利用復(fù)數(shù)妙解三角幾何等問題

1、利用復(fù)數(shù)妙解三角幾何等問題摘 要復(fù)數(shù)在高中涉及的知識(shí)點(diǎn)較少，在高考中占據(jù)的分?jǐn)?shù)也不多，但卻是很有特色的內(nèi)容。因?yàn)閺?fù)數(shù)的代數(shù)形式、幾何形式、向量形式、三角形式以及指數(shù)形式與三角、幾何、代數(shù)等學(xué)科有著密切的聯(lián)系。本文羅列了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、幾何形式、向量形式、三角形式以及指數(shù)形式，從解三角函數(shù)、幾何、不等式、方程等幾個(gè)問題論述復(fù)數(shù)在解決非復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)問題的具體應(yīng)用，充分認(rèn)識(shí)、深刻理解、熟悉掌握和靈活運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾個(gè)表示形式去解答，對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新性思維素質(zhì)和能力的培養(yǎng)具有重要意義。關(guān)鍵字：復(fù)數(shù)；形式；解題；妙解復(fù)數(shù)是高三最后一章的內(nèi)容，短短幾頁，只有三節(jié)，但在高考中卻占著一定的分值。高考中復(fù)數(shù)主要是以選擇題與

2、填空題的形式出現(xiàn)，只要掌握了復(fù)數(shù)的概念以及運(yùn)算規(guī)律，就很容易得出答案。因此，教材的編排只簡(jiǎn)單介紹了復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及數(shù)系的擴(kuò)充，沒有作過多的介紹，其三角形式和指數(shù)形式只是在背景材料中提到過，并沒有作詳細(xì)的介紹。但在實(shí)際應(yīng)用中，很多的數(shù)學(xué)問題，比如：三角問題、幾何問題等我們也可以用復(fù)數(shù)的知識(shí)去解答。在高中數(shù)學(xué)中，復(fù)數(shù)把三角、平面幾何、解析幾何、代數(shù)在一定的程度上相互鏈接起來了，那我們應(yīng)該如何巧妙地利用復(fù)數(shù)的不同表示形式去解答這類問題呢？下面分別對(duì)這幾方面進(jìn)行探究。1復(fù)數(shù)的不同表示形式簡(jiǎn)介1.1 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示為（其中x、y為實(shí)數(shù)），其中“”叫做虛數(shù)單位，和分別叫做復(fù)數(shù)的

3、實(shí)部和虛部。1.2 復(fù)數(shù)的幾何形式 圖1.2-1在復(fù)平面上，每一個(gè)復(fù)數(shù)都能夠由復(fù)平面上坐標(biāo)為（，）的點(diǎn)來表示，復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面上的點(diǎn)所稱的集合之間建立了一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：“任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以由復(fù)平面的唯一的一個(gè)點(diǎn)（，）來表示，反之，復(fù)平面內(nèi)的任何一個(gè)點(diǎn)（，）都可以表示唯一的復(fù)數(shù)?！睆?fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（，），這就是復(fù)數(shù)的幾何表示形式。1.3 復(fù)數(shù)的向量形式我們知道，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（，），而點(diǎn)（，）平面向量。所以，復(fù)數(shù)平面向量，也就是說復(fù)數(shù)也可以用起點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)（，）為終點(diǎn)的向量表示，這個(gè)向量即是復(fù)數(shù)的向量表示形式。y1.4 復(fù)數(shù)的三角

4、形式x 圖1.4-1設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于向量,其中的坐標(biāo)為，如圖2.4-1，其中，所以。我們把叫做復(fù)數(shù)的三角形式。1.5 復(fù)數(shù)的指數(shù)形式由我們熟知的歐拉公式以及復(fù)數(shù)的三角形式有，我們把這個(gè)表達(dá)式叫做指數(shù)形式。也就是說，任一非零復(fù)數(shù)z總可以表成。并且容易得到，。2 利用復(fù)數(shù)妙解三角幾何等問題復(fù)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)系中的最后擴(kuò)充，包含的知識(shí)面較多，應(yīng)用也比較靈活。復(fù)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中也是相對(duì)獨(dú)立的，它的三角形式、幾何形式、向量形式、代數(shù)形式、指數(shù)形式把幾何、三角等學(xué)科緊緊的聯(lián)系在一起，構(gòu)建了一座優(yōu)美的“橋梁”。因此，復(fù)數(shù)為高中數(shù)學(xué)解題提供了一種新的解題途徑。下面對(duì)如何利用恰當(dāng)復(fù)數(shù)形式妙解三角幾何等問題做一些探

