行列式的計算技巧竅門與方法情況總結(jié)(修改版)

1、行列式的若干計算技巧與方法內(nèi)容摘要1 .行列式的性質(zhì)2 .行列式計算的幾種常見技巧和方法2.1 定義法2.2 利用行列式的性質(zhì)2.3 降階法2.4 升階法（加邊法）2.5 數(shù)學歸納法2.6 遞推法3 .行列式計算的幾種特殊技巧和方法3.1 拆行（列）法3.2 構(gòu)造法3.3 特征值法4 .幾類特殊行列式的計算技巧和方法4.1 三角形行列式4.2 “爪”字型行列式4.3 "么”字型行列式4.4 “兩線”型行列式4.5 “三對角”型行列式4.6 范德蒙德行列式5 .行列式的計算方法的綜合運用5.1 降階法和遞推法5.2 逐行相加減和套用范德蒙德行列式5.3 構(gòu)造法和套用范德蒙德行列式和，且

2、這兩個行列式除去該行（或列）1.2行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列互換，行列式不變.即性質(zhì)2現(xiàn)1a2a21a22anian2一個數(shù)乘行列式的一行ana11a21aMa2na12a22an2.anna1na2nann（或列），等于用這個數(shù)乘此行列式.即性質(zhì)3a11ana11a12a1nkan kai2ka k ai1 ai2ain .an1an2anna n1an2ann如果行列式的某一行（或列）是兩組數(shù)的和，那么該行列式就等于兩個行列式的以外的各行（或列）全與原來行列式的對應的行（或列）一樣.即ana12Kana11a12Kana11a12KanMMMMMMMMMMMMb Gb2c2KbnCnbib2K

3、bnGC2KCnMMMMMMMMMMMMan1an2Kannan1an2Kannan1an2Kann性質(zhì)4如果行列式中有兩行（或列）對應元素相同或成比例，那么行列式為零.即a11a12a1na11a12a1nai1ai2ainai1ai2aink=0kai1kai2kainai1ai2a ina n1an2a nnan1an2a nn性質(zhì)5把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變.即ailai2ai naiiai2ai naiicakiai2 Cak2a incaknaiiai2ainakiak2a knakiak2akna nian2a nna nian2a nn性質(zhì)6對換行列式中兩行的位置，行列

4、式反號.即aiiai2ainaiiai2ainaiiai2ainakiak2aknakiak2akn=-aiiai2ainanian 2annanian2a nn性質(zhì)7行列式一行（或列）口零則行列式為零.即aiiai2ai,n-iain00000an1 an2an, n-1 ann2、行列式的幾種常見計算技巧和方法2.1定義法但當階數(shù)較多、數(shù)字較大時，計算量大，有一定的局限性.0 0 0 i0 0 2 0例i計算行列式0 3 0 04 0 0 0適用于任何類型行列式的計算,解析：這是一個四級行列式，在展開式中應該有4! 24項，但由于出現(xiàn)很多的零，所以不等于零的項數(shù)就大大減少.具體的說，展開式

5、中的項的一般形式是a1jia2j2a3j3a4j4 ,顯然，如果ji 4,那么aij10,從而這個項就等于零.因此只須考慮ji 4的項，同理只須考慮j2 3, j3 2, j4 1的這些項，這就是說，行列式中不為零的項只有ai4a23a32a4i ,而43216 ,所以此項取正號.故00010020030040002.2利用行列式的性質(zhì)4321ia14 a23 a32 a4124.即把已知行列式通過行列式的性質(zhì)化為上三角形或下三角形.該方法適用于低階行列式.2.2.1 化三角形法a11a12以an0 a22a23a2n00 a33a3na11a22 ann，000ann1aa21a1b1a?例

6、2計算行列式Dn11aa2上、下三角形行列式的形式及其值分別如下:a11000a21a2200a31a32a330/a2annan1an2an3annananbnan解析：觀察行列式的特點，主對角線下方的元素與第一行元素對應相同，故用第一行的倍加到下面各行便可使主對角線下方的元素全部變?yōu)榱?即：化為上三角形.解：將該行列式第一行的倍分別加到第2,3 （ n 1）行上去，可得Dn1a1 bi Ma20an0bn2.2.2 連加法這類行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使該行（或列）元素均相等或出現(xiàn)較多零，從而簡化行列式的計算.這類計算行列式的方法稱為連加法.計算行列式DnXi

