高等數(shù)學(xué) 上下冊24 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程確立隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程確立 的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例例 1 求由方程求由方程ee0 xyxy 所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)( )yy x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)ddyx. 解解 因為因為 y 是是 x 函數(shù)， 所以函數(shù)， 所以 ey是是 x 的復(fù)合函數(shù)利用的復(fù)合函數(shù)利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，方程復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，方程ee0 xyxy 兩邊同時對兩邊同時對 x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得ee0(e )exyyxyxyyxyy 則則 de( +e0)d+exyyyyxxx. 例例 2 求求由由方方程程2233245

2、x yxyy 所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)( )yy x的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)ddyx及及11ddxyyx. 解解 類類似似于于例例1方方程程2233245x yxyy兩兩邊邊對對x求求導(dǎo)導(dǎo)，得得 2223(2) 2(2) 120 xyx yyxy yy y 2226324120 xyx yyxy yy y 222(3412)26xxyyyyxy 則則 222d26,d3412yyxyxxxyy 11ddxyyx2222 16 1 1443 14 1 1 12 13 4 1211 . 解解 由由題題意意及及導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的幾幾何何意意義義，本本題題需需先先求求曲曲線線在在點點 A和和點點 B 處處的的切切線

3、線斜斜率率， 即即求求由由橢橢圓圓方方程程22194xy所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)在在點點 A 與與點點 B 處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，利利用用復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)法法則則 方方程程22194xy兩兩邊邊同同時時對對 x 求求導(dǎo)導(dǎo)，得得 2092xyy 于于是是 4.9xyy 例例 3 求求橢橢圓圓曲曲線線22194xy在在點點 A4(1,2)3與與點點B4(1,2)3處處的的切切線線方方程程. 則所求切線方程分別為則所求切線方程分別為 422(1)36yx 及及 422(1)36yx 注意注意 本題點本題點 A 在上半橢圓上，在上半橢圓上， 點點 B 在下半橢圓上，在下半橢圓上，如果不利用隱函

4、數(shù)求導(dǎo)法，應(yīng)分別對如果不利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，應(yīng)分別對2293yx及及2293yx 求導(dǎo)才能求得在點求導(dǎo)才能求得在點 A 及點及點 B 處的切線斜率，處的切線斜率，相當麻煩，而用本題上述方法求解就較簡便相當麻煩，而用本題上述方法求解就較簡便. 將將 A 點點坐坐標標41,23xy代代入入上上式式，得得26Ay 將將 B 點點坐坐標標41,23xy 代代入入上上式式，得得26By 例例 4 設(shè)設(shè)ln ,yxy求求.y 解解 方方程程lnyxy兩兩邊邊分分別別對對 x 求求導(dǎo)導(dǎo)，得得 1lnyyxyy 所所以以 (1)lnxyyy 則則 ln.yyyyx 3.3.對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法 對某些顯函數(shù)，可

5、對其兩邊取對數(shù)，使之成為由二對某些顯函數(shù)，可對其兩邊取對數(shù)，使之成為由二元方程所確定的隱函數(shù)，然后再利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求其元方程所確定的隱函數(shù)，然后再利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求其導(dǎo)數(shù)，這種方法叫做對數(shù)求導(dǎo)法導(dǎo)數(shù)，這種方法叫做對數(shù)求導(dǎo)法. . 例例 5 設(shè)設(shè)sin(0),xyxx求求 .y 解解 這是所謂的冪指函數(shù)，等式兩邊同時取對數(shù)，得這是所謂的冪指函數(shù)，等式兩邊同時取對數(shù)，得 lnsin ln ,yxx 上式兩邊同時對上式兩邊同時對 x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得 sincos ln,yxxxyx 于是于是 sinsin(cos ln).xxyxxxx 有時冪指函數(shù)也可寫成有時冪指函數(shù)也可寫成sin lnexx

6、y ，于是有，于是有 sin lnsin lnsin(e)ecos lnxxxxxyxxx sinsin(cos ln).xxxxxx 例例 6 設(shè)設(shè)23(1)(01),21xxyxx求求.y 解解 等式兩邊同時取對數(shù)，得等式兩邊同時取對數(shù)，得 1lnln 2lnln(1)ln(21)3yxxx 上式兩邊同時對上式兩邊同時對 x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得 1 212()3121yyxxx 于是于是 y y 212()3121yyxxx 2311212()321121xxxxxx. * *二、二、 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( )yy x由參數(shù)方程由參數(shù)方程( )

7、,()( ),xttTyt所確所確定，如果函數(shù)定，如果函數(shù)( )xt具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)1( )tx，那，那么由參數(shù)方程所確定的函數(shù)可以看成是由函數(shù)么由參數(shù)方程所確定的函數(shù)可以看成是由函數(shù)( )yx，1( )tx復(fù) 合 而 成 的 函 數(shù)復(fù) 合 而 成 的 函 數(shù)1( )yx . 因 此 ， 當因 此 ， 當( ),( )xtyt都可導(dǎo)且都可導(dǎo)且( )0t時，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及反函數(shù)的求導(dǎo)公式，就有法則及反函數(shù)的求導(dǎo)公式，就有 dddd1( ),ddd dd( )dyytytxxtxttt 即即 d( )d( )ytxt， 這就是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)這

8、就是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)( )yy x的求導(dǎo)公式的求導(dǎo)公式. 例例 7 求求由由下下列列參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)ddyx： 21 sin ,ln(1),(1)2cos ;2arctan .xtxtyttyt 解解 dd1cos ,cossin ,ddxytttttt所以所以 dd /dcossin1tan .dd /dcosyyttttttxxtt 22d2d22,d1d1xtytttt所以所以 222dd /d11.2dd /d1yytttxxttt 解解 22dd3 cos sin ,3 sin cos ,ddxyattatttt 所以所以 22d3 sin

9、costand3 cos sinyatttxatt 于是，在于是，在4t 處的切線斜率為處的切線斜率為4dtan1.d4tykx 又當又當4t 時，時，3322cos,sin,4444xaayaa 則所求切線方程為則所求切線方程為22()44yaxa 或或22yxa 所求法線方程所求法線方程為為2244yaxa 或或.yx 例例 8 求求星星形形線線33cos ,(0,02)sin ,xatatyat 在在4t 處處的的切切線線方方程程. 三、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求導(dǎo)法那么歸納如下：根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求導(dǎo)法那么歸納如下：1、常數(shù)和根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式略、常數(shù)和根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式略2、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么略、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么略3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么略、復(fù)合