數(shù)學(xué)建模古典概型PPT課件

1、 概率概念的要旨是在17世紀(jì)中葉法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡與費(fèi)馬的討論中才比較明確。他們?cè)谕鶃?lái)的信函中討論合理分配賭注問(wèn)題，在概率問(wèn)題早期的研究中，逐步建立了事件、概率和隨機(jī)變量等重要概念以及它們的基本性質(zhì)。 后來(lái)由于許多社會(huì)問(wèn)題和工程技術(shù)問(wèn)題，如：人口統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)理論、天文觀測(cè)、誤差理論、產(chǎn)品檢驗(yàn)和質(zhì)量控制等，這些問(wèn)題的提出，均促進(jìn)了概率論的發(fā)展。第1頁(yè)/共65頁(yè) 從17世紀(jì)到19世紀(jì)，貝努利、隸莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切貝謝夫、馬爾可夫等著名數(shù)學(xué)家都對(duì)概率論的發(fā)展做出了杰出的貢獻(xiàn)。為概率論確定嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)的是數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸颉?1933年，他發(fā)表了著名的概率論的基本概念，用公理化結(jié)構(gòu)，明確定

2、義了概率論中的基本概念，成為了概率論發(fā)展史上的一個(gè)里程碑，為以后的概率論的迅速發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。第2頁(yè)/共65頁(yè)1.1 驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)一 排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?1掌握排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算方法 2會(huì)用Matlab計(jì)算排列數(shù)和組合數(shù)【實(shí)驗(yàn)要求】 1掌握Matlab計(jì)算階乘的命令factorial和雙階乘的命令prod 2掌握Matlab計(jì)算組合數(shù)的命令nchoosek和求所有組合的命令combntns第3頁(yè)/共65頁(yè)排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算1計(jì)算下列結(jié)果：（1）10！ （2）20！ （3）10!/20!第4頁(yè)/共65頁(yè)(1) factorial(10) 運(yùn)行結(jié)果為： ans = 362880

3、0 (2) prod(2:2:20) 運(yùn)行結(jié)果為： ans = 3.7159e+009 (3) factorial(10)/ prod(2:2:20) 運(yùn)行結(jié)果為： ans = 9.7656e-004第5頁(yè)/共65頁(yè) nchoosek(8,2)*factorial(2) 運(yùn)行結(jié)果為： ans = 56 第6頁(yè)/共65頁(yè) nchoosek(8,2)運(yùn)行結(jié)果為：ans = 28第7頁(yè)/共65頁(yè)(3) nchoosek(10,2)運(yùn)行結(jié)果為：ans = 45(4) x=2:1:4; y=factorial(x); factorial(9)/prod(y)運(yùn)行結(jié)果為：ans = 1260第8頁(yè)/共65

4、頁(yè)寫出從1，2，3，4，5，6，7，8這8個(gè)數(shù)中取6個(gè)數(shù)的所有組合。 combntns(1:8,6)運(yùn)行結(jié)果為：ans = 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 7 1 2 3 4 5 8 1 2 3 4 6 7 1 2 3 4 6 8 1 2 3 4 7 8第9頁(yè)/共65頁(yè) 1 2 3 5 6 7 1 2 3 5 6 8 1 2 3 5 7 8 1 2 3 6 7 8 1 2 4 5 6 7 1 2 4 5 6 8 1 2 4 5 7 8 1 2 4 6 7 8 1 2 5 6 7 8第10頁(yè)/共65頁(yè) 1 3 4 5 6 7 1 3 4 5 6 8 1 3 4 5 7 8 1 3 4

5、 6 7 8 1 3 5 6 7 8 1 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 8 2 3 4 5 7 8第11頁(yè)/共65頁(yè) 2 3 4 6 7 8 2 3 5 6 7 8 2 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8第12頁(yè)/共65頁(yè)1. 1 驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)二 古典概率的計(jì)算【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?1.熟悉概率的概念和性質(zhì) 2.掌握古典概率的計(jì)算方法，并通過(guò)實(shí)例加深對(duì)概率概念和性質(zhì)的理解【實(shí)驗(yàn)要求】 1.掌握Matlab計(jì)算階乘的命令factorial和雙階乘的命令prod 2.掌握Matlab計(jì)算組合數(shù)的命令nchoosek 3.會(huì)用Matlab命令求古典概率第13頁(yè)/共