7、解:Dn2.2.3XiXiXiX1 mXiXiX2X2X2X2x2 mX2XnXnXnXnXnXnXiX2X2X2滾動消去法當行列式每兩行的值比較接近時,這種方法叫滾動消去法.XnXnXnX2例4計算行列式Dn解：從最后一行開始每行減去上一行,DnnXi i 1Xn0可采用讓鄰行中的某一行減或者加上另一行的若干倍,12 3 n 1 n 11 0 0002n 21 1 00011110n行的和全相同，但卻為零.用連加法明顯不行，這是我們可以2.2.4逐行相加減a1a10000a2a200例5計算行列式D00a300000anan11111對于有些行列式，雖然前 嘗試用逐行相加減的方法.解：將第一

8、列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此類推，得:a100000a200000a300an 0n n 12n 2 n11 n 1a1a2 ann1 n 1 a1a2an.2.3降階法將高階行列式化為低階行列式再求解.2.3.1按某一行（或列）展開x10000x100例6解行列式Dn00x00000x1ana n 1an 2a2a1解：按最后一行展開，得n 1Dna1xa2xan 1Xan.2.3.2按拉普拉斯公式展開拉普拉斯定理如下：設(shè)在行列式D中任意選定了 k 1 k n-1個行.由這k行元素所組成的一切k級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.即D M 1A1 M 2A 2M nA

9、 n ,其中A i是子式M i對應的代數(shù)余子式.AnnCnnBnnAnn ? Bnn，Ann0CnnBnn。？ Bnn.例7解行列式D n解：從第三行開始，每行都減去上一行；再從第三列開始，每列都加到第二列，得a abDn 0000n 1 ab n 20000n 1 ab n 2aa000aaa00000000n 1 ab2.4升階法就是把n階行列式增加一行一列變成n+1階行列式，再通過性質(zhì)化簡算出結(jié)果，這種計算,那么升行列式的方法叫做升階法或加邊法.升階法的最大特點就是要找每行或每列相同的因子階之后，就可以利用行列式的性質(zhì)把絕大多數(shù)元素化為0,這樣就達到簡化計算的效果.其中，添加行與列的方式

10、一般有五種: 般行列的位置.首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一例8解行列式D=解：使行列式D變成1階行列式，即再將第一行的倍加到其他各行，得:D=從第二列開始，每列乘以加到第一列,得:(n 1) 02.5數(shù)學歸納法有些行列式，可通過計算低階行列式的值發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，然后提出假設(shè)，再利用數(shù)學歸納法去證明.對于高階行列式的證明問題，數(shù)學歸納法是常用的方法.cos100012 cos100例9計算行列式Dn012 cos000002 cos100012 cos解：用數(shù)學歸納法證明.當 n 1 時，D1 cos2時,D2cos12cos22cos 1 cos2猜想，Dn cosn .由上可知，當

11、n 1, n 2時，結(jié)論成立.cos100012 cos100當n k 1時,Dk 1012 cos000002cos100012 cos將Dk 1按最后一ew,得假設(shè)當n k時，結(jié)論成立.即:Dk cosk .現(xiàn)證當n k1時，結(jié)論也成立.cos1r, k 1 k 1 ccDk 11?2cos0102 cos11 2cos000 2coscos 101 2cos 1k 1 k101 2cos因為Dk所以Dk 12cos Dk Dk1.cosk2 cos2 coscoskcos k這就證明了當,Dk 1 cos k 1cos kcosk cos sin k sin ,DkDk 1coskcos

12、即：Dn cosn2.6遞推法技巧分析：若則作特征方程0,0,在中,cosk cossin k sinsin k sin1時也成立，從而由數(shù)學歸納法可知，對一切的自然數(shù)，結(jié)論都成立.n階行列式D滿足關(guān)系式aDn bDn 1 cDn 2則特征方程有兩個不等根,則特征方程有重根XiA, B均為待定系數(shù),可令0.例10計算行列式Dn解：按第一列展開，得2 axbxDnAx1nBxn 1X2,則Dn1,n2求出.nB x1n 1Dn9Dn 120Dn2 .Dn 9Dn1 20Dn 20.作特征方程 24_x 9x 20 0.解得x14, x2 5.則Dn A?4n1B?5n1n.當 n 1 時，9 A

