211合情推理學(xué)案（人教A版選修2-2）

1、21合情推理與演繹推理21.1合情推理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解合情推理的含義，能利用歸納推理和類比推理等進(jìn)行簡單的推理(重點(diǎn)、難點(diǎn))2了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.學(xué)法指導(dǎo)歸納和類比是合情推理常用的思維方法合情推理的結(jié)論不一定正確，但它在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中起著重要作用.1歸納推理和類比推理歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納)由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比)特征歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理類比推

2、理是由特殊到特殊的推理2.合情推理含義歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理我們把它們統(tǒng)稱為合情推理通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理過程1判斷：(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)類比推理得到的結(jié)論可以作為定理應(yīng)用()(2)由個別到一般的推理為歸納推理()答案：(1)×(2)2數(shù)列5,9,17,33，x，中的x等于()A47 B65C63 D128答案：B3下面類比推理中恰當(dāng)?shù)氖?)A“若a·3b·3，則ab”類比推出“若a·0b·0，則ab”B“(ab)cac

3、bc”類比推出“(a·b)cac·bc”C“(ab)cacbc”類比推出“(c0)”D“(ab)nanbn”類比推出“(ab)nanbn”答案：C4各項都為正數(shù)的數(shù)列an中，a11，a23，a36，a410，猜想數(shù)列an的通項為_答案：an數(shù)、式中的歸納推理(1)由下列各式：1312，132332，13233362請你歸納出一般結(jié)論(2)已知數(shù)列an的第1項a11，且an1(n1,2,3，)，試歸納出這個數(shù)列的通項公式(鏈接教材P71例1)解(1)由左、右兩邊各項冪的底數(shù)之間的關(guān)系：11，123，1236，123410，可得一般結(jié)論：132333n

4、3(123n)2，即132333n32.(2)當(dāng)n1時，a11；當(dāng)n2時，a2；當(dāng)n3時，a3；當(dāng)n4時，a4.通過觀察可得，數(shù)列的前四項都等于相應(yīng)序號的倒數(shù)，由此歸納出an.方法歸納由已知數(shù)、式進(jìn)行歸納推理的方法(1)要注意所給幾個等式(或不等式)中項數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律(2)要注意所給幾個等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征(3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)(4)運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論1(2013·高考陜西卷)觀察下列等式：(11)2×1，(21)(22)22×1×3，(31)(32)(33)23×1×3×5，照此

5、規(guī)律，第n個等式可為_解析：第n個等式可為：(n1)(n2)(n3)(nn)2n·1·3·5·(2n1)答案：(n1)(n2)(n3)(nn)2n·1·3·5·(2n1)幾何圖形中的歸納推理根據(jù)下圖中線段的排列規(guī)則，試猜想第8個圖形中線段的條數(shù)為_解析分別求出前4個圖形中線段的數(shù)目，并加以歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出猜想圖形中線段的條數(shù)分別為1,5,13,29.因?yàn)?223,5233,13243,29253，因此可猜想第8個圖形中線段的條數(shù)應(yīng)為2813509.答案509方法歸納解決圖形中歸納推理的方法解決與圖形有關(guān)的歸納推

6、理問題常從以下兩個方面著手：(1)從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值變化與數(shù)量的關(guān)系(2)從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化后，與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣的變化2在平面內(nèi)觀察：凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，凸六邊形有9條對角線，由此猜想凸n邊形有幾條對角線？解：凸四邊形有2條對角線；凸五邊形有5條對角線，比凸四邊形多3條；凸六邊形有9條對角線，比凸五邊形多4條；于是猜想凸n邊形比凸n1邊形多n2條對角線，因此凸n邊形的對角線條數(shù)為2345(n2)n(n3)(n4，nN*)類比推理及其應(yīng)用(1)若Sn是等差數(shù)列an的前n項和，則有S2n1(2n1)an，類似地，若

7、Tn是等比數(shù)列bn的前n項積，則有T2n1_.(2) 在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2AC2BC2”拓展到空間(如圖)，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的結(jié)論是_.(鏈接教材P74例3)解析(1)T2n1b1·b2·b3··b2n1b.(2)類比條件：兩邊AB、AC互相垂直側(cè)面ABC、ACD、ADB互相垂直結(jié)論：AB2AC2BC2SSSS.答案(1)b(2)設(shè)三棱錐A­BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則SSSS方法歸納(1)對于數(shù)列中的類比問題，除

8、了等差數(shù)列和等比數(shù)列是一類重要的類比對象外，還可以將等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)等進(jìn)行推廣，與其他相關(guān)數(shù)列問題進(jìn)行類比(2)平面與空間的類比是一種常見的類比，一般地：平面圖形中的點(diǎn)與空間圖形中的線(線段)相類比；平面圖形中的線與空間圖形中的線或平面相類比；平面圖形中的周長與空間圖形中的表面積相類比；平面圖形中的面積與空間圖形中的體積相類比；平面中的三角形、正方形與空間中的四面體、正方體相類比；平面中的圓與空間中的球相類比等3類比實(shí)數(shù)的加法和向量的加法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì)解：(1)兩實(shí)數(shù)相加后，結(jié)果是一個實(shí)數(shù)；兩向量相加后，結(jié)果仍是一個向量(2)從運(yùn)算律的角度考慮，它們都滿足交換律和結(jié)合律