5、討。2.1 解三角函數(shù)問題復(fù)數(shù)的三角形式為，而與是三角函數(shù)中的正弦與余弦，這說明復(fù)數(shù)的三角形式與三角函數(shù)有著密切的聯(lián)系，這個(gè)紐帶為我們利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)來解決三角函數(shù)的某些相關(guān)的問題創(chuàng)造了一條新的路徑。（1） 利用三角形式計(jì)算三角函數(shù)值 針對(duì)在計(jì)算三角函數(shù)值時(shí)如果我們遇到的角度不是比如，等等這些特殊的角度，并且題目中的各角度之間又存在著倍數(shù)關(guān)系時(shí)，用三角函數(shù)的和差角公式的方法計(jì)算則比較復(fù)雜，那么我們就可以考慮是否能用復(fù)數(shù)的表現(xiàn)形式去解決。三角函數(shù)很多時(shí)候與，有關(guān)，而三角函數(shù)與復(fù)數(shù)的三角形式的共同點(diǎn)是含有、，所以我們一般選擇復(fù)數(shù)的三角形式去計(jì)算。設(shè)， 則,那么兩式相減得，從而 （2-1）同理

6、（2-2）故 (2-3)由棣莫弗公式有 ，則 （2-4） (2-5) (2-6)【例 1】計(jì)算的值。分析：因?yàn)槭堑谋稊?shù)，所以可以構(gòu)造復(fù)數(shù)。解：構(gòu)造復(fù)數(shù)，那么，由公式（3-1）與（3-4），得 【例2】 若、為銳角，且，求的值。 解： 且為銳角 又 、為銳角，且， 0，0 0 證法一： 證法二：是復(fù)數(shù)的一個(gè)輻角，即是復(fù)數(shù)的輻角主值，故說明：這道題目我們采用的是復(fù)數(shù)的方法去解答，也可以采用正切的和角公式去計(jì)算，兩者都同樣簡(jiǎn)便。用正切的和角公式這種方法是順理成章的，因?yàn)槲覀儗W(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)經(jīng)常用的方法，但我們也不妨體驗(yàn)下其他的方法（比如復(fù)數(shù)方法），活躍我們的思維方式，加強(qiáng)我們的創(chuàng)新能力。在學(xué)習(xí)的過程中

7、我們也提倡一題多解，以此來開拓解題的思路，培養(yǎng)邏輯推理能力以及想象力，進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)的解題能力。（2） 利用三角形式證明三角等式【例 3】 已知、為銳角，且， 求證： （1987年高考試題）分析：這道題目和例2有點(diǎn)類似，只不過例2是求值，在這里是證明，但最終的結(jié)果都是求出的值。所以在這里我們也可以采用三角函數(shù)的一般解法，即根據(jù)三角恒等變換的正弦值或余弦值，再根據(jù)、的取值范圍來推導(dǎo)出的取值范圍，從而得出結(jié)論。但如果能聯(lián)想到復(fù)數(shù)的三角形式以及復(fù)數(shù)輻角的性質(zhì)，利用復(fù)數(shù)的方法去證明，那么又可得到另一番匠心獨(dú)運(yùn)的復(fù)數(shù)證法。 證明：設(shè)， 、為銳角，即、（0，） （0，） 即 即根據(jù)棣莫弗公式，有 根據(jù)輻角

8、的性質(zhì)有： 即 故結(jié)論得證。（3） 利用指數(shù)形式證明三角等式【例4】 求證.分析：此題如果我們用一般的方法和差角公式去證明的話是不容易入手的，因?yàn)榈仁阶筮吺且槐督嵌?，而等式右邊是五倍角度，無論從左邊證明右邊還是從右邊證明左邊都是難上加難，因此我們可以考慮用復(fù)數(shù)的方法。但此題如果仍用例3的方法去證明是很難行得通的，這時(shí)我們可以考慮運(yùn)用復(fù)數(shù)的其它表達(dá)形式。通過觀察，在這里如構(gòu)造復(fù)數(shù)的指數(shù)形式去證明較為簡(jiǎn)便。 證明：設(shè)，則 左邊 = 右邊 故結(jié)論得證總結(jié)：由以上幾個(gè)例子我們可以看出，對(duì)于一些三角函數(shù)的數(shù)學(xué)問題，適當(dāng)?shù)貥?gòu)造復(fù)數(shù)來解答，不僅能夠提高學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)解題的技巧，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問

