行列式的計(jì)算技巧竅門與方法情況總結(jié)(修改版)

1、行列式的若干計(jì)算技巧與方法內(nèi)容摘要1 .行列式的性質(zhì)2 .行列式計(jì)算的幾種常見技巧和方法2.1 定義法2.2 利用行列式的性質(zhì)2.3 降階法2.4 升階法（加邊法）2.5 數(shù)學(xué)歸納法2.6 遞推法3 .行列式計(jì)算的幾種特殊技巧和方法3.1 拆行（列）法3.2 構(gòu)造法3.3 特征值法4 .幾類特殊行列式的計(jì)算技巧和方法4.1 三角形行列式4.2 “爪”字型行列式4.3 "么”字型行列式4.4 “兩線”型行列式4.5 “三對(duì)角”型行列式4.6 范德蒙德行列式5 .行列式的計(jì)算方法的綜合運(yùn)用5.1 降階法和遞推法5.2 逐行相加減和套用范德蒙德行列式5.3 構(gòu)造法和套用范德蒙德行列式和，且

2、這兩個(gè)行列式除去該行（或列）1.2行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列互換，行列式不變.即性質(zhì)2現(xiàn)1a2a21a22anian2一個(gè)數(shù)乘行列式的一行ana11a21aMa2na12a22an2.anna1na2nann（或列），等于用這個(gè)數(shù)乘此行列式.即性質(zhì)3a11ana11a12a1nkan kai2ka k ai1 ai2ain .an1an2anna n1an2ann如果行列式的某一行（或列）是兩組數(shù)的和，那么該行列式就等于兩個(gè)行列式的以外的各行（或列）全與原來行列式的對(duì)應(yīng)的行（或列）一樣.即ana12Kana11a12Kana11a12KanMMMMMMMMMMMMb Gb2c2KbnCnbib2K

3、bnGC2KCnMMMMMMMMMMMMan1an2Kannan1an2Kannan1an2Kann性質(zhì)4如果行列式中有兩行（或列）對(duì)應(yīng)元素相同或成比例，那么行列式為零.即a11a12a1na11a12a1nai1ai2ainai1ai2aink=0kai1kai2kainai1ai2a ina n1an2a nnan1an2a nn性質(zhì)5把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變.即ailai2ai naiiai2ai naiicakiai2 Cak2a incaknaiiai2ainakiak2a knakiak2akna nian2a nna nian2a nn性質(zhì)6對(duì)換行列式中兩行的位置，行列

4、式反號(hào).即aiiai2ainaiiai2ainaiiai2ainakiak2aknakiak2akn=-aiiai2ainanian 2annanian2a nn性質(zhì)7行列式一行（或列）口零則行列式為零.即aiiai2ai,n-iain00000an1 an2an, n-1 ann2、行列式的幾種常見計(jì)算技巧和方法2.1定義法但當(dāng)階數(shù)較多、數(shù)字較大時(shí)，計(jì)算量大，有一定的局限性.0 0 0 i0 0 2 0例i計(jì)算行列式0 3 0 04 0 0 0適用于任何類型行列式的計(jì)算,解析：這是一個(gè)四級(jí)行列式，在展開式中應(yīng)該有4! 24項(xiàng)，但由于出現(xiàn)很多的零，所以不等于零的項(xiàng)數(shù)就大大減少.具體的說，展開式

5、中的項(xiàng)的一般形式是a1jia2j2a3j3a4j4 ,顯然，如果ji 4,那么aij10,從而這個(gè)項(xiàng)就等于零.因此只須考慮ji 4的項(xiàng)，同理只須考慮j2 3, j3 2, j4 1的這些項(xiàng)，這就是說，行列式中不為零的項(xiàng)只有ai4a23a32a4i ,而43216 ,所以此項(xiàng)取正號(hào).故00010020030040002.2利用行列式的性質(zhì)4321ia14 a23 a32 a4124.即把已知行列式通過行列式的性質(zhì)化為上三角形或下三角形.該方法適用于低階行列式.2.2.1 化三角形法a11a12以an0 a22a23a2n00 a33a3na11a22 ann，000ann1aa21a1b1a?例

6、2計(jì)算行列式Dn11aa2上、下三角形行列式的形式及其值分別如下:a11000a21a2200a31a32a330/a2annan1an2an3annananbnan解析：觀察行列式的特點(diǎn)，主對(duì)角線下方的元素與第一行元素對(duì)應(yīng)相同，故用第一行的倍加到下面各行便可使主對(duì)角線下方的元素全部變?yōu)榱?即：化為上三角形.解：將該行列式第一行的倍分別加到第2,3 （ n 1）行上去，可得Dn1a1 bi Ma20an0bn2.2.2 連加法這類行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使該行（或列）元素均相等或出現(xiàn)較多零，從而簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算.這類計(jì)算行列式的方法稱為連加法.計(jì)算行列式DnXi

