分式知識(shí)點(diǎn)及題型總結(jié)超好用

1、分式知識(shí)點(diǎn)及題型1、 分式的定義： 一般地，如果A，B表示兩個(gè)整數(shù)，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A為分子，B為分母。二、與分式有關(guān)的條件分式有意義：分母不為0（） 分式無(wú)意義：分母為0（）分式值為0：分子為0且分母不為0（） 分式值為正或大于0：分子分母同號(hào)（或）分式值為負(fù)或小于0：分子分母異號(hào)（或）分式值為1：分子分母值相等（A=B） 分式值為-1：分子分母值互為相反數(shù)（A+B=0）三、分式的基本性質(zhì)分式的分子和分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。字母表示：，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符號(hào)法則：分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值

2、不變，即：注意：在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要注意C0這個(gè)限制條件和隱含條件B0。四、分式的約分1定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。2步驟：把分式分子分母因式分解，然后約去分子與分母的公因。3注意：分式的分子與分母均為單項(xiàng)式時(shí)可直接約分，約去分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，然后約去分子分母相同因式的最低次冪。 分子分母若為多項(xiàng)式，先對(duì)分子分母進(jìn)行因式分解，再約分。4最簡(jiǎn)分式的定義：一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫做最簡(jiǎn)分式。約分時(shí)。分子分母公因式的確定方法：1)系數(shù)取分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù).2)取各個(gè)公因式的最低次冪作為公因式的因式.

3、3)如果分子、分母是多項(xiàng)式,則應(yīng)先把分子、分母分解因式,然后判斷公因式.五、分式的通分1定義：把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依據(jù)：分式的基本性質(zhì)?。?最簡(jiǎn)公分母：取各分母所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母。通分時(shí)，最簡(jiǎn)公分母的確定方法：1系數(shù)取各個(gè)分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的系數(shù).2取各個(gè)公因式的最高次冪作為最簡(jiǎn)公分母的因式.3如果分母是多項(xiàng)式,則應(yīng)先把每個(gè)分母分解因式,然后判斷最簡(jiǎn)公分母.六、分式的四則運(yùn)算與分式的乘方 分式的乘除法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表示為：分式除以

4、分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。式子表示為： 分式的乘方：把分子、分母分別乘方。式子表示為： 分式的加減法則：同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為：異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表示為：整式與分式加減法：可以把整式當(dāng)作一個(gè)整數(shù)，整式前面是負(fù)號(hào)，要加括號(hào)，看作是分母為1的分式，再通分。 分式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序先乘方、再乘除、后加減，同級(jí)運(yùn)算中，誰(shuí)在前先算誰(shuí)，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，也要注意靈活，提高解題質(zhì)量。注意：在運(yùn)算過(guò)程中，要明確每一步變形的目的和依據(jù)，注意解題的格式要規(guī)范，不要隨便跳步，以便查對(duì)有無(wú)錯(cuò)誤

5、或分析出錯(cuò)的原因。加減后得出的結(jié)果一定要化成最簡(jiǎn)分式（或整式）。七、整數(shù)指數(shù)冪 引入負(fù)整數(shù)、零指數(shù)冪后，指數(shù)的取值范圍就推廣到了全體實(shí)數(shù)，并且正正整數(shù)冪的法則對(duì)對(duì)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪一樣適用。即： （） ） （） （任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1）其中m，n均為整數(shù)。八、分式方程的解的步驟：去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡(jiǎn)公分母。（產(chǎn)生增根的過(guò)程）解整式方程，得到整式方程的解。檢驗(yàn)，把所得的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母中：如果最簡(jiǎn)公分母為0，則原方程無(wú)解，這個(gè)未知數(shù)的值是原方程的增根；如果最簡(jiǎn)公分母不為0，則是原方程的解。產(chǎn)生增根的條件是：是得到的整式方程的解；代入最簡(jiǎn)公分母后值為0。九、列分式方

6、程基本步驟： 審仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系。 設(shè)合理設(shè)未知數(shù)。 列根據(jù)等量關(guān)系列出方程（組）。 解解出方程（組）。注意檢驗(yàn) 答答題。分式典型例題1、 分式（一）從分?jǐn)?shù)到分式題型1：考查分式的定義例：下列式子中，、8a2b、-、2-、 、中分式的個(gè)數(shù)為（ ） （A） 2 （B） 3 （C） 4 (D) 5練習(xí)題：（1）下列式子中，是分式的有 .； ；.（2）下列式子，哪些是分式？； ； ；.題型2：考查分式有，無(wú)意義，總有意義（1）使分式有意義：令分母0按解方程的方法去求解；（2）使分式無(wú)意義：令分母=0按解方程的方法去求解；注意：（0）例1：當(dāng)x 時(shí)，分式有意義； 例2：分式中，當(dāng)時(shí)，分式?jīng)]有意義

