信息與通信無(wú)限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

1、第10章無(wú)限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)10.1本章要點(diǎn)1、IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本概念及方法（1）IIR數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)可表示為：式中，稱為幅頻特性，表示信號(hào)通過(guò)濾波器后各頻率成分的衰減情況；稱為相頻特性，反映各頻率成分通過(guò)濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。對(duì)IIR數(shù)字濾波器，通常用幅頻響應(yīng)來(lái)描述性能指標(biāo)。需要注意的是數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是以為周期的，濾波器的低頻頻帶處于的整數(shù)倍附近，而高頻頻帶處于的奇數(shù)倍附近，這是數(shù)字濾波器與模擬濾波器的最大區(qū)別。所以，一般只給出區(qū)間上的性能指標(biāo)描述。IIR低通濾波器的幅頻特性如圖10-1所示。圖中，和分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率。通

2、帶頻率范圍為，在通帶中要求；阻帶頻率范圍為，在阻帶中要求；從到稱為過(guò)渡帶，在過(guò)渡帶內(nèi)，幅頻響應(yīng)平滑地從通帶下降到阻帶。在具體指標(biāo)中往往用通帶內(nèi)允許的最大衰減表示，用阻帶內(nèi)允許的最小衰減表示，和分別定義為：如果將歸一化為1，則和可分別表示為：當(dāng)時(shí)，幅度下降到，此時(shí)，所以常稱為3dB通帶截止頻率。是濾波器設(shè)計(jì)的重要參數(shù)之一。圖10-1IIR低通濾波器的幅頻特性（2）IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器，可分為以下3步： 根據(jù)實(shí)際要求確定濾波器的性能指標(biāo)。 用一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這些指標(biāo)。系統(tǒng)函數(shù)分為兩類，即IIR系統(tǒng)函數(shù)和FIR系統(tǒng)函數(shù)。因此，應(yīng)根據(jù)所要求的濾波器性能，先確定采用哪

3、種類型（IIR或FIR）的濾波器，然后按照這類濾波器的設(shè)計(jì)方法求得系統(tǒng)函數(shù)，使其盡可能地逼近濾波器的性能要求。 用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。本章和下一章主要討論第二步的內(nèi)容，即如何設(shè)計(jì)IIR濾波器和FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)使其逼近已給定的濾波器的性能指標(biāo)。圖10-2歸納了IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法。圖10-2IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法一覽圖 下面將對(duì)圖10-2中給出的五種設(shè)計(jì)方法及其學(xué)習(xí)要點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)單歸納。2、IIR數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)一個(gè)N階IIR數(shù)字濾波器的有理系統(tǒng)函數(shù)可表示為：其對(duì)應(yīng)的差分方程為：注：以下只討論的情況。（1）直接型結(jié)構(gòu)IIR數(shù)字濾波器的差分方程代表了一種最直接的

4、計(jì)算公式，用流圖表現(xiàn)出來(lái)的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)稱為直接I型結(jié)構(gòu)，如圖10-3所示。圖10-3 直接I型結(jié)構(gòu)直接I型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)： 兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)，第一個(gè)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)，第二個(gè)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)。 共需個(gè)延時(shí)單元。 調(diào)整零、極點(diǎn)困難。這是因?yàn)橄到y(tǒng)的任何一個(gè)零點(diǎn)都與系數(shù)有關(guān)，而任何一個(gè)極點(diǎn)都與系數(shù)有關(guān)。如果要調(diào)整任何一個(gè)零點(diǎn)（或極點(diǎn)）位置，就要改變?nèi)舾蓚€(gè)系數(shù)的值，這必然又引起其它零點(diǎn)（或極點(diǎn)）的變化。所以這種濾波器不便于調(diào)整濾波器的頻率響應(yīng)性能。交換直接I型結(jié)構(gòu)中兩個(gè)級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的次序，再合并中間兩條具有相同輸入的延時(shí)支路，便得到直接II型結(jié)構(gòu)。直接II型結(jié)構(gòu)如圖10-4所示。圖10-4 直接II型結(jié)構(gòu)直接II型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)：

