3-05 定積分在幾何和經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

1、上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1第五第五節(jié)節(jié) 定積分在幾何和經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用定積分在幾何和經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用一、定積分的微元法一、定積分的微元法 二、定積分在幾何上的應(yīng)用二、定積分在幾何上的應(yīng)用三、定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用舉例三、定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用舉例四、小結(jié)四、小結(jié) 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2回顧回顧 曲邊梯形求面積的問(wèn)題曲邊梯形求面積的問(wèn)題 badxxfA)(一、定積分的微元法一、定積分的微元法 ab xyo)(xfy 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3iiixfA )( iix (3) 求

2、和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA 面積表示為定積分的面積表示為定積分的步驟步驟如下如下:上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院4ab xyo)(xfy (4) 求極限，得求極限，得A的精確值的精確值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面積元素面積元素上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院5當(dāng)所求量當(dāng)所求量U 符合下列條件：符合下列條件：( (1) ) U是與一個(gè)變量是與一個(gè)變量x的變化區(qū)間的變化區(qū)間a, b有關(guān)的量；有關(guān)的量；(2) U 對(duì)于

3、區(qū)間對(duì)于區(qū)間a, b具有可加性具有可加性. 就是說(shuō)就是說(shuō)，如果把區(qū)間如果把區(qū)間a, b分成許多部分區(qū)間，則分成許多部分區(qū)間，則U 相應(yīng)地分相應(yīng)地分成許多部分量，而成許多部分量，而 U等于所有部分量之和；等于所有部分量之和；就可以就可以考慮用定積分來(lái)表達(dá)這個(gè)量考慮用定積分來(lái)表達(dá)這個(gè)量U.上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院6元素法的元素法的一般步驟一般步驟：1) 根據(jù)問(wèn)題的具體情況，選取一個(gè)變量根據(jù)問(wèn)題的具體情況，選取一個(gè)變量. 例如例如 x 為積分變量，并確定它的變化區(qū)間為積分變量，并確定它的變化區(qū)間a, b; 2）設(shè)想把區(qū)間）設(shè)想把區(qū)間a, b分成分成 n個(gè)小區(qū)

4、間，取其中任一個(gè)小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為小區(qū)間并記為x, x+dx，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量分量 U的近似值的近似值.如果如果 U能近似地表示為能近似地表示為a, b上上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在 x處的值處的值f (x)與與 dx的乘積，就把的乘積，就把 f (x) dx稱為量稱為量 U的元素且記作的元素且記作dU，即，即 ( ).dUf x dx 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院7這個(gè)方法通常叫做這個(gè)方法通常叫做元素法元素法(或或微元分析法微元分析法) 3）以所求量）以所求量U的的元素元素f (x) dx為被積表達(dá)式為

5、被積表達(dá)式，( )baf x dxU 即為所求量即為所求量U的積分表達(dá)式的積分表達(dá)式.在區(qū)間在區(qū)間a, b上作定積分，得上作定積分，得上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院8應(yīng)用方向：應(yīng)用方向：數(shù)學(xué)數(shù)學(xué): : 平面圖形的面積平面圖形的面積, , 體積體積, , 函數(shù)平均值；函數(shù)平均值；物理物理: : 水壓力；引力等水壓力；引力等; ;經(jīng)濟(jì)經(jīng)濟(jì): : 已知邊際求總量已知邊際求總量. .上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院9xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的

6、面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(12xxxx x 1.1、平面圖形的面積直角坐標(biāo)系情形、平面圖形的面積直角坐標(biāo)系情形一一 、 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院10解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn))1 , 1()0 , 0(面積元素面積元素2d()dAxxx選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 x120()dAxxx 10333223 xx.31 2xy 2yx 圖形的面積圖形的面積. 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院11解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).9 , 3(),4

7、, 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院12于是所求面積于是所求面積21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 說(shuō)明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式說(shuō)明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式問(wèn)題：?jiǎn)栴}：積分變量只能選積分變量只能選 x 嗎嗎？2xy xxy63 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院13解解兩曲線的

8、交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 y2d4d2yAyy42d18.AA xy22 4 xy方法方法1上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院14解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy方法方法2 選取選取 x 作為積分變量，作為積分變量，20 2(2 )dAxxx 82 2(4)dxxx 18. 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院15abxoyx解解 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 , ddAy x 有有04daAyx 利用橢圓的

9、參數(shù)方程利用橢圓的參數(shù)方程xxd例例4 求橢圓求橢圓所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . 22221xyabsinbt(sin )datt 4ab 12 2 .ab 當(dāng)當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式時(shí)得圓面積公式204A cos(02 ).sinxattybt 應(yīng)用定積分換元法得應(yīng)用定積分換元法得上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院16xo d d 面積元素面積元素21d ( ) d2A 曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積21 ( ) d .2A )( r1.2 平面圖形的面積極坐標(biāo)系情形平面圖形的面積極坐標(biāo)系情形上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科

10、學(xué)學(xué)院17解解由對(duì)稱性知總面積由對(duì)稱性知總面積 = = 4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院18解解 dadA22)cos1(21 利用對(duì)稱性知利用對(duì)稱性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院19旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體旋轉(zhuǎn)一周而成的立

