全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)1卷

1、2013年高考理科數(shù)學(xué)試題解析（課標(biāo)）一、 選擇題共12小題。每小題5分，共60分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)。1、已知集合A=x|x22x0，B=x|x，則 ( )A、AB=Æ B、AB=R C、BAD、AB【命題意圖】本題主要考查一元二次不等式解法、集合運(yùn)算及集合間關(guān)系，是容易題.【解析】A=(-,0)(2,+), AB=R,故選B.2、若復(fù)數(shù)z滿足 (34i)z|43i |，則z的虛部為()A、4（B）（C）4（D）【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的計(jì)算，是容易題.【解析】由題知=，故z的虛部為，故選D.3、為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視

2、力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是 ()A、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B、按性別分層抽樣C、按學(xué)段分層抽樣D、系統(tǒng)抽樣【命題意圖】本題主要考查分層抽樣方法，是容易題.【解析】因該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，故最合理的抽樣方法是按學(xué)段分層抽樣，故選C.4、已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為. . . .【命題意圖】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，是簡(jiǎn)單題.【解析】由題知，即=，=，=，的漸近線方程為，故選.5、運(yùn)行如下程序框圖，

3、如果輸入的，則輸出s屬于.-3,4 .-5,2 .-4,3 .-2,5【命題意圖】本題主要考查程序框圖及分段函數(shù)值域求法，是簡(jiǎn)單題.【解析】有題意知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，輸出s屬于-3,4，故選.6、如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為 ( )A、cm3B、cm3 C、cm3 D、cm3【命題意圖】本題主要考查球的截面圓性質(zhì)、球的體積公式，是容易題.【解析】設(shè)球的半徑為R，則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為R-2，則，解得R=5，球的體積為=，故選A

4、.7、設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，2，0，3，則 ( )A、3 B、4 C、5 D、6【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式，考查方程思想，是容易題.【解析】有題意知=0，=（-）=2，= -=3，公差=-=1，3=，=5，故選C.8、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為. . . .【命題意圖】本題主要考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖及簡(jiǎn)單組合體體積公式，是中檔題.【解析】由三視圖知，該幾何體為放到的半個(gè)圓柱底面半徑為2高為4，上邊放一個(gè)長(zhǎng)為4寬為2高為2長(zhǎng)方體，故其體積為 =，故選.9、設(shè)m為正整數(shù)，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，若13=7

5、，則 ( )A、5 B、6C、7D、8【命題意圖】本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)最大值及組合數(shù)公式，考查方程思想，是容易題.【解析】由題知=，=，13=7，即=，解得=6，故選B.10、已知橢圓1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為 ()A、1B、1C、1D、1【命題意圖】本題主要考查橢圓中點(diǎn)弦的問題，是中檔題.【解析】設(shè)，則=2，=2， 得，=，又=，=，又9=，解得=9，=18，橢圓方程為，故選D.11、已知函數(shù)=，若|，則的取值范圍是. . .-2,1 .-2,0【命題意圖】本題主要考查函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)

6、范圍問題的解法，是難題?！窘馕觥縷=，由|得，且，由可得，則-2，排除，當(dāng)=1時(shí)，易證對(duì)恒成立，故=1不適合，排除C，故選D.12、設(shè)AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an,bn,cn，AnBnCn的面積為Sn，n=1,2,3,若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，則()A、Sn為遞減數(shù)列B、Sn為遞增數(shù)列C、S2n1為遞增數(shù)列，S2n為遞減數(shù)列D、S2n1為遞減數(shù)列，S2n為遞增數(shù)列【命題意圖】【解析】B第卷本卷包括必考題和選考題兩個(gè)部分。第（13）題-第（21）題為必考題，每個(gè)考生都必須作答。第（22）題-第（24）題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二填空題：本大題共四小題，每小題5

7、分。13、已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，cta(1t)b，若b·c=0，則t=_.【命題意圖】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，是容易題.【解析】=0，解得=.14、若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是=_.【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式及數(shù)列第n項(xiàng)與其前n項(xiàng)和的關(guān)系，是容易題.【解析】當(dāng)=1時(shí)，=，解得=1，當(dāng)2時(shí)，=()=，即=，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，=.15、設(shè)當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f(x)sinx2cosx取得最大值，則cos=_【命題意圖】本題主要考查逆用兩角和與差公式、誘導(dǎo)公式、及簡(jiǎn)單三角函數(shù)的最值問題，是難題.【解析】=令=，則=，

