數(shù)字圖像處理10PPT課件

1、CH10 傅立葉變換及其應(yīng)用 一、一維連續(xù)傅立葉變換 二、二維連續(xù)傅立葉變換 三、一維離散傅立葉變換 四、二維離散傅立葉變換 五、傅立葉變換性質(zhì) 六、線性系統(tǒng)和傅立葉變換 七、數(shù)字圖像處理和傅立葉變換 要點總結(jié) 上機實習(xí)題第1頁/共63頁1 一維連續(xù)傅立葉變換 引子信號（波）的三種表示方法第1種表示方法第第2 2種表示方法種表示方法第2頁/共63頁1 一維連續(xù)傅立葉變換 第3種表示方法1/2Pi1/2Pi1/Pi1/Pi1 12 2頻率頻率幅值幅值第3頁/共63頁1 一維連續(xù)傅立葉變換 思考 如何把任意波形的信號表達(dá)成不同頻率基波的組合？ 在上一章中，不同頻率的基波（正弦或余弦信號）表現(xiàn)為復(fù)域

2、上的調(diào)諧信號； 因此：問題轉(zhuǎn)化成如何把任意波形的信號表達(dá)成復(fù)數(shù)域上不同角速度的調(diào)諧信號之和. 22cos 2sin 21jutx teutjutj其中第4頁/共63頁請仔細(xì)思考F(u)函數(shù)的形式.1 一維連續(xù)傅立葉變換 1）變換 22221tanjuxjuxxf xF uf x edxR ujI uF uf xf xF u eduF uf xF uRuIuI uuR uF uf x定義實變量 的連續(xù)可積函數(shù)的傅立葉變換為從中恢復(fù)，定義為傅立葉反變換 記幅度 相角 幅度函數(shù)又稱為的傅立葉譜第5頁/共63頁1 一維連續(xù)傅立葉變換 例10-1：為下圖所示的簡單函數(shù)f(x)，求其傅立葉變換F(u)。

3、2220022122sinsinjuxXXjuxjuxjuXj uXj uXj uXj uXF uf x edxAAedxejuAAeeeejujuAuX euuXF uAXuX解：第6頁/共63頁1 一維連續(xù)傅立葉變換00. 20. 40. 60. 811. 21. 4-1 -0. 8-0. 6-0. 4-0. 20. 2 0. 4 0. 6 0. 811. 2 1. 4x00. 20. 40. 60. 8-4-224u矩矩形形函函數(shù)數(shù)矩形矩形函數(shù)函數(shù)的傅的傅立葉立葉譜譜請思考除此之外的第3種表達(dá)?XA第7頁/共63頁1 一維連續(xù)傅立葉變換 例10-2：對高斯函數(shù)G(t)，求其傅立葉變換F(

4、u)。 高斯函數(shù)的傅立葉變換同樣是高斯函數(shù)。 222222222222ttj uttjutjutjutjuuuTuG teF ueedtedteedteedteedTe第8頁/共63頁1 一維連續(xù)傅立葉變換 22222sinsin12cos 22sin 22tuftf tF ueeuuuuttujuu tftufufftjufufeuf函數(shù)高斯矩形脈沖t三角脈沖沖激單位階躍余弦正弦復(fù)指數(shù)請課后練習(xí)!第9頁/共63頁1 一維連續(xù)傅立葉變換 2）加快運算 2cos2sin2juxf x ef xuxjuxf xf x因為奇函數(shù)乘偶函數(shù)為奇函數(shù)，奇函數(shù)乘奇函數(shù)為偶函數(shù)。而積分對于奇函數(shù)為零。因此若為

5、奇函數(shù)，只需計算虛數(shù)項；若為偶函數(shù)，只需計算實數(shù)項。第10頁/共63頁2 二維連續(xù)傅立葉變換2222122,tan,jux vyjux vyx yf x yF u vf x y edxdyR u vjI u vF u vf x yf x yF u v edudvF u vR u vI u vI u vu vR u vE u vR u vI u v 定義實變量的連續(xù)可積函數(shù)的傅立葉變換為從中恢復(fù)，定義為傅立葉反變換幅度 相角 能量譜 第11頁/共63頁2 二維連續(xù)傅立葉變換 例10-3：為下圖所示的二維函數(shù)f(x,y)，求其傅立葉變換F(u,v)。22200,sinsinsinsin,jux v