6、65頁(yè)古典概率的計(jì)算 1設(shè)個(gè)人中每個(gè)人的生日在一年365天中任一天是等可能的。求當(dāng)n為23，40，64時(shí)，這個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率各為多少？ n=23; p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365n運(yùn)行結(jié)果：p =0.5073第14頁(yè)/共65頁(yè) n=40; p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365n運(yùn)行結(jié)果：p = 0.8912第15頁(yè)/共65頁(yè) n=64; p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365n運(yùn)行結(jié)果：p = 0.9972第16頁(yè)/共65頁(yè)2某接待站在某一周曾接待過(guò)12次來(lái)訪，已知所有

7、這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？ p=212/712 %接待時(shí)間沒(méi)有規(guī)定時(shí)，訪問(wèn)都發(fā)生在周二和周四的概率運(yùn)行結(jié)果：p = 2.9593e-007此概率很小，由實(shí)際推斷原理知接待時(shí)間是有規(guī)定的。第17頁(yè)/共65頁(yè)3在50個(gè)產(chǎn)品中有18個(gè)一級(jí)品，32個(gè)二級(jí)品，從中任意抽取30個(gè)，求其中(1)恰有20個(gè)二級(jí)品的概率；(2)至少有2個(gè)一級(jí)品的概率？（1）p1=nchoosek(32,20)*nchoosek(18,10)/nchoosek(50,30)運(yùn)行結(jié)果：p1 = 0.2096第18頁(yè)/共65頁(yè)（2） p2=1-(nchoosek(32,30)+nchoos

8、ek(18,1)*nchoosek(32,29)/nchoosek(50,30)運(yùn)行結(jié)果：p2 = 1.0000第19頁(yè)/共65頁(yè)4某廠一、二、三車間生產(chǎn)同類產(chǎn)品，已知三個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占總量的50%，25%，25%，且這三個(gè)車間產(chǎn)品的次品率分別為1%，2%，4%三個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中均勻混合。(1)從倉(cāng)庫(kù)中任取一件產(chǎn)品，求它是次品的概率；(2) 從倉(cāng)庫(kù)中任取一件產(chǎn)品，經(jīng)檢測(cè)是次品，求該產(chǎn)品產(chǎn)自于三個(gè)車間的概率?第20頁(yè)/共65頁(yè)（1） a=0.5,0.25,0.25; b=0.01,0.02,0.04; p1=dot(a,b)運(yùn)行結(jié)果：p1 = 0.0200第21頁(yè)/共65頁(yè)（2）

9、a=0.5,0.25,0.25; b=0.01,0.02,0.04; p2=a.*b/p1運(yùn)行結(jié)果：p2 =0.2500 0.2500 0.5000向量p2的三個(gè)分量正是所要計(jì)算的三個(gè)概率，而且第三個(gè)概率最大，說(shuō)明該次品來(lái)自第三個(gè)車間的可能性最大。第22頁(yè)/共65頁(yè)1. 2 設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)一 拋硬幣試驗(yàn)的計(jì)算機(jī)模擬 拋硬幣試驗(yàn)是概率論中非常簡(jiǎn)單易懂而且易于操作的試驗(yàn)，在概率研究的發(fā)展史上就有很多著名的數(shù)學(xué)家做了這樣的試驗(yàn)，如表1：第23頁(yè)/共65頁(yè) 現(xiàn)在，要求用Matlab模擬出拋硬幣試驗(yàn)，并觀察隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，正面朝上的頻率如何變化？試驗(yàn)并觀察在相同的試驗(yàn)次數(shù)下，正面朝上的頻率是否相同？

10、第24頁(yè)/共65頁(yè)拋硬幣試驗(yàn)的計(jì)算機(jī)模擬【實(shí)驗(yàn)方案】 拋一枚均勻硬幣，容易知道正面朝上的概率是0.5。若做n次拋硬幣試驗(yàn)，正面朝上的次數(shù)是k次，則正面朝上的頻率是k/n。由貝努利大數(shù)定律，隨著n的增大，頻率k/n會(huì)趨近于概率0.5，這體現(xiàn)了頻率的穩(wěn)定性。但是頻率不是n和k的簡(jiǎn)單函數(shù)，即使相同的n頻率也會(huì)不同，這體現(xiàn)出頻率的波動(dòng)性第25頁(yè)/共65頁(yè)在Matlab的Medit窗口建立文件money.m：function y=money(n)for i=1:1:nx(i)=binornd(1, 0.5);end;k=sum(x);y=k/n第26頁(yè)/共65頁(yè)在Matlab的命令窗口輸入下述命令： m