7、解:Dn2.2.3XiXiXiX1 mXiXiX2X2X2X2x2 mX2XnXnXnXnXnXnXiX2X2X2滾動(dòng)消去法當(dāng)行列式每?jī)尚械闹当容^接近時(shí),這種方法叫滾動(dòng)消去法.XnXnXnX2例4計(jì)算行列式Dn解：從最后一行開始每行減去上一行,DnnXi i 1Xn0可采用讓鄰行中的某一行減或者加上另一行的若干倍,12 3 n 1 n 11 0 0002n 21 1 00011110n行的和全相同，但卻為零.用連加法明顯不行，這是我們可以2.2.4逐行相加減a1a10000a2a200例5計(jì)算行列式D00a300000anan11111對(duì)于有些行列式，雖然前 嘗試用逐行相加減的方法.解：將第一

8、列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此類推，得:a100000a200000a300an 0n n 12n 2 n11 n 1a1a2 ann1 n 1 a1a2an.2.3降階法將高階行列式化為低階行列式再求解.2.3.1按某一行（或列）展開x10000x100例6解行列式Dn00x00000x1ana n 1an 2a2a1解：按最后一行展開，得n 1Dna1xa2xan 1Xan.2.3.2按拉普拉斯公式展開拉普拉斯定理如下：設(shè)在行列式D中任意選定了 k 1 k n-1個(gè)行.由這k行元素所組成的一切k級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.即D M 1A1 M 2A 2M nA

9、 n ,其中A i是子式M i對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式.AnnCnnBnnAnn ? Bnn，Ann0CnnBnn。？ Bnn.例7解行列式D n解：從第三行開始，每行都減去上一行；再?gòu)牡谌虚_始，每列都加到第二列，得a abDn 0000n 1 ab n 20000n 1 ab n 2aa000aaa00000000n 1 ab2.4升階法就是把n階行列式增加一行一列變成n+1階行列式，再通過性質(zhì)化簡(jiǎn)算出結(jié)果，這種計(jì)算,那么升行列式的方法叫做升階法或加邊法.升階法的最大特點(diǎn)就是要找每行或每列相同的因子階之后，就可以利用行列式的性質(zhì)把絕大多數(shù)元素化為0,這樣就達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的效果.其中，添加行與列的方式

10、一般有五種: 般行列的位置.首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一例8解行列式D=解：使行列式D變成1階行列式，即再將第一行的倍加到其他各行，得:D=從第二列開始，每列乘以加到第一列,得:(n 1) 02.5數(shù)學(xué)歸納法有些行列式，可通過計(jì)算低階行列式的值發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，然后提出假設(shè)，再利用數(shù)學(xué)歸納法去證明.對(duì)于高階行列式的證明問題，數(shù)學(xué)歸納法是常用的方法.cos100012 cos100例9計(jì)算行列式Dn012 cos000002 cos100012 cos解：用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng) n 1 時(shí)，D1 cos2時(shí),D2cos12cos22cos 1 cos2猜想，Dn cosn .由上可知，當(dāng)

11、n 1, n 2時(shí)，結(jié)論成立.cos100012 cos100當(dāng)n k 1時(shí),Dk 1012 cos000002cos100012 cos將Dk 1按最后一ew,得假設(shè)當(dāng)n k時(shí)，結(jié)論成立.即:Dk cosk .現(xiàn)證當(dāng)n k1時(shí)，結(jié)論也成立.cos1r, k 1 k 1 ccDk 11?2cos0102 cos11 2cos000 2coscos 101 2cos 1k 1 k101 2cos因?yàn)镈k所以Dk 12cos Dk Dk1.cosk2 cos2 coscoskcos k這就證明了當(dāng),Dk 1 cos k 1cos kcosk cos sin k sin ,DkDk 1coskcos

12、即：Dn cosn2.6遞推法技巧分析：若則作特征方程0,0,在中,cosk cossin k sinsin k sin1時(shí)也成立，從而由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)一切的自然數(shù)，結(jié)論都成立.n階行列式D滿足關(guān)系式aDn bDn 1 cDn 2則特征方程有兩個(gè)不等根,則特征方程有重根XiA, B均為待定系數(shù),可令0.例10計(jì)算行列式Dn解：按第一列展開，得2 axbxDnAx1nBxn 1X2,則Dn1,n2求出.nB x1n 1Dn9Dn 120Dn2 .Dn 9Dn1 20Dn 20.作特征方程 24_x 9x 20 0.解得x14, x2 5.則Dn A?4n1B?5n1n.當(dāng) n 1 時(shí)，9 A

