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文檔簡介
1、 概率概念的要旨是在17世紀(jì)中葉法國數(shù)學(xué)家帕斯卡與費馬的討論中才比較明確。他們在往來的信函中討論合理分配賭注問題,在概率問題早期的研究中,逐步建立了事件、概率和隨機變量等重要概念以及它們的基本性質(zhì)。 后來由于許多社會問題和工程技術(shù)問題,如:人口統(tǒng)計、保險理論、天文觀測、誤差理論、產(chǎn)品檢驗和質(zhì)量控制等,這些問題的提出,均促進了概率論的發(fā)展。第1頁/共65頁 從17世紀(jì)到19世紀(jì),貝努利、隸莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切貝謝夫、馬爾可夫等著名數(shù)學(xué)家都對概率論的發(fā)展做出了杰出的貢獻。為概率論確定嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)的是數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫。 1933年,他發(fā)表了著名的概率論的基本概念,用公理化結(jié)構(gòu),明確定
2、義了概率論中的基本概念,成為了概率論發(fā)展史上的一個里程碑,為以后的概率論的迅速發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。第2頁/共65頁1.1 驗證性實驗實驗一 排列數(shù)與組合數(shù)的計算【實驗?zāi)康摹?1掌握排列數(shù)和組合數(shù)的計算方法 2會用Matlab計算排列數(shù)和組合數(shù)【實驗要求】 1掌握Matlab計算階乘的命令factorial和雙階乘的命令prod 2掌握Matlab計算組合數(shù)的命令nchoosek和求所有組合的命令combntns第3頁/共65頁排列數(shù)與組合數(shù)的計算1計算下列結(jié)果:(1)10! (2)20! (3)10!/20!第4頁/共65頁(1) factorial(10) 運行結(jié)果為: ans = 362880
3、0 (2) prod(2:2:20) 運行結(jié)果為: ans = 3.7159e+009 (3) factorial(10)/ prod(2:2:20) 運行結(jié)果為: ans = 9.7656e-004第5頁/共65頁 nchoosek(8,2)*factorial(2) 運行結(jié)果為: ans = 56 第6頁/共65頁 nchoosek(8,2)運行結(jié)果為:ans = 28第7頁/共65頁(3) nchoosek(10,2)運行結(jié)果為:ans = 45(4) x=2:1:4; y=factorial(x); factorial(9)/prod(y)運行結(jié)果為:ans = 1260第8頁/共65
4、頁寫出從1,2,3,4,5,6,7,8這8個數(shù)中取6個數(shù)的所有組合。 combntns(1:8,6)運行結(jié)果為:ans = 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 7 1 2 3 4 5 8 1 2 3 4 6 7 1 2 3 4 6 8 1 2 3 4 7 8第9頁/共65頁 1 2 3 5 6 7 1 2 3 5 6 8 1 2 3 5 7 8 1 2 3 6 7 8 1 2 4 5 6 7 1 2 4 5 6 8 1 2 4 5 7 8 1 2 4 6 7 8 1 2 5 6 7 8第10頁/共65頁 1 3 4 5 6 7 1 3 4 5 6 8 1 3 4 5 7 8 1 3 4
5、 6 7 8 1 3 5 6 7 8 1 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 8 2 3 4 5 7 8第11頁/共65頁 2 3 4 6 7 8 2 3 5 6 7 8 2 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8第12頁/共65頁1. 1 驗證性實驗實驗二 古典概率的計算【實驗?zāi)康摹?1.熟悉概率的概念和性質(zhì) 2.掌握古典概率的計算方法,并通過實例加深對概率概念和性質(zhì)的理解【實驗要求】 1.掌握Matlab計算階乘的命令factorial和雙階乘的命令prod 2.掌握Matlab計算組合數(shù)的命令nchoosek 3.會用Matlab命令求古典概率第13頁/共