6、yXYjuxjuyjuXjvYF u vf x y edxdyAedxedyuXvYAXYeeuXvYuXvYF u vAXYuXvY 解：第12頁/共63頁2 二維連續(xù)傅立葉變換00. 511. 5-1. 5-1-0. 50. 511. 5y-1. 5-1-0. 50. 511. 5x00. 20. 40. 60. 8-4-224v-4-224u二維矩形二維矩形函數(shù)函數(shù)二維矩形二維矩形函數(shù)的傅函數(shù)的傅立葉譜立葉譜第13頁/共63頁3 一維離散傅立葉變換 1）一維離散傅立葉變換對 01201201NjuxNxNjuxNxf xNxf xf xx xF uf x eNf xF u e 設(shè)離散函數(shù)

7、為相應(yīng)連續(xù)函數(shù)取 個間隔的取樣值。離散函數(shù)的傅立葉變換對為注意注意: 1/N并沒有固定位置并沒有固定位置.第14頁/共63頁3 3 一維離散傅立葉變換 323240000020222460222369022214,410,00123411,10123412,20123413,301234jjuxxjjejjjjjjNF uf x euFfefefefeuFfefefefeuFfefefefeuFfefefefe取展開為第15頁/共63頁3 一維離散傅立葉變換 例：一維離散函數(shù)如下,求其離散傅立葉變換. 332240001,11,21,3111401,10,20,30uxuxjjNxxf xff

8、ffF uf x eeNFFFF第16頁/共63頁3 一維離散傅立葉變換 例：對連續(xù)sinc函數(shù)的不同采樣，導(dǎo)致的不同離散傅立葉變換。 1）采樣10個點； 2）采樣100個點。第17頁/共63頁3 一維離散傅立葉變換下標(biāo)從下標(biāo)從0,1擴展到擴展到0,10第18頁/共63頁3 一維離散傅立葉變換下標(biāo)從下標(biāo)從0,1擴展到擴展到0,100第19頁/共63頁3 一維離散傅立葉變換 2）DFT的矩陣表示法 000030220233903221,0011122433jjjjjjjjjFWfNeeeeFfFfeeeeFfeeeeFfeeee考慮到記作第20頁/共63頁3 一維離散傅立葉變換000001230

9、2020321111111111111WWWWjjWWWWWWWWjjWWWW012301234567N=4和N=8的W各元素N=4和N=8的W各元素步進(jìn)法步進(jìn)法第21頁/共63頁3 一維離散傅立葉變換 N=8時W各元素024613571,1,12121212WWj WWjWjWjWjWj 第22頁/共63頁3 一維離散傅立葉變換 3）常用一維DFT的幾個性質(zhì) 12,;34uxNNuxNWWuxf xDFTWF uF uNf xf xNf xf xf xW陣是對稱陣陣 方向和 方向是對稱的；的是周期性,即陣是周期性即為偶函數(shù)或奇函數(shù)情況當(dāng)為奇函數(shù)，計算時只計算虛部；當(dāng)為偶函數(shù)，計算時只計算實部

10、；陣的可分性參看快速傅立葉變換第23頁/共63頁3 一維離散傅立葉變換 4）快速傅立葉變換FFT 時域分組：將W中把x不斷分解為奇偶表達(dá)式； 頻域分組：將u不斷分解為奇偶表達(dá)式。 21022112lguxNjNxnF uf x eNDFTNN NNFFTNN計算復(fù)雜度=次乘法+次加法對于冪時有快速算法計算復(fù)雜度=第24頁/共63頁3 一維離散傅立葉變換 102 12 1212002 12 1220022221 :1122221212222121212222mNuxNxNNuxuxNNxxNNuxuxuNNNxxueNou NeNoNf xfxfxF uf x WNfx WfxWNNfx Wfx