11、oney(100)；y = 0.4600 money(1000)；y = 0.4820 money(10000)；y = 0.4987 money(10000)；y = 0.4982第27頁(yè)/共65頁(yè) 以上數(shù)據(jù)說(shuō)明，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，正面朝上的頻率逐漸增大，且趨近于0.5。但是即使試驗(yàn)次數(shù)一樣，正面朝上的頻率也會(huì)不同，這說(shuō)明，頻率既具有穩(wěn)定性，又具有波動(dòng)性。第28頁(yè)/共65頁(yè)1.2 設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)二 蒙特霍爾問(wèn)題 蒙特霍爾問(wèn)題，亦稱為蒙特霍問(wèn)題或三門問(wèn)題（英文：MontyHallProblem），是一個(gè)源自博弈論的數(shù)學(xué)游戲問(wèn)題，出自美國(guó)電視游戲節(jié)目Lets Make a Deal”，問(wèn)題的名

12、字來(lái)自該節(jié)目的主持人蒙特霍爾(MontyHall）第29頁(yè)/共65頁(yè) 這個(gè)游戲的玩法是：參賽者會(huì)看見(jiàn)三扇關(guān)閉了的門，其中一扇的后面有一輛汽車，選中后面有車的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門后面則各藏有一只山羊。當(dāng)參賽者選定了一扇門，但未去開(kāi)啟它的時(shí)候，節(jié)目主持人會(huì)開(kāi)啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后會(huì)問(wèn)參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)上的門。問(wèn)題是：換另一扇門是否會(huì)增加參賽者贏得汽車的機(jī)率？如果嚴(yán)格按照上述的條件的話，答案是會(huì)。換門的話，贏得汽車的機(jī)率是2/3。第30頁(yè)/共65頁(yè) 這個(gè)問(wèn)題亦被叫做蒙提霍爾悖論：雖然該問(wèn)題的答案在邏輯上并不自相矛盾，但十分違反直覺(jué)。這問(wèn)題曾引起一

13、陣熱烈的討論。 以下是蒙提霍爾問(wèn)題的一個(gè)著名的敘述，來(lái)自CraigF.Whitaker于1990年寄給展示雜志（ParadeMagazine）瑪莉蓮莎凡（MarilynvosSavant）專欄的信件：假設(shè)你正在參加一個(gè)游戲節(jié)目，你被要求在三扇門中選擇一扇：其中一扇后面有一輛車；其余兩扇后面則是山羊。你選擇了一道門，假設(shè)是一號(hào)門，然后知道門后面有什么的主持人，開(kāi)啟了另一扇后面有山羊的門，假設(shè)是三號(hào)第31頁(yè)/共65頁(yè)門。他然后問(wèn)你：“你想選擇二號(hào)門嗎？”轉(zhuǎn)換你的選擇對(duì)你來(lái)說(shuō)是一種優(yōu)勢(shì)嗎？ 蒙特霍爾問(wèn)題的結(jié)論是如此的與我們的直覺(jué)相違背，請(qǐng)用概率知識(shí)分析這其中的道理，并設(shè)計(jì)一個(gè)試驗(yàn)?zāi)M蒙特霍爾問(wèn)題，看

14、模擬的結(jié)果是否與理論結(jié)果一致？第32頁(yè)/共65頁(yè)【實(shí)驗(yàn)方案】 蒙特霍爾問(wèn)題的關(guān)鍵是電視節(jié)目主持人為了節(jié)目的緊張刺激，故意會(huì)打開(kāi)他事先知道的有羊的門，因此，如果不換的話，參賽者獲得汽車的可能性是1/3。如果參賽者要更換選擇，則他將會(huì)面臨三種等可能性的情況： 參賽者挑山羊一號(hào)，主持人挑山羊二號(hào)，更換選擇將贏得汽車。 參賽者挑山羊二號(hào)，主持人挑山羊一號(hào)，更換選擇將贏得汽車。第33頁(yè)/共65頁(yè) 參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭，更換選擇將不會(huì)贏得汽車。 在頭兩種情況，參賽者可以通過(guò)更換選擇而贏得汽車，第三種情況是唯一一種參賽者通過(guò)保持原來(lái)選擇而贏的情況。因?yàn)槿N情況中有兩種是通過(guò)更換選擇而贏的