7、例3：當(dāng)x 時(shí)，分式有意義。 例4：當(dāng)x 時(shí)，分式有意義例5：，滿足關(guān)系 時(shí)，分式無(wú)意義；例6：無(wú)論x取什么數(shù)時(shí)，總是有意義的分式是（ ）A B. C. D.例7：使分式 有意義的x的取值范圍為（）ABCD例8：要是分式?jīng)]有意義，則x的值為（ ） A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.3題型3：考查分式的值為零的條件使分式值為零：令分子=0且分母0，注意：當(dāng)分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。例1：當(dāng)x 時(shí)，分式的值為0 例2：當(dāng)x 時(shí)，分式的值為0例3：如果分式的值為為零,則a的值為( ) A. B.2 C. D.以上全不對(duì)例4：能使分式的值為零的所有的值是

8、 （ ）A B C 或 D或例5：要使分式的值為0，則x的值為（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2例6：若,則a是( )A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.零 D.任意有理數(shù)題型4：考查分式的值為正、負(fù)的條件【例】（1）當(dāng)為何值時(shí)，分式為正；（2）當(dāng)為何值時(shí)，分式為負(fù)；（3）當(dāng)為何值時(shí)，分式為非負(fù)數(shù).二、分式的基本性質(zhì)題型1：分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。 例1： ； ；如果成立,則a的取值范圍是_；例2： 例3：如果把分式中的a和b都擴(kuò)大10倍，那么分式的值（ ）A、擴(kuò)大10倍 B、縮小10倍 C、是原來(lái)的20倍 D、不變例4：如

9、果把分式中的x，y都擴(kuò)大10倍，則分式的值（ ） A擴(kuò)大100倍 B擴(kuò)大10倍 C不變 D縮小到原來(lái)的例5：如果把分式中的x和y都擴(kuò)大2倍，即分式的值（ ）A、擴(kuò)大2倍； B、擴(kuò)大4倍； C、不變； D縮小2倍例6：若把分式的x、y同時(shí)縮小12倍，則分式的值（）A擴(kuò)大12倍B縮小12倍C不變D縮小6倍例7：若x、y的值均擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則下列分式的值保持不變的是（ ）A、 B、 C、 D、例8：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式可變形為（ ）A B C D 例9：不改變分式的值，使分式的分子、分母中各項(xiàng)系數(shù)都為整數(shù)， ；例10：不改變分式的值，使分子、分母最高次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)， = 。題型2：分式的約

10、分及最簡(jiǎn)分式約分的概念：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分分式約分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì)分式約分的方法：把分式的分子與分母分解因式，然后約去分子與分母的公因式約分的結(jié)果：最簡(jiǎn)分式（分子與分母沒(méi)有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式）約分主要分為兩類：第一類：分子分母是單項(xiàng)式的，主要分?jǐn)?shù)字，同字母進(jìn)行約分。第二類：分子分母是多項(xiàng)式的，把分子分母能因式分解的都要進(jìn)行因式分解，再去找共同的因式約去。例1：下列式子（1）；（2）；（3）；（4）中正確的是（ ）A 、1個(gè) B 、2 個(gè) C、 3 個(gè) D、 4 個(gè)例2：下列約分正確的是（ ）A、； B、； C、； D、例3：下列式子正確的是( )A

11、 B. C. D.例4：下列運(yùn)算正確的是（ ）A、 B、 C、 D、例5：下列式子正確的是（ ）A B C D例6：化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）A、 B、 C、 D、例7：約分： ；= ； 。例8：約分： ； ； ； ； ； _。例9：分式，中，最簡(jiǎn)分式有( )A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)題型3：分式的通分及最簡(jiǎn)公分母:通分：主要分為兩類：第一類：分母是單項(xiàng)式；第二類：分母是多項(xiàng)式（要先把分母因式分解）分為三種類型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三種類型?！岸⑷毙停褐笌讉€(gè)分母之間沒(méi)有關(guān)系，最簡(jiǎn)公分母就是它們的乘積。例如：最簡(jiǎn)公分母就是。“二、四”型：指其一個(gè)分母完全包括另一個(gè)分母，最簡(jiǎn)

12、公分母就是其一的那個(gè)分母。例如：最簡(jiǎn)公分母就是“四、六”型：指幾個(gè)分母之間有相同的因式，同時(shí)也有獨(dú)特的因式，最簡(jiǎn)公分母要有獨(dú)特的；相同的都要有。例如：最簡(jiǎn)公分母是：例1：分式的最簡(jiǎn)公分母是（ ）A B C D例2：對(duì)分式，通分時(shí)， 最簡(jiǎn)公分母是（ ）Ax2y B例3：下面各分式：,，其中最簡(jiǎn)分式有（ ）個(gè)。A. 4B. 3C. 2D. 1例4：分式，的最簡(jiǎn)公分母是 .例5：分式a與的最簡(jiǎn)公分母為_(kāi)；例6：分式的最簡(jiǎn)公分母為 。2、 分式的運(yùn)算（1） 分式的乘除題型1：分式的乘，除，乘方分式的乘法：乘法法測(cè)：=.分式的除法：除法法則：=分式的乘方：求n個(gè)相同分式的積的運(yùn)算就是分式的乘方，用式子表

