知識點(diǎn)031圓的基本性質(zhì)2016

1、、選擇題1. （2016甘肅蘭州，7, 4分）如圖，在O O中，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，/ A=50,則/ BOC=（）A. 40 B . 45 C. 50 D . 60【答案】A【逐步提示】 因?yàn)榘霃?OA=OB，故可先根據(jù)等邊對等角求得/ B的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得/AOB的度數(shù)，最后根據(jù)等弧所對圓心角相等求得/BOC的度數(shù).【詳細(xì)解答】 解：因?yàn)镺A=OB，所以/ B= / A=50 ，所以/ AOB=180 / B-Z A=80,在O O中，因?yàn)辄c(diǎn)1C 是 AB 的中點(diǎn)，所以 AC =CB，所以Z BOC= Z AOC，因?yàn)閆 BOC + Z AOC= Z AOB，所以Z BOC=

2、 Z 2AOB=40 ，故選擇 A .【解后反思】圓中通常把圓周角和圓心角以及它們所對弧的度數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，怎么轉(zhuǎn)換需要根據(jù)題目的要求來確定；同圓的半徑相等，有時(shí)還需要連接半徑， 用它來構(gòu)造等腰三角形，有了等腰三角形，再利用“等邊對等角”及“三線合一”來進(jìn)行證明和計(jì)算.【關(guān)鍵詞】 圓心角；等弧所對圓心角的關(guān)系；等腰三角形性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理2. （2016甘肅蘭州，10, 4分）10.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O O,四邊形ABCO是平行四邊形，則Z ADC= （ ）A. 45 B . 50 C. 60 D . 75【答案】C【逐步提示】 先找出同弧所對圓周角與圓心角的關(guān)系，再結(jié)合平行四邊形對角

3、相等得到ZB與Z ADC的倍數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)”建立方程求出ZADC的度數(shù).1【詳細(xì)解答】解：圓周角Z ADC與圓心角Z AOC所對的弧都是 ABC , /-Z ADC= Z AOC，即Z AOC=2 Z ADC ,2四邊形 ABCO 是平行四邊形，/Z AOC= Z B ,/Z B=2 Z ADC ,v四邊形 ABCD內(nèi)接于O O，/Z B +Z ADC=180 ，即卩 2Z ADC +Z ADC=180，解得Z ADC =60,故選擇 C.【解后反思】 看到求與圓有關(guān)的角，就想到：（1）同弧所對的圓周角相等；（2）同弧所對的圓周角等于它所對的圓周角的一半；（3）圓的內(nèi)接

4、四邊形的對角互補(bǔ)；（4 ）同圓的半徑相等，等邊對等角等 【關(guān)鍵詞】 圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)；平行四邊形性質(zhì)；3. （ 2016廣東茂名，9, 3分）如圖，A、B、C是O C上的三點(diǎn)，且Z B=75 ，則Z AOC的度數(shù)是（）A. 150B. 140C. 130D. 120【答案】A【逐步提示】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握同弧所對的圓心角和圓周角之間的關(guān)系.從圖形中可以看出，/ AOC、/ B分別是O O中AC所對的圓心角、圓周角，利用圓周角定理可得/A0C=2/ B,代入/ B的度數(shù)即可得/ AOC的度數(shù).【詳細(xì)解答】 解：/ AOC、/ B分別是O 0中AC所對的圓心角、圓周

5、角，/ A0C=2 / B.v/ B=75 ,二/AOC=150 ，故選擇 A .【解后反思】解決與圓有關(guān)的角度的相關(guān)計(jì)算時(shí)，一般先判斷角是圓周角還是圓心角，再轉(zhuǎn)化成同弧所對的圓周角或圓心角，禾U用同弧所對的圓周角相等，同弧所對的圓周角是圓心角的一半等關(guān)系求解，特別地，當(dāng)有一直徑 這一條件時(shí)，往往要用到直徑所對的圓周角是直角這一結(jié)論.【關(guān)鍵詞】圓周角定理4. （ 2016貴州省畢節(jié)市，12, 3分）（2016貴州省畢節(jié)市，13, 3分）如圖，點(diǎn) A, B, C在O O上，/ A = 36 / C = 26，則/ B =（）A.100 B.72 C.64 D.36 【答案】C【逐步提示】 本題考