5、兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)，第一個(gè)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)，第二個(gè)網(wǎng)路實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)。 對(duì)于階濾波器只需個(gè)延時(shí)單元，比直接I型結(jié)構(gòu)的延時(shí)單元少，這也是實(shí)現(xiàn)階濾波器所需的最少延時(shí)單元。 同直接I型結(jié)構(gòu)一樣，具有性能調(diào)整困難的缺點(diǎn)。（2）級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)將系統(tǒng)函數(shù)分解成多個(gè)二階子系統(tǒng)函數(shù)的乘積形式：式中，（符號(hào)表示取整）可見，濾波器可由若干個(gè)二階子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)構(gòu)成。的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖10-5所示。圖10-5 二階子系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，必有一個(gè)二階子系統(tǒng)函數(shù)的（即變?yōu)橐粋€(gè)一階子系統(tǒng)函數(shù)）；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，必有一個(gè)二階子系統(tǒng)函數(shù)的。級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)： 由于級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)中每個(gè)二階子系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)一定是整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)，所以調(diào)整零、極點(diǎn)容易

6、。調(diào)整系數(shù)、就能單獨(dú)調(diào)整濾波器的第對(duì)零點(diǎn)，而不影響其它零、極點(diǎn)；同樣，調(diào)整系數(shù)、就能單獨(dú)調(diào)整濾波器的第對(duì)極點(diǎn)，而不影響其它零、極點(diǎn)。這種結(jié)構(gòu)便于調(diào)整濾波器的頻率響應(yīng)性能。 極點(diǎn)和零點(diǎn)的配對(duì)方式以及二階子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)順序有多種排列組合，具有很大的靈活性。（3）并聯(lián)型結(jié)構(gòu)將系統(tǒng)函數(shù)展開成部分分式的形式：當(dāng)時(shí)，上式中不包含第一項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，第一項(xiàng)為。且?？梢姡瑸V波器可由若干個(gè)二階子系統(tǒng)并聯(lián)構(gòu)成。二階子系統(tǒng)函數(shù)的形式為：其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖10-6所示。圖10-6 二階子系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，必有一個(gè)二階子系統(tǒng)函數(shù)的、（即變?yōu)橐粋€(gè)一階子系統(tǒng)函數(shù)），此時(shí)系統(tǒng)函數(shù)的形式為：其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖10-7所示。圖10-7

7、一階子系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)并聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)： 并聯(lián)型結(jié)構(gòu)中每個(gè)二階子系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)一定是整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)，但每個(gè)二階子系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)不是整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)，所以調(diào)整極點(diǎn)方便，調(diào)整零點(diǎn)不方便。 誤差較小。因?yàn)楦鱾€(gè)子系統(tǒng)是并聯(lián)的，產(chǎn)生的運(yùn)算誤差互不影響，不像直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)那樣有誤差積累。 運(yùn)算速度較快。因?yàn)楦鱾€(gè)子系統(tǒng)是并聯(lián)的，可同時(shí)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行運(yùn)算。3、模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)流程圖如圖10-8所示。圖10-8 模擬濾波器設(shè)計(jì)流程圖由于各種典型模擬濾波器的歸一化低通原型不僅有簡(jiǎn)單而嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，而且設(shè)計(jì)參數(shù)已圖表化，因此設(shè)計(jì)起來(lái)方便準(zhǔn)確。所以，對(duì)高通、帶通和帶阻模擬濾波器的設(shè)計(jì)，應(yīng)

8、首先將其指標(biāo)參數(shù)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的歸一化低通指標(biāo)參數(shù)，這樣就轉(zhuǎn)化為設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器，最后將設(shè)計(jì)好的歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成實(shí)際濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。（1）幾種典型模擬濾波器的類型及其特點(diǎn)（對(duì)相同的階數(shù)） 巴特沃斯濾波器：幅頻響應(yīng)單調(diào)下降。設(shè)計(jì)最簡(jiǎn)單，靈敏度特性最好，但選擇性最差。 切比雪夫?yàn)V波器：切比雪夫I型的幅頻響應(yīng)在通帶內(nèi)等波紋振動(dòng)，在阻帶內(nèi)單調(diào)下降；切比雪夫II型的幅頻響應(yīng)在通帶內(nèi)單調(diào)下降，在阻帶內(nèi)等波紋振動(dòng)。設(shè)計(jì)較巴特沃斯復(fù)雜，靈敏度特性較巴特沃斯次之，但選擇性比巴特沃斯好。 橢圓濾波器：幅頻響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)均為等波紋。設(shè)計(jì)最復(fù)雜，靈敏度特性最差，但選擇性最好。 根據(jù)以上各種類型模擬濾波器