13、示就是()n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示為：()n=(n為正整數(shù))例題：計(jì)算：（1） （2） 計(jì)算：（3） （4） 計(jì)算：（5） （6） 計(jì)算：（7） （8） 求值題：（1）已知：，求的值。 （2）已知：，求的值。 （3）已知：，求的值。例題：計(jì)算：（1） （2）= （3）= 計(jì)算：（4）= （5） = 求值題：（1）已知： 求的值。（2）已知：求的值。練習(xí)：計(jì)算的結(jié)果是（ ）A B C D 化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）A. 1 B. xy C. D . 計(jì)算：（1）；（2） （3）(a21)（二）分式的加減：分式加減主體分為：同分母和異分母分式加減。1、同分母分式不用通分，分母不變

14、，分子相加減。2、異分母分式要先通分，在變成同分母分式就可以了。通分方法：先觀察分母是單項(xiàng)式還是多項(xiàng)式，如果是單項(xiàng)式那就繼續(xù)考慮是什么類型，找出最簡(jiǎn)公分母，進(jìn)行通分；如果是多項(xiàng)式，那么先把分母能分解的要因式分解，考慮什么類型，繼續(xù)通分。分類：第一類：是分式之間的加減，第二類：是整式與分式的加減。例1：= 例2：= 例3：= 例4：= 計(jì)算：（1） （2） （3） （4） . 例5：化簡(jiǎn)+等于（ ） A B C D例6： 例7： 例8： 例9： 例10： 例11： 練習(xí)題：（1） （2） （3） +. （4） （5） 例13：計(jì)算的結(jié)果是（ ）A B C D 例14：請(qǐng)先化簡(jiǎn)：，然后選擇一個(gè)使原

15、式有意義而又喜歡的數(shù)代入求值.例15：已知： 求的值。（3） 分式的混合運(yùn)算題型1：化簡(jiǎn)分式例1： 例2：例3： 例4： 例5： 例6： 例7 例8： 題型2：分式求值問(wèn)題：例1：已知x為整數(shù)，且+為整數(shù)，求所有符合條件的x值的和.例2：已知x2，y，求的值.例3：已知實(shí)數(shù)x滿足4x2-4x+l=O，則代數(shù)式2x+的值為_(kāi)例4：已知實(shí)數(shù)a滿足a22a8=0，求的值.例5：若 求的值是（ ）A B C D例6：已知，求代數(shù)式的值例7：先化簡(jiǎn)，再對(duì)取一個(gè)合適的數(shù)，代入求值練習(xí)題：先化簡(jiǎn)再求值（1），其中x=5. （2）,其中a=-3，b=2（3） ；其中a=85； （4），其中x= -1（5）先化

16、簡(jiǎn)，再求值：(x+2).其中x2.（6）題型3：分式其他類型試題：例1：觀察下面一列有規(guī)律的數(shù)：，根據(jù)其規(guī)律可知第個(gè)數(shù)應(yīng)是（n為正整數(shù)）例2： 觀察下面一列分式：根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，它的第8項(xiàng)是 ，第n項(xiàng)是 。例3：當(dāng)x=_時(shí),分式與互為相反數(shù).例4：已知，則；例5： 已知，則（）AB C D例6：已知，求的值；例7：先填空后計(jì)算：= 。= 。= 。（3分）（本小題4分）計(jì)算：解：= 3、 分式與方程（一 ）分式方程的解法解分式方程，主要是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，通常的方法是去分母，并且要檢驗(yàn)，但對(duì)一些特殊的分式方程，可根據(jù)其特征，采取靈活的方法求解，現(xiàn)舉例如下：1、交叉相乘法：例1解方程：2、化

17、歸法：例2解方程：3、左邊通分法：例3：解方程：4、分子對(duì)等法：例4解方程：5、觀察比較法：例5解方程：6、分離常數(shù)法：例6解方程：7、分組通分法：例7解方程：（二）分式方程求待定字母值的方法例1若分式方程無(wú)解，求的值。例2若關(guān)于的方程不會(huì)產(chǎn)生增根，求的值。例3若關(guān)于分式方程有增根，求的值。例4若關(guān)于的方程有增根，求的值。（二）分式方程的題型題型1：化為一元一次的分式方程（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程分式方程。（2）解分式方程的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是將方程兩邊同乘以一個(gè)整式（最簡(jiǎn)公分母），把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。解分式方程時(shí)，方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母時(shí)，最簡(jiǎn)公分母有可能為，這樣就產(chǎn)

18、生了增根，因此分式方程一定要驗(yàn)根。（3）解分式方程的步驟 ：（1）能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn)； (2)方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母，化為整式方程； (3)解整式方程； (4)驗(yàn)根例1：如果分式的值為1，則x的值是 ；例2：要使的值相等，則x=_。例3：當(dāng)m=_時(shí)，方程=2的根為.例4：如果方程 的解是x5，則a 。例5:解方程：例6：已知：關(guān)于x的方程無(wú)解，求a的值。例7：若分式與的2倍互為相反數(shù)，則所列方程為_(kāi)；例8：當(dāng)m為何值時(shí)間？關(guān)于的方程的解為負(fù)數(shù)？例9：解關(guān)于的方程例10：解關(guān)于x的方程:例11知關(guān)于x的方程的解為負(fù)值，求m的取值范圍。練習(xí)題： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