6、65頁古典概率的計算 1設(shè)個人中每個人的生日在一年365天中任一天是等可能的。求當(dāng)n為23,40,64時,這個人中至少有兩人生日相同的概率各為多少? n=23; p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365n運行結(jié)果:p =0.5073第14頁/共65頁 n=40; p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365n運行結(jié)果:p = 0.8912第15頁/共65頁 n=64; p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365n運行結(jié)果:p = 0.9972第16頁/共65頁2某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有
7、這12次接待都是在周二和周四進行的,問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的? p=212/712 %接待時間沒有規(guī)定時,訪問都發(fā)生在周二和周四的概率運行結(jié)果:p = 2.9593e-007此概率很小,由實際推斷原理知接待時間是有規(guī)定的。第17頁/共65頁3在50個產(chǎn)品中有18個一級品,32個二級品,從中任意抽取30個,求其中(1)恰有20個二級品的概率;(2)至少有2個一級品的概率?(1)p1=nchoosek(32,20)*nchoosek(18,10)/nchoosek(50,30)運行結(jié)果:p1 = 0.2096第18頁/共65頁(2) p2=1-(nchoosek(32,30)+nchoos
8、ek(18,1)*nchoosek(32,29)/nchoosek(50,30)運行結(jié)果:p2 = 1.0000第19頁/共65頁4某廠一、二、三車間生產(chǎn)同類產(chǎn)品,已知三個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占總量的50%,25%,25%,且這三個車間產(chǎn)品的次品率分別為1%,2%,4%三個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品在倉庫中均勻混合。(1)從倉庫中任取一件產(chǎn)品,求它是次品的概率;(2) 從倉庫中任取一件產(chǎn)品,經(jīng)檢測是次品,求該產(chǎn)品產(chǎn)自于三個車間的概率?第20頁/共65頁(1) a=0.5,0.25,0.25; b=0.01,0.02,0.04; p1=dot(a,b)運行結(jié)果:p1 = 0.0200第21頁/共65頁(2)
9、a=0.5,0.25,0.25; b=0.01,0.02,0.04; p2=a.*b/p1運行結(jié)果:p2 =0.2500 0.2500 0.5000向量p2的三個分量正是所要計算的三個概率,而且第三個概率最大,說明該次品來自第三個車間的可能性最大。第22頁/共65頁1. 2 設(shè)計性實驗實驗一 拋硬幣試驗的計算機模擬 拋硬幣試驗是概率論中非常簡單易懂而且易于操作的試驗,在概率研究的發(fā)展史上就有很多著名的數(shù)學(xué)家做了這樣的試驗,如表1:第23頁/共65頁 現(xiàn)在,要求用Matlab模擬出拋硬幣試驗,并觀察隨著試驗次數(shù)的增加,正面朝上的頻率如何變化?試驗并觀察在相同的試驗次數(shù)下,正面朝上的頻率是否相同?
10、第24頁/共65頁拋硬幣試驗的計算機模擬【實驗方案】 拋一枚均勻硬幣,容易知道正面朝上的概率是0.5。若做n次拋硬幣試驗,正面朝上的次數(shù)是k次,則正面朝上的頻率是k/n。由貝努利大數(shù)定律,隨著n的增大,頻率k/n會趨近于概率0.5,這體現(xiàn)了頻率的穩(wěn)定性。但是頻率不是n和k的簡單函數(shù),即使相同的n頻率也會不同,這體現(xiàn)出頻率的波動性第25頁/共65頁在Matlab的Medit窗口建立文件money.m:function y=money(n)for i=1:1:nx(i)=binornd(1, 0.5);end;k=sum(x);y=k/n第26頁/共65頁在Matlab的命令窗口輸入下述命令: m
11、oney(100);y = 0.4600 money(1000);y = 0.4820 money(10000);y = 0.4987 money(10000);y = 0.4982第27頁/共65頁 以上數(shù)據(jù)說明,隨著試驗次數(shù)的增加,正面朝上的頻率逐漸增大,且趨近于0.5。但是即使試驗次數(shù)一樣,正面朝上的頻率也會不同,這說明,頻率既具有穩(wěn)定性,又具有波動性。第28頁/共65頁1.2 設(shè)計性實驗實驗二 蒙特霍爾問題 蒙特霍爾問題,亦稱為蒙特霍問題或三門問題(英文:MontyHallProblem),是一個源自博弈論的數(shù)學(xué)游戲問題,出自美國電視游戲節(jié)目Lets Make a Deal”,問題的名