9、題的能力，開拓思維。2.2 解幾何問題復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（，），這是復(fù)數(shù)的幾何表示形式。由此可知，復(fù)數(shù)與幾何具有直觀的聯(lián)系，復(fù)數(shù)的問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題來解答，同樣，幾何的問題我們也可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的問題的來解答?！纠?5】如圖2.2-3，已知是正方形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，證明：圖2.2-1 圖2.2-2證明：證法一：取的中點(diǎn),連結(jié)、,如圖2.2-4，那么設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則， 是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn) , 是直角三角形 ， 即 故結(jié)論得證證法二：以的延長(zhǎng)線為實(shí)軸，的延長(zhǎng)線為虛軸，建立復(fù)平面，取的中點(diǎn),連結(jié)，如上圖2.2-5，則圖2.2-3 設(shè)向量、對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為、 ， ， 又是復(fù)數(shù)的輻角，是復(fù)數(shù)的輻角

10、 根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算性質(zhì)有 點(diǎn)評(píng)：證法一是利用平面幾何的方法，證法二是利用復(fù)數(shù)輻角的方法，顯而易知，證法二比證法一更簡(jiǎn)潔明了。如果平面上的幾何圖形之間的關(guān)系可以用復(fù)數(shù)來表示，那么這些幾何的問題我們就可以通過復(fù)數(shù)的運(yùn)算來解決，巧妙地算出我們想要的結(jié)果，從而使一些比較復(fù)雜的幾何問題得到更簡(jiǎn)潔的證法?！纠?6】證明余弦定理。 證明：證法一:圖2.2-4畫出三角形ABC，經(jīng)過A點(diǎn)作BC的高為AD，如上圖2.2-4設(shè)的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，則,根據(jù)勾股定理，有 即平方整理后，得 同理：,證法二：以為原點(diǎn)，為軸建立復(fù)平面，在復(fù)平面內(nèi)作三角形,如圖2.2-2，那么、這三點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，0 ，圖2.2-5

11、 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 又 兩邊平方，移項(xiàng)，整理，得同理可證，點(diǎn)評(píng)：對(duì)于平面幾何的證明，如果我們采用平面幾何的證法，不僅需要技巧，而且遇到圖形復(fù)雜的問題時(shí)，要找出適當(dāng)?shù)妮o助線是很困難的，甚至有時(shí)還不知道該如何下手。但是，如果我們采用復(fù)數(shù)的方法去解決，只要建立一個(gè)復(fù)平面，很多復(fù)雜的問題就迎刃而解了。2.3 解不等式問題我們都知道，實(shí)數(shù)是可以比較大小的，不等式是在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上建立的，雖然復(fù)數(shù)之間是無大小可言的，但是，這并不是表示說復(fù)數(shù)和不等式毫無關(guān)系。因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部和虛部是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的，而復(fù)數(shù)與不等式之間的關(guān)系則可以反映在復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部和模之間的關(guān)系上。所以，關(guān)于不等式的問題，我們也可以用復(fù)數(shù)的知識(shí)來解

12、決?！纠?】已知 ，且， 求證：圖3.3-1證明:證法一：設(shè)，則在中有 ，證法二：設(shè)，證法一通過單位正方形的結(jié)合，可以得出結(jié)論。但是，證法一這種方法存在著很強(qiáng)的技巧性，有時(shí)候我們是難以想到的。這時(shí)我們就應(yīng)該考慮其他的辦法。這個(gè)不等式證明題含有四個(gè)無理式，并且這四個(gè)無理式都有一個(gè)共同的特征：兩個(gè)數(shù)的平方和再開方。由此我們很容易聯(lián)想到距離公式，進(jìn)而聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模就順理成章了?！纠?】 若實(shí)數(shù)，滿足等式，求證：，分析：在這里我們可以用三角代換，不等式的基本性質(zhì)等多種方法來求證，但如果我們采取復(fù)數(shù)法，證明也很簡(jiǎn)潔明了。證明：證法一：由題意得： （3-7） （3-8） 由均值不等式，有 （3-9）把（3

