5、簡(jiǎn)單的三角恒等變換

1、1第三章第三章三角恒等變換三角恒等變換2請(qǐng)寫出二倍角的正弦、余弦、正切公式請(qǐng)寫出二倍角的正弦、余弦、正切公式 222sincos2cos ：C cossin22sin 2 ：S 22tan1tan22tan ：T1cos22 2sin21 3 22sincos2cos 2cos22cos1=(cosa-sina)(cosa+sina) 2sin22cos142. 請(qǐng)思考：請(qǐng)思考：有有什什么么關(guān)關(guān)系系？與與）（ 2 2 那那么么公公式式有有什什么么結(jié)結(jié)果果？，代代替替，以以代代替替：如如果果以以探探究究 2 2 1（1）你怎樣理解公式兩邊的）你怎樣理解公式兩邊的“角角”的關(guān)系？的關(guān)系？例1.2t

2、an,2cos,2sincos222表示試用解解.2的二倍角是,2,2,sin212cos2代替以代替以中在公式 2sin21cos22cos12sin2,2,2,1cos22cos2代替以代替以中在公式12cos2cos22cos12cos2得cos1cos12tan262cos1 2sin 2cos1 2cos cos1cos1 2cos2sin2tan :2 S:2 C:2 T7 cos1cos1 2cos2sin2tan 2cos2sin2tan 2cos22cos2sin22 cos1sin 2cos2sin2tan 2cos2sin22sin22 sincos1 例2求證求證 .2

3、cos2sin2sinsin2;sinsin21cossin1解解(1) sin(+)和sin(-)是我們學(xué)過的知識(shí)，所以從右邊著手sin(+) sincos+cossinsin(-) sincos-cossin兩式相加,得sin(+) + sin(-) 2sincossinsin21cossin(2) 由(1)可得 sin(+) + sin(-) 2sincos 設(shè) +=, -=2,2把,的值代入,即得.2cos2sin2sinsin10 xbxacos sin 變形的目標(biāo)：變形的目標(biāo)：化成一角一函數(shù)的結(jié)構(gòu)化成一角一函數(shù)的結(jié)構(gòu)變形的策略：變形的策略：引進(jìn)一個(gè)引進(jìn)一個(gè)“輔助角輔助角” ab22

4、ba xbabxbaabacos sin222222 xxbacossin sincos22 ) sin(22 xbaabtan 其中11) sin(cos sin22 xbaxbxa函數(shù)函數(shù)使使 )sin( xAyabtan其中 cos sin bay 設(shè)設(shè)的性質(zhì)研究得到延伸，體現(xiàn)了三角變換在化簡(jiǎn)的性質(zhì)研究得到延伸，體現(xiàn)了三角變換在化簡(jiǎn)三角函數(shù)式中的作用三角函數(shù)式中的作用 ab22ba 12.cos3sinxy 3值值和和最最小小值值的的周周期期，最最大大求求函函數(shù)數(shù)、例例x xxycos3sin 解：解：)cos23sin21(2xx )3sin(2 x所以，所求的周期所以，所求的周期 ,

5、22 T最大值為最大值為2，最小值為，最小值為- -2)3sincos3cos(sin2 xx 分析：利用三角恒等變換，先把函數(shù)式化簡(jiǎn)，再求相應(yīng)的值.用輔助角公式試試用輔助角公式試試?yán)?.?ABCD, COP . 31并求出最大面積的面積最大矩形取何值時(shí)當(dāng)角求記扇形的內(nèi)接矩形，是弧上的動(dòng)點(diǎn)是扇形的扇形圓心角為是半徑為如圖，已知ABCDCOPQ分析:要求當(dāng)角取何值時(shí),矩形ABCD的面積S最大, 可分二步進(jìn)行.找出S與之間的函數(shù)關(guān)系;由得出的函數(shù)關(guān)系,求S的最大值.解解在在RtOBC中中,OB=cos ,BC=sin 在在RtOAD中中,360tanOADAsin333333BCDAOAsin33

6、cosOAOBAB設(shè)矩形設(shè)矩形ABCD的面積為的面積為S,則則BCABSsinsin33cos2sin33cossin2cos1632sin21632cos632sin21632cos212sin23316362sin31,6 ,262 ,30時(shí)即所以當(dāng)由于6363-31S最大通過三角變換把形如通過三角變換把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如通過三角轉(zhuǎn)化為形如通過三角變變換換把形如把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(+ )的函數(shù)的函數(shù),從而使問題得到簡(jiǎn)化從而使問題得到簡(jiǎn)化16.2 ,31tan,71tan 4 角角，求求均均為為銳銳，并并且且已已知知、例例均均為為銳銳角角，且且解解： 1,31tan1,71tan ,40 ,40 .4320 ,43tan1tan22tan2 又又, 1437114371tantan1tantan)2tan( .42 17已知已知， (0, ),.2 ,71tan , 21)tan( 求求 )tan(tan 解解析析： tan)tan(1 tan)tan(311),4, 0( ),2(), 0(,71tan 又又),0 ,(2 )(tan)2tan( )tan(tan1 )tan(tan 1.43