11、WWNNF uW F uNNNF uFuWFu冪，分解為和注意x的取值范圍第25頁/共63頁3 一維離散傅立葉變換 2222,221222eeooNju NuNuujuNNNNNNNueNoeoNNFuF uFuF uWW WW eW eWNF uF uW F uFFx 因此和 中的 繼續(xù)分解，直到 點。07030100FFFFFFFf第26頁/共63頁3 一維離散傅立葉變換 蝶形圖 顯然計算一次蝶形需1次乘法和2次加（減）法。aba+bwa-bww2222/2log22loglog2mNDFTNNNmNNNNN對于點的，每輪有個蝶形，總共有個蝶形。總共有次乘法和加法。第27頁/共63頁3 一

12、維離散傅立葉變換 比特倒序第1次分奇偶第1次分奇偶第2次分奇偶第2次分奇偶第3次分奇偶第3次分奇偶x x0 0 x x1 1x x2 2x x3 3x x4 4x x5 5x x6 6x x7 7x x0 0 x x2 2x x4 4x x6 6x x1 1x x3 3x x5 5x x7 7x x0 0 x x4 4x x2 2x x6 6x x1 1x x5 5x x3 3x x7 7x x0 0 x x4 4x x2 2x x6 6x x1 1x x5 5x x3 3x x7 7第28頁/共63頁4 4 二維離散傅立葉變換11200112001,0,1,2,1;0,1,2,1,0,1,2

13、,1;0,1,2,1.MNjux M vy NxyMNjux M vy NuvF u vf x y eMNuMvNf x yF u v exMyNMN容易將一維離散傅立葉變換推廣到二維情況式中：式中：在數(shù)字圖象處理中，圖象一般取方形，即第29頁/共63頁5 傅立葉變換性質(zhì) 1）加法定理 時域或空域內(nèi)的相加對應(yīng)于頻域內(nèi)的相加。 22222 jutjutjutjutjutF uf t edtG ug t edtr tf tg tR uf tg tedtf t edtg t edtF uG u設(shè)有兩個傅立葉變換對若則第30頁/共63頁5 傅立葉變換性質(zhì)00. 20. 40. 60. 8-4-224t

14、00. 20. 40. 60. 811. 21. 41. 6-4-224u-1-0. 8-0. 6-0. 4-0. 200. 20. 40. 60. 81-4-224t00. 20. 40. 60. 811. 21. 41. 61. 8-4-224x00. 20. 40. 60. 8-4-224t11. 21. 41. 61. 822. 22. 42. 6-4-2024u高斯函數(shù)沖激函數(shù)和原點為原點為0,1第31頁/共63頁5 傅立葉變換性質(zhì) 2）位移定理 函數(shù)位移不改變傅立葉變換的幅值。 222222jvtjv t ajvajv t ajvajvaF vf ta edtf ta eedtef

15、 ta edteFvFvf t其中，為的傅立葉變換第32頁/共63頁5 傅立葉變換性質(zhì)第33頁/共63頁5 傅立葉變換性質(zhì) 3）卷積定理 時域（或空域）中的卷積等價于頻域的乘積。 2221jutjutjuxF f tg tf x g tx dxedtf xg tx edtdxf x eG u dxF u G u 因為任何函數(shù)沖激函數(shù)的卷積保持不變，因此可證明沖激函數(shù)的傅立葉變換是單位演算三角脈沖的演算三角脈沖的傅立葉變換傅立葉變換第34頁/共63頁5 傅立葉變換性質(zhì) 4）相似性定理 描述函數(shù)自變量尺度變化對其傅立葉變換的作用。 222111jutjutjur aF f atf at edtf

16、at eadtf r edraauFaa第35頁/共63頁5 傅立葉變換性質(zhì)00. 20. 40. 60. 8-4-224x00. 20. 40. 60. 811. 21. 41. 6-4-224u00. 20. 40. 60. 8-4-224x0. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 8-4-2024u第36頁/共63頁5 傅立葉變換性質(zhì) 5）其他常用性質(zhì) （1）線性 （2）可分離性1212,afx ybfx yaF x ybFx y傅立葉變換是一種線性算子F122012011222001,1,1,Njux NxNjuy NyNNjux Njuy NyxF u yNf x y e

