9.6實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形ppt課件

1、引理引理1 1 設(shè)設(shè)A A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則是實(shí)對(duì)稱矩陣，則A A的特征值皆為實(shí)數(shù)的特征值皆為實(shí)數(shù)12nxxx 證：設(shè)證：設(shè) 是是A的任意一個(gè)特征值，則有非零向量的任意一個(gè)特征值，則有非零向量0 滿足滿足0.A ,AAAA 其中其中 為為 的共軛復(fù)數(shù)，的共軛復(fù)數(shù)，iixx12,nxxx 令令0 ()A ()A 又由又由A實(shí)對(duì)稱，有實(shí)對(duì)稱，有0() AA ()A 0() ()A ()A 0() 0 12120nnx xx xx x 由于是非零復(fù)向量，必有由于是非零復(fù)向量，必有 故故 00. 0.R 考察等式，考察等式，00 引理引理2 2 設(shè)設(shè)A A是實(shí)對(duì)稱矩陣，在是實(shí)對(duì)稱矩陣，在 n n 維歐氏

2、空間維歐氏空間 上上nR( ),nAR 定義一個(gè)線性變換如下：定義一個(gè)線性變換如下： ( ), () , 則對(duì)任意有則對(duì)任意有 ,nR 或或()().AA 1210001, .,0001n 1212(,.,)(,.,)nnA 證：取證：取 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，nR那么在基那么在基 下的矩陣為下的矩陣為A，即，即 12,.,n 任取任取1122,nnnxyxyRxy1 122.nnyyy 1 122.nnxxx 即即 ( ),()AX Y ()XAY 12(,.,),nX 12(,.,) ,nY 于是于是1212( )(,.,)(,.,),nnXAX 1212()(,.,)(,.

3、,),nnYAY 又又 是標(biāo)準(zhǔn)正交基，是標(biāo)準(zhǔn)正交基，12,.,n X AY ()X A Y , ( ) , () ().A 即有即有 (), ( )A ( ), 又注意到在又注意到在 中中 ,XY nR1 1定義定義 ( ), ( ) ,V 則稱為對(duì)稱變換則稱為對(duì)稱變換 設(shè)為歐氏空間設(shè)為歐氏空間V中的線性變換，如果滿足中的線性變換，如果滿足 1n維歐氏空間維歐氏空間V的對(duì)稱變換與的對(duì)稱變換與n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣在級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣在標(biāo)準(zhǔn)正交基下是相互確定的：標(biāo)準(zhǔn)正交基下是相互確定的： 2 2基本性質(zhì)基本性質(zhì) 實(shí)對(duì)稱矩陣可確定一個(gè)對(duì)稱變換實(shí)對(duì)稱矩陣可確定一個(gè)對(duì)稱變換 一組標(biāo)準(zhǔn)正交基一組標(biāo)準(zhǔn)正交基11(,.)

4、(,.)nnA 事實(shí)上，設(shè)事實(shí)上，設(shè),n nARAA 12,.,n 為為V的的定義定義V V的線性變換：的線性變換： 那么即為那么即為V V的對(duì)稱變換的對(duì)稱變換 對(duì)稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣()n nijAaR 12,n 為為V V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，事實(shí)上，設(shè)為事實(shí)上，設(shè)為n維歐氏空間維歐氏空間V上的對(duì)稱變換，上的對(duì)稱變換， 為在這組基下的矩陣，即為在這組基下的矩陣，即 1212(,)(,)nnA 或或1122()iiininaaa 1,1,2,nkikkain 于是于是 1(),nijkikjka 1(,)nkikjka

5、(,)jijja jia 1, (),nijikjkka 1(,)nkjikka (,)ijiia ija ,1,2,ijjii jn 即即所以所以A A為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣由是對(duì)稱變換，有由是對(duì)稱變換，有 (), ()ijij 2）（引理）（引理3對(duì)稱變換的不變子空間的正交補(bǔ)也是對(duì)稱變換的不變子空間的正交補(bǔ)也是它的不變子空間它的不變子空間對(duì)對(duì) ,W ,W 任取任取即即 ( ),W ( ).W 證明：設(shè)是對(duì)稱變換，證明：設(shè)是對(duì)稱變換，W為的不變子空間為的不變子空間 要證要證( ),W 即證即證( ).W (),W 由由W是是 子空間，有子空間，有 ( ), ()0 因此因此故故 也為的不變子空