19、 (8） （9） 題型2：分式方程的增根問(wèn)題：（1）增根應(yīng)滿足兩個(gè)條件：一是其值應(yīng)使最簡(jiǎn)公分母為0，二是其值應(yīng)是去分母后所的整式方程的根。 （2）分式方程檢驗(yàn)方法：將整式方程的解帶入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解。例1：分式方程+1=有增根，則m= 例2：當(dāng)k的值等于 時(shí)，關(guān)于x的方程不會(huì)產(chǎn)生增根；例3：若解關(guān)于x的分式方程會(huì)產(chǎn)生增根，求m的值。例4：取 時(shí)，方程會(huì)產(chǎn)生增根；例5：若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則m的值為_(kāi)。例6：當(dāng)k取什么值時(shí)？分式方程有增根.例7：若方程有增根，則m的值是（ ）A4 B3 C-3 D1例8：若方

20、程有增根，則增根可能為（ ）A、0 B、2 C、0或2 D、1題型3：公式變形問(wèn)題：例1：已知公式（），則表示的公式是（ ）A B C D例2：一根蠟燭在凸透鏡下成一實(shí)像，物距u，像距v和凸透鏡的焦距f滿足關(guān)系式：. 若f6厘米，v8厘米，則物距u 厘米.例3：已知梯形面積S、a、b、h都大于零，下列變形錯(cuò)誤是（ ）A B. C. D.例4：已知,則M與N的關(guān)系為( )A. MN B.M=N C.M0,n0,mn)，依題意，得： 采購(gòu)員A兩次購(gòu)買(mǎi)飼料的平均單價(jià)為(元千克)，采購(gòu)員B兩次購(gòu)買(mǎi)飼料的平均單價(jià)為(元千克)而0 也就是說(shuō)，采購(gòu)員A所購(gòu)飼料的平均單價(jià)高于采購(gòu)員B所購(gòu)飼料的平均單價(jià)，所以選

21、用采購(gòu)員B的購(gòu)買(mǎi)方式合算例13 某商場(chǎng)銷售某種商品，一月份銷售了若干件，共獲得利潤(rùn)30000元;二月份把這種商品的單價(jià)降低了 0.4元，但是銷售量比一月份增加了5000件，從而獲得利潤(rùn)比一月份多2000元，調(diào)價(jià)前每件商品的利潤(rùn)為多少元？解： 可以列出三個(gè)等量關(guān)系：12月份銷售量一1月份銷售量=5000 22月份銷售量2月份利潤(rùn)=2月份總利潤(rùn) 31月份利潤(rùn)一2月份利潤(rùn)=0.4二、工程類應(yīng)用性問(wèn)題例21 甲乙兩個(gè)工程隊(duì)合作一項(xiàng)工程，兩隊(duì)合作2天后，由乙隊(duì)單獨(dú)做1天就完成了全部工程。已知乙隊(duì)單獨(dú)做所需天數(shù)是甲隊(duì)單獨(dú)做所需天數(shù)的 倍，問(wèn)甲乙單獨(dú)做各需多少天？單獨(dú)做所需時(shí)間一天的工作量 實(shí)際做時(shí)間工作量

22、 甲x天2天 1 乙（2+1）天解析：等量關(guān)系：甲隊(duì)單獨(dú)做的工作量+乙隊(duì)單獨(dú)做的工作量=1例22 甲、乙兩個(gè)學(xué)生分別向計(jì)算機(jī)輸入1500個(gè)漢字，乙的速度是甲的3倍，因此比甲少用20分鐘完成任務(wù)，他們平均每分鐘輸入漢字多少個(gè)？輸入漢字?jǐn)?shù)每分鐘輸入個(gè)數(shù)所需時(shí)間甲1500個(gè)x個(gè)/分乙1500個(gè)3x個(gè)/分解析：等量關(guān)系：甲用時(shí)間=乙用時(shí)間+20（分鐘）例23 某農(nóng)場(chǎng)原計(jì)劃在若干天內(nèi)收割小麥960公頃，但實(shí)際每天多收割40公頃，結(jié)果提前4天完成任務(wù)，試求原計(jì)劃一天的工作量及原計(jì)劃的天數(shù)。解析1：工作總量一天的工作量所需天數(shù)原計(jì)劃情況960公頃x公頃實(shí)際情況960公頃（x+40）公頃等量關(guān)系：原計(jì)劃天數(shù)=

23、實(shí)際天數(shù)+4（天）解析2： 工作總量所需天數(shù)一天的工作量原計(jì)劃情況960公頃實(shí)際情況960公頃等量關(guān)系：原計(jì)劃每天工作量=實(shí)際每天工作量-40（公頃）例24 某工程由甲、乙兩隊(duì)合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊(duì)共8700元，乙、丙兩隊(duì)合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊(duì)共9500元，甲、丙兩隊(duì)合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊(duì)共5500元求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？若工期要求不超過(guò)15天完成全部工程，問(wèn)由哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢(qián)最少？請(qǐng)說(shuō)明理由解：設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做需天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做需天完成，依題意可得： ，得=，得=，即z = 30，得=，即x = 10