13、 B ;當 n 2 時，61 4A 5B.解得A 16, B 25,所以Dn 5n 1 4n 1.3、行列式的幾種特殊計算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及計算方法拆行（列）法（或稱分裂行列式法），就是將所給的行列式拆成兩個或若干個行列式之和,然后再求行列式的值.拆行（列）法有兩種情況，一是行列式中有某行（列）是兩項之和，可 直接利用性質(zhì)拆項；二是所給行列式中行（列）沒有兩項之和，這時需保持行列式之值不變， 使其化為兩項和.3.1.2 例題解析1a1a200011 a2a300011a300例11計算行列式Dn30001 an 1a n00011 a解：把第一列的元素看成兩項的和

14、進行拆列，得1a1a20010 1a2a300011a3000001 an000011a200011 a2a300011 a3000001an 1an00011ana1a200001 a2a300011a3000001 a n 1a n00011 ani上面第一個行列式的值為DnDn 1a1ana2a3001a300所以1,1an1這個式子在對于任何n都成立,因此有Dn 1a11a2Dn 21a1aa2i i1 aj .anan1aa2an13.2 構(gòu)造法3.2.1 概念及計算方法有些行列式通過直接求解比較麻煩，這時可同時構(gòu)造一個容易求解的行列式，從而求出原 行列式的值.3.2.2 例題解析解

15、：雖然Dn不是范德蒙德行列式,但可以考慮構(gòu)造n 1階的范德蒙德行列式來間接求出Dn的111x1*2xn222x1x2xn例12 求行列式Dnnn 2n 2n 2x1x2xnnnnx1X2xn值.構(gòu)造n 1階的范德蒙德行列式，得1111Xx2xnx2222f xx1*2xnxn 2n 2n 2n 2x1x2xnxn 1n 1n 1n 1x1x2xnxnnnnx1x2xnx將f x按第n 1列展開，得A,n 1A2,n 1xn 1nAn,n 1 x An 1,n 1 x 5n 1其中，x 的系數(shù)為An,n 11DnDn.又根據(jù)范德蒙德行列式的結(jié)果知f x x x1x x2xxnxj由上式可求得xn

16、 1的系數(shù)為XiX2XnXXj .1 j i n故有DnXiX2Xn XXj1 j i n3.3特征值法3.3.1 概念及計算方法設(shè)1,2, n是n級矩陣A的全部特征值，則有公式1 2 n .故只要能求出矩陣 A的全部特征值，那么就可以計算出A的行列式.3.3.2例題解析例13 若1, 2,n是n級矩陣A的全部特征值，證明：A可逆當且僅當它的特征值全不為零.證明：因為|A1 2 n，則A 可逆 A 01 2 n 0 i 0 i 1,2 n .即A可逆當且僅當它的特征值全不為零.4、幾類特殊的行列式的巧妙計算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念a11a12a13a1na11a22a23

17、a2 na21a22形如a33a3na31a32a 33這樣的行列式，形狀像個三角形,annan1an2an3ann故稱為“三角形”行列式.4.1.2 計算方法 由行列式的定義可知,4.24.2.1形如anbna11 a2 aI3ama11000a22a 23a2na21a22000 a 33a3na11a22ann ,a31a32a33000annan1an2an3字型行列式“爪”概念a。bib2bnbnb2b1a。Cn4.2.2anna11 a22ann .anC1c2a2cna2a1C1C2C2a2Cia2C2b2a1b1Cia。計算方法anana。a1b1b2bn這樣的行列式,形狀像個