6、查圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是求出/O根據(jù)圓周角定理求出/O;根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/OEC，進(jìn)而由對頂角性質(zhì)求出/ AEB;根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/B.【詳細(xì)解答】解：如圖，設(shè) OB與AC交點(diǎn)為E,因?yàn)? A = 36所以，/ O = 72所以/ AEB = Z OEC = 180 -Z O-Z C= 180 72 - 28 = 80 所以，/ B= 180 / AEB-Z A= 180 80 - 36 = 64 故選擇 C.A【解后反思】 本題易錯點(diǎn)是由于不熟悉圓周角定理，不能發(fā)現(xiàn)ZA與Z O的關(guān)系，導(dǎo)致無法找到Z B與ZA、ZC的關(guān)系.【關(guān)鍵詞】圓周角；三角形內(nèi)角和定理

7、5. （ 2016湖北省黃石市，8, 3分）如圖所示，O O的半徑為13，弦AB的長度是24, ON丄AB，垂足為N,則ON =D . 11【逐步提示】 本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是將已知條件集中在一個直角三角形中，這個直 角三角形的斜邊是圓的半徑，一條直角邊是弦心距，另一條直線是弦的一半.11【詳細(xì)解答】 解：因?yàn)镺N丄AB，所以AN =丄AB =丄X 24= 12,/ ANO = 90在Rt AON中，由勾股定理22得 ON= ,OA2 - AN2 = 132 - 122 = 5,故選擇 A .【解后反思】 在解答與圓有關(guān)的計(jì)算問題時(shí)，垂徑定理和勾股定理“形影不離”，常結(jié)合起

8、來使用如圖，設(shè)圓的半徑為r、弦長為a、弦心距為d ,弓形高為h，則（a）2 d2 = r2, h = r - d，這兩個等式是關(guān)于四2【關(guān)鍵詞】 垂徑定理；勾股定理.6. （2016湖北宜昌，9, 3分）已知M、N、P、Q四點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中，正確的是（）（第9題）A. / NOQ42oB. / NOP=32oC. / PON比/ MOQ大 D. / MOC比/ MOP互補(bǔ)【答案】C【逐步提示】 本題考查了圓心角，解題的關(guān)鍵是識別圓心角度數(shù)，弄清始邊與終邊，正確讀出圓心角的度數(shù).【詳細(xì)解答】解：結(jié)合各選項(xiàng)分別判斷，選項(xiàng)A / NOQ=38o，選項(xiàng)B中/ NOP=8o，選項(xiàng)C中，正確，

9、選項(xiàng)D中/ MOC比/ MOF沒有互補(bǔ) ，故選擇 C .【解后反思】解決與圓有關(guān)的角度的相關(guān)計(jì)算時(shí)，一般先判斷角是圓周角還是圓心角，再轉(zhuǎn)化成同弧所對的圓周角或圓心角，禾U用同弧所對的圓周角相等，同弧所對的圓周角是圓心角的一半等關(guān)系求解，特別地，當(dāng)有一直徑 這一條件時(shí)，往往要用到直徑所對的圓周角是直角這一條件.【關(guān)鍵詞】圓心角；量角器；7. （2016江蘇省無錫市，6, 3分）如圖，AB是O O的直徑，AC切O O于點(diǎn)D，若/ C = 70，則/ AOD的度 數(shù)為（）A. 70 B. 35C. 20D. 40DO【答案】D【逐步提示】本題考查了切線的性質(zhì)、同弧所對的圓周角和圓心角之間的關(guān)系，解題

