高中數(shù)學(xué)：平面直角坐標(biāo)系與曲線方程

1、1.1 1.1 平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系與與曲線方程曲線方程 1 數(shù)軸數(shù)軸(直線坐標(biāo)系直線坐標(biāo)系)： 2 平面直角坐標(biāo)系：平面直角坐標(biāo)系： 3 空間直角坐標(biāo)系：空間直角坐標(biāo)系：任意任意點(diǎn)點(diǎn)P實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)x確確 定定有序?qū)崝?shù)對有序?qū)崝?shù)對(x, y)確定確定 有序?qū)崝?shù)組有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)確定確定 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系目的目的是是確定點(diǎn)的位置確定點(diǎn)的位置. 創(chuàng)建坐標(biāo)系的創(chuàng)建坐標(biāo)系的基本原則基本原則： (1) 任意一點(diǎn)都有確定的坐標(biāo)與它對應(yīng)；任意一點(diǎn)都有確定的坐標(biāo)與它對應(yīng)； (2) 依據(jù)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就能確定此點(diǎn)的位置依據(jù)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就能確定此點(diǎn)的位置. 求出此點(diǎn)在該坐標(biāo)系中的求出此點(diǎn)在該坐標(biāo)

2、系中的坐標(biāo)坐標(biāo).例例1、選擇適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，表示邊長為、選擇適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，表示邊長為1的正的正 六邊形的頂點(diǎn)六邊形的頂點(diǎn).數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)用ABCDEFOxyOxyABCDEF例例2. 某地區(qū)原計(jì)劃經(jīng)過某地區(qū)原計(jì)劃經(jīng)過B地沿著東北方向修建一條地沿著東北方向修建一條高速公路，但在高速公路，但在A村北偏西村北偏西300方向距方向距A村村500m處，處，發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址W。經(jīng)過初步勘察，文物管理。經(jīng)過初步勘察，文物管理部門將遺址部門將遺址W周圍周圍200m范圍劃為禁區(qū)，已知范圍劃為禁區(qū)，已知 B地地位于位于A村的正西方向村的正西方向1km 處，試問：修建高速公路處，試

3、問：修建高速公路和計(jì)劃需要修改嗎？和計(jì)劃需要修改嗎？ 解決問題的關(guān)鍵：解決問題的關(guān)鍵：確定遺址確定遺址W與高速公路與高速公路BC的的相對位置相對位置.數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)用WABC4506005001000OxyOxy例例3、求證：三角形的外心、重心、垂心在一條、求證：三角形的外心、重心、垂心在一條直線上。直線上。ABC).3,3G300,30 xH,OABC),0 ,(), 0(),0 ,AGbcabycaGcCbBaG（即重心坐標(biāo)為。則有各為別的外心、重心和垂心分三角形（設(shè)標(biāo)系，解：建立如圖所示坐數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)用GHDxyOCD(),BO()0.H0).0aAByxcACbayxcacxbbx邊

4、上的高所在直線的方程為邊上的高所在直線的方程為解方程組得垂心坐標(biāo) （ ，)2,2(2)2(2.2AC),2(2AB2bbaccaOcaxaxbabycaxaxbaby為得外心坐標(biāo)解方程組為平分線所在直線的方程的垂直線段的方程為的垂直平分線所在直線線段數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)用)63,6()2,2()3,322bbaccabbaccabcaGO（向量)23,2()2,2(), 0(O22bbaccabbaccabacH向量O3,HOG因?yàn)橄蛄克匀切蔚耐庑?、重心、垂心在一條直線上，且重心是連接外心、重心和垂心的一個(gè)三等分點(diǎn)。數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)用例例4、 已知點(diǎn)已知點(diǎn)Q(a, b)，分別按下列條件求出點(diǎn)，分別