18、“爪”字，故稱它們?yōu)椤白Α弊中托辛惺?利用對角線消去行列式中的“橫線”或“豎線”,均可把行列式化成“三角形”行列式.此方法可歸納為：“爪”字對角消豎橫.4.2.3例題解析a11例14計算行列式a2a3an,其中 ai 0,i1,2, n.分析：這是一個典型的“爪”字型行列式，計算時可將行列式的第i (i 2,3,n.)列元素乘以1一后都加到第一列上，原行列式可化為三角形行列式. ai解:a1a1a2a3ana2a3an a1ai4.3"么”字型行列式4.3.1概念cnanaob1形如aoC2a2b2bnancnanbnb1bna1b2i 2 ai0a2C1a1C2a2ancna3cn

19、anaoC1a2C2c2a1a2ao b1 b2 b1bnanbnanb1a1c2cnb2a2b2a2cnb1aoa gc2bnan這樣的行列式，形狀像個“么”字，因此常稱它們?yōu)椤懊础弊中托辛惺?4.3.2 計算方法利用“么”字的一個撇消去另一個撇，就可以把行列式化為三角形行列式.此方法可以歸 納為：“么”字兩撇相互消.注意：消第一撇的方向是沿著“么”的方向，從后向前，利用 an消去cn,然后再用an 1消4.3.3 例題解析1111b1例15計算n 1階行列式Dn 111bn 11bn解：從最后一行開始后一行加到前一行（即消去第一撇），得Dn111n1bii 1n1bii 1n1bii 1b

20、n 1bnbnn n 3n11bii 14.4 “兩線”型行列式4.4.1 概念& b1000 a2 b20形如這樣的行列式叫做“兩線型”行列式.000 bn 1bn00 an4.4.2計算方法對于這樣的行列式，可通過直接展開法求解.4.4.3例題解析a1b10例16求行列式Dn0a2b2bn 1an000bn00解：按第一列展開，得a2b20Dmaibn 1bn4.54.5.1形如列式.4.5.2bi00a2b2000bn1n11a©an1bbbn.“三對角”型行列式概念ababab這樣的行列式，叫做“三對角型”行計算方法對于這樣的行列式, 歸納法證明.4.5.3例題解析例

21、17 求行列式Dn解：按第一列展開，得Dn a b Dn1變形，得ab可直接展開得到兩項遞推關(guān)系式，然后變形進行兩次遞推或利用數(shù)學b ab00 0001 a b ab 0 00001 a b ab 0000000 0a bab0000 01a00000a b ab0001 a b ab00*a bc000a b ab0001 a babab1000b Dn 1 abDn 2.DnaD n 1b Dn 1aDn 2由于 D1 a b,D2 a2 ab b2,從而利用上述遞推公式得DnaDnb Dn 1 aDn 2,2b D n 2 aD n 3bn 2 D2 aD1 bn.DnaDnbn a a

22、Dnbn1 bnan 1D1Cn 22a babn 1 bn1babnbn.4.6 Vandermonde行列式4.6.1概念形如a12a1a32a3這樣的行列式,成為n級的范德蒙德行列式.4.6.2n 1a1n 1a2n 1a3nan計算方法4.6.3例題解析11114a2a3an2222可得4a2a3ann 1n 1n1n 1a1a2a3an111X1X2Xn222X1X2Xn.n 2n 2n 2X1X2XnnnnX1X2Xn通過數(shù)學歸納法證明,例18求行列式Dnai aj1 j i 1解：雖然Dn不是范德蒙德行列式,但可以考慮構(gòu)造n 1階的范德蒙德行列式來間接求出Dn的值.構(gòu)造n 1階的

23、范德蒙德行列式，得1111X1X2XnX2222X1X2XnXfXn 2n 2n 2n 2X1X2XnXn 1n 1n 1n 1X1X2XnXnnnnX1X2XnX將f X按第n1列展開，得fXA,n 1AiAn n,n 1 X1其中，Xn1的系數(shù)為An1,nAn,n 11 DnDn.又根據(jù)范德蒙德行列式的結(jié)果知XiX2XnXi Xj n由上式可求得Xn1的系數(shù)為XiX2XnXj故有DnXiX2XnXj5、行列式的計算方法的綜合運用有些行列式如果只使用一種計算方法不易計算，這時就需要結(jié)合多種計算方法，使計算簡 便易行.下面就列舉幾種行列式計算方法的綜合應用.5.1降階法和遞推法2100012100012000002100012例19計算行列式Dn分析：乍一看該行列式，