6、間也為的不變子空間W 1 1( (引理引理4)4)實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量 分別是屬于分別是屬于 的特征向量的特征向量 , , 那么那么 ( ),A 是正交的是正交的 正交基下的矩陣，正交基下的矩陣，證：設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣證：設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A為為 上對(duì)稱變換的在標(biāo)準(zhǔn)上對(duì)稱變換的在標(biāo)準(zhǔn)nR , 是是A的兩個(gè)不同特征值的兩個(gè)不同特征值 ，(),A 由由 ( ), () 又又, ( ,)0 即即 正交正交, ( (定理定理7)7)對(duì)對(duì) 總有正交矩陣總有正交矩陣T T，使，使,n nARAA 112(,).nT ATTATdiag (,)( ,), 有有( ,)(

7、,). 即即證：設(shè)證：設(shè)A為為 上對(duì)稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣上對(duì)稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣nR 由實(shí)對(duì)稱矩陣和對(duì)稱變換互相確定的關(guān)系，只需證由實(shí)對(duì)稱矩陣和對(duì)稱變換互相確定的關(guān)系，只需證有有n個(gè)特征向量作成的標(biāo)準(zhǔn)正交基即可個(gè)特征向量作成的標(biāo)準(zhǔn)正交基即可 n=1時(shí)，結(jié)論是顯然的時(shí)，結(jié)論是顯然的 對(duì)對(duì) 的維數(shù)的維數(shù)n用歸納法用歸納法 nR有一單位特征向量有一單位特征向量 ，其相應(yīng)的特征值為，其相應(yīng)的特征值為 ，即，即1 1 1111(),| 1 假設(shè)假設(shè)n1時(shí)結(jié)論成立，對(duì)時(shí)結(jié)論成立，對(duì) 設(shè)其上的對(duì)稱變換設(shè)其上的對(duì)稱變換 ,nR設(shè)子空間設(shè)子空間1(),LW 顯然顯然W是是 子空間，子空間， ,dim

8、1nWWRWn ( ),( ),W 那么那么 也是也是 子空間，且子空間，且 W 又對(duì)有又對(duì)有,W , ( ) ,( )W 所以是所以是 上的對(duì)稱變換上的對(duì)稱變換WW 由歸納假設(shè)知由歸納假設(shè)知 有有n1 個(gè)特征向量個(gè)特征向量W 23,n 構(gòu)成構(gòu)成 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基W 從而就是從而就是 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，123,n nR又都是又都是 的特征向量的特征向量nR即結(jié)論成立即結(jié)論成立3實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似實(shí)對(duì)角矩陣步驟實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似實(shí)對(duì)角矩陣步驟設(shè)設(shè) ,n nARAA (i) 求出求出A的所有不同的特征值：的所有不同的特征值：12,rR 其重?cái)?shù)其重?cái)?shù) 必滿足必滿足

9、; 12,rn nn1riinn (ii) 對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) ，解齊次線性方程組，解齊次線性方程組 i ()0iEA X 求出它的一個(gè)基礎(chǔ)解系：求出它的一個(gè)基礎(chǔ)解系：12,iiin 它是它是A的屬于特征值的屬于特征值 的特征子空間的特征子空間 的一組基的一組基i iV 正交基正交基12,.iiin 把它們按把它們按 正交化過(guò)程化成正交化過(guò)程化成 的一組標(biāo)準(zhǔn)的一組標(biāo)準(zhǔn)SchmidtiV (iii) 由于由于 互不相同，互不相同，12,.r 且且1dim,iriWn 11112112,rnrrrn就是就是V的一組的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基()ijVVij 所以所以則則T是正交矩陣，且是正交矩陣，且11