10、的關(guān)鍵是知道由切線想垂直本題的思路是由相切得到/CAB= 90。，然后根據(jù)/ B、/ C互余，可得/ B = 20,然后根據(jù)同弧所對的圓周角和圓心角之間的關(guān)系求出/AOD的度數(shù).【詳細(xì)解答】解：AC 切O O 于點(diǎn) D ,/ CAB = 90,./ B+Z C= 90,t/ C = 70,二/ B= 20 , / AOD = 2Z B = 40,故選擇 D .【解后反思】本題用到的初中數(shù)學(xué)知識有：過切點(diǎn)的半徑與切線垂直；直角三角形兩銳角互余；同弧所對 的圓周角等于圓心角的一半.【關(guān)鍵詞】切線的判定與性質(zhì)；圓心角、圓周角定理；8. （ 2016山東濱州12, 3分）如圖，AB是O O的直徑，C,

11、 D是O O上的點(diǎn)，且 OC/ BD, AD分別與BC, OC 相交于點(diǎn)E, F，則下列結(jié)論：AD 丄 BD :/ AOC= Z AEC; CB 平分Z ABD : AF=DF; BD=2OF ； CEF BED，其中一定成立 的是A .B .C .D .【答案】D.【逐步提示】每個結(jié)論逐個去判斷.【詳細(xì)解答】 解：AB是直徑，/ ADB=90,即卩AD丄BD，正確；Z AOC=2 Z ABC ,Z AEC= Z ABC+ Z BAD，若Z AOC= Z AEC，則Z BAD = Z ABC，貝U AC弧等于BD弧，此時(shí)點(diǎn)C是半圓的三等分點(diǎn)，而已知無法推 斷出點(diǎn) C是半圓的三等分點(diǎn)， 因此錯誤

12、；由知BD丄AD , BD / OC , OCX AD, AC弧=CD弧，ABC= Z CBD，因此正確；由知OCX AD , AF=DF，因此正確；由知， AF=DF , AO=BO , BD=2OF，因此正確；若厶CEF BED成立，則CF=BD，此時(shí)CF=2OF，顯然錯誤，故錯誤，因此正確，故 選擇D.【解后反思】看到直徑，就想到直徑所對的圓周角是90,垂直于弦的直徑，平分弦，并且平分弦所分的兩條??；同弧或等弧所對的圓周角等于該弧所對圓心角的一半.【關(guān)鍵詞】 垂徑定理及推論圓周角定理9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.

13、27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空題1. （ 2016福建福州，16,4分）如圖所示的兩段弧中， 位于上方的弧半徑為r上，下方的弧半徑為r下，則r上 r【逐步提示】 本題考查了圓的作法、比較圓弧的半徑大小，作出圓心是解題的關(guān)鍵利用垂徑定理，分別作出兩段弧所在圓的圓心，然后比較兩個圓的半徑即可.【詳細(xì)解答】解：如圖，r上v r下，故答案為v .【解后反思】 本題因?yàn)闆]有給出具體的數(shù)據(jù)，因此沒有辦法計(jì)算出這兩個圓的半徑的具體值，因此除了用作圖法外，還可以直接觀察這兩個圓弧的大概度數(shù)直接作出判斷弧度大的半徑小【關(guān)鍵詞】垂徑定理；圓的作法；弧長2.

14、（ 2016甘肅省武威市、白銀市、定西市、平?jīng)鍪小⒕迫?、臨夏州、張掖市等9市，16, 4分）如圖，在O O第16題圖，點(diǎn)B是圓上一點(diǎn)，且/ ABC=45o,則O O的半徑R=【答案】、6【逐步提示】 本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)以及特殊三角形性質(zhì)， 解題的關(guān)鍵是掌握同弧所對的圓周角是其所對圓心角 的一半，由/ ABC=45o得出/ AOC=90從而得到厶AOC是等腰直角三角形，可以利用方程或三角函數(shù)求出半 徑R的值.【詳細(xì)解答】解：因?yàn)? ABC=45o所以/ AOC=90，又因?yàn)镺A=OC,所以 AOC是等腰直角三角形，OA=OC=R,2可列方程2R2二2-、3 解得(-一6舍去)，故答案為 用.