9、的特點(diǎn)，選擇適合設(shè)計(jì)要求的類型。（2）設(shè)計(jì)模擬低通濾波器下面僅以巴特沃斯濾波器為例進(jìn)行說(shuō)明。設(shè)計(jì)步驟及有關(guān)公式歸納如下： 根據(jù)指標(biāo)參數(shù)計(jì)算階數(shù)式中，為通帶截止頻率，為阻帶截止頻率，為通帶最大衰減，為阻帶最小衰減。求出的可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于的最小整數(shù)。 求歸一化低通原型的系統(tǒng)函數(shù)階巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：式中，為3dB截止頻率，為系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)， 所謂歸一化低通原型，就是對(duì)歸一化的低通。歸一化系統(tǒng)函數(shù)為：式中，為歸一化極點(diǎn)， 也可以根據(jù)階數(shù)，直接查表10-1得到極點(diǎn)和歸一化系統(tǒng)函數(shù)。 求實(shí)際系統(tǒng)函數(shù)將去歸一化。即將代入，便得到實(shí)際系統(tǒng)函數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有直接給

10、出，可按下式求得：采用上式確定，阻帶指標(biāo)有富裕量?；虬聪率角蟮茫翰捎蒙鲜酱_定，通帶指標(biāo)有富裕量。表10-1 巴特沃斯歸一化低通原型濾波器參數(shù)（3）設(shè)計(jì)模擬高通、帶通和帶阻濾波器下面僅給出圖10-8中第二步和第四步所涉及的轉(zhuǎn)換公式。先規(guī)定一些符號(hào)如下：低通濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù)用表示，令，稱為歸一化頻率，稱為歸一化復(fù)變量。需要設(shè)計(jì)的濾波器（高通、帶通和帶阻）的歸一化系統(tǒng)函數(shù)用表示，令，稱為歸一化頻率，稱為歸一化復(fù)變量。 低通到高通的頻率變換低通和高通濾波器的幅頻特性如圖10-9所示。圖10-9 低通和高通濾波器的幅頻特性圖中，和分別稱為低通濾波器的歸一化通帶截止頻率和歸一化阻帶截止頻率；和分別稱

11、為高通濾波器的歸一化通帶下限頻率和歸一化阻帶上限頻率。低通到高通的頻率變換公式為：所以，有：，低通濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù)到高通濾波器的實(shí)際系統(tǒng)函數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：低通到帶通的頻率變換低通和帶通濾波器的幅頻特性如圖10-10所示。圖10-10 低通和帶通濾波器的幅頻特性圖中，和分別稱為帶通濾波器的通帶上限頻率和通帶下限頻率，令，稱為通帶帶寬，一般用作為歸一化參考頻率，和分別稱為下阻帶的上限頻率和上阻帶的下限頻率。另外定義，稱為通帶中心頻率。低通到帶通的頻率變換公式為：所以，有：，與的絕對(duì)值可能不相等，一般取絕對(duì)值小的。低通濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù)到帶通濾波器的實(shí)際系統(tǒng)函數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：低通到帶阻的頻

12、率變換低通和帶阻濾波器的幅頻特性如圖10-11所示。圖10-11 低通和帶阻濾波器的幅頻特性圖中，和分別稱為帶阻濾波器的上通帶截止頻率和下通帶截止頻率，和分別稱為阻帶的下限頻率和上限頻率，為阻帶中心頻率，令，稱為阻帶帶寬，一般用作為歸一化參考頻率。另外，定義。低通到帶阻的頻率變換公式為：所以，有：，與的絕對(duì)值可能不相等，一般取絕對(duì)值小的。低通濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù)到帶阻濾波器的實(shí)際系統(tǒng)函數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：4、借助模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器由于模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，而且有多種具有優(yōu)良特性的典型模擬濾波器可供選用，所以常常借助模擬濾波器來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，其設(shè)計(jì)流程圖如圖10

13、-12所示。圖10-12 借助模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的流程圖圖10-12中的第三步前面已經(jīng)介紹過(guò)。所以只要掌握了第二步和第四步，就可以完成數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。下面分別歸納用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法將轉(zhuǎn)換成的方法與公式，以及相應(yīng)的數(shù)字頻率與模擬頻率之間的關(guān)系式。（1）沖激響應(yīng)不變法設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)只有單階極點(diǎn)，且假定分母的階次大于分子的階次。用沖激響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換成的方法如下：將展開成部分分式：將平面的極點(diǎn)映射成平面的極點(diǎn)，的表達(dá)式為：且滿足，為采樣間隔。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)之間的關(guān)系為：， 上式表明，是的周期延拓，且模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系。只有當(dāng)是帶限