12、字來自該節(jié)目的主持人蒙特霍爾(MontyHall)第29頁/共65頁 這個游戲的玩法是:參賽者會看見三扇關(guān)閉了的門,其中一扇的后面有一輛汽車,選中后面有車的那扇門就可以贏得該汽車,而另外兩扇門后面則各藏有一只山羊。當(dāng)參賽者選定了一扇門,但未去開啟它的時候,節(jié)目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后會問參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)上的門。問題是:換另一扇門是否會增加參賽者贏得汽車的機率?如果嚴(yán)格按照上述的條件的話,答案是會。換門的話,贏得汽車的機率是2/3。第30頁/共65頁 這個問題亦被叫做蒙提霍爾悖論:雖然該問題的答案在邏輯上并不自相矛盾,但十分違反直覺。這問題曾引起一
13、陣熱烈的討論。 以下是蒙提霍爾問題的一個著名的敘述,來自CraigF.Whitaker于1990年寄給展示雜志(ParadeMagazine)瑪莉蓮莎凡(MarilynvosSavant)專欄的信件:假設(shè)你正在參加一個游戲節(jié)目,你被要求在三扇門中選擇一扇:其中一扇后面有一輛車;其余兩扇后面則是山羊。你選擇了一道門,假設(shè)是一號門,然后知道門后面有什么的主持人,開啟了另一扇后面有山羊的門,假設(shè)是三號第31頁/共65頁門。他然后問你:“你想選擇二號門嗎?”轉(zhuǎn)換你的選擇對你來說是一種優(yōu)勢嗎? 蒙特霍爾問題的結(jié)論是如此的與我們的直覺相違背,請用概率知識分析這其中的道理,并設(shè)計一個試驗?zāi)M蒙特霍爾問題,看
14、模擬的結(jié)果是否與理論結(jié)果一致?第32頁/共65頁【實驗方案】 蒙特霍爾問題的關(guān)鍵是電視節(jié)目主持人為了節(jié)目的緊張刺激,故意會打開他事先知道的有羊的門,因此,如果不換的話,參賽者獲得汽車的可能性是1/3。如果參賽者要更換選擇,則他將會面臨三種等可能性的情況: 參賽者挑山羊一號,主持人挑山羊二號,更換選擇將贏得汽車。 參賽者挑山羊二號,主持人挑山羊一號,更換選擇將贏得汽車。第33頁/共65頁 參賽者挑汽車,主持人挑兩頭山羊的任何一頭,更換選擇將不會贏得汽車。 在頭兩種情況,參賽者可以通過更換選擇而贏得汽車,第三種情況是唯一一種參賽者通過保持原來選擇而贏的情況。因為三種情況中有兩種是通過更換選擇而贏的
15、,所以通過更換選擇而贏的概率是2/3。第34頁/共65頁 另一種解答是假設(shè)你永遠都會更換選擇,這時贏的唯一可能性就是選一扇沒有車的門,因為主持人其后必定會開啟另外一扇有山羊的門,消除了更換選擇后選到另外一只羊的可能性。因為門的總數(shù)是三扇,有山羊的門的總數(shù)是兩扇,所以轉(zhuǎn)換選擇而贏得汽車的概率是2/3,與初次選擇時選中有山羊的門的概率一樣。第35頁/共65頁在Matlab的Medit窗口建立montyhall.m文件:function nochange=montyhall(n)m=0;l=0;x=1,1,2;%此處用“1”代表山羊,“2”代表汽車for i=1:1:n k=unidrnd(3);
16、if x(k)=2 m=m+1; l=l;第36頁/共65頁else m=m; l=l+1; endendnochange=m/nchange=l/n第37頁/共65頁在Matlab的命令窗口輸入下述命令: montyhall(1000);nochange = 0.3380change = 0.6620 montyhall(10000);nochange = 0.3307change = 0.6693第38頁/共65頁 montyhall(100000);nochange = 0.3317change = 0.6683 montyhall(1000000);nochange = 0.3335c
17、hange = 0.6665第39頁/共65頁 通過以上數(shù)據(jù)可以看出,隨著實驗次數(shù)的增加,更換選擇的頻率趨近于2/3,而不做更換的頻率趨近于1/3,這和理論分析的結(jié)果是一致的。這個例子告訴我們,用Matlab設(shè)計實驗進行模擬,可以糾正我們的直覺錯誤,同時也可以驗證理論的正確性。第40頁/共65頁1.2 設(shè)計性實驗實驗三 巴拿赫火柴盒問題【實驗內(nèi)容】 有一人有兩盒火柴,每一盒有n根,每一次使用時,他在任一盒中取一根,問他發(fā)現(xiàn)一盒空,而另一盒有k根火柴的概率是多少?然后通過實驗分析當(dāng)n固定時,此概率隨著k的增加而如何變化,此概率何時取得最大值?第41頁/共65頁【實驗方案】 給這兩盒火柴編號為A和
18、B,則每次取到A和B中的火柴的可能性是一樣的,都是1/2。在該人發(fā)現(xiàn)A盒火柴已經(jīng)空了而B盒火柴還剩k根之前,該人相當(dāng)于是做了2n-k次取火柴實驗(貝努利實驗),其中A盒火柴被取了n次,B盒火柴被取了n-k次。若以取到A盒火柴為實驗成功,且X表示2n-k次取火柴實驗中實驗成功的次數(shù),則X服從參數(shù)為2n-k和1/2的二項分布,則A盒火柴被取了n次,B盒火柴被取了n-k次的概率為:第42頁/共65頁第43頁/共65頁【實驗過程】1觀察當(dāng)n為20時,隨著k的增大,概率的變化趨勢。在Matlab的命令窗口輸入下述命令: n=20; for k=0:1:20 p=nchoosek(2*n-k,n)*0.5