13、 B ;當(dāng) n 2 時(shí)，61 4A 5B.解得A 16, B 25,所以Dn 5n 1 4n 1.3、行列式的幾種特殊計(jì)算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及計(jì)算方法拆行（列）法（或稱分裂行列式法），就是將所給的行列式拆成兩個(gè)或若干個(gè)行列式之和,然后再求行列式的值.拆行（列）法有兩種情況，一是行列式中有某行（列）是兩項(xiàng)之和，可 直接利用性質(zhì)拆項(xiàng)；二是所給行列式中行（列）沒有兩項(xiàng)之和，這時(shí)需保持行列式之值不變， 使其化為兩項(xiàng)和.3.1.2 例題解析1a1a200011 a2a300011a300例11計(jì)算行列式Dn30001 an 1a n00011 a解：把第一列的元素看成兩項(xiàng)的和

14、進(jìn)行拆列，得1a1a20010 1a2a300011a3000001 an000011a200011 a2a300011 a3000001an 1an00011ana1a200001 a2a300011a3000001 a n 1a n00011 ani上面第一個(gè)行列式的值為DnDn 1a1ana2a3001a300所以1,1an1這個(gè)式子在對(duì)于任何n都成立,因此有Dn 1a11a2Dn 21a1aa2i i1 aj .anan1aa2an13.2 構(gòu)造法3.2.1 概念及計(jì)算方法有些行列式通過直接求解比較麻煩，這時(shí)可同時(shí)構(gòu)造一個(gè)容易求解的行列式，從而求出原 行列式的值.3.2.2 例題解析解

15、：雖然Dn不是范德蒙德行列式,但可以考慮構(gòu)造n 1階的范德蒙德行列式來間接求出Dn的111x1*2xn222x1x2xn例12 求行列式Dnnn 2n 2n 2x1x2xnnnnx1X2xn值.構(gòu)造n 1階的范德蒙德行列式，得1111Xx2xnx2222f xx1*2xnxn 2n 2n 2n 2x1x2xnxn 1n 1n 1n 1x1x2xnxnnnnx1x2xnx將f x按第n 1列展開，得A,n 1A2,n 1xn 1nAn,n 1 x An 1,n 1 x 5n 1其中，x 的系數(shù)為An,n 11DnDn.又根據(jù)范德蒙德行列式的結(jié)果知f x x x1x x2xxnxj由上式可求得xn

16、 1的系數(shù)為XiX2XnXXj .1 j i n故有DnXiX2Xn XXj1 j i n3.3特征值法3.3.1 概念及計(jì)算方法設(shè)1,2, n是n級(jí)矩陣A的全部特征值，則有公式1 2 n .故只要能求出矩陣 A的全部特征值，那么就可以計(jì)算出A的行列式.3.3.2例題解析例13 若1, 2,n是n級(jí)矩陣A的全部特征值，證明：A可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的特征值全不為零.證明：因?yàn)閨A1 2 n，則A 可逆 A 01 2 n 0 i 0 i 1,2 n .即A可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的特征值全不為零.4、幾類特殊的行列式的巧妙計(jì)算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念a11a12a13a1na11a22a23

17、a2 na21a22形如a33a3na31a32a 33這樣的行列式，形狀像個(gè)三角形,annan1an2an3ann故稱為“三角形”行列式.4.1.2 計(jì)算方法 由行列式的定義可知,4.24.2.1形如anbna11 a2 aI3ama11000a22a 23a2na21a22000 a 33a3na11a22ann ,a31a32a33000annan1an2an3字型行列式“爪”概念a。bib2bnbnb2b1a。Cn4.2.2anna11 a22ann .anC1c2a2cna2a1C1C2C2a2Cia2C2b2a1b1Cia。計(jì)算方法anana。a1b1b2bn這樣的行列式,形狀像個(gè)