15、【解后反思】 同弧所對的圓周角是其所對圓心角的一半，看到45。就應(yīng)該聯(lián)想到90從而把問題轉(zhuǎn)化到一個等腰直角三角形中去解決， 轉(zhuǎn)化思想是幾何中常用的數(shù)學(xué)思想，通過轉(zhuǎn)化，可以把比較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為相對容易的問題已知特殊的角，要尋找線段之間的關(guān)系，常通過添加輔助線構(gòu)成特殊的三角形，把要尋找關(guān)系的線段放OCOC在特殊三角形中來研究. 此題也可以利用三角函數(shù)解決：在Rt AOC中，sin . OAC，即S45 - 一=AC2丁3子爲(wèi)，所以O(shè)C“6 .【關(guān)鍵詞】 圓的有關(guān)性質(zhì)；圓周角；圓心角；勾股定理；23. ( 2016湖南省湘潭市，16, 3分)已知以點(diǎn)C (a, b)為圓心，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

16、(x-a) + (y-b)2=r2例如：已知以點(diǎn) A (2, 3)為圓心，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2) 2+ (y-3) 2=4，則以原點(diǎn)為圓心，過 點(diǎn)P (1 , 0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】x2+y2=1【逐步提示】 本題為初高中銜接內(nèi)容“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”，主要考查學(xué)生理解問題的能力，解決問題的關(guān)鍵是領(lǐng)會標(biāo)準(zhǔn)方程的寫法，并按照示例寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，最后確定半徑即可【詳細(xì)解答】 解：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及示例可得已原點(diǎn)為圓心的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2,又圓過點(diǎn)P (1, 0),半徑為1，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2+y2=1，故答案為X2+y2=1.【解后反思】“閱讀一分析-理解一創(chuàng)新應(yīng)用”是求解

17、閱讀理解類型試題的基本步驟.首先做到認(rèn)真閱讀題目中介紹的新知識，包括定義、公式、表示方法及如何計(jì)算等， 并且正確理解引進(jìn)的新知識，讀懂范例的應(yīng)用；其次，根據(jù)介紹的新知識、新方法進(jìn)行運(yùn)用，并與范例的運(yùn)用進(jìn)行比較，防止出錯【關(guān)鍵詞】圓；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；閱讀理解題2 2 24. (2016年湖南省湘潭市，16,3分)已知以點(diǎn)C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x-a) ，(y-b) -r 。例如：以A (2, 3)為圓心，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2 * (y-3)2=4，則以原點(diǎn)為圓心，過點(diǎn) P(1, 0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .【答案】x2 y2 =1【逐步提示】本題是一道銜接型的

18、閱讀理解題，解題的關(guān)鍵是理清圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式。先讀懂題意，理清并熟記圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再根據(jù)已知條件分析圓的圓心和半徑，最后把圓心和半徑代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。【詳細(xì)解答】解：以原點(diǎn)為圓心，過點(diǎn)P（1, 0），所以半徑是I,：以點(diǎn)0 （0,0）為圓心，半徑為1的圓的標(biāo)準(zhǔn)2 2方程為（x-0） 2+ （y-0） 2=12，即 x2+y2=1，故答案為 x y = 1 .【解后反思】閱讀理解題是近年中考出現(xiàn)的一類新題型，涉及內(nèi)容豐富，構(gòu)思新穎別致一般包括兩部分 ：一是閱讀材料，一個新的數(shù)學(xué)概念的形成和實(shí)例應(yīng)用，或者一個新的數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，或者一種新的解題方法與技巧應(yīng)用，或者提供新聞背景材料；二

19、是考查內(nèi)容題型主要有兩類：一是“先閱讀解題方法，再解答”，即利用已學(xué)知識,綜合歸納出新的解題方式方法，重在把握其方法、規(guī)律;二是“先閱讀新的概念，再解答”，即閱讀特殊范例 解題方法、規(guī)律，推出一般結(jié)論.解答閱讀理解型問題的關(guān)鍵在于閱讀，重在理解，考查自學(xué)能力和應(yīng)用新知識、新方法的能力解題策略是理清材料脈絡(luò)，歸納總結(jié)數(shù)學(xué)方法和解題技巧，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來解答閱讀理解型問題的命題方向“舊教材”刪除或削弱的內(nèi)容；二是“其他版本”教科書借鑒的內(nèi)容；三是與高中階段相銜接的知識念、新運(yùn)算.【關(guān)鍵詞】圓；圓的定義；閱讀理解題型；學(xué)習(xí)性閱讀理解問題；初高銜接題型5. （2016湖南湘西，3, 4分）四邊形A

