第二章連續(xù)時間系統(tǒng)時域分析

1、第第二二章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.1 引言引言2.2 微分方程式的建立與求解微分方程式的建立與求解2.3 起始點的跳變起始點的跳變從從0- 到到0+ 狀態(tài)的轉(zhuǎn)換狀態(tài)的轉(zhuǎn)換2.4 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.5 沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)2.6 卷積卷積2.7 卷積的性質(zhì)卷積的性質(zhì)2.8 用算子符號表示微分方程用算子符號表示微分方程2.9 以以“分配函數(shù)分配函數(shù)”的概念認識沖激函數(shù)的概念認識沖激函數(shù)（t）2.1 引言引言系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時域表示系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時域表示 時域分析方法時域分析方法:不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分、不涉及任何變

2、換，直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學(xué)積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。 元一階微分方程元一階微分方程狀態(tài)變量描述狀態(tài)變量描述階微分方程階微分方程一元一元輸入輸出描述輸入輸出描述 : :NN本章中我們主要討論輸入、輸出描述法。本章中我們主要討論輸入、輸出描述法。2.2 微分方程式的建立與求解微分方程式的建立與求解主要內(nèi)容主要內(nèi)容物理系統(tǒng)的模型物理系統(tǒng)的模型微分方程的列寫微分方程的列寫n 階線性時不變系統(tǒng)的描述階線性時不變系統(tǒng)的描述求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微

3、分方程的經(jīng)典法復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法許多實際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。許多實際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)線性常系數(shù)微分方程微分方程來描述。來描述。輸入輸入激勵激勵輸出輸出響應(yīng)響應(yīng)對于線性時不變系統(tǒng)，在時間域通常使用對于線性時不變系統(tǒng)，在時間域通常使用線性常系數(shù)微分方線性常系數(shù)微分方程程來表示輸入輸出之間的關(guān)系。來表示輸入輸出之間的關(guān)系。一、一、 物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二微分方程的建立二微分方程的建立根據(jù)實際系統(tǒng)的物理特性建立系統(tǒng)的微分方程。根據(jù)實際系統(tǒng)的物理特性建立系統(tǒng)的微分方程。

4、對于電路系統(tǒng)，主要是按照元件的約束特性及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的約對于電路系統(tǒng)，主要是按照元件的約束特性及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的約束特性網(wǎng)絡(luò)拓撲約束來建立對應(yīng)的微分方程。束特性網(wǎng)絡(luò)拓撲約束來建立對應(yīng)的微分方程。 元件的約束特性：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件元件的約束特性：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系等。電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系等。 網(wǎng)絡(luò)拓撲約束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系網(wǎng)絡(luò)拓撲約束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL（基爾霍夫電流定律），（基爾霍夫電流定律），KVL （基爾霍夫電壓定律）（基爾霍夫電壓定律） 。例例2-2-1電感電感電阻電阻

5、tvRtiR1 d1 tLvLti電容電容 ttvCtiCdd根據(jù)根據(jù)KCL titititiCLRS代入上面元件伏安關(guān)系，并化簡有代入上面元件伏安關(guān)系，并化簡有 ttitvLttvRttvCdd1dd1ddS22這是一個代表這是一個代表RLC并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。 求求RLC并聯(lián)電路的端電壓并聯(lián)電路的端電壓 與激勵源與激勵源 間的關(guān)系。間的關(guān)系。 tv tis ( )Lditv tLdt解：解： tisRRiLLiCciab tv彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩擦力為彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩擦力為 ，外加，外加牽引力為牽引力為 ，其外

6、加牽引力，其外加牽引力 與剛體運動速度與剛體運動速度 間的間的關(guān)系可以根據(jù)達朗貝爾定律推導(dǎo)出為關(guān)系可以根據(jù)達朗貝爾定律推導(dǎo)出為這是一個代表機械位移系統(tǒng)的二階微分方程。這是一個代表機械位移系統(tǒng)的二階微分方程。教材教材P43-44 兩個不同性質(zhì)的系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型兩個不同性質(zhì)的系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型（二階微分方（二階微分方程），都是線性常系數(shù)微分方程，只是系數(shù)不同。對于復(fù)雜程），都是線性常系數(shù)微分方程，只是系數(shù)不同。對于復(fù)雜系統(tǒng)，則可以用高階微分方程表示。系統(tǒng)，則可以用高階微分方程表示。 例例2-2-2kmsFf機械位移系統(tǒng)，質(zhì)量為機械位移系統(tǒng)，質(zhì)量為m的剛體一端由彈簧牽引，的剛體一端由彈簧牽