10、112112,rnrrrn 將將的分量依次作的分量依次作矩陣矩陣T的第的第1，2，n列，列，使使 為對(duì)角形為對(duì)角形1T ATTAT 例例1設(shè)設(shè) 0111101 111 011 110A 求一正交矩陣求一正交矩陣T使使 成對(duì)角形成對(duì)角形T AT 解：先求解：先求A的特征值的特征值11 1111|1 11111EA 211 1101011 3(1) (3) A的特征值為的特征值為 （三重）（三重）,11 23. 2011 101010011111 31 11(1) 1 010 11 其次求屬于其次求屬于 的特征向量，即求解方程組的特征向量，即求解方程組11 ()0EA X111 11 1111 1

11、11111 1EA 得其基礎(chǔ)解得其基礎(chǔ)解 123(1,1,0,0)(1,0,1,0)( 1,0,0,1) 111 10 00 00 00 00 00 0把它正交化，得把它正交化，得 11(1,1,0,0) 2122111(,)11( ,1,0)(,)22 313233121122(,)(,)1 1 1(,1)(,)(,)3 3 3 再單位化，得再單位化，得111111(,0,0)|22 2221112(,0)|666 33311113(,)|12121212 這是特征值這是特征值 (三重三重)的三個(gè)單位正交特征向量，的三個(gè)單位正交特征向量，11 也即是特征子空間也即是特征子空間 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交

12、基的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基1V 再求屬于再求屬于 的特征向量，即解方程組的特征向量，即解方程組23 311 113 1131 1311113EA 1111022002200202 30EA X 444413111 13111131 0 010 1 0 10 0 1 10 0 0 0 得其基礎(chǔ)解得其基礎(chǔ)解 4(1, 1, 1,1), 再單位化得再單位化得 4111 1( , )222 2 這樣這樣 構(gòu)成構(gòu)成 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，它們的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，它們1234, 4R都是都是A的特征向量，正交矩陣的特征向量，正交矩陣 1234111122612111122612(,)211026123100212T 使

13、得使得 11.13T AT 成立的正交矩陣不是唯一的成立的正交矩陣不是唯一的 對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣A A，使，使12(,)nT ATdiag 而且對(duì)于正交矩陣而且對(duì)于正交矩陣T, 還可進(jìn)一步要求還可進(jìn)一步要求1.T 事實(shí)上，如果由上述方法求得的正交矩陣事實(shí)上，如果由上述方法求得的正交矩陣T T12(,),1nT ATdiagT 取正交矩陣取正交矩陣( 1,1,1),Sdiag 那么那么 是正交矩陣且是正交矩陣且1TTS 11,TT S 同時(shí)有同時(shí)有11()()()T ATTS A TSS T AT S 12111111n 12(,)ndiag 如果不計(jì)較主對(duì)角線上元素的排列的次序，與如

14、果不計(jì)較主對(duì)角線上元素的排列的次序，與實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A正交相似的對(duì)角矩陣是唯一確定的正交相似的對(duì)角矩陣是唯一確定的 因?yàn)檎幌嗨频木仃囈彩腔ハ嗪贤?，所以可因?yàn)檎幌嗨频木仃囈彩腔ハ嗪贤?，所以可用?shí)對(duì)稱矩陣的特征值的性質(zhì)刻畫(huà)其正定性：用實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值的性質(zhì)刻畫(huà)其正定性：設(shè)設(shè) 為實(shí)對(duì)稱矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣A的所有特征值的所有特征值12n (i) A為正定的為正定的0n (ii) A為半正定的為半正定的0n (iii) A為負(fù)定半負(fù)定的為負(fù)定半負(fù)定的 110(0)(iv) A為不定的為不定的10 且且 0n 實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A A的正、負(fù)慣性指數(shù)分別為正、負(fù)特的正、負(fù)慣性指數(shù)分別為正、負(fù)特特征值的個(gè)數(shù)重根按重?cái)?shù)計(jì)）特征值的個(gè)數(shù)重根按重?cái)?shù)計(jì)）1解析幾何中主軸問(wèn)題解析幾何中主軸問(wèn)題將將 上有心上有心 二次曲線或二次曲線或 上有心二次曲面通過(guò)坐標(biāo)上有心二次曲面通過(guò)坐標(biāo)2R3R的旋轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形，這個(gè)變換的矩陣是正交矩陣的旋轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形，這個(gè)變換的矩陣是正交矩陣.2任意任意n元實(shí)二次型的正交線性替換化