20、BCD是某個圓的內(nèi)接四邊形，若/A=100 則/ C=【答案】80【逐步提示】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解答此題的關(guān) 鍵根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)”可得“/ A+Z C=180”，又知/ A度數(shù)，可求/ C度數(shù)【詳細(xì)解答】解：由題意得Z A+Z C=180 , / A=100, / C=80，故答案為80 .【解后反思】 此類問題容易出錯的地方是不知運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)解題.【關(guān)鍵詞】圓內(nèi)接四邊形,總結(jié)阜:是;四是新概6.（ 2016湖南湘西，7, 4分）如圖，在O O中，圓心角/ AOB=70 ,那么圓周角/ C= 【答案】35【逐步提示】【詳細(xì)解答】本題

21、考查了圓周角定理根據(jù)圓周角定理，發(fā)現(xiàn)Z AOB與Z C的倍分關(guān)系.11 1解：Z AOB與Z C分別是弧AB所對的圓心角和圓周角，/。=丄Z AOB=- X 7035 ，故答案2為 35 .【解后反思】圓心在圓周角的外部，但三種情況下結(jié)論是統(tǒng)一的?！娟P(guān)鍵詞】圓周角定理一條弧所對的圓周角與圓心的位置關(guān)系有三種：圓心在圓周角的一邊上,圓心在圓周角的內(nèi)部,（第 7題圖）7. （2016湖南省永州市，18 , 4分）如圖，在O O中，A, B是圓上的兩點(diǎn)，已知Z AOB=40 ，直徑CD / AB，連 接 AC,則Z BAC=度.【答案】35【逐步提示】本題綜合考查了圓周角、圓心角、三角形內(nèi)角和、平行

22、線的性質(zhì)等知識，解題時(shí)，把要求的圓周角 轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的圓心角是解題的關(guān)鍵在等腰三角形ABO中，根據(jù)三角形內(nèi)角和求得/ABO的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出圓心角/BOC的度數(shù)，然后根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半即可求出/BAC的度數(shù).1【詳細(xì)解答】解：/ AOB=40,/ ABO=_（180 - 40 ）=70 ,v CD / AB ,二/ BOC = Z ABO=70,.21/ BAC= / BOC=35。，故答案為 35.2【解后反思】解決與圓有關(guān)的角度的相關(guān)計(jì)算時(shí)，一般先判斷角是圓周角還是圓心角，再轉(zhuǎn)化成同弧所對的圓周角或圓心角，利用同弧所對的圓周角相等，同弧所對的圓周角是圓

23、心角的一半等關(guān)系求解.【關(guān)鍵詞】圓周角；三角形內(nèi)角和；平行線的性質(zhì)8. （2016湖南省岳陽市，13, 4）如圖，四邊形 ABCD為O O的內(nèi)接四邊形，已知/ BCD =110，則/ BAD =度.【答案】70【逐步提示】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)求/BAD的度數(shù)即可.【詳細(xì)解答】四邊形 ABCD為O O的內(nèi)接四邊形，/ DAB +/ BCD =180，又BCD=110，/ BAD=70 所以填：70。【解后反思】 解答此類題時(shí)，利用了圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì)來求已知角的補(bǔ)角即可【關(guān)鍵詞】 圓內(nèi)接四邊形及性質(zhì)2分）如圖，扇形 OAB的圓心角為122 , C是AB上一點(diǎn)，則/ ACB = 【答

