全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題與解答B(yǎng)卷

1、2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（B卷）一試一、選擇題：（每小題8分，共64分）1.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且則的值為 2.設(shè)，則平面點(diǎn)集的面積為 3.已知復(fù)數(shù)滿足（表示的共軛復(fù)數(shù)），則的所有可能值的積為 4.已知均為定義在上的函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且，則的值為 5.將紅、黃、藍(lán)3個(gè)球隨機(jī)放入5個(gè)不同的盒子中，恰有兩個(gè)球放在同一盒子的概率為 6.在平面直角坐標(biāo)系中，圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為則直線的方程為 7.已知正四棱錐-的高等于長度的一半，是側(cè)棱的中點(diǎn)，是側(cè)棱上點(diǎn)，滿足，則異面直線所成角的余弦值為 8.設(shè)正整數(shù)滿足，且這樣的的個(gè)數(shù)為 這里，其中表示不超過的最大整數(shù)二、解答題：

2、（共3小題，共56分）9.（16分）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且是方程的兩個(gè)不同的解，求的值10.（20分）在中，已知（1）將的長分別記為，證明：；（2）求的最小值11.（20分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的方程為求符合以下要求的所有大于的實(shí)數(shù)：過點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線與，若與雙曲線交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，則總有成立加試一、（40分）非負(fù)實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)滿足：（1）；（2）是奇數(shù)求的最小值二、（40分）設(shè)是正整數(shù)，且是奇數(shù)已知的不超過的正約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，證明：有一個(gè)約數(shù)，滿足三、（50分）如圖所示，是平行四邊形，是的重心，點(diǎn)在直線上，使得證明：平分 四、（50分）設(shè)是任意一個(gè)11元實(shí)數(shù)集合令

3、集合求的元素個(gè)數(shù)的最小值2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（B卷）試題及答案一試一、選擇題：（每小題8分，共64分）1.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且則的值為 答案：6解：由于且故另解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則又因而，從而2.設(shè)，則平面點(diǎn)集的面積為 答案：7解：點(diǎn)集如圖中陰影部分所示，其面積為3.已知復(fù)數(shù)滿足（表示的共軛復(fù)數(shù)），則的所有可能值的積為 答案：3解：設(shè)由知，比較虛、實(shí)部得又由知，從而有即，進(jìn)而于是，滿足條件的復(fù)數(shù)的積為4.已知均為定義在上的函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且，則的值為 答案：2016.解：由條件知 由圖像的對(duì)稱性，可得結(jié)合知， 由、解得從而另解：因?yàn)椋?所以 因?yàn)?/p>

4、的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以 又因?yàn)榈膱D像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)，從而 將、代入，再移項(xiàng)，得 在式中令，得 由、解得于是 5.將紅、黃、藍(lán)3個(gè)球隨機(jī)放入5個(gè)不同的盒子中，恰有兩個(gè)球放在同一盒子的概率為 解：樣本空間中有個(gè)元素而滿足恰有兩個(gè)球放在同一盒子的元素個(gè)數(shù)為過所求的概率為6.在平面直角坐標(biāo)系中，圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為則直線的方程為 答案：解：的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為由于兩圓關(guān)于直線對(duì)稱，所以它們的半徑相等因此解得故的圓心分別是直線就是線段的垂直平分線，它通過的中點(diǎn)，由此可得直線的方程是7.已知正四棱錐-的高等于長度的一半，是側(cè)棱的中點(diǎn)，是側(cè)棱上點(diǎn)，滿足，則異面直線所成角的余弦值為 解：如圖，

