第十章第2節(jié)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1ppt課件

1、 第二節(jié)第二節(jié)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分2一、問(wèn)題的提出oxyABL1 nMiM1 iM2M1M實(shí)例實(shí)例: : 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),(常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn 方法方法 niiWW1ABFW3求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取極限取極限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精確值精確值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(iiiiiMMFW1 .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即

2、niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy .)()(jyixMMiiii1近似近似niiiixP10),(limniiiiyQ10),(lim 4二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111時(shí)時(shí)長(zhǎng)度的最大值長(zhǎng)度的最大值如果當(dāng)各小弧段如果當(dāng)各小弧段上任意取定的點(diǎn)上任意取定的點(diǎn)為為點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)個(gè)有向小弧段個(gè)有向小弧段分成分成把把上的點(diǎn)上的點(diǎn)用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)向光滑曲線弧向光滑曲線弧的一條有的一條有到點(diǎn)到點(diǎn)面內(nèi)從點(diǎn)面內(nèi)從點(diǎn)為為設(shè)設(shè) iiiiiiiiiiniinnnMMyyyx

3、xxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定義定義5.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 記作記作或稱第二類曲線積分）或稱第二類曲線積分）積分積分的曲線的曲線上對(duì)坐標(biāo)上對(duì)坐標(biāo)在有向曲線弧在有向曲線弧數(shù)數(shù)則稱此極限為函則稱此極限為函的極限存在的極限存在類似地定義類似地定義.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被積函數(shù)叫做被積函數(shù)其中其中yxQyxP.叫積分弧段叫積分弧段L62.存在條件：存在條件：.,),(),(第二類曲線積分存在第二類曲線積分存在上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲線弧

4、在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng)LyxQyxP3.組合形式組合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF7:變力在曲線上的作功變力在曲線上的作功4LdyyxQdxyxP),(),(:問(wèn)題問(wèn)題?),(其物理意義其物理意義dxyxPL:閉曲線的積分表示閉曲線的積分表示5記記是是封封閉閉曲曲線線若若,LLdyyxQdxyxP),(),(niiiixPW10),(limniiiiyQ10),(lim 86.6.推廣推廣 空間有向曲線弧空間有向曲線弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(l

5、im),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 97.7.性質(zhì)性質(zhì).,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL則則和和分成分成如果把如果把則則有向曲線弧有向曲線弧方向相反的方向相反的是與是與是有向曲線弧是有向曲線弧設(shè)設(shè),)2(LLL 即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān)即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān). LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(10三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在則曲線積分則曲線積分且且續(xù)導(dǎo)數(shù)續(xù)導(dǎo)

6、數(shù)一階連一階連為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有及及在以在以運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)沿沿的起點(diǎn)的起點(diǎn)從從點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)到到變變單調(diào)地由單調(diào)地由當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為續(xù)續(xù)上有定義且連上有定義且連在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè) LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理基本思想：基本思想：.,積分限由起點(diǎn)到終點(diǎn)積分限由起點(diǎn)到終點(diǎn)化為定積分化為定積分統(tǒng)一變量統(tǒng)一變量11dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為 .)()(,)(,dxxyxyxQx

7、yxPQdyPdxbaL 則則.)(:)2(dcyyxxL，終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 則則12.,)()()(:)3( 終終點(diǎn)點(diǎn)起起點(diǎn)點(diǎn)推推廣廣ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 13例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中計(jì)算計(jì)算BAxyLxydxL 解解的定積分，的定積分，化為對(duì)化為對(duì)x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54

8、 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B14的的定定積積分分，化化為為對(duì)對(duì)y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到從從 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B15例例2).,(),(),(,)(;),(),()(;),(),()(,110100311002110012222依次是點(diǎn)依次是點(diǎn)，這里，這里有向折線有向折線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線為為其中其中計(jì)算計(jì)算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的積積分分化化為

9、為對(duì)對(duì) x, 10,:2變變到到從從xxyL 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 16) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .的積分化為對(duì) y,10,:2變到變到從從yyxL 1042)22(dyyyyy原原式式1045dyy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(BABOAdyxxydxdyxxydx2222原式).1 , 1 (),0 , 1)(0 , 0(,) 3(;) 1 , 1 ()0 , 0()2(,222依次是點(diǎn)，這里有向折線的一段弧到上從拋物線為其中計(jì)算BAOOABBOyxLdyxxydxL例例2解解2）解解3）17,上上在在 OA,10, 0變變到到