24、案】119【逐步提示】 本題考查了圓周角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)解題.可以作出整圓，在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)D，得到圓周角/ ADB的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)解計(jì)算/ACB的度數(shù).1【詳細(xì)解答】 解：如圖，作出整圓，在優(yōu)弧 AB上取點(diǎn)D，得圓周角/ ADB= / AOB=61 ，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形2對角互補(bǔ)，可知/ ACB= 180/ ADB=119 故答案為119.如圖，構(gòu)造出兩個等腰 AOC和厶BOC，則/仁/2, / 3= / 4,所以/ ACB1 一、。2【解后反思】本題也可以連接OC,1 ,=/ 2+ / 3=/ 1 + / 4,即/ ACB= _ （360 / A

25、OB ） =_ （360 122 =119.2【關(guān)鍵詞】 圓；圓的有關(guān)性質(zhì)；圓心角、圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形及性質(zhì)；化歸思想10. （2016江蘇省宿遷市，14, 3分）如圖，在 ABC中，已知/ ACB=130 ，/ BAC=20 , BC=2，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓交 AB于點(diǎn)D，貝U BD的長為【答案】2 . 3【逐步提示】 先利用三角形內(nèi)角和求出第三個角為函數(shù)等，即可求出 BD的長.【詳細(xì)解答】解：過C作CE丄AB,垂足為E, BD=2BE/ ACB=130 ，/ BAC=20 / ABC=30在 RtA BCE 中，BC=2 ,BE=BC cos30 =2 x 3 = 32 B

26、D= 2 3，故答案為2.3 .（第14題圖）30,是個特殊角，構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理、三角【解后反思】 垂徑定理是圓中構(gòu)造直角三角形來線段長度、角度等常用的方法；在利用垂徑定理解題時(shí)，常見的 輔助線有：（1）過圓心作弦的垂線；（2）連半徑，再運(yùn)用勾股定理、三角函數(shù)解這個直角三角形，進(jìn)而求出弦的 長度或角度等.【關(guān)鍵詞】 三角形內(nèi)角和定理；解直角三角形；垂徑定理；11. （2016江蘇省揚(yáng)州市，16, 3分）如圖，O O是厶ABC的外接圓，直徑 AD=4，/ ABC= / DAC，貝U AC長 為.5 ItiH)【答案】2 2【逐步提示】 本題考查了圓周角的性質(zhì)、 等腰直角三角形的性質(zhì)，

27、 解題的關(guān)鍵是通過同弧所對的圓周角相等轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系，再構(gòu)造等腰直角三角形.連接CD，可得/ ABC= / ADC= / DAC，得到等腰直角厶ADC，再由三邊關(guān)系求得AC的長.【詳細(xì)解答】 解：連接CD，可得/ ABC= / ADC= / DAC，而AD是直徑，可知/ ACD=90，因此得到等腰直角厶ADC , AC=上蘭AD= 2 2，故答案為2 2 .托 M【解后反思】“同弧（或等?。┧鶎Φ膱A周角相等”是轉(zhuǎn)化圓中圓周角的重要性質(zhì)定理，特別地，當(dāng)圓中有直徑 時(shí)，通常根據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”，在圓中構(gòu)造直角三角形來解決問題.【關(guān)鍵詞】 圓；圓的有關(guān)性質(zhì)；圓周角；三角形；等腰三角形和直角三

28、角形；等腰直角三角形；勾股定理12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答題1. ( 2016福建福州，24, 12分)如圖，正方形 ABCD內(nèi)接于O O, M為并D中點(diǎn)，連接 BM , CM .(1) 求證：BM = CM ;(2) 當(dāng)0 O的半徑為2時(shí)，求BM的長.【逐步提示】 本題考查了正方形的性質(zhì)、弧長的計(jì)算、圓心距、弦、弧之間的關(guān)系，掌握弧長的計(jì)算公式、圓心距、弦、弧之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵.（1）根據(jù)圓心距、弦、弧之間的關(guān)系定理解答即可；（2）根據(jù)弧