7、引， tv tFSf tFS ttFtkvttvfttvmddddddS22三三n 階線性時不變系統(tǒng)的描述階線性時不變系統(tǒng)的描述 一個線性系統(tǒng)，其激勵信號一個線性系統(tǒng)，其激勵信號 與響應(yīng)信號與響應(yīng)信號 之間的關(guān)系，之間的關(guān)系，可以用下列形式的高階微分方程式來描述可以用下列形式的高階微分方程式來描述)(te)(tr)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn若系統(tǒng)為時不變的，則若系統(tǒng)為時不變的，則C，E均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。階線性常

8、微分方程。四求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法四求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法分析系統(tǒng)的方法：分析系統(tǒng)的方法：建立方程，求解方程建立方程，求解方程。 變變換換域域法法利利用用卷卷積積積積分分法法求求解解零零狀狀態(tài)態(tài)可可利利用用經(jīng)經(jīng)典典法法求求解解零零輸輸入入應(yīng)應(yīng)零零輸輸入入響響應(yīng)應(yīng)和和零零狀狀態(tài)態(tài)響響經(jīng)經(jīng)典典法法解解方方程程網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò)拓拓撲撲約約束束根根據(jù)據(jù)元元件件約約束束建建立立方方程程: ,:求解方程時域經(jīng)典法就是：求解方程時域經(jīng)典法就是：齊次解齊次解+特解特解。 解系統(tǒng)微分方程，也就是在已知輸入激勵的條件下求系統(tǒng)的響解系統(tǒng)微分方程，也就是在已知輸入激勵的條件下求系統(tǒng)的響應(yīng)應(yīng)r(t)。齊次解：齊次解：由特征

9、方程由特征方程求出特征根求出特征根寫出齊次解形式寫出齊次解形式nktkkA1e注意重根情況處理方法注意重根情況處理方法。（例。（例2-2-3）特特 解：解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解 函數(shù)式函數(shù)式代入原方程，比較系數(shù)定出特解。代入原方程，比較系數(shù)定出特解。 （例（例2-2-4）經(jīng)典法經(jīng)典法全全 解：齊次解解：齊次解+特解，特解，由初始條件定出齊次解由初始條件定出齊次解 。 kA例例2-2-3 的的齊齊次次解解。求求微微分分方方程程tetrtrttrttrt12dd16dd7dd2233系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為012167

10、23 03223 , 221二二重重根根 tthAAtAtr33221ee特征根特征根因而對應(yīng)的齊次解為因而對應(yīng)的齊次解為解：解：例例2-2-4 如果已知：如果已知： 分別求兩種情況下此方程的特分別求兩種情況下此方程的特解。解。 tettetrttrttrdd3dd2dd22 ,e 2 ; 12ttette給定微分方程式給定微分方程式 3221pBtBtBtr為使等式兩端為使等式兩端 ,2 , 122tttte得得到到代代入入方方程程右右端端將將平衡，試選特解函數(shù)式平衡，試選特解函數(shù)式 將此式代入方程得到將此式代入方程得到 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。這里這里321, , BBBttBBBtBBt

11、B2322 34323212121解：解：等式兩端各對應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有等式兩端各對應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有032223413321211BBBBBB聯(lián)解得到聯(lián)解得到2710 ,92 ,31321BBB所以，特解為所以，特解為 271092312ptttr 這里，這里，B是待定系數(shù)。是待定系數(shù)。 代入方程后有：代入方程后有： ?？煽蛇x選很很明明顯顯時時當(dāng)當(dāng)ttBtrtee , ,etttttBBBeee3e2e31B。于于是是，特特解解為為te31 相相加加即即得得方方程程的的完完全全解解和和特特解解將將求求出出的的齊齊次次解解trtrph 由由初初始始條條件件確確定定ip1ieAt

12、rAtrniti(2)幾種典型激勵函數(shù)相應(yīng)的特解幾種典型激勵函數(shù)相應(yīng)的特解激勵函數(shù)激勵函數(shù)e(t)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)函數(shù)r(t)的特解的特解)(常常數(shù)數(shù)K)(常常數(shù)數(shù)Apt1121ppppBtBtBtBtBetcostsintBtBsincos21tttpsinetttpcosetDtDtDtDtBtBtBtBtpppptppppsinecose11211121KtBtAte(特征根特征根s )tBte(特征根特征根s=)te 我們一般將我們一般將激勵信號加入的時刻激勵信號加入的時刻定義為定義為t=0 ，將，將響應(yīng)響應(yīng)定義為定義為 時對應(yīng)微分方程的解，時對應(yīng)微分方程的解，初始條件初始條件定義為定義為

