數(shù)學(xué)分析考試課件PPT課件

1、 ( ), wf zuivD設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析. , xvyuyvxu 那末那末. , 222222yxvyuxyvxu 從而從而根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理, , uv與具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 從而, 22yxvxyv 2222 0,uuxy故. 0 2222yvxv同理第1頁(yè)/共24頁(yè)偏微分方程 22220HHHxy稱為L(zhǎng)aplace方程其中2222xy 稱為L(zhǎng)aplace算子從以上分析知:( ), f zuivD若在區(qū)域內(nèi)解析Laplace 0,0.uvDuv 則 與 在 內(nèi)滿足方程:1. Laplace算子一. Laplace算子與共軛調(diào)和函數(shù) 第2頁(yè)/共24頁(yè) 2. 調(diào)和函數(shù)( , ) ,

2、0,( , ).H x yDHH x yD如果二元實(shí)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 且滿足拉普拉斯方程則稱為區(qū)域 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)( ),f zuivDuv若在區(qū)域內(nèi)解析 則 與 為注注1- DC R在區(qū)域 內(nèi)滿足方程3. 共軛調(diào)和函數(shù)定義3.63.6 , uvuvxyyx D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。定義3.5第3頁(yè)/共24頁(yè)注2 2,u vvuD的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)中 稱為 在區(qū)域 內(nèi)的vu不能交換順序， “ 稱為 的共軛調(diào)和函數(shù)”中的定理定理3.18( )( , )( , )f zu x yiv x yD若在區(qū)域內(nèi)解注3 3如果沒(méi)有條件“共軛”定理3.18的逆未必成立。C.-R.xyyxuvuvuv 由于方

3、程,中， 與,.u v不能交換, u vDuivD也就是說(shuō)即使均是 內(nèi)的調(diào)和函數(shù),在區(qū)域內(nèi)也不一定解析。共軛調(diào)和函數(shù)。,( , )( , ).Dv x yu x y析 則在 內(nèi)必為的共軛調(diào)和函數(shù)第4頁(yè)/共24頁(yè)4. 解析函數(shù)的構(gòu)造D假設(shè) 是單連通區(qū)域(1)( , ),( , ),u x yDv x y已知是 內(nèi)的調(diào)和函數(shù) 找2222 0,uuxy由于,uuDyx即與在 內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),uuuuPQyyxxyx 且記方法一: 應(yīng)用曲線積分,yxPQ則由數(shù)學(xué)分析中格林公式的等價(jià)命題知,.uivD使在 內(nèi)解析第5頁(yè)/共24頁(yè)uudxdyPdxQdyyx是全微分,令( , ),(3.21)uu

4、dxdydv x yyx則00( , )(,)( , ),(3.22)x yxyuuv x ydxdycyx注4(3.22),x y對(duì)分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù) 得 , uvuvxyyx 3.15,.uivD由定理知在 內(nèi)解析第6頁(yè)/共24頁(yè)注5 (3.21)可由下式簡(jiǎn)便記憶( , )vvdv x ydxdyxyC R方程uudxdyyx方法二: 應(yīng)用不定積分-,vuC Ryx由方程有( , )( ),uv x ydyxx-vuC Rxy再由方程另一條件有( , )( )xv x yudyxxx,uy ( ).x找第7頁(yè)/共24頁(yè)(2)( , ),( , ),v x yDu x y已知是 內(nèi)的調(diào)和函數(shù) 找

5、( , )uudu x ydxdyxy類似有C R方程vvdxdyyx故00( , )(,)( , )x yxyvvu x ydxdycyx注600(0,0),(,)(0,0),Dxy若則定點(diǎn)可取,(3.22).D若 非單連通 則積分可能為多值函數(shù).uivD使在 內(nèi)解析第8頁(yè)/共24頁(yè)定理3.19( , )u x yD設(shè)是在單連通區(qū)域 內(nèi)的調(diào)( , ),( )v x yf zuivD所確定的函數(shù)使是 內(nèi)的00( , )(,)( , ),(3.22)x yxyuuv x ydxdycyx解析函數(shù).( )f zuivD使得是 內(nèi)的解析函數(shù).( , ),( , )v x yu x y類似地，已知調(diào)和

6、函數(shù)也可確定二. 解析函數(shù)的等價(jià)刻劃,(3.22)和函數(shù) 則存在由式1. 調(diào)和函數(shù)生成解析函數(shù)注7第9頁(yè)/共24頁(yè)2. 刻劃解析函數(shù)又一等價(jià)條件( )f zuivD在區(qū)域 內(nèi)解析3.18 定理.Dvu在區(qū)域 內(nèi), 是 的共軛調(diào)和函數(shù)3.19 定理注8 由于任一二元調(diào)和函數(shù)都可作解析函數(shù)的實(shí)部(或虛部),由解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)仍解析知,任一二元調(diào)和函數(shù)的任意階偏導(dǎo)數(shù)也是調(diào)和函數(shù).第10頁(yè)/共24頁(yè)證明證明2( , ),u x yxy設(shè)由于2,uyx220,ux2,uxyy222 ,uxy0,x 故當(dāng)( , )u x y 不是調(diào)和函數(shù),0Laplace,x 雖然在直線上滿足方程但直線不是區(qū)域, 即

