2412垂直于弦的直徑（1）

1、24.1.2垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑濟(jì)水一中數(shù)學(xué)組濟(jì)水一中數(shù)學(xué)組 黃小國(guó)黃小國(guó)問題問題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國(guó)隋代建造的石多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋拱橋, , 是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)) )為為37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中點(diǎn)到弧的中點(diǎn)到弦的距離弦的距離) )為為7.27.2m m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 實(shí)踐

2、探究實(shí)踐探究把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸它的對(duì)稱軸例例1 下列圖形中是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，請(qǐng)下列圖形中是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，請(qǐng)畫出它的一條對(duì)稱軸畫出它的一條對(duì)稱軸.(4)(3)(2)(1)如圖如圖1，AB是是 O的一條弦，作直徑的一條弦，作直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E（1）圖）圖1是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？是軸對(duì)稱圖形嗎？

3、如果是，它的對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。繛槭裁?？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？OABCDE活活 動(dòng)動(dòng) 二二（1）是軸對(duì)稱圖形直徑）是軸對(duì)稱圖形直徑CD所在的所在的直線是它的對(duì)稱軸直線是它的對(duì)稱軸（2） 線段：線段： AE=BE弧?。喊褕A沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合，重合，AE與與BE重重合，合， ， 分別與分別與 、 重重合合ACADBCBD圖圖1AD=BDAC=BCOABCDE垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧弦所對(duì)的

4、兩條弧 CD是是 O的直徑，的直徑，AB是弦；是弦；CDAB于于E；AE=BE，AD=BD，AC=BC.由以上活動(dòng)可得：由以上活動(dòng)可得：一條直線若滿足一條直線若滿足：（1）過圓心（）過圓心（CD是直徑是直徑）；）；（2）垂直于弦（）垂直于弦（CD AB于于E）；）；則可推出：則可推出：（3）平分弦（）平分弦（AE=BE）；）；（4）平分弦所對(duì)的劣?。ǎ┢椒窒宜鶎?duì)的劣?。?）；）；（5）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。ǎ┢椒窒宜鶎?duì)的優(yōu)?。?）.AD=BDAC=BC如圖如圖3，AB是是 O的弦（不是直徑），直徑的弦（不是直徑），直徑CD平分弦平分弦AB，交，交AB于于E（1）圖）圖3是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的

5、對(duì)稱軸是什么？是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些等量關(guān)系？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些等量關(guān)系？ CD與與AB垂直嗎？說一說垂直嗎？說一說你的理由你的理由.OABCDE活活 動(dòng)動(dòng) 三三AEC=BEC?。夯。簣D圖3思考：思考：如果如果AB也是直徑，上述結(jié)也是直徑，上述結(jié)論是否成立？論是否成立？DADAOBBOCC不一定成立不一定成立.CDAB （AEC=BEC=900）AD=BDAC=BCOABCDE CD是是 O的直徑，的直徑，AB是弦（不是直徑）；是弦（不是直徑）；AE=BE； CD AB ，推論：推論：平分平分弦（不是直徑）弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并的直徑垂直

6、于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧且平分弦所對(duì)的兩條弧AD=BD，AC=BC.一條直線若滿足一條直線若滿足：（1）過圓心（）過圓心（CD是直徑是直徑）；）；（2）平分弦（不是直徑）（）平分弦（不是直徑）（AE=BE）；）；則可推出：（則可推出：（3）垂直于弦（）垂直于弦（ CD AB ）；）；（4）平分弦所對(duì)的劣?。ǎ┢椒窒宜鶎?duì)的劣?。?）；）；（5）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。ǎ┢椒窒宜鶎?duì)的優(yōu)?。?）.AD=BDAC=BC由以上活動(dòng)可得：由以上活動(dòng)可得：例例2 如圖，在如圖，在 O中，弦中，弦AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8cm，圓心，圓心O到到AB的距離為的距離為3cm，求，求 O的半徑的半徑OABE解：連接解：連接O

7、A，過點(diǎn)，過點(diǎn)O作作OEAB于于EOEAB222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半徑為的半徑為5cm.118422AEAB 在RtAOE中，由勾股定理得：1. 如圖如圖AB是是 O的直徑，弦的直徑，弦CDAB于于M，下，下列結(jié)論不一定成立的是（列結(jié)論不一定成立的是（ ）A. CM=DMB. C. AD=2BDD. BCD=BDCAC=ADDCAOBMC鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)2. 如圖，周長(zhǎng)為如圖，周長(zhǎng)為10 的的 O中，弦中，弦AB的弦心距的弦心距OC等于等于3，那么弦，那么弦AB的長(zhǎng)為（的長(zhǎng)為（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8D鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)ABOC

8、3. 如圖，如圖，AB是是 O的直徑，弦的直徑，弦CDAB于于E， 若若AB=20，CD=16，則線段，則線段OE等于（等于（ ）A. 4 B. 6C. 8 D.10BDCAOBE4如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的為互相垂直且相等的兩條弦，兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊形，求證四邊形ADOE是正方形是正方形DOABCE證明：證明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD矩形矩形ADOE為正方形為正方形.OABCDE CD是是 O的直徑，的直

9、徑，AB是弦；是弦；CDAB于于E；AE=BE，AD=BD，AC=BC.小結(jié)反思小結(jié)反思垂徑定理垂徑定理一條直線若滿足一條直線若滿足：（1）過圓心（）過圓心（CD是直徑是直徑）；）；（2）垂直于弦（）垂直于弦（CD AB于于E）；）；則可推出：則可推出：（3）平分弦（）平分弦（AE=BE）；）；（4）平分弦所對(duì)的劣弧（）平分弦所對(duì)的劣?。?）；）；（5）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧（）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。?）.AD=BDAC=BC符號(hào)語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言O(shè)ABCDE CD是是 O的直徑，的直徑，AB是弦（不是直徑）；是弦（不是直徑）；AE=BE； CD AB ，AD=BD，AC=BC.垂徑定理的推論垂徑定理的推論一條直線若滿足一條直線若滿足：（1）過圓心（）過圓心（CD是直徑是直徑）；）；（2）平分弦（不是直徑）（）平分弦（不是直徑）（AE=BE）；）