13、 0t1122d)0(d,d)0(d,d)0(d,)0(nntrtrtrr 初始條件的確定初始條件的確定是重點要解決的問題。是重點要解決的問題。下一節(jié)將給出解微分方程的例題下一節(jié)將給出解微分方程的例題2.3 起始點的跳變起始點的跳變從從0- 到到0+ 狀態(tài)的轉(zhuǎn)換狀態(tài)的轉(zhuǎn)換起始狀態(tài)起始狀態(tài)初始狀態(tài)初始狀態(tài)起始點的跳變起始點的跳變響應(yīng)區(qū)間：激勵信號加入之后系統(tǒng)狀態(tài)變化區(qū)間響應(yīng)區(qū)間：激勵信號加入之后系統(tǒng)狀態(tài)變化區(qū)間 一般在一般在t=0時刻加入，響應(yīng)區(qū)間為時刻加入，響應(yīng)區(qū)間為t0狀狀態(tài)態(tài)起起始始狀狀態(tài)態(tài)0O 0 0t 0t 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr導(dǎo)出的起始狀態(tài)導(dǎo)出的

14、起始狀態(tài)狀態(tài)、狀態(tài)、初始條件初始條件 0 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時，系統(tǒng)從當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時，系統(tǒng)從 到到 狀態(tài)有沒有跳變狀態(tài)有沒有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項是否包含取決于微分方程右端自由項是否包含 及其各階導(dǎo)數(shù)項。及其各階導(dǎo)數(shù)項。 00 t說明說明一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會發(fā)生突變。這就是在電路分析中的發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則換路定則：.00 ,00LLCCiivv對于一個具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的對于一個具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的 狀態(tài)就是系統(tǒng)中

15、儲能元件狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲能元件的的儲能情況儲能情況; ;0但是當(dāng)有但是當(dāng)有沖激電流沖激電流強迫作用于電容或有強迫作用于電容或有沖激電壓沖激電壓強迫作用于強迫作用于電感，電感， 狀態(tài)就會發(fā)生跳變。狀態(tài)就會發(fā)生跳變。 00 到到例例2-3-1 時的變化。時的變化。在在方程并求解方程并求解的微分的微分。建立電流。建立電流轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向由由時時達到穩(wěn)態(tài)。當(dāng)達到穩(wěn)態(tài)。當(dāng)?shù)奈恢枚乙呀?jīng)的位置而且已經(jīng)處于處于開關(guān)開關(guān)給定如圖所示電路，給定如圖所示電路，0)()(21S01S0 ttititt21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232R根據(jù)電路形式，列回路方程根據(jù)電路形式

16、，列回路方程 tetvtiRC1 2ddRtititLtvLLC列結(jié)點電流方程列結(jié)點電流方程 titvtCtiLCdd , tvC先消去變量先消去變量 , 把把電電路路參參數(shù)數(shù)代代入入整整理理得得再再消消去去變變量量tiL tetettettitittit4dd6dd10dd7dd2222(1)（1）建立電路的微分方程）建立電路的微分方程21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232R解：解：(2)求系統(tǒng)的完全響應(yīng)求系統(tǒng)的完全響應(yīng)系統(tǒng)的特征方程系統(tǒng)的特征方程01072052 即即特征根特征根5 , 221齊次解齊次解 0 ee5221tAAtitth V

17、4 0 tet時時由由于于代入式代入式(1) , , 44pBti因因此此令令特特解解4410B581016B方程右端自由項為方程右端自由項為要求系統(tǒng)的完全響應(yīng)為要求系統(tǒng)的完全響應(yīng)為 2512128ee 05tti tAAtA A下求特解特解 tetettettitittit4dd6dd10dd7dd2222(3)00itidd和和確確定定換換路路后后的的A5420021RRiiL00dditV56V23540Cv換路前換路前21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232R1116000411455CievRAA11100111 144 01002 0

18、0A/5s115CLietRvtitetiCRdddddddd因而有因而有:00 itidd和和換換路路后后的的由于電容兩端電壓和電感中的電流不會發(fā)生突變由于電容兩端電壓和電感中的電流不會發(fā)生突變,21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232R( )( ( )( )( )11)(CCLttCCdvtitCditi ttdti tdvCttC(4) 時時的的完完全全響響應(yīng)應(yīng)在在求求 0tti 的表示式的表示式由由 ti2520dd5145802121AAitAAi求得求得要求的完全響應(yīng)為要求的完全響應(yīng)為1523421AA 0 581523452tAeet