13、-7）和（3-8）代入（3-9）式，即去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，整理得： 故，同理可證，證法二（復(fù)數(shù)法）：令，則由，得： （3-10）把（3-7）和（3-8）代入（3-10）得：兩邊平方，得： 化簡(jiǎn)，得： 同理可證：，證法一是利用了不等式的基本性質(zhì)解答，證法二則利用了模的性質(zhì)，兩種方法體現(xiàn)了兩種不同的數(shù)學(xué)思維。證法一是最常用的方法，但當(dāng)我們想不到證法一時(shí)，不妨試試其它途徑，比如證法二，或許它會(huì)給我們一種意想不到的結(jié)果，讓我們體驗(yàn)“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的驚喜。在我們平時(shí)的練習(xí)中，如果有意識(shí)地“一題多解”，這樣不僅可以開拓我們的智力，亦能發(fā)散我們的思維。3.4 解方程問題【例 9】解方

14、程。解：證法一：原方程兩邊平方，有： 去括號(hào)： 移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，整理得 兩邊平方，得 移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，整理得 即： 故 即這個(gè)方程的根為。分析：證法一是解無理方程的一般解法，即通過平方去根號(hào)把它轉(zhuǎn)化成有理方程再求解。但平方后未知數(shù)x的次數(shù)增高，項(xiàng)數(shù)也增多，甚至有時(shí)也會(huì)產(chǎn)生增根，對(duì)求解更加困難。但觀察這個(gè)方程，發(fā)現(xiàn)根號(hào)里面可以配方，類比復(fù)數(shù)的模，故可以歸結(jié)為復(fù)數(shù)的問題來解決，即證法二。證法二：原方程化為： 設(shè)，則 等價(jià)于： 顯然當(dāng)且僅當(dāng)，共線并且同向時(shí)才成立輔角主值相等，故主值的正切值相等。 這個(gè)方程的根為。點(diǎn)評(píng)：只要根號(hào)里面的式子可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和，那么這個(gè)根式我們就可以看做是某個(gè)

15、復(fù)數(shù)的模，再利用模的性質(zhì)來解答。說明：把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)、幾何的問題比較容易，而將實(shí)數(shù)、幾何的問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的問題，就要有較強(qiáng)的想象能力以及過渡的跳躍性思維能力。如果根據(jù)題意能夠構(gòu)造恰如其分的復(fù)數(shù)形式，解決問題就可以達(dá)到事半功倍的效果了。4 結(jié)論4.1 主要發(fā)現(xiàn)本文在借助有關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)利用復(fù)數(shù)解決幾何三角等問題進(jìn)行了探究，歸納了如何利用恰當(dāng)?shù)膹?fù)數(shù)表示形式去解決這些問題的方法。并指出在解決這些問題時(shí)，我們不僅需要熟悉掌握復(fù)數(shù)的最基本的知識(shí)，還要很巧妙地運(yùn)用其相關(guān)的知識(shí)，善于從復(fù)雜的問題中尋求最簡(jiǎn)便的方法，掌握其技巧。4.2 啟示本文對(duì)利用復(fù)數(shù)解三角幾何等問題進(jìn)行了研究，這啟示我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題時(shí)，不要急于解題，而是要學(xué)會(huì)分析題目，觀察題設(shè)和條件的特征，尋找出問題的特殊性和簡(jiǎn)單性，善于運(yùn)用復(fù)數(shù)的知識(shí)對(duì)問題進(jìn)行有針對(duì)性的處理，進(jìn)而提高解題的靈活性，增強(qiáng)解決問題的能力和數(shù)學(xué)思維的修養(yǎng)。4.3 局限性本人僅對(duì)如何利用恰當(dāng)?shù)膹?fù)數(shù)表示形式去解決高中數(shù)學(xué)不等式、數(shù)列、方程、幾何、三角這五大方面的部分問題作了一些探究，而還有很多非復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)問題還可以通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膹?fù)數(shù)表示形式去解決。由于本人的知