24、，得=，即y = 15經(jīng)檢驗(yàn)，x = 10，y = 15，z = 30是原方程組的解設(shè)甲隊(duì)做一天廠家需付元，乙隊(duì)做一天廠家需付元，丙隊(duì)做一天廠家需付元，根據(jù)題意，得 由可知完成此工程不超過(guò)工期只有兩個(gè)隊(duì)：甲隊(duì)和乙隊(duì)此工程由甲隊(duì)單獨(dú)完成需花錢(qián)元；此工程由乙隊(duì)單獨(dú)完成需花錢(qián)元所以，由甲隊(duì)單獨(dú)完成此工程花錢(qián)最少評(píng)析：在求解時(shí)，把，分別看成一個(gè)整體，就可把分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組來(lái)解例25 某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊(duì)去做，恰好如期完成；若由乙隊(duì)去做，要超過(guò)規(guī)定日期三天完成現(xiàn)由甲、乙兩隊(duì)合做兩天，剩下的工程由乙獨(dú)做，恰好在規(guī)定日期完成，問(wèn)規(guī)定日期是多少天？解： 工程規(guī)定日期就是甲單獨(dú)完成工程所

25、需天數(shù)，設(shè)為x天，那么乙單獨(dú)完成工程所需的天數(shù)就是(x3)天.設(shè)工程總量為1，甲的工作效率就是，乙的工作效率是，依題意，得，解得 即規(guī)定日期是6天 例26 今年某大學(xué)在招生錄取時(shí)，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯(cuò)，2640名學(xué)生的成績(jī)數(shù)據(jù)分別由兩位教師向計(jì)算機(jī)輸入一遍，然后讓計(jì)算機(jī)比較兩人的輸入是否一致.已知教師甲的輸入速度是教師乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時(shí)輸完.問(wèn)這兩位教師每分鐘各能輸入多少名學(xué)生的成績(jī)？ 解： 設(shè)教師乙每分鐘能輸入x名學(xué)生的成績(jī)，則教師甲每分鐘能輸入2x名學(xué)生的成績(jī)，依題意，得：， 解得 x11 經(jīng)檢驗(yàn)，x11是原方程的解，且當(dāng)x11時(shí)，2x22，符合題意即教師甲每分鐘能輸入22名學(xué)

26、生的成績(jī)，教師乙每分鐘能輸入11名學(xué)生的成績(jī)例27 甲乙兩人做某種機(jī)器零件。已知甲每小時(shí)比乙多做6個(gè)，甲做90個(gè)所用的時(shí)間與乙做60個(gè)所用的時(shí)間相等。求甲、乙每小時(shí)各做多少個(gè)？解析：甲每小時(shí)做x個(gè)零件，做90個(gè)零件所用的時(shí)間是(90 x) 小時(shí)，還可用式子 小時(shí)來(lái)表示。乙每小時(shí)做(x-6)個(gè)零件，做60個(gè)零件所用的時(shí)間是 60(x-6) 小時(shí)，還可用式子 小時(shí)來(lái)表示。 等量關(guān)系：甲所用時(shí)間=乙所用時(shí)間 三、行程中的應(yīng)用性問(wèn)題例3.1 甲、乙兩個(gè)車(chē)站相距96千米，快車(chē)和慢車(chē)同時(shí)從甲站開(kāi)出，1小時(shí)后快車(chē)在慢車(chē)前12千米，快車(chē)比慢車(chē)早40分鐘到達(dá)乙站，快車(chē)和慢車(chē)的速度各是多少？所行距離速度時(shí)間快車(chē)9

27、6千米x千米/小時(shí)慢車(chē)96千米（x-12）千米/小時(shí)分析：等量關(guān)系：慢車(chē)用時(shí)=快車(chē)用時(shí)+ （小時(shí)）例3.2 甲、乙兩地相距828km，一列普通快車(chē)與一列直達(dá)快車(chē)都由甲地開(kāi)往乙地，直達(dá)快車(chē)的平均速度是普通快車(chē)平均速度的1.5倍直達(dá)快車(chē)比普通快車(chē)晚出發(fā)2h，比普通快車(chē)早4h到達(dá)乙地，求兩車(chē)的平均速度分析：這是一道實(shí)際生活中的行程應(yīng)用題，基本量是路程、速度和時(shí)間，基本關(guān)系是路程= 速度時(shí)間。解：設(shè)普通快車(chē)車(chē)的平均速度為kmh，則直達(dá)快車(chē)的平均速度為1.5kmh，依題意，得=，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，且符合題意，即普通快車(chē)車(chē)的平均速度為46kmh，直達(dá)快車(chē)的平均速度為69kmh例3.3 A、B兩地相