11、體圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)二二 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積這直線叫做這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院20,bax 2d ( ) dVf xx xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為2 ( )baVf xdx )(xfy 一般的，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線一般的，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線y=f(x)，直線，直線x =a, x =b及及x軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為多少？立體，體積為多少？取積分變量為取積分變量為x ,在區(qū)間在區(qū)間a, b上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 x, x+dx， 取以取

12、以dx為底的窄邊為底的窄邊梯形繞梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為體積元素體積元素: 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院21當(dāng)考慮連續(xù)曲線段當(dāng)考慮連續(xù)曲線段( ) ()xycyd 2 ( )y dydcV xoy( )xy cdy繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí)軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有有上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院22ayxb例例7 計(jì)算由橢圓計(jì)算由橢圓22221xyab所圍圖形繞所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而軸旋轉(zhuǎn)而解解 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程利用直角坐標(biāo)方程22()byaxaxaa 2

13、22202()dabaxxa ( (利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性) )2232123ba xxa 0a24.3ab o02aV 2dyx x轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院23方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程利用橢圓參數(shù)方程cossinxatybt 則則202daVyx 232sin dabt t 22 ab 23 243ab 1 20 特別當(dāng)特別當(dāng)b = a 時(shí)時(shí), 就得半徑為就得半徑為a 的球體的體積的球體的體積34.3a 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院24三、定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用舉例三、

14、定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用舉例例例8 某公司研發(fā)推出一種新產(chǎn)品，預(yù)計(jì)產(chǎn)品價(jià)格某公司研發(fā)推出一種新產(chǎn)品，預(yù)計(jì)產(chǎn)品價(jià)格P 隨時(shí)間隨時(shí)間t （從產(chǎn)品上市開始計(jì)算月數(shù)）變化的函數(shù)為（從產(chǎn)品上市開始計(jì)算月數(shù)）變化的函數(shù)為 ( )100.2p tt (萬(wàn)元萬(wàn)元/件件). 在時(shí)刻在時(shí)刻 t 時(shí)時(shí), 此產(chǎn)品的邊際此產(chǎn)品的邊際需求量需求量 Q(t)與價(jià)格與價(jià)格p(t)及其變化率及其變化率 ( )p t 有關(guān)，且滿足有關(guān)，且滿足 202 ( )( )10( ),p tQ tp t 又當(dāng)產(chǎn)量為又當(dāng)產(chǎn)量為Q件時(shí)的邊際生產(chǎn)成本為件時(shí)的邊際生產(chǎn)成本為 20.5( )5 ( )1)3(Q ttQCt （萬(wàn)元（萬(wàn)元/件）件） 求該

15、產(chǎn)品一年內(nèi)能給公司創(chuàng)造的總利潤(rùn)求該產(chǎn)品一年內(nèi)能給公司創(chuàng)造的總利潤(rùn) 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院25解解 將價(jià)格函數(shù)代入邊際需求函數(shù)得將價(jià)格函數(shù)代入邊際需求函數(shù)得( )202 ( )10( )Q tp tp t 20.4 , t202(100.2 )10(100.2 )tt 在在t 時(shí)刻的邊際生產(chǎn)成本為時(shí)刻的邊際生產(chǎn)成本為2( )0.5(20.4 )5(20.4 )13C ttt 20.081.25,tt上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院26 120( )( )( )LP t Q tC tdt 123200.162.4153t

16、tt =433.44(萬(wàn)元萬(wàn)元). 于是生產(chǎn)該產(chǎn)品在一年內(nèi)的總利潤(rùn)為于是生產(chǎn)該產(chǎn)品在一年內(nèi)的總利潤(rùn)為 因?yàn)橐驗(yàn)榭偫麧?rùn)總利潤(rùn)=總收入總收入- -總成本，總成本， 12200.164.815ttdt 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院27例例9 某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品x單位時(shí)的邊際收益為單位時(shí)的邊際收益為 ( )1000.2R xx （元（元/單位）單位）(1)求生產(chǎn)求生產(chǎn)x單位時(shí)的總收益單位時(shí)的總收益R(x)及平均收益及平均收益 ( );R x（2）求生產(chǎn)）求生產(chǎn)100個(gè)單位該產(chǎn)品的總收益及平均收益，個(gè)單位該產(chǎn)品的總收益及平均收益， 并求再生產(chǎn)并求再生產(chǎn)

17、100個(gè)單位時(shí)該產(chǎn)品所增加的總收益?zhèn)€單位時(shí)該產(chǎn)品所增加的總收益 解解 (1)因?yàn)橐驗(yàn)?(0)0,R 所以總收益為所以總收益為:上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院28平均收益平均收益為為( )( )R xR xx 0( )(0)( )xR xRR t dt 21000.1.xx 00.2(100)xt dt 1000.1 .x 解解 (1)因?yàn)橐驗(yàn)?(0)0,R 所以所以總收益總收益為為:上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院29(2) 生產(chǎn)生產(chǎn)100個(gè)單位該產(chǎn)品的總收益為個(gè)單位該產(chǎn)品的總收益為2(100)100 1000.1 100R平均收益為平均收益為(100)(100)100RR 再生產(chǎn)再生產(chǎn)100個(gè)單位該產(chǎn)品所增加的總收益為個(gè)單位該產(chǎn)品所增加的總收益為(200)(100)RRR 7000 （元元).).200100( )R