17、NF u vF u y eNf x y eeN第37頁/共63頁5 傅立葉變換性質(zhì) （3）周期性和共軛對稱性*,F u vF uaN vbNf x yf xaN ybNF u vFuvF u vFuv第38頁/共63頁5 傅立葉變換性質(zhì) （4）旋轉(zhuǎn)不變性00coscos sinsin,xruyrvf rFf rF 引入極坐標(biāo)第39頁/共63頁5 傅立葉變換性質(zhì) （5）平均值11200112001,100,0,0,0NNxyNNxyf x yf x yNuvFf x yNf x yF二維離散函數(shù)平均值定義如下：將代入二維傅立葉定義因此第40頁/共63頁5 傅立葉變換性質(zhì) （6）微分性質(zhì) 等于傅立

18、葉譜乘以 項，相當(dāng)于傳遞函數(shù)隨頻率平方增加的線性系統(tǒng)。 222,22,nmmnf x yxyjujvF u vf x yuvF u v 2時域上的微分對應(yīng)頻域。拉普拉斯對應(yīng)頻域-422uv第41頁/共63頁6 線性系統(tǒng)和傅立葉變換 1）線性系統(tǒng)術(shù)語g(t)G(u)f(t)f(t)F(u)F(u)h(t)h(t)H(u)H(u)h(t)=f(t)*g(t)h(t)=f(t)*g(t)H(u)=F(u)G(u)H(u)=F(u)G(u)f(t)=輸入信號f(t)=輸入信號F(u)=輸入信號的譜F(u)=輸入信號的譜g(t)=沖激響應(yīng)g(t)=沖激響應(yīng)G(u)=傳遞函數(shù)G(u)=傳遞函數(shù)h(t)=輸

19、出信號h(t)=輸出信號H(u)=輸出信號的譜H(u)=輸出信號的譜第42頁/共63頁6 線性系統(tǒng)和傅立葉變換 2）線性系統(tǒng)辨識 定義：確定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)及傳遞函數(shù)； 方法：輸入已知的f(x)，測量輸出h(t)，然后通過數(shù)字積分計算g(t)。 11H uF u G uG uH uF uF h tH ug tFFF uF f t第43頁/共63頁6 線性系統(tǒng)和傅立葉變換 例： 2211,sinsinsinf tth ttuuug tFFuuut 輸入為輸出為第44頁/共63頁6 線性系統(tǒng)和傅立葉變換-0. 200. 20. 40. 61-4-224u00. 20. 40. 60. 811. 21

20、. 4-1. 5-1-0. 50. 511. 5t00. 20. 40. 60. 8-4-224u00. 20. 40. 60. 811. 21. 4-1. 5-1-0. 50. 511. 5t第45頁/共63頁6 線性系統(tǒng)和傅立葉變換-0. 200. 20. 40. 61-4-224u00. 20. 40. 60. 811. 21. 4-1. 5-1-0. 50. 511. 5t第46頁/共63頁6 線性系統(tǒng)和傅立葉變換 例 21 2,010,0 221 2,01 2,1sin, 11 21 2,1sintf tu ttF ujuttuh tttH ujutH uuG uF uug tt 第

21、47頁/共63頁6 線性系統(tǒng)和傅立葉變換第48頁/共63頁6 線性系統(tǒng)和傅立葉變換00. 20. 40. 60. 811. 21. 4-1. 5-1-0. 50. 511. 5t-0. 200. 20. 40. 61-4-224u第49頁/共63頁7 數(shù)字圖像處理和傅立葉變換 1）頻譜的圖像顯示 譜圖像加深對圖像的視覺理解，如一幅遙感圖像受正弦網(wǎng)紋的干擾，從譜圖像中可看出干擾的空間頻率并有效去除。,log 1,log 1,F u vD u vF u vKD u vK F u v譜圖象：就是把作為亮度顯示出來。人的視覺可分辨灰度有限：實用公式常用 系數(shù)調(diào)整：第50頁/共63頁7 數(shù)字圖像處理和傅立葉變換第51頁/共63頁7 數(shù)字圖像處理和傅立葉變換采