15、，所以通過(guò)更換選擇而贏的概率是2/3。第34頁(yè)/共65頁(yè) 另一種解答是假設(shè)你永遠(yuǎn)都會(huì)更換選擇，這時(shí)贏的唯一可能性就是選一扇沒(méi)有車的門，因?yàn)橹鞒秩似浜蟊囟〞?huì)開(kāi)啟另外一扇有山羊的門，消除了更換選擇后選到另外一只羊的可能性。因?yàn)殚T的總數(shù)是三扇，有山羊的門的總數(shù)是兩扇，所以轉(zhuǎn)換選擇而贏得汽車的概率是2/3，與初次選擇時(shí)選中有山羊的門的概率一樣。第35頁(yè)/共65頁(yè)在Matlab的Medit窗口建立montyhall.m文件：function nochange=montyhall(n)m=0;l=0;x=1,1,2;%此處用“1”代表山羊，“2”代表汽車for i=1:1:n k=unidrnd(3);

16、if x(k)=2 m=m+1; l=l;第36頁(yè)/共65頁(yè)else m=m; l=l+1; endendnochange=m/nchange=l/n第37頁(yè)/共65頁(yè)在Matlab的命令窗口輸入下述命令： montyhall(1000)；nochange = 0.3380change = 0.6620 montyhall(10000)；nochange = 0.3307change = 0.6693第38頁(yè)/共65頁(yè) montyhall(100000)；nochange = 0.3317change = 0.6683 montyhall(1000000)；nochange = 0.3335c

17、hange = 0.6665第39頁(yè)/共65頁(yè) 通過(guò)以上數(shù)據(jù)可以看出，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，更換選擇的頻率趨近于2/3，而不做更換的頻率趨近于1/3，這和理論分析的結(jié)果是一致的。這個(gè)例子告訴我們，用Matlab設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行模擬，可以糾正我們的直覺(jué)錯(cuò)誤，同時(shí)也可以驗(yàn)證理論的正確性。第40頁(yè)/共65頁(yè)1.2 設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)三 巴拿赫火柴盒問(wèn)題【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】 有一人有兩盒火柴，每一盒有n根，每一次使用時(shí)，他在任一盒中取一根，問(wèn)他發(fā)現(xiàn)一盒空，而另一盒有k根火柴的概率是多少？然后通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析當(dāng)n固定時(shí)，此概率隨著k的增加而如何變化，此概率何時(shí)取得最大值？第41頁(yè)/共65頁(yè)【實(shí)驗(yàn)方案】 給這兩盒火柴編號(hào)為A和

18、B，則每次取到A和B中的火柴的可能性是一樣的，都是1/2。在該人發(fā)現(xiàn)A盒火柴已經(jīng)空了而B盒火柴還剩k根之前，該人相當(dāng)于是做了2n-k次取火柴實(shí)驗(yàn)（貝努利實(shí)驗(yàn)），其中A盒火柴被取了n次，B盒火柴被取了n-k次。若以取到A盒火柴為實(shí)驗(yàn)成功，且X表示2n-k次取火柴實(shí)驗(yàn)中實(shí)驗(yàn)成功的次數(shù)，則X服從參數(shù)為2n-k和1/2的二項(xiàng)分布，則A盒火柴被取了n次，B盒火柴被取了n-k次的概率為：第42頁(yè)/共65頁(yè)第43頁(yè)/共65頁(yè)【實(shí)驗(yàn)過(guò)程】1觀察當(dāng)n為20時(shí)，隨著k的增大，概率的變化趨勢(shì)。在Matlab的命令窗口輸入下述命令： n=20; for k=0:1:20 p=nchoosek(2*n-k,n)*0.5

19、(2*n-k); fprintf(p(%d)=%d.n,k,p); end第44頁(yè)/共65頁(yè)然后運(yùn)行上述文件，運(yùn)行結(jié)果如下：p(0)=1.253707e-001.p(1)=1.253707e-001.p(2)=1.221561e-001.p(3)=1.157268e-001.p(4)=1.063435e-001.p(5)=9.452759e-002.p(6)=8.102365e-002.p(7)=6.672536e-002.p(8)=5.257149e-002.p(9)=3.942862e-002.p(10)=2.798160e-002.第45頁(yè)/共65頁(yè) p(11)=1.865440e-00

