)01

56、11011102) 1)(2(1001) 2(1111111) 2(111111|AE0111111111211121112)(2(EAEA習題習題#6-5#6-5求已知矩陣求已知矩陣A A的最小多項式的最小多項式 知知 A= A= 解解II:II: A(A( )=dn()=dn( )=Dn()=Dn( )/Dn-1()/Dn-1( ) ) =( =( -2)(-2)( +1)2/(+1)2/( +1)=(+1)=( -2)(-2)( -1)-1)011101110112001101011001EA 習題習題#6-6#6-6已知矩陣已知矩陣A A求求f(A)f(A)的的JordanJordan

57、表示表示式式 知知 A= A= 解解: :因因 (A-E)(A-2E) (A-E)(A-2E) 0, 0,故故 A(A( )=()=( -1)(-1)( -2)2,-2)2,從而得從而得A A的初等因子為的初等因子為: : -1,(-1,( -2)2.-2)2.設(shè)變設(shè)變換矩陣為換矩陣為P=(P=( 1,1, 2,2, 3),3),那么那么 A(A( 1,1, 2,2, 3)=(3)=( 1,1, 2,2, 3)3) 給出給出(A-E)(A-E) 1=0,(A-2E)1=0,(A-2E) 2=0,(A-2E)2=0,(A-2E) 3=3= 2 2 解這些方程組求得解這些方程組求得 P=(P=(

58、1,1, 2,2, 3)=3)=2001200012001210002) 2)(1(200121001|AE100011001習題習題#6-6#6-6續(xù)續(xù): : :)(005/1)()()(00)(42121214141arctgarctgarctgarctgarctgAarctg11100011001)2()2()2() 1 (100011001)2()2()2() 1 ()(ffffPffffPAf)2(00)2()2()2() 1 (00) 1 (100011001)2(00)2()2() 1 (00) 1 (fffffffffffttttttAtAeeeeeeeeeeeeee22222

59、22200)00,00)00注注: : f(x)=arctg(x/4) f(x)=arctg(x/4) f f (x)= (x)= 51204)2(,1644114122fxx補充題補充題#6#6* *1 1 已知已知A A和和p(p( ),),求求p(A)p(A)知知 A= A= p(p( )=)= 4-24-2 3+3+ -1,f(-1,f( )=)= 12-412-4 11+411+4 10-10- +3+3解解I:I:易見的特征多項式易見的特征多項式D(D( )=()=( -2)3.-2)3.(A-2E)2=0&A-2E(A-2E)2=0&A-2E 0 0 A(A( )

60、=()=( -2)2=-2)2= 2-42-4 +4+4p(p( )=()=( 2+22+2 +4)(+4)( 2-42-4 +4)+9+4)+9 -17-17 p(A)= 0+9A-17E = p(A)= 0+9A-17E =f(f( )=)= 10(10( 2-42-4 +4)-+4)- +3+3 p(A)= 0-A+3E = p(A)= 0-A+3E =1099989001311111002011121001解解II:II:由由D(D( )=()=( -2)3.-2)3.和和 A(A( )=()=( -2)2=-2)2= 2-2-4 4 +4+4A A有有JordanJordan標準形標準形 并有變換矩陣并有變換矩陣P P滿足滿足