第十四章冪級數(shù)習題課ppt課件

1、冪級數(shù)習題課冪級數(shù)習題課 一一. 求收斂區(qū)間或收斂域求收斂區(qū)間或收斂域解： 133lim1nnnnn3,1,3R 收斂半徑為12,3x 收斂區(qū)間5733x即解解: 11,nniai設(shè)limnna 注意到, 有1nnaa111nna 1 , ( )n 1,x 時11nnixi0, ( 1 , 1 ).收斂域為二二. . 函數(shù)展開函數(shù)展開 解解: xe231,2!3!nxxxxn x xe23( 1 )1,2!3!nnxxxxn |x xxee35212 3!5!(21)!nxxxxn2xxeeshx210,(21)!nnxn(,)x 解解: 2cos x1(1cos2 )2xcos2x20(2

2、)( 1 )(2 )!nnnxn204( 1 )(2 )!nnnnxn(,)x 因而, 2cos x2014 1( 1)2(2 )!nnnnxn20114( 1)22(2 )!nnnnxn2114( 1)2(2 )!nnnnxn(,)x 解解: 11x231( 1)nnxxxx | 1x 因而, 261xx28142062( 1 ),nnxxxxx | 1.x 解解: ln(1)x231( 1 )23nnxxxxn11( 1 ),nnnxn( 1,1x 而 ln(5)xln(72)x2ln 1ln77x 11(2)( 1 )ln7,7nnnnxn( 5 , 9 x 函數(shù)展開式應用舉例函數(shù)展開式

3、應用舉例 1. 近似計算近似計算 解解: 2xe20( 1 ),!nnnxn(,).x 因而, 2100( 1 )!nnnxdxn01( 1 )(21) !nnnn上式最后是Leibniz型級數(shù)，其余和的絕對值不超過余和首項的絕對值。為使11(21) !1000nn故從第項到第項這前7項 之和達到要求的精度.于是 210 xIedx111111135 27 69 2411 12013 720 1 0.333330.100000.02381 0.004630.000760.000110.74682. 利用展開式求高階導數(shù)利用展開式求高階導數(shù).解：解： sin x210( 1),(21)!nnnx

4、n(,)x 0,x 時( )f xsin xx20( 1)(21)!nnnxn211( 1)(21)!nnnxn ( )f x211( 1),(21)!nnnxn (,)x ( )(0)nf( 1) (2 )! , 2 ,(21)! 0 , 21 .mmnmmnm 0 , 1 , 2 ,m 即 ( )( 1 ) , 2 ,(0)21 0 , 21mnnmfmnm 0 , 1 , 2 ,m 三.冪級數(shù)求和 原理:對某些冪級數(shù)，有可能利用初等運算或微積運算以及變量代換化為已知的函數(shù)展開式 解：解： ( )S x11nnx1,1x (0)0,S注意到 ( 1 , 1 ),:x則對有( )S x( )

5、(0)S xS0( )xS t dt01xdttln(1)x 1nnxnln(1),x 1,1)x 1123nnnn11 223nnn223S2ln311( 1 )nnn1( 1 )nnn ( 1)S ln2. 解：解： ( 1,1) ,在內(nèi)1 ( )nnf xnx設(shè)11nnxnx( ).xS x( ),S x現(xiàn)求 ( 1,1),x 對有0( )xS t dt101xnnntdt1nnx1xx( ),:S x由連續(xù) 有( )S x0( )xS t dt1xx21(1)x因而, 1nnnx( )f x( )xS x2,(1)xx| 1x 2,3xt 作代換有2113nnnnx213nnxxn1n

6、nxnt2(1)txt3223,(3)xx|3x 11111121222nnnnnnnn11121212nnn212221126 解法一：解法一： (,), 收斂域為( ),S x設(shè)和函數(shù)為則有0( )xS t dt001!xnnntdtn001(1)!xnnnt dtn 10!nnxnxxe因而, 01!nnnxn( )S x0( )xS t dt()xxe(1),xx e(,)x 解法二解法二 01!nnnxn00!nnnnnxxnn1(1)!nxnxen0!nxnxxenxxxee(1),xxe(,)x 解：解： 1112!nnnxn0(2 )12!nnxxn2(1)2xxe 解：解： 該級數(shù)為Leibniz型級數(shù)，因此收斂。210( 1 ),21nnnxn考慮冪級數(shù) 1 , 1 其收斂域為( ),S x設(shè)和函數(shù)為( 1 , 1 ) ,在內(nèi) 有( )S x20( 1)nnnx20()nnx21,1x| 1x (