7、在z-平面的任意區(qū)域，2.xy 不能作為解析函數(shù)的實(shí)部2 .xy證明不能作為解析函數(shù)的實(shí)部22222 ,uuxxy例1 1第11頁(yè)/共24頁(yè)2222 : ( , ), ( , ),( )( , )( , ).yu x yxyv x yxyf zu x yiv x y證明都是調(diào)和函數(shù) 但不是解析函數(shù)證明證明由于2 ,uxx222,ux2 ,uyy 222,uy 2222,()vxyxxy22222,()vxyyxy223222 362,()vx yyxxy223222 362,()vx yyyxy從而22220,uuxy22220;vvxy例2 2第12頁(yè)/共24頁(yè)( , ),u x yz即是

8、平面上的調(diào)和函數(shù)( , )0,v x yC 是上的調(diào)和函數(shù)2222222, ,()uvxyyyxxyxxy 0Cuv從而在的任何區(qū)域上 與 不滿足-,.C Rvu方程 故 不是 的共軛調(diào)和函數(shù)( )( , )( , ).f zu x yv x y即不是解析函數(shù)22,uvyxxyx 這說(shuō)明僅在曲線上成立第13頁(yè)/共24頁(yè)2233,uxyx22 6 ,uxx 6,uxyy 22 6 ,uxy 解法一解法一,z因?yàn)樵?平面上, 0 2222 yuxu于是于是( , ).u x yz故為 平面上的調(diào)和函數(shù)( , )vvdv x ydxdyxy由有( , )(0,0)x y,uudxdyyx 6xydx

9、, c22(33)xydy( , )v x y32( , )3, u x yxxyz驗(yàn)證是 平面上的調(diào)和函數(shù)( , )( ),(0).u x yf zfi并求以為實(shí)部的解析函數(shù)使例3第14頁(yè)/共24頁(yè)( ,0)22(0,0)6(33)xxydxxydy( , )22( ,0)6(33)x yxxydxxydyc220(33)yxydyc233x yyc( )wf zuiv故32(3)xxy3,zic23(3)ix yyc (0),fi由 1,c 得3( ).f zzi故oXYxy(x,y)第15頁(yè)/共24頁(yè)解法二解法二( , ).u x y同方法一可證為調(diào)和函數(shù)yxCRvu由方程中一個(gè)得( ,

10、 )v x y( )xu dyx22(33)( )xydyx233( )x yyxxyCRvu 再由方程中另一個(gè)得6( )6,xvxyxxy( )0,x故( ),xc即23( , )3,v x yx yyc因此( )wf zuiv故32(3)xxy23(3)ix yy3,zic1,c 如法一可求3( ).f zzi故第16頁(yè)/共24頁(yè)例例4 ( , )arctan(0),( ).yv x yxxf zuiv已知求右半平面的解析函數(shù)解解22,yxy 2211vxyyx在右半z平面上2221yvxyxx22,xxy222222 ,()vxyxxy222222 ()vxyyxy2222 0,vvxy

11、( , ) v x y 為調(diào)和函數(shù).z第17頁(yè)/共24頁(yè)-C R由方程中的一個(gè)uvxy得22,uvxxyxy( , )( )uu x ydxyx( )vdxyy22( )xdxyxy221ln()( )2xyy-C R再由方程中的另一個(gè)uvyx 得2212( )2yyxy22yxyuvyx 第18頁(yè)/共24頁(yè)( )0,y從而 ( ),yc故221 ln(),2uxyc于是故所求的解析函數(shù)為( )f zuivargtanyixln,zc221ln()2xycargtanyix22lnxycargtanyixln zc第19頁(yè)/共24頁(yè)3 平均值公式定理9.100 ( ), u zzzRzzR如果

12、函數(shù)在圓內(nèi)是一個(gè)調(diào)和函數(shù) 在閉圓上連續(xù),則20001()()d .2iu zu zR e即u(z) 在圓心處的值等于它在圓周上值的算術(shù)平均值.證明證明3.19( )( )u zv z由定理，存在的共軛調(diào)和函數(shù)0( )( )( )u ziv zf zzzR使得在圓內(nèi)解析，10 RR設(shè)，第20頁(yè)/共24頁(yè)20101()2if zR ed000()()()u ziv zf z則由定理3.12（復(fù)變函數(shù)的平均值定理）得2201010011()()22iiu zR ediv zR ed1,RR比較兩端的實(shí)部和虛部，且令則2200000011(),()().2(2)iiu zRedv zv zReudz第21頁(yè)/共24頁(yè).僅證最大值情況達(dá)到最大值或最小值。( ),u zD如果函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)是調(diào)和函數(shù) 極值原理定理9.2 ( )u zD且不恒為常數(shù)，則在 的內(nèi)點(diǎn)處不能證明( )( )u zu z且與的調(diào)和性是相同的。min ( )max( ),z Dz Du zu z因?yàn)?0max ( ),(z DzDu zu z如果使得第22頁(yè)/共24頁(yè)DD