14、的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，才不會(huì)產(chǎn)生頻率混疊。因此，模擬濾波器的頻率特性應(yīng)滿足條件：那么此時(shí)數(shù)字濾波器可以很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率響應(yīng)，這就是沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)。但是，任何一個(gè)實(shí)際模擬濾波器的頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格帶限的，這樣就一定會(huì)發(fā)生程度不同的混疊失真，這是該方法的缺點(diǎn)，使其不能用于設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器。由于數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與采樣間隔成反比，當(dāng)較小時(shí)，濾波器增益就會(huì)太高。為避免這一現(xiàn)象，可做以下修正，令則有：（2）雙線性變換法雙線性變換法的設(shè)計(jì)思想是首先把整個(gè)平面壓縮變換到某一中介的平面的一條水平帶里（寬度為，即從到），用正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：則有：然后通過(guò)變換關(guān)系將此水平帶變換到

15、整個(gè)平面上，從而得到平面和平面的映射關(guān)系為：用雙線性變換法將轉(zhuǎn)換成的公式為：為采樣間隔。模擬頻率與數(shù)字頻率之間的關(guān)系為：上式表明雙線性變換法存在非線性頻率失真，這是該方法的缺點(diǎn)。但正是由于這種非線性失真，將平面的虛軸壓縮為平面單位圓一周，才徹底消除了頻率混疊失真。而且這種非線性對(duì)設(shè)計(jì)具有片斷常數(shù)特性的數(shù)字濾波器基本無(wú)影響。但將數(shù)字濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)模擬濾波器的指標(biāo)時(shí)，必須進(jìn)行頻率預(yù)畸變校正。為了簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，已經(jīng)將的系數(shù)與的系數(shù)之間的關(guān)系列成表格，供設(shè)計(jì)時(shí)使用。設(shè)模擬系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式為：若分子多項(xiàng)式的階次小于分母多項(xiàng)式的階次，則令分子多項(xiàng)式的最高幾個(gè)階次的系數(shù)為零即可。又設(shè)經(jīng)雙線性變換后得到的

16、表達(dá)式為：表10-2給出了一階到三階的系數(shù)用系數(shù)表示的結(jié)果：表10-2 系數(shù)關(guān)系表表中，。對(duì)于更高階次的濾波器，可利用低階濾波器的級(jí)聯(lián)或并聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)。5、直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器所謂直接設(shè)計(jì)法，就是在數(shù)字域直接設(shè)計(jì)IIR濾波器。相對(duì)而言，借助模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器是先設(shè)計(jì)相應(yīng)的模擬濾波器，然后通過(guò)平面映射，將轉(zhuǎn)換成，所以這屬于間接設(shè)計(jì)法，幅頻特性受到所選模擬濾波器特性的限制。而需要設(shè)計(jì)任意幅頻特性的數(shù)字濾波器時(shí)，只能用直接設(shè)計(jì)法。（1）零極點(diǎn)累試法系統(tǒng)極點(diǎn)位置主要影響系統(tǒng)幅頻特性的峰值位置及其尖銳程度，零點(diǎn)位置主要影響系統(tǒng)幅頻特性的谷值位置及其凹下的程度。因此可以根據(jù)此特點(diǎn)設(shè)置系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)

17、，以達(dá)到簡(jiǎn)單的性能要求。所謂累試，就是當(dāng)特性尚未達(dá)到要求時(shí)，通過(guò)多次改變零極點(diǎn)的位置來(lái)達(dá)到要求。當(dāng)然這種方法只適用于設(shè)計(jì)幅頻特性簡(jiǎn)單，且對(duì)性能要求不高的濾波器。（2）頻域逼近法該方法就是一個(gè)最優(yōu)化過(guò)程，過(guò)程的開始是賦予所設(shè)計(jì)的參數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)、）一組初值，以后就是不斷地改變這組參數(shù)，并根據(jù)頻域最小均方誤差準(zhǔn)則，計(jì)算每組參數(shù)下的特性與所要求特性之間的誤差，當(dāng)此誤差達(dá)到要求的最小值時(shí)，所得到的這組參數(shù)即為最優(yōu)參數(shù)，設(shè)計(jì)過(guò)程完成。這種方法可用于設(shè)計(jì)任意幅頻特性的濾波器，并且對(duì)復(fù)雜的濾波器指標(biāo)能夠較精確地進(jìn)行設(shè)計(jì)。（3）時(shí)域逼近法該方法就是設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器，使其單位脈沖響應(yīng)逼近所要求的單位脈沖響