29、長公式計(jì)算.【詳細(xì)解答】解：（1）證明：四邊形 ABCD是正方形， AB=CD , AB 二 CD , M為AD中點(diǎn),AM = DM , BM 二CM , BM =CM .（2）解：連接 OM ,OB,OC ./ BM -CM ,/ BOM =Z COM,正方形ABCD內(nèi)接于O O, BOC = 36090.4 BOM =135.由弧長公式，得BM的長l=135 2 二180【解后反思】此類問題容易出錯的地方是不能求出圓心角的度數(shù)及弧長公式用錯在弧長公式1 =空中，當(dāng)圓心180角n半徑R和弧長I已知兩個時(shí)，可求得第三個 .【關(guān)鍵詞】正方形的性質(zhì)；弧、弦、弦心距；弧長； ；2. (2016甘肅蘭

30、州，27, 10分)如圖，三角形 ABC是O O的內(nèi)接三角形,O,分別交 AC、CF于點(diǎn)E、D，且DE=DC .(1) 求證：CF是O O的切線；(2) 若0 O的半徑為5, BC= .10 , 求DE的長.AB是O O的直徑，OD丄AB于點(diǎn)【逐步提示】(1)第一步：連接 OC,易知/ A=Z OCA，由OD丄AB證得/ A +Z AEO=90； 第二步：根據(jù)“等邊對等角”有/ DEC = Z DCE ,代換得/ OCE+ / DCE=90。，從而證得結(jié)論；1(2)第一步：作DH丄EC,根據(jù)“等角的余角相等”可得/ EDH = / A, EDC中根據(jù)三線合一得 EH =HC = - EC,2A

31、O AE于是AB=10，由勾股定理可得 AC=3,10 ;第三步：由 AEOs ABC得，代入數(shù)據(jù)求得 AE,進(jìn)AC ABBC eh一步求出EC、EH ;第四步：由等角的正弦相等得sin/A= sin / EDH，從而，進(jìn)而求得DE的長.AC DE【詳細(xì)解答】 解：(1)證明：連接 OC,則/ A= / OCA ,T OD 丄 AB,a/ AOE=90 ,a / A +/ AEO=90 , / DE =DC ,/ DEC=/ DCE , v/ AEO = / DEC , / / AEO= / DCE,：/ OCE + / DCE=90 ,. CF 是 O O的切線.(2)作 DH 丄 EC,則

32、/ EDH=/ A, v DE =DC , EH =HC = EC , v O O 的半徑為 5 , BC= 10 , AB=10 , 2AC=3.10 , AEOs ABC,AO AEAC AB. ae=5 m3/103 EC=AC-AE=3.105、104.103 EH= 1 EC=, I/ EDH = / A,. sin / A= si n/ EDH，即 _BC23ACEHDEAB EHBC；10203【解后反思】 看到切線，就想到作過切點(diǎn)的半徑，看到直徑就想到直徑所對的圓周角是直角；看到切線的判定，就想到：若已知直線與圓的公共點(diǎn)，則采用判定定理法，其基本思路是：當(dāng)已知點(diǎn)在圓上時(shí)，連接過

33、這點(diǎn)的半徑，證明這條半徑與直線垂直即可，可簡述為：有切點(diǎn)，連半徑，證垂直；若未知直線與圓有交點(diǎn)，則采用數(shù)量關(guān)系法，其基本思路是：過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長等于圓的半徑，可簡述為：無切點(diǎn)，作垂線，證相等.【關(guān)鍵詞】切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)；轉(zhuǎn)化思想；方程思想3. (2016廣東省廣州市，25, 14分)如圖，點(diǎn) C ABD外接圓上的一動點(diǎn)(點(diǎn) C不在BAD上，且不與點(diǎn) B,D 重合)，/ ACB = / ABD =45 (1) 求證：BD是該外接圓的直徑；(2) 連結(jié) CD，求證：,2 AC=BC+CD ；(3) 若厶ABC關(guān)于直線AB的對稱圖形為 ABM ,連接DM ,試探