8、當(dāng)=，即=時(shí)，取最大值，此時(shí)=，=.16、若函數(shù)=的圖像關(guān)于直線=2對(duì)稱，則的最大值是_.【命題意圖】本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，是難題.【解析】由圖像關(guān)于直線=2對(duì)稱，則0=，0=，解得=8，=15，=，=當(dāng)(,)(2, )時(shí)，0，當(dāng)(,2)(,+)時(shí)，0，在（，）單調(diào)遞增，在（，2）單調(diào)遞減，在（2，）單調(diào)遞增，在（，+）單調(diào)遞減，故當(dāng)=和=時(shí)取極大值，=16.三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17、（本小題滿分12分）如圖，在ABC中，ABC90°，AB=，BC=1，P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，BPC90°(1)若PB=，求PA；(2)若AP

9、B150°，求tanPBA【命題意圖】本題主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及兩角和與差公式，是容易題.【解析】（）由已知得，PBC=，PBA=30o，在PBA中，由余弦定理得=，PA=；（）設(shè)PBA=，由已知得，PB=，在PBA中，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得，=，=.18、（本小題滿分12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60°.（）證明ABA1C;（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值?！久}意圖】本題主要考查空間線面、線線垂直的判定與性質(zhì)及線面角的計(jì)算，考查空間想象能

10、力、邏輯推論證能力，是容易題.【解析】（）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE，AB=，=，是正三角形，AB， CA=CB， CEAB， =E，AB面， AB； 6分（）由（）知ECAB，AB，又面ABC面，面ABC面=AB，EC面，EC，EA，EC，兩兩相互垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，|為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有題設(shè)知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(1,0,0),則=（1,0，）,=(1,0,),=(0,), 9分設(shè)=是平面的法向量，則，即，可取=（，1，-1），=，直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值為. 12分19、（本小題滿分12分）一批產(chǎn)品需要

11、進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n。如果n=3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n=4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)。假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立（1）求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；（2）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望?！久}意圖】【解析】設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為

12、事件A，第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件E，根據(jù)題意有E=(AB)(CD),且AB與CD互斥，P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.6分（）X的可能取值為400,500,800，并且P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)=，X的分布列為X400500800P 10分EX=400×+500×+800×=506.25 12分(20)(本小題滿分12分)已知圓:,圓:,動(dòng)圓與外切并且與圓內(nèi)切，

13、圓心的軌跡為曲線 C.（）求C的方程；（）是與圓,圓都相切的一條直線，與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|. 【命題意圖】【解析】由已知得圓的圓心為（-1，0）,半徑=1，圓的圓心為(1,0),半徑=3.設(shè)動(dòng)圓的圓心為（，），半徑為R.（）圓與圓外切且與圓內(nèi)切，|PM|+|PN|=4，由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左右焦點(diǎn)，場(chǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為.（）對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)（，），由于|PM|-|PN|=2，R2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為（2，0）時(shí)，R=2.當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為，當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí)，則與軸重合，可得|AB|=.當(dāng)?shù)膬A斜角不

14、為時(shí)，由R知不平行軸，設(shè)與軸的交點(diǎn)為Q，則=，可求得Q（-4，0），設(shè)：，由于圓M相切得，解得.當(dāng)=時(shí)，將代入并整理得，解得=，|AB|=.當(dāng)=時(shí)，由圖形的對(duì)稱性可知|AB|=，綜上，|AB|=或|AB|=.（21）（本小題滿分共12分）已知函數(shù)，若曲線和曲線都過點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線（）求，的值（）若2時(shí)，求的取值范圍?！久}意圖】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、函數(shù)最值，考查運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí),是中檔題.【解析】（）由已知得，而=，=，=4，=2，=2，=2；4分（）由（）知，設(shè)函數(shù)=（），=，有題設(shè)可得0，即，令=0得，=，=2，（

15、1）若，則20，當(dāng)時(shí)，0，當(dāng)時(shí)，0，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在=取最小值，而=0，當(dāng)2時(shí)，0，即恒成立，(2)若，則=，當(dāng)2時(shí)，0，在(2,+)單調(diào)遞增，而=0，當(dāng)2時(shí)，0，即恒成立，(3)若，則=0，當(dāng)2時(shí)，不可能恒成立，綜上所述，的取值范圍為1,.請(qǐng)考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的 方框涂黑。（22）（本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講 如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于D。 （）證明：DB

16、=DC； （）設(shè)圓的半徑為1，BC=3 ，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，求BCF外接圓的半徑?！久}意圖】本題主要考查幾何選講的有關(guān)知識(shí)，是容易題.【解析】（）連結(jié)DE，交BC與點(diǎn)G.由弦切角定理得，ABF=BCE，ABE=CBE，CBE=BCE，BE=CE，又DBBE，DE是直徑，DCE=，由勾股定理可得DB=DC.（）由（）知，CDE=BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂線，BG=.設(shè)DE中點(diǎn)為O，連結(jié)BO，則BOG=，ABE=BCE=CBE=，CFBF， RtBCF的外接圓半徑等于.（23）（本小題10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為。（）把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（0,02）?！久}意圖】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程互化、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化及兩曲線交點(diǎn)求法、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化，是容易題.