5、以底面的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正向，建立空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)此時(shí)高從而由條件知，因此設(shè)異面直線所成的角為，則8.設(shè)正整數(shù)滿足，且這樣的的個(gè)數(shù)為 這里，其中表示不超過的最大整數(shù)解：由于對(duì)任意整數(shù)，有等號(hào)成立的充分必要條件是，結(jié)合知，滿足條件的所有正整數(shù)為共有個(gè)另解：首先注意到，若為正整數(shù)，則對(duì)任意整數(shù)，若，則這是因?yàn)?，?dāng)時(shí)，這里是一個(gè)整數(shù)，故因此，當(dāng)整數(shù)滿足時(shí)，容易驗(yàn)證，當(dāng)正整數(shù)滿足時(shí)，只有當(dāng)時(shí)，等式才成立而，故當(dāng)時(shí)，滿足正整數(shù)的個(gè)數(shù)為二、解答題：（共3小題，共56分）9.（16分）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且是方程的兩個(gè)不同的解，求的值解 對(duì)，有即因此，是一元二次方程的兩個(gè)不同實(shí)根，

6、從而即由等比數(shù)列的性質(zhì)知，10.（20分）在中，已知（1）將的長分別記為，證明：；（2）求的最小值解 （1）由數(shù)量積的定義及余弦定理知，同理得，故已知條件化為即（2）由余弦定理及基本不等式，得等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)因此的最小值為11.（20分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的方程為求符合以下要求的所有大于的實(shí)數(shù)：過點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線與，若與雙曲線交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，則總有成立解 過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與易知，與交于點(diǎn)（注意這里），與交于點(diǎn)由條件知，解得這意味著符合條件的只可能為下面驗(yàn)證符合條件事實(shí)上，當(dāng)中有某條直線斜率不存在時(shí)，則可設(shè)，就是前面所討論的的情況，這時(shí)有若的斜率都存在，不妨設(shè)注意

7、這里（否則將與的漸近線平行，從而與只有一個(gè)交點(diǎn)）聯(lián)立與的方程知，即這是一個(gè)二次方程式，其判別式為故與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)同樣，與也有兩個(gè)不同的交點(diǎn)由弦長公式知，用代替，同理可得于是綜上所述，為符合條件的值加試一、（40分）非負(fù)實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)滿足：（1）；（2）是奇數(shù)求的最小值解：由已知條件（1）可得：于是（注意） 不妨設(shè)則 若，并且令則于是由條件（2）知，是奇數(shù)，所以是奇數(shù)，這與矛盾因此必有，或者則于是結(jié)合得又當(dāng)時(shí)滿足題設(shè)條件，且使得不等式等號(hào)成立，所以的最小值為1二、（40分）設(shè)是正整數(shù)，且是奇數(shù)已知的不超過的正約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，證明：有一個(gè)約數(shù)，滿足證明：記，則的不超過的正約數(shù)的集合是若結(jié)論不成立

8、，我們證明對(duì)，因?yàn)槭瞧鏀?shù)，故，又，而沒有在區(qū)間中的約數(shù)，故，即，故反過來，對(duì)，設(shè)，則，是奇數(shù)，又，故從而所以故的不超過的正約數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，與已知矛盾從而結(jié)論成立三、（50分）如圖所示，是平行四邊形，是的重心，點(diǎn)在直線上，使得證明：平分解：連接，與交于點(diǎn)由平行四邊形的性質(zhì)，點(diǎn)是的中點(diǎn)因此，點(diǎn)在線段上 由于，所以四點(diǎn)共圓，并且其外接圓是以為直徑的圓由相交弦定理知 取的中點(diǎn)注意到故有因此關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱于是 結(jié)合、，有，因此四點(diǎn)共圓 又所以，即平分 四、（50分）設(shè)是任意一個(gè)11元實(shí)數(shù)集合令集合求的元素個(gè)數(shù)的最小值解：先證明考慮到將中的所有元素均變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)時(shí)，集合不變，故不妨設(shè)中正數(shù)個(gè)數(shù)不少于負(fù)數(shù)個(gè)數(shù)下面分類討論：情況一：中沒有負(fù)數(shù)設(shè)是中的全部元素，這里于是上式從小到大共