18、“爪”字，故稱它們?yōu)椤白Α弊中托辛惺?利用對(duì)角線消去行列式中的“橫線”或“豎線”,均可把行列式化成“三角形”行列式.此方法可歸納為：“爪”字對(duì)角消豎橫.4.2.3例題解析a11例14計(jì)算行列式a2a3an,其中 ai 0,i1,2, n.分析：這是一個(gè)典型的“爪”字型行列式，計(jì)算時(shí)可將行列式的第i (i 2,3,n.)列元素乘以1一后都加到第一列上，原行列式可化為三角形行列式. ai解:a1a1a2a3ana2a3an a1ai4.3"么”字型行列式4.3.1概念cnanaob1形如aoC2a2b2bnancnanbnb1bna1b2i 2 ai0a2C1a1C2a2ancna3cn

19、anaoC1a2C2c2a1a2ao b1 b2 b1bnanbnanb1a1c2cnb2a2b2a2cnb1aoa gc2bnan這樣的行列式，形狀像個(gè)“么”字，因此常稱它們?yōu)椤懊础弊中托辛惺?4.3.2 計(jì)算方法利用“么”字的一個(gè)撇消去另一個(gè)撇，就可以把行列式化為三角形行列式.此方法可以歸 納為：“么”字兩撇相互消.注意：消第一撇的方向是沿著“么”的方向，從后向前，利用 an消去cn,然后再用an 1消4.3.3 例題解析1111b1例15計(jì)算n 1階行列式Dn 111bn 11bn解：從最后一行開始后一行加到前一行（即消去第一撇），得Dn111n1bii 1n1bii 1n1bii 1b

20、n 1bnbnn n 3n11bii 14.4 “兩線”型行列式4.4.1 概念& b1000 a2 b20形如這樣的行列式叫做“兩線型”行列式.000 bn 1bn00 an4.4.2計(jì)算方法對(duì)于這樣的行列式，可通過直接展開法求解.4.4.3例題解析a1b10例16求行列式Dn0a2b2bn 1an000bn00解：按第一列展開，得a2b20Dmaibn 1bn4.54.5.1形如列式.4.5.2bi00a2b2000bn1n11a©an1bbbn.“三對(duì)角”型行列式概念ababab這樣的行列式，叫做“三對(duì)角型”行計(jì)算方法對(duì)于這樣的行列式, 歸納法證明.4.5.3例題解析例

21、17 求行列式Dn解：按第一列展開，得Dn a b Dn1變形，得ab可直接展開得到兩項(xiàng)遞推關(guān)系式，然后變形進(jìn)行兩次遞推或利用數(shù)學(xué)b ab00 0001 a b ab 0 00001 a b ab 0000000 0a bab0000 01a00000a b ab0001 a b ab00*a bc000a b ab0001 a babab1000b Dn 1 abDn 2.DnaD n 1b Dn 1aDn 2由于 D1 a b,D2 a2 ab b2,從而利用上述遞推公式得DnaDnb Dn 1 aDn 2,2b D n 2 aD n 3bn 2 D2 aD1 bn.DnaDnbn a a

22、Dnbn1 bnan 1D1Cn 22a babn 1 bn1babnbn.4.6 Vandermonde行列式4.6.1概念形如a12a1a32a3這樣的行列式,成為n級(jí)的范德蒙德行列式.4.6.2n 1a1n 1a2n 1a3nan計(jì)算方法4.6.3例題解析11114a2a3an2222可得4a2a3ann 1n 1n1n 1a1a2a3an111X1X2Xn222X1X2Xn.n 2n 2n 2X1X2XnnnnX1X2Xn通過數(shù)學(xué)歸納法證明,例18求行列式Dnai aj1 j i 1解：雖然Dn不是范德蒙德行列式,但可以考慮構(gòu)造n 1階的范德蒙德行列式來間接求出Dn的值.構(gòu)造n 1階的

23、范德蒙德行列式，得1111X1X2XnX2222X1X2XnXfXn 2n 2n 2n 2X1X2XnXn 1n 1n 1n 1X1X2XnXnnnnX1X2XnX將f X按第n1列展開，得fXA,n 1AiAn n,n 1 X1其中，Xn1的系數(shù)為An1,nAn,n 11 DnDn.又根據(jù)范德蒙德行列式的結(jié)果知XiX2XnXi Xj n由上式可求得Xn1的系數(shù)為XiX2XnXj故有DnXiX2XnXj5、行列式的計(jì)算方法的綜合運(yùn)用有些行列式如果只使用一種計(jì)算方法不易計(jì)算，這時(shí)就需要結(jié)合多種計(jì)算方法，使計(jì)算簡(jiǎn) 便易行.下面就列舉幾種行列式計(jì)算方法的綜合應(yīng)用.5.1降階法和遞推法2100012100012000002100012例19計(jì)算行列式Dn分析：乍一看該行列式，