10、從從xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1變變到到從從yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B.,:但但積積分分值值相相同同雖雖然然路路徑徑不不同同由由此此知知:問(wèn)題問(wèn)題?積分值是否都相同積分值是否都相同起點(diǎn)和終點(diǎn)相同的曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)相同的曲線18.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的的直直線線段段軸軸到到點(diǎn)點(diǎn)沿沿從從點(diǎn)點(diǎn)的的上上半半圓圓周周針針?lè)椒较蛳蚶@繞行行、圓圓心心為為原原點(diǎn)點(diǎn)、按按逆逆時(shí)時(shí)半半徑徑為為為為其其中中計(jì)計(jì)算算aBxaAaLdxyL 例例3解解,sin

11、cos:) 1 (taytaxL，變到從0t)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式dttata)sin(sin2219)0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，變到變到從從aax aadx0原原式式. 0 由此知：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，由此知：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同，積分結(jié)果也可以不同但路徑不同，積分結(jié)果也可以不同. 03a)(cos)cos1 (2tdt:結(jié)論結(jié)論.,而且與路徑有關(guān)而且與路徑有關(guān)不但與起止點(diǎn)有關(guān)不但與起止點(diǎn)有關(guān)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分值對(duì)坐標(biāo)的曲線積分值20如圖如圖其中其中LdyxydxL,2BCABL弧弧BCLAB弧弧BC方

12、程為 xy 2BCdyxydx2dxxx01212)()(6112201dxxx)(弧弧ABdyxydx2dxxxx)(22211322211dxx67611322)(Ldyxydx4例例:解解21B) 0 , 0 ,(RA例例5. 設(shè)在力場(chǎng)設(shè)在力場(chǎng)zxyF, 作用下, 質(zhì)點(diǎn)由沿移動(dòng)到 , 其中為)2,0,(kRB)0,0,(RAAB:)(2解解:(1)dsFWzdzxdyydxtdtkR 2022)(2) 設(shè) 的參數(shù)方程為 kttzyRx200:,dsFWABzdzxdyydxktdt 20試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功. 201:,sin,cos:)(ttkztRytRx)(222Rk 222k

13、22ozyx例例6. 求求zdyxydzxdxyzI)()()(其中,2122zyxyx從 z 軸正向看去為順時(shí)針?lè)较?解解: 取取 的參數(shù)方程的參數(shù)方程,sin,costytx):(sincos022 tttz 20Itttcos)sincos(22tdtttt )sin)(cossin(costdt)cos(22041 )sin)(cos(tt2 223三三. 兩類曲線積分之間的聯(lián)系兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧 L 以弧長(zhǎng)為參數(shù) 的參數(shù)方程為)()(, )(lssyysxx0.cos,cossdydsdxd 則兩類曲線積分有如下聯(lián)系LdyyxQdxyxP),(),(sdsdydyxQ

14、sdxdyxPL),(),(LsdyxQyxP cos),(cos),(的的關(guān)關(guān)系系與與由由弧弧微微分分dydxds,ds24類似地 , 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是dzRdyQdxPsdRQP coscoscos令,RQPA ,cos,cos,costzdyddxds,dsAsdtA向向余余弦弦沿沿弧弧向向的的切切線線向向量量的的方方上上點(diǎn)點(diǎn)為為有有向向弧弧其其中中),(cos,cos,coszyx AB257例例) 1 , 1 ()0 , 0(:,),(),(2BOxyLdyyxQdxyxPL到從點(diǎn)沿其中化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分把:解解)(),(向向沿沿處處切切向向量量中中任任一一點(diǎn)點(diǎn)OByxL,xT212xyxx方向余弦方向余弦,cos2411x .cos2412xx LLdsxyxxQyxPdyyxQdxyxP2412),(),(),(),(?:反反向向若若思思考考L26例例8. 設(shè)設(shè),max22QPMs 是曲線段 L