19、(2*n-k); fprintf(p(%d)=%d.n,k,p); end第44頁/共65頁然后運行上述文件,運行結(jié)果如下:p(0)=1.253707e-001.p(1)=1.253707e-001.p(2)=1.221561e-001.p(3)=1.157268e-001.p(4)=1.063435e-001.p(5)=9.452759e-002.p(6)=8.102365e-002.p(7)=6.672536e-002.p(8)=5.257149e-002.p(9)=3.942862e-002.p(10)=2.798160e-002.第45頁/共65頁 p(11)=1.865440e-00
20、2. p(12)=1.157859e-002. p(13)=6.616339e-003. p(14)=3.430694e-003. p(15)=1.583397e-003. p(16)=6.333590e-004. p(17)=2.111197e-004. p(18)=5.507469e-005. p(19)=1.001358e-005. p(20)=9.536743e-007. 從上述結(jié)果可以看到,當(dāng)n為20時,隨著k的增大,概率p越來越小,而且概率值變化很明顯。第46頁/共65頁2觀察當(dāng)k固定時(固定為2),隨著n的增大,概率的變化趨勢。在Matlab的命令窗口輸入下述命令: k=2; f
21、or n=10:1:20 p=nchoosek(2*n-k,n)*0.5(2*n-k); fprintf(p(%d)=%d.n,n,p); end第47頁/共65頁然后運行上述文件,運行結(jié)果如下:p(10)=1.669235e-001.p(11)=1.601791e-001.p(12)=1.541724e-001.p(13)=1.487818e-001.p(14)=1.439109e-001.p(15)=1.394829e-001.p(16)=1.354354e-001.p(17)=1.317176e-001.p(18)=1.282874e-001.p(19)=1.251100e-001.p(
22、20)=1.221561e-001.第48頁/共65頁 從上述結(jié)果可以看到,當(dāng)k為2時,隨著n的增大,概率p越來越小,但是概率值變化不是很明顯。第49頁/共65頁巴拿赫火柴盒問題的計算機模擬:在Matlab的Medit窗口建立文件banahe.m:n=20;p=0.5;a=10000;for k=1:n m=0;for j=1:a nl=n; nr=n;第50頁/共65頁for i=1:2*n x=binornd(1,p); if x=0 nl=nl-1; else nr=nr-1; end if nl=0|nr=0 break; endend第51頁/共65頁 if (nl=0&nr
23、=k)|(nr=0&nl=k) m=m+1; endendfprintf(P(%d,%d)=%d.n,n,k,m/a)end第52頁/共65頁運行結(jié)果為:P(20,1)=1.302000e-001.P(20,2)=1.273000e-001.P(20,3)=1.267000e-001.P(20,4)=1.216000e-001.P(20,5)=1.118000e-001.P(20,6)=9.190000e-002.P(20,7)=8.070000e-002.P(20,8)=6.060000e-002.P(20,9)=5.160000e-002.P(20,10)=3.670000e-00
24、2.P(20,11)=2.400000e-002.第53頁/共65頁P(20,12)=1.800000e-002.P(20,13)=1.050000e-002.P(20,14)=4.700000e-003.P(20,15)=2.200000e-003.P(20,16)=1.100000e-003.P(20,17)=7.000000e-004.P(20,18)=0.P(20,19)=0.P(20,20)=0.第54頁/共65頁 上述結(jié)果是n=20,p=0.5對應(yīng)的概率(k從1到20),模擬的結(jié)果和理論結(jié)果比較接近。讀者也可以改變上述程序模擬k固定時,概率隨著n的值的變化結(jié)果。如果這兩盒火柴放于此人的左右兩個口袋里,而此人較習(xí)慣于用左手取火柴,假設(shè)每次用左手取火柴的概率為p=0.7,則此時結(jié)果又如何,理論結(jié)果與試驗結(jié)果是否一致?第55頁/共65頁1.3 綜合性實驗蒲豐投針實驗 取一張白紙,在上面畫上許多條間距為 d 的平行線。取一根長度為 l ( l d ) 的針,隨機地向畫有平行直線的紙上擲 n 次,觀察針 與直線相交的次數(shù),記為 m 。 計算針與直線相交的概率 計算圓周率的近似值。 歷史上有不少著名數(shù)學(xué)家做了這個試驗
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