5、按下列條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：的坐標(biāo)： (1) P是點(diǎn)是點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M(m, n)的對稱點(diǎn)；的對稱點(diǎn)； (2) P是點(diǎn)是點(diǎn)Q關(guān)于直線關(guān)于直線 l: x-y+4=0 的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn).(1) 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱：(2) 點(diǎn)關(guān)于直線對稱：點(diǎn)關(guān)于直線對稱：“中點(diǎn)問題中點(diǎn)問題”.“垂直平分垂直平分”.數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)用平面直角坐標(biāo)系建系時(shí)，根據(jù)幾何特點(diǎn)選平面直角坐標(biāo)系建系時(shí)，根據(jù)幾何特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系。擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系。（1）如果圖形有對稱中心，可以選對稱中心為）如果圖形有對稱中心，可以選對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）如果圖形有對稱軸，可以選擇對稱軸為坐）如果圖形有對稱軸，可以選擇

6、對稱軸為坐標(biāo)軸；標(biāo)軸；（3）使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的在坐標(biāo)軸上。）使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的在坐標(biāo)軸上。課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.2 平面直角坐標(biāo)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換系中的伸縮變換xO 2 y=sinxy=sin2x思考：思考：（1）怎樣由正弦曲線）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線得到曲線y=sin2x? 在正弦曲線在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P(x,y), 保持縱坐標(biāo)不變保持縱坐標(biāo)不變,將橫坐標(biāo)將橫坐標(biāo)x縮為原來的縮為原來的1/2 , 就得到正弦曲線就得到正弦曲線y=sin2x. 上述的變換實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)的壓縮變換，即：上述的變換實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)的壓縮變換，即： 設(shè)設(shè)

7、P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn), 保持縱坐標(biāo)保持縱坐標(biāo)不變不變, 將橫坐標(biāo)將橫坐標(biāo)x縮為原來縮為原來1/2,得到點(diǎn)得到點(diǎn) 坐標(biāo)對應(yīng)坐標(biāo)對應(yīng)關(guān)系為關(guān)系為:12xxyy通常把通常把 上式上式 叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)壓縮變換。叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)壓縮變換。也可以稱為曲線按伸縮系數(shù)為也可以稱為曲線按伸縮系數(shù)為1/2向著向著y軸的壓縮變軸的壓縮變換換 （當(dāng)（當(dāng)k1時(shí)，表示伸長，當(dāng)時(shí)，表示伸長，當(dāng)k1時(shí)，表示伸長，當(dāng)時(shí)，表示伸長，當(dāng)k0,0 （2）把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，平面圖形的伸縮）把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換得到；變換可以用

8、坐標(biāo)伸縮變換得到； （3）在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系不變，在同）在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系不變，在同一直角坐標(biāo)系下進(jìn)行伸縮變換。一直角坐標(biāo)系下進(jìn)行伸縮變換。( ,)P x y 2211.4(1)2360;(2)16;xkxyxy例 、對下列曲線向著 軸進(jìn)行伸縮變換，伸縮系數(shù)練習(xí)：練習(xí)：1.在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中, 求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換伸縮變換 后的圖形后的圖形. （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=13xxyy2.在同一直角坐標(biāo)系下，求滿足下列圖形的伸縮變在同一直角坐標(biāo)系下，求滿足下列圖形的伸縮變換：曲線換：曲線 變?yōu)榍€變?yōu)榍€221xy224936xy3.在同一直角坐標(biāo)系下在同一直角坐標(biāo)系下, 經(jīng)過伸縮變換經(jīng)過伸縮變換 后，后，曲線曲線C變?yōu)樽優(yōu)閤29y2 =1，求曲線，求曲線C的方程并畫出圖形。的方程并畫出圖形。x=3xy=y思考思考1：在伸縮：在伸縮 下，橢圓是否下，橢圓是否可以變成圓？拋物線，雙曲線變成什么曲線？可以變成圓？拋物線，雙曲線變成什么曲線？(0):(0)xxyy 思考思考2：“圓的一組平行弦的中點(diǎn)的軌跡是圓的一條直圓的一組平行弦的中點(diǎn)的軌跡是圓的一條直徑徑”，你能依據(jù)伸縮變換的性質(zhì)，猜想橢圓