18、應(yīng)。假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)的未知系數(shù)和共有個(gè)，取的一段（），使其充分逼近，用此原則求解個(gè)系數(shù)。這種方法可用于設(shè)計(jì)任意幅頻特性的濾波器，但由于該方法只考慮時(shí)域逼近，因而當(dāng)濾波器頻率特性阻帶衰減要求過(guò)高時(shí)，這一方法就難于達(dá)到要求。10.2 精選例題例1 已知IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：試分別畫出直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型的結(jié)構(gòu)流圖。解（1）直接型例1解圖(a)（2）級(jí)聯(lián)型將的零、極點(diǎn)進(jìn)行因式分解，得或例1解圖(b)（3）并聯(lián)型將展開成部分分式，得例1解圖(c)例2 設(shè)表示一個(gè)模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，（1）用沖激響應(yīng)不變法，將此模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，確定系統(tǒng)函數(shù)。（2）證明：為任何值時(shí)，數(shù)字濾波器是穩(wěn)定

19、的。解（1）模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：的極點(diǎn)為，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：（2）的極點(diǎn)為：，所以，時(shí)，滿足穩(wěn)定條件。例3 設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器，要求幅頻特性單調(diào)下降。3dB截止頻率，阻帶截止頻率，阻帶最小衰減，采樣頻率，分別用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)。解（1）用沖激響應(yīng)不變換法設(shè)計(jì) 確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。在沖激響應(yīng)不變法中，（），所以有： 求模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)a. 根據(jù)題意，選擇巴特沃斯類型，計(jì)算階數(shù)取b. 查表得2階歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)c. 將去歸一化，得到實(shí)際系統(tǒng)函數(shù) 用沖激響應(yīng)不變法將模擬系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字

20、系統(tǒng)函數(shù)的結(jié)果是調(diào)用MATLAB中的函數(shù)impinvar求出的，這樣就不用將展開成部分分式。（2）用雙線性變換法設(shè)計(jì) 確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：與（1）的 相同。將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。在雙線性變換法中，。所以，這里要進(jìn)行頻率預(yù)畸變校正。這樣才能在雙線性變換引起的頻率非線性畸變后，保持?jǐn)?shù)字濾波器原來(lái)的邊界頻率不變。 求模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)a. 計(jì)算階數(shù) （與（1）的 相同）工程上允許時(shí)，為簡(jiǎn)化，可取b. 查表得1階歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)c. 將去歸一化，得到實(shí)際系統(tǒng)函數(shù) 用雙線性變換法將模擬系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)例4 設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器

21、，要求通帶截止頻率，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率，阻帶衰減不小于18dB，希望采用Butterworth型濾波器。解：1、設(shè)計(jì)歸一化Butterworth低通濾波器（1）確定數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。（2）確定相應(yīng)模擬高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，由于設(shè)計(jì)的是數(shù)字高通濾波器，所以應(yīng)選用雙線性變換法（?。?（3）將高通濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成低通濾波器指標(biāo)，歸一化參考頻率。低通指標(biāo)為： （4）設(shè)計(jì)歸一化Butterworth低通濾波器。 ，取得歸一化系統(tǒng)函數(shù)：2、頻率變換，求模擬高通。 3、用雙線性變換法將模擬高通轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通。 例5 用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器在時(shí)域上模仿了模擬濾波器的的特性。