20、2. p(12)=1.157859e-002. p(13)=6.616339e-003. p(14)=3.430694e-003. p(15)=1.583397e-003. p(16)=6.333590e-004. p(17)=2.111197e-004. p(18)=5.507469e-005. p(19)=1.001358e-005. p(20)=9.536743e-007. 從上述結(jié)果可以看到，當(dāng)n為20時(shí)，隨著k的增大，概率p越來(lái)越小,而且概率值變化很明顯。第46頁(yè)/共65頁(yè)2觀察當(dāng)k固定時(shí)（固定為2），隨著n的增大，概率的變化趨勢(shì)。在Matlab的命令窗口輸入下述命令： k=2; f

21、or n=10:1:20 p=nchoosek(2*n-k,n)*0.5(2*n-k); fprintf(p(%d)=%d.n,n,p); end第47頁(yè)/共65頁(yè)然后運(yùn)行上述文件，運(yùn)行結(jié)果如下：p(10)=1.669235e-001.p(11)=1.601791e-001.p(12)=1.541724e-001.p(13)=1.487818e-001.p(14)=1.439109e-001.p(15)=1.394829e-001.p(16)=1.354354e-001.p(17)=1.317176e-001.p(18)=1.282874e-001.p(19)=1.251100e-001.p(

22、20)=1.221561e-001.第48頁(yè)/共65頁(yè) 從上述結(jié)果可以看到，當(dāng)k為2時(shí)，隨著n的增大，概率p越來(lái)越小,但是概率值變化不是很明顯。第49頁(yè)/共65頁(yè)巴拿赫火柴盒問(wèn)題的計(jì)算機(jī)模擬：在Matlab的Medit窗口建立文件banahe.m：n=20;p=0.5;a=10000;for k=1:n m=0;for j=1:a nl=n; nr=n;第50頁(yè)/共65頁(yè)for i=1:2*n x=binornd(1,p); if x=0 nl=nl-1; else nr=nr-1; end if nl=0|nr=0 break; endend第51頁(yè)/共65頁(yè) if (nl=0&nr

23、=k)|(nr=0&nl=k) m=m+1; endendfprintf(P(%d,%d)=%d.n,n,k,m/a)end第52頁(yè)/共65頁(yè)運(yùn)行結(jié)果為：P(20,1)=1.302000e-001.P(20,2)=1.273000e-001.P(20,3)=1.267000e-001.P(20,4)=1.216000e-001.P(20,5)=1.118000e-001.P(20,6)=9.190000e-002.P(20,7)=8.070000e-002.P(20,8)=6.060000e-002.P(20,9)=5.160000e-002.P(20,10)=3.670000e-00

24、2.P(20,11)=2.400000e-002.第53頁(yè)/共65頁(yè)P(yáng)(20,12)=1.800000e-002.P(20,13)=1.050000e-002.P(20,14)=4.700000e-003.P(20,15)=2.200000e-003.P(20,16)=1.100000e-003.P(20,17)=7.000000e-004.P(20,18)=0.P(20,19)=0.P(20,20)=0.第54頁(yè)/共65頁(yè) 上述結(jié)果是n=20，p=0.5對(duì)應(yīng)的概率（k從1到20），模擬的結(jié)果和理論結(jié)果比較接近。讀者也可以改變上述程序模擬k固定時(shí)，概率隨著n的值的變化結(jié)果。如果這兩盒火柴放于此人的左右兩個(gè)口袋里，而此人較習(xí)慣于用左手取火柴，假設(shè)每次用左手取火柴的概率為p=0.7，則此時(shí)結(jié)果又如何，理論結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果是否一致？第55頁(yè)/共65頁(yè)1.3 綜合性實(shí)驗(yàn)蒲豐投針實(shí)驗(yàn) 取一張白紙，在上面畫上許多條間距為 d 的平行線。取一根長(zhǎng)度為 l ( l d ) 的針，隨機(jī)地向畫有平行直線的紙上擲 n 次，觀察針 與直線相交的次數(shù)，記為 m 。 計(jì)算針與直線相交的概率 計(jì)算圓周率的近似值。 歷史上有不少著名數(shù)學(xué)家做了這個(gè)試驗(yàn)