34、究DM2, AM2 , BM2三者之間滿足的等量關(guān)系， 并證明你的結(jié)論.BD【逐步提示】(1)要證BD是圓的直徑，只需證明/ BAD=90即可，這可由已知條件/ ACB=/ ABD=45及/ D= / ACB直接得到；(2)由所要證明的結(jié)論形式自然聯(lián)想到證明線段“a+b=c”型問題的方法：截長補(bǔ)短法，由a 2 AC”可聯(lián)想到構(gòu)造以 AC為直角邊的等腰直角三角形，其斜邊長即等于2 AC .于是可作 AE丄AC ,交CB的延長線于點(diǎn)E,連結(jié)AE,通過證明厶ABEADC進(jìn)一步獲證結(jié)論；(3)由DM2, AM2, BM2三者的形式，可構(gòu)建直角三角形， 進(jìn)一步利用勾股定理探究三者之間的數(shù)量關(guān)系.則根據(jù)圓

35、的性質(zhì)，易于構(gòu)造以DM為斜邊的Rt MDF，顯然有DM2= DF2+ MF2，借助“幾何直觀”，易于猜想DF=BM,關(guān)于MF2與2AM2,連結(jié)AF后它們 在一個等腰直角三角形中，進(jìn)而易于得出結(jié)論. 另外，亦可以BM為直角邊，以AM為直角邊構(gòu)造兩個 Rt BMF與Rt MAF，通過三角形全等證明 BF=MD獲得結(jié)論.【詳細(xì)解答】 解：(1)由AB=AB,得/ ADB= / ACB=45 又ABD=45 / ABD+ / ADB=90 , /-Z BAD=90 BD是厶ABD外接圓的直徑；(2)證明：如圖，作 AE丄AC,交CB的延長線于點(diǎn) E,連結(jié) AE.tZ EAC= / BAD=90 , /

36、 EAB+ / BAC= / DAC + / BAC, / EAB= / DAC .由Z ACB=Z ABD =45 可得 ACE 與厶 ABD 是等腰直角三角形， AE=AC,AB=AD , ABE ADC，/ CD=BE.在等腰 Rt ACE 中，由勾股定理，得 CE= . 2 AC . t CE=BC+BE，/.2 AC=BC+CD;D(3) DM 2=BM2 + 2MA2.證明如下：方法1:如圖，延長 MB交圓于點(diǎn)F，連結(jié)AF, DF .tZ BFA= / ACB= / BMA=45MAF =90 MA=AF，/ MA2+AF2=2MA2=MF 2.又t AC=MA=AF,Ac=Ae，

37、又t Ad=Ab, df=bc=bm.t BD 是直徑，/ BFD=90 .在Rt MDF中，由勾股定理，得 DM2= DF2+ MF2, / DM 2=BM2+ 2MA2 .方法2:如圖，過點(diǎn) M作MF丄MB，過點(diǎn)A作AF丄MA , MF與AF交于點(diǎn)F，連結(jié)BF . 由軸對稱性可知Z AMB=ACB=45FMA=45 , AMF是等腰直角三角形， AM=AF, MF2=2AM2.tZ MAF+Z MAB= Z BAD+ Z MAB ,FAB = Z MAD .又t AF=AM , AB=AD , ABF ADM，/ BF=DM .在 Rt BMF 中,t BF2=BM2 + MF2, / DM 2=BM2 + 2MA2.D【解后反思】1 關(guān)于問題(2)的解決，是利用證明線段“ a+b=c”型問題的方法一一截長補(bǔ)短法該例所作的 輔助線本質(zhì)上是在線段 CB的延長線上得到 BE=CD .我們也可直接在 CB的延長線上截取 BE=CD，顯然/ ABE= / ADC , AB=AD，因此， ABE ADC，從而可證/ EAC=90進(jìn)一步可證得結(jié)論成立.2 對于許多幾何證明題，根據(jù)已知條件與所要證明的結(jié)論，聯(lián)想相關(guān)知識是溝通證明思路的重要途徑如本例(3)中根據(jù)探究量的形式聯(lián)想到勾股定理，從而構(gòu)造直角三角形是解決問題的突破口.另外，注意“幾何直觀”，合情推理與演繹推理的有機(jī)結(jié)合