22、實(shí)際工作中有時(shí)需要數(shù)字濾波器模仿模擬濾波器的單位階躍響應(yīng)波形。試推導(dǎo)出單位階躍響應(yīng)不變法的設(shè)計(jì)公式。解 階躍響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)模仿模擬濾波器的階躍響應(yīng)，即將模擬濾波器的階躍響應(yīng)加以等間隔采樣，使正好等于的采樣值，即滿足其中，是采樣周期。設(shè)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為（），如果其輸入端作用一個(gè)階躍函數(shù)，則其輸出端即為階躍響應(yīng)，因而滿足將上式兩端取Z變換，可得所以對(duì)于模擬濾波器，設(shè)其系統(tǒng)函數(shù)為，如果其輸入端作用一個(gè)階躍函數(shù)，則其輸出端即為階躍響應(yīng)，因而滿足將上式兩端取拉普拉斯變換，可得即要滿足階躍響應(yīng)不變法，應(yīng)有數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為這就是階躍響應(yīng)不變法由模擬系統(tǒng)函數(shù)映射成數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)的

23、公式。例6 一個(gè)線性時(shí)不變因果系統(tǒng)由下列差分方程描述：求系統(tǒng)函數(shù)，并判斷系統(tǒng)屬于FIR和IIR中的哪一類以及它的濾波特性。解對(duì)差分方程兩邊求Z變換，得：系統(tǒng)函數(shù)為：因?yàn)橛蟹橇銟O點(diǎn)，所以它是IIR。易畫出幅頻特性，判斷為高通濾波器。10.3 習(xí)題精解1 設(shè)系統(tǒng)用下面的差分方程描述：試畫出系統(tǒng)的直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解 對(duì)差分方程兩邊進(jìn)行變換，得：所以，系統(tǒng)函數(shù)為：（1）直接型題1解圖(a)（2）級(jí)聯(lián)型將的零、極點(diǎn)進(jìn)行因式分解，得按照上式可以有兩種級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)：或題1解圖(b)（3）并聯(lián)型將展開成部分分式，得題1解圖(c)2 設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：試畫出各種可能的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解 由于系統(tǒng)函數(shù)的分

24、子和分母各有兩個(gè)因式，可以有兩種級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。（1），題2解圖(a)（2） ，題2解圖(b)3設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯高通濾波器，要求其通帶截止頻率，阻帶截止頻率，處最大衰減為，阻帶最小衰減為。求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。解 （1）確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)易知3dB截止頻率為：歸一化邊界頻率為：（2）轉(zhuǎn)換成相應(yīng)低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)（3）設(shè)計(jì)歸一化低通。題目要求采用巴特沃斯類型，故所以，取，查表得3階巴特沃斯歸一化低通為：（4）將轉(zhuǎn)換成高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)式中，4設(shè)計(jì)一個(gè)切比雪夫低通濾波器，要求通帶截止頻率，通帶最大衰減，阻帶截止頻率，阻帶最小衰減。求濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù)和實(shí)際系統(tǒng)函數(shù)。解 （1）確定濾波器的技

25、術(shù)指標(biāo)（2）求濾波器階數(shù)和參數(shù)為了滿足指標(biāo)要求，取（3）求歸一化系統(tǒng)函數(shù)其中，極點(diǎn)由下式求出：（4）將去歸一化，求得實(shí)際系統(tǒng)函數(shù)其中，。因?yàn)?，所以，。將兩?duì)共軛極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的因子相乘，得到分母為二階因子的形式，其系數(shù)為實(shí)數(shù)。5 試分別用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法將下列模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)。（1），（2），解（1）沖激響應(yīng)不變法代入，雙線性變換法（2）沖激響應(yīng)不變法代入，雙線性變換法6 設(shè)表示一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，用沖激響應(yīng)不變法，將此模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器（表示單位取樣響應(yīng)，即）。確定系統(tǒng)函數(shù)，并把作為參數(shù)，證明：為任何值時(shí)，數(shù)字濾波器是穩(wěn)定的，并說(shuō)明數(shù)字濾波器近似為低通濾波器還是高通濾波器。解 模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：的極點(diǎn)，根據(jù)沖激響應(yīng)不變法，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：的極點(diǎn)為：，所以，時(shí)，滿足穩(wěn)定條件。定性畫出數(shù)字濾波器的幅頻特性，如題6解圖所示：題6解圖易知數(shù)字濾波器近似為低通濾波器。7 假設(shè)某模擬濾波器是一個(gè)低通濾波器，又知，數(shù)字濾波器的通帶中心位于下面哪種情況？并說(shuō)明原因。（1）（低通）（2）（高通）（3）除和以外的某一頻率（帶通）解方法1：按題意可寫出故 即 原模擬低通濾波器以為通帶中心，由上式可知，時(shí)，對(duì)應(yīng)于，故答案（2）正確。方法2：