28、距87千米，甲騎自行車(chē)從A地出發(fā)向B地駛?cè)?，?jīng)過(guò)30分鐘后，乙騎自行車(chē)由B地出發(fā)，用每小時(shí)比甲快4千米的速度向A地駛來(lái)，兩人在距離B地45千米C處相遇，求甲乙的速度。分析：所行距離速度時(shí)間甲（87-45）千米x千米/小時(shí)乙45千米（x+4）千米/小時(shí)等量關(guān)系：甲用時(shí)間=乙用時(shí)間+ （小時(shí)）例3.4 一隊(duì)學(xué)生去校外參觀他們出發(fā)30分鐘時(shí)，學(xué)校要把一個(gè)緊急通知傳給帶隊(duì)老師，派一名學(xué)生騎車(chē)從學(xué)校出發(fā)，按原路追趕隊(duì)伍若騎車(chē)的速度是隊(duì)伍行進(jìn)速度的2倍，這名學(xué)生追上隊(duì)伍時(shí)離學(xué)校的距離是15千米，問(wèn)這名學(xué)生從學(xué)校出發(fā)到追上隊(duì)伍用了多少時(shí)間？ 解： 設(shè)步行速度為x千米時(shí)，騎車(chē)速度為2x千米時(shí)，依題意，得：方程

29、兩邊都乘以2x，去分母，得30-15x，所以，x15檢驗(yàn)：當(dāng)x15時(shí)，2x2150，所以x15是原分式方程的根，并且符合題意，騎車(chē)追上隊(duì)伍所用的時(shí)間為30分鐘例3.5 農(nóng)機(jī)廠職工到距工廠15千米的生產(chǎn)隊(duì)檢修農(nóng)機(jī)，一部分人騎自行車(chē)先走，40分鐘后，其余的人乘汽車(chē)出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，已知汽車(chē)的速度是自行車(chē)的3倍，求兩車(chē)的速度 解： 設(shè)自行車(chē)的速度為x千米/小時(shí)，那么汽車(chē)的速度為3x千米/小時(shí)，依題意，得： 解得x15 經(jīng)檢驗(yàn)x15是這個(gè)方程的解當(dāng)x15時(shí)，3x45即自行車(chē)的速度是15千米/小時(shí)，汽車(chē)的速度為45千米/小時(shí)例3.6 甲乙兩人同時(shí)從一個(gè)地點(diǎn)相背而行，1小時(shí)后分別到達(dá)各自的終點(diǎn)A與B

30、；若從原地出發(fā)，但是互換彼此的目的地，則甲將在乙到達(dá)A之后35分鐘到達(dá)B，求甲與乙的速度之比。分析：等量關(guān)系：甲走OB的時(shí)間-乙走OA的時(shí)間=35分鐘四、輪船順逆水應(yīng)用問(wèn)題例41 輪船順流、逆流各走48千米，共需5小時(shí)，如果水流速度是4千米/小時(shí)，求輪船在靜水中的速度。分析：順流速度=輪船在靜水中的速度+水流的速度逆流速度=輪船在靜水中的速度-水流的速度路程速度時(shí)間順流48千米(x+4)千米/小時(shí)逆流48千米(x-4)千米/小時(shí)等量關(guān)系：順流用時(shí)+逆流用時(shí)=5（小時(shí)）例42 輪船在順?biāo)泻叫?0千米的時(shí)間與在逆水中航行20千米所用的時(shí)間相等，已知水流速度為2千米時(shí)，求船在靜水中的速度。解析：順

31、水航行30千米的時(shí)間= 逆水中航行20千米的時(shí)間，即=設(shè)船在靜水中的速度為千米時(shí)，又知水流速度，于是順?biāo)叫兴俣?、逆水航行速度可用未知?shù)表示，問(wèn)題可解決解： 設(shè)船在靜水中速度為千米時(shí)，則順?biāo)叫兴俣葹榍讜r(shí)，逆水航行速度為千米時(shí)，依題意，得=，解得經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根 即船在靜水中的速度是10千米時(shí)五、濃度應(yīng)用性問(wèn)題例5 要在15%的鹽水40千克中加入多少鹽才能使鹽水的濃度變?yōu)?0%分析：設(shè)加入鹽千克濃度問(wèn)題的基本關(guān)系是：=濃度溶液溶質(zhì)濃度加鹽前404015%15%加鹽后404015%20%解：設(shè)應(yīng)加入鹽千克，依題意，得=100(4015%) = 20(40)，解得經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根，即

32、加入鹽2.5千克六、耕地問(wèn)題1、塊面積相同的小麥試驗(yàn)田，第一塊使用原品種，第二塊使用新品種，分別收獲小麥9000Kg和15000Kg,已知第一塊試驗(yàn)田的每公頃的產(chǎn)量比第二塊少3000Kg,分別求這塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量。2、某農(nóng)場(chǎng)原有水田400公頃，旱田150公頃，為了提高單位面積產(chǎn)量，準(zhǔn)備把部分旱田改為水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，問(wèn)應(yīng)把多少公頃旱田改為水田。3、 退耕還林還草是我國(guó)西部實(shí)施的一項(xiàng)重要生態(tài)工程，某地規(guī)劃退耕面積69000公頃，退耕還林與退耕還草的面積比是5：3，設(shè)退耕還林的面積是X公頃，那么應(yīng)滿足的分式方程是什么？七數(shù)字問(wèn)題例1：一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子比分母小6,如果分子分母