9、即abba，abba.(ab)ca(bc)，(ab)ca(bc)(3)從逆運(yùn)算的角度考慮，二者都有逆運(yùn)算，即加法運(yùn)算ax0與ax0都有唯一解，xa與xa.(4)在實(shí)數(shù)加法中，任意實(shí)數(shù)與0相加都不改變大小，即a0a.在向量加法中，任意向量與零向量相加，既不改變該向量的大小，亦不改變該向量的方向，即a0a.易錯警示對歸納推理的特征掌握不準(zhǔn)確致誤對任意正整數(shù)n，猜想2n與n2的大小關(guān)系是_解析當(dāng)n1時，2112；當(dāng)n2時，2222；當(dāng)n3時，2332；當(dāng)n4時，2442；當(dāng)n5時，2552；當(dāng)n6時，2662，所以可以猜想當(dāng)n3時，2nn2；當(dāng)nN*，且n3時，2nn2.答案當(dāng)n3時，2nn2；當(dāng)n

10、N*，且n3時，2nn2錯因與防范1.解答的易錯點(diǎn)是只列舉了n1,2,3時的情況，直接猜想結(jié)論，從而所得結(jié)論不一定正確2在進(jìn)行歸納推理時，為避免出現(xiàn)以偏概全的情形，對于特殊項要多驗(yàn)證幾項，如本例n3驗(yàn)證后，再驗(yàn)證n4，n5，n6，再作猜想，以掌握更多歸納特征，同時要根據(jù)變化規(guī)律和趨勢作判斷4在數(shù)列an中，a10，an12an2，則猜想an()A2n2 B2n2C2n11 D2n14解析：選B.因?yàn)閍10212，所以a22a122222，a32a22426232，a42a3212214242，猜想an2n2.故應(yīng)選B.單獨(dú)成冊學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練1下列說法正確的是()A由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B

11、合情推理必須有前提有結(jié)論C合情推理不能猜想D合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤解析：選B.根據(jù)合情推理可知，合情推理必須有前提有結(jié)論2下列平面圖形中，與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適的是()A三角形 B梯形C平行四邊形 D矩形答案：C3類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?)各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等各個面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等A BC D解析：選C正四面體的面(或棱)可與正三角形的邊類比，正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點(diǎn)的

12、兩棱的夾角)可與正三角形相鄰兩邊的夾角類比，故都對4觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(x)等于()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)解析：選D由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(x)g(x)5觀察下列各式：7249,73343,742 401，則72 015的末兩位數(shù)字為()A01 B43C07 D49解析：選B.因?yàn)?17,7249,73343,742 401,7516 807,76117 649，

13、所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周期T4.又2 0154×5033，所以72 015的末兩位數(shù)字與73的末兩位數(shù)字相同，為43.6設(shè)f(x)，x11，xnf(xn1)(n2)，則x2，x3，x4分別為_猜想xn_.解析：x2f(x1)，x3f(x2)，x4f(x3)，xn.答案：，7(2014·晉中高二檢測)在平面上“等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值”，類比猜想在空間中有_解析：根據(jù)平面幾何與立體幾何中的類比規(guī)律，邊類比成面，三角形類比成四面體，所以正三角形類比成正四面體故類比猜想在空間中有：正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個面的距離之和為定值答案：正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)

14、到四個面的距離之和為定值8(2014·銀川高二檢測)已知 2， 3， 4，若 6(a，bR)，則ab_.解析：根據(jù)題意，由于2，3， 4，那么可知 6，a6，b6×6135，所以ab41.答案：419已知數(shù)列an的前n項和Snn2·an(n2)，而a11，通過計算a2，a3，a4，猜想an.解：Snn2·an(n2)，a11，S24·a2a1a2，a2.S39a3a1a2a3，a3.S416a4a1a2a3a4，a4.猜想an.10. 如圖所示，在ABC中，ab·cos Cc·cos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對

15、邊，寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想解：如圖所示，在四面體P­ABC中，S1，S2，S3，S分別表示PAB，PBC，PCA，ABC的面積，依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大小猜想SS1·cos S2·cos S3·cos .高考水平訓(xùn)練1古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)比如：圖(1)圖(2)他們研究過圖(1)中的1,3,6,10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖(2)中的1,4,9,16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A289 B1 024C1 225 D1 378

16、解析：選C記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為an，則a11，a2312，a36123，a4101234，可得通項公式為an123n.同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項公式為bnn2.將四個選項的數(shù)字分別代入上述兩個通項公式，使得n都為正整數(shù)的只有1 225.2在平面上，若兩個正三角形的邊長比為12，則它們的面積比為14.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為12，則它們的體積比為_解析：兩個正三角形是相似的三角形，它們的面積之比是相似比的平方同理，兩個正四面體是兩個相似幾何體，體積之比為相似比的立方，它們的體積比為18.答案：183我們已經(jīng)學(xué)過了等比數(shù)列，你有沒有想到是否也有等積數(shù)列呢？(1)類比“等比

17、數(shù)列”，請你給出“等積數(shù)列”的定義(2)若an是等積數(shù)列，且首項a12，公積為6，試寫出an的通項公式及前n項和公式解：(1)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的乘積是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，其中，這個常數(shù)叫做公積(2)由于an是等積數(shù)列，且首項a12，公積為6，所以a23，a32，a43，a52，a63，即an的所有奇數(shù)項都等于2，偶數(shù)項都等于3，因此an的通項公式為an其前n項和公式Sn4(2014·聊城高二檢測)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)sin213°cos217°sin 13°cos 17°sin215°cos215°sin 15°cos 15°sin218°cos212°sin 18°cos 12°sin2(18°)cos248°sin(18°)cos 48°sin2(25°)cos255°sin(25°)cos 55°(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證