33、都加1,則這個(gè)分?jǐn)?shù)等于,求這個(gè)分?jǐn)?shù).例2：一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字是2，如果把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，所得到的新的兩位數(shù)與原來(lái)的兩位數(shù)之比是7：4，求原來(lái)的兩位數(shù)。例3：一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上5，分子加上4，其結(jié)果仍是原來(lái)的分?jǐn)?shù)，求這個(gè)分?jǐn)?shù)。例4：一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小2，個(gè)位上的數(shù)字加上8以后去除這個(gè)兩位數(shù)時(shí)，所得到的商是2，求這個(gè)兩位數(shù)。分式方程應(yīng)用題課后練習(xí)1. 營(yíng)銷類應(yīng)用性問(wèn)題1、一個(gè)批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購(gòu)買(mǎi)鉛筆300枝以上，（不包括300枝），可以按批發(fā)價(jià)付款，購(gòu)買(mǎi)300枝以下，（包括300枝）只能按零售價(jià)付款。小明來(lái)該店購(gòu)買(mǎi)鉛筆，如果給八年級(jí)學(xué)生每人購(gòu)買(mǎi)1枝，那

34、么只能按零售價(jià)付款，需用120元，如果購(gòu)買(mǎi)60枝，那么可以按批發(fā)價(jià)付款，同樣需要120元，（1） 這個(gè)八年級(jí)的學(xué)生總數(shù)在什么范圍內(nèi)？（2） 若按批發(fā)價(jià)購(gòu)買(mǎi)6枝與按零售價(jià)購(gòu)買(mǎi)5枝的款相同，那么這個(gè)學(xué)校八年級(jí)學(xué)生有多少人（3） 這個(gè)八年級(jí)的學(xué)生總數(shù)在什么范圍內(nèi)？（4） 若按批發(fā)價(jià)購(gòu)買(mǎi)6枝與按零售價(jià)購(gòu)買(mǎi)5枝的款相同，那么這個(gè)學(xué)校八年級(jí)學(xué)生有多少人？2、某工廠去年贏利25萬(wàn)元，按計(jì)劃這筆贏利額應(yīng)是去、今兩年贏利總額的20%，今年的贏利額應(yīng)是多少？3、某商廈進(jìn)貨員預(yù)測(cè)一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場(chǎng)，就用8萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)這種襯衫，面市后果然供不應(yīng)求，商廈又用17.6萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)了第二批這種襯衫，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)量的2倍

35、，但單價(jià)貴了4元，商廈銷售這種襯衫時(shí)每件定價(jià)都是58元，最后剩下的150件按八折銷售，很快售完，在這兩筆生意中，商廈共贏利多少元。4、一個(gè)批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購(gòu)買(mǎi)鉛筆300枝以上，（不包括300枝），可以按批發(fā)價(jià)付款，購(gòu)買(mǎi)300枝以下，（包括300枝）只能按零售價(jià)付款。小明來(lái)該店購(gòu)買(mǎi)鉛筆，如果給八年級(jí)學(xué)生每人購(gòu)買(mǎi)1枝，那么只能按零售價(jià)付款，需用120元，如果購(gòu)買(mǎi)60枝，那么可以按批發(fā)價(jià)付款，同樣需要120元，5、某商店銷售一批服裝，每件售價(jià)150元，可獲利25%，求這種服裝的成本價(jià)。6、某商店甲種糖果的單價(jià)為每千克20元，乙種糖果的單價(jià)為每千克16元，為了促銷，現(xiàn)將10千克的乙種糖果

36、和一包甲種糖果混合后銷售，如果將混合后的糖果單價(jià)定為每千克17。5元，那么混合銷售與分開(kāi)銷售的銷售額相同，這包甲糖果有多少千克？7、總價(jià)9元的甲種糖果和總價(jià)是9元的乙種糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲種糖果便宜1元，比乙種糖果貴元，求甲、乙兩種糖果每千克各多少元？8、甲種原料和乙種原料的單價(jià)比是2：3，將價(jià)值2000元的甲種原料有價(jià)值1000元的乙混合后，單價(jià)為9元，求甲的單價(jià)。9、小明和同學(xué)一起去書(shū)店買(mǎi)書(shū)，他們先用15元買(mǎi)了一種科普書(shū)，又用15元買(mǎi)了一種文學(xué)書(shū)，科普書(shū)的價(jià)格比文學(xué)書(shū)的價(jià)格高出一半，因此他們買(mǎi)的文學(xué)書(shū)比科普書(shū)多一本，這種科普和文學(xué)書(shū)的價(jià)格各是多少？10、甲種原料和乙種原料的

37、單價(jià)比是2：3，將價(jià)值2000元的甲種原料有價(jià)值1000元的乙混合后，單價(jià)為9元，求甲的單價(jià)。2. 工程問(wèn)題1、某車(chē)間需加工1500個(gè)螺絲，改進(jìn)操作方法后工作效率是原計(jì)劃的倍，所以加工完比原計(jì)劃少用9小時(shí)，求原計(jì)劃和改進(jìn)操作方法后每小時(shí)各加工多少個(gè)螺絲？2、某運(yùn)輸公司需要裝運(yùn)一批貨物，由于機(jī)械設(shè)備沒(méi)有到位，只好先用人工裝運(yùn)，6小時(shí)后完成一半，后來(lái)機(jī)械裝運(yùn)和人工同時(shí)進(jìn)行，1小時(shí)完成了后一半，如果設(shè)單獨(dú)采用機(jī)械裝運(yùn)X小時(shí)可以完成后一半任務(wù)，那么應(yīng)滿足的方程是什么 ？3、某車(chē)間加工1200個(gè)零件，采用新工藝，工效是原來(lái)的1.5倍，這樣加工同樣多的零件就少用10小時(shí)，采用新工藝前后每時(shí)分別加工多少個(gè)零

38、件？4、某人現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多加工33個(gè)零件，已知現(xiàn)在加工3300個(gè)零件所需的時(shí)間和原計(jì)劃加工2310個(gè)零件的時(shí)間相同，問(wèn)現(xiàn)在平均每天加工多少個(gè)零件。5、一臺(tái)甲型拖拉機(jī)4天耕完一塊地的一半，加一天乙型拖拉機(jī)，兩臺(tái)合耕，1天耕完這塊地的另一半。乙型拖拉機(jī)單獨(dú)耕這塊地需要幾天？6、A做90個(gè)零件所需要的時(shí)間和B做120個(gè)零件所用的時(shí)間相同，又知每小時(shí)A、B兩人共做35個(gè)機(jī)器零件。求A、B每小時(shí)各做多少個(gè)零件。7、某 市為治理污水，需要鋪設(shè)一段全長(zhǎng)3000米的污水輸送管道，為了盡量減少施工對(duì)城市交通造成的影響，實(shí)際施工時(shí)每天的工效比原計(jì)劃增加25%，結(jié)果提前30天完成了任務(wù)，實(shí)際每天鋪設(shè)多長(zhǎng)管道

39、？8、有一工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，如果甲單獨(dú)工作，剛好能夠按期完成；如果乙單獨(dú)工作，就要超過(guò)規(guī)定日期3天.現(xiàn)在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙單獨(dú)完成，剛好在規(guī)定日期完成，求規(guī)定日期是幾天？9、某水泵廠在一定天數(shù)內(nèi)生產(chǎn)4000臺(tái)水泵，工人為支援四化建設(shè)，每天比原計(jì)劃增產(chǎn)，可提前10天完成任務(wù)，問(wèn)原計(jì)劃日產(chǎn)多少臺(tái)？10、某車(chē)間需加工1500個(gè)螺絲，改進(jìn)操作方法后工作效率是原計(jì)劃的倍，所以加工完比原計(jì)劃少用9小時(shí)，求原計(jì)劃和改進(jìn)操作方法后每小時(shí)各加工多少個(gè)螺絲？3.行程問(wèn)題1、走完全長(zhǎng)3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到達(dá)，那么速度應(yīng)達(dá)到多少？2、從甲地到乙地有兩條公路：一條是全長(zhǎng)

40、600Km的普通公路，另一條是全長(zhǎng)480Km的告訴公路。某客車(chē)在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路從甲地到乙地所需的時(shí)間是由普通公路從甲地到乙地所需時(shí)間的一半，求該客車(chē)由高速公路從甲地到乙地所需要的時(shí)間。3、從甲地到乙地的路程是15千米，A騎自行車(chē)從甲地到乙地先走，40分鐘后，B騎自行車(chē)從甲地出發(fā)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)。已知B的速度是A的速度的3倍，求兩車(chē)的速度。4、假日工人到離廠25千米的瀏覽區(qū)去旅游；一部分人騎自行車(chē)，出發(fā)1小時(shí)20分鐘后，其余的人乘汽車(chē)出發(fā)，結(jié)果兩部分人同時(shí)到達(dá)，已知汽車(chē)速度是自行車(chē)的3倍，求汽車(chē)和自行車(chē)速度5、我部隊(duì)到某橋頭阻擊敵人，出發(fā)時(shí)敵人離橋頭24千米，我部隊(duì)離橋頭30千米，我部隊(duì)急行軍速度是敵人的1.5倍，結(jié)果比敵人提前48分鐘到達(dá)，求我部隊(duì)的速度。6、某中學(xué)到離學(xué)校15千米的某地旅游，先遣隊(duì)和大隊(duì)同時(shí)出發(fā)，行進(jìn)速度是大隊(duì)的1.2倍，以便提前半小時(shí)到達(dá)目的地做準(zhǔn)備工作。求先遣隊(duì)和大隊(duì)的速度各是多少？7、我軍某部由駐地到距離30千米的地方去執(zhí)行