19、itt 0 58ee5221tAAtitt 當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時，系統(tǒng)的當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時，系統(tǒng)的0-狀態(tài)到狀態(tài)到0+狀態(tài)狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端自由項是否包含有沒有跳變決定于微分方程右端自由項是否包含(t)及其各及其各階導(dǎo)數(shù)。如果包含有階導(dǎo)數(shù)。如果包含有(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，說明相應(yīng)的及其各階導(dǎo)數(shù)，說明相應(yīng)的0-到到0+狀態(tài)發(fā)生了跳變，即狀態(tài)發(fā)生了跳變，即r(0+) r(0-)或或r(0+) r(0-)等等。這時等等。這時為確定為確定r(0+) 、r(0+) 等等0+狀態(tài)值，可以用狀態(tài)值，可以用沖激函數(shù)匹配法沖激函數(shù)匹配法。 沖激函數(shù)匹配法的原理是沖激函數(shù)匹配法的原理是根

20、據(jù)根據(jù)t=0時刻微分方程左右兩時刻微分方程左右兩端的端的(t)及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等。例例2-3-2如果描述系統(tǒng)的微分方程為如果描述系統(tǒng)的微分方程為給定給定0-狀態(tài)起始值為狀態(tài)起始值為r(0-) ，確定它的，確定它的0+狀態(tài)狀態(tài)r(0+)。)(3)(3)(ttrtrdtd解：解：方程右端存在方程右端存在 ，因而有，因而有 必定含有必定含有由此推出由此推出而方程右端不含而方程右端不含因此因此 除含有除含有 以外，還必須包含以外，還必須包含以平衡以平衡由于由于 t)(trdtd t3）（含有含有t3)(tr t)(trdtd t3 t9）項項（產(chǎn)產(chǎn)生生的的t9)(3tr）

21、存存在在（時時刻刻有有在在），得得出出（含含有有tu90t)(t9)(trtrdtd)0(9)0(9)0()0(00)(rrrrtu即即因因而而有有：相相對對單單位位跳跳變變函函數(shù)數(shù)到到表表示示解題思路解題思路數(shù)學(xué)方法描述數(shù)學(xué)方法描述)0(9)0( 9)0()0( 00)()(9)(3)(2793 03033)(3)()(3)()()()()()( )()()()()()()(3)(3)(rrbrrtututtrcbabcabattubtatuctbtatubtatrtuctbtatrdtdtrdtdtttrtrdtd或或因因此此相相對對單單位位跳跳變變函函數(shù)數(shù)到到表表示示解解得得得得出出有有

22、將將上上面面兩兩式式代代入入方方程程式式積積分分得得，因因而而可可以以設(shè)設(shè)，其其一一定定屬屬于于，方方程程右右端端含含由由的積分為零的積分為零)()()()(tutuKttudtd例例2-3-3 （即例（即例 2-3-1）（1）將）將e(t)代入，得代入，得時的微分方程為時的微分方程為 trtrttrt10dd7dd22 tutt8122解：解： te24Ot（一般式）（一般式）2)(2)(1 2)(4)(2)(4)(tututututute)(2)(02)0()0(2420)(tutetrrtte時時，有有故故即即相相對對跳跳變變?yōu)闉樘幪幱杏刑冏冊谠?。和和用沖激函數(shù)匹配法求用沖激函數(shù)匹配

23、法求和和如圖，已知如圖，已知輸入輸入的微分方程為的微分方程為描述描述0dd0, 00dd540 )(LTIrtrrtrte tetettettrtrttrt4dd6dd10dd7dd2222(2)方程右端的沖激函數(shù)項最高階次是方程右端的沖激函數(shù)項最高階次是 ，因而有，因而有 t tuatrtubtatrttuctbtatrtdddd22)00( t trtrttrt10dd7dd22 tutt8122代入微分方程代入微分方程 tuatubtatuctbta107 tutt8122的積分為零的積分為零)()()()(tutuKttudtd81071272abcaba求得求得20dd0dd20dd

24、0dd2002222crtrtbrtrtarr狀狀態(tài)態(tài)為為要要求求的的0因而有因而有20dd20dd514542020rtrtrr經(jīng)典法不足之處經(jīng)典法不足之處 若微分方程右邊激勵項較復(fù)雜，則難以處理。若微分方程右邊激勵項較復(fù)雜，則難以處理。 若激勵信號發(fā)生變化，則須全部重新求解。若激勵信號發(fā)生變化，則須全部重新求解。 若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。 這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。 *另一種方法是卷積法（將在另一種方法是卷積法（將在2.6節(jié)討論）節(jié)討論）系統(tǒng)完全響應(yīng)系統(tǒng)完全

25、響應(yīng)=零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)卷積法卷積法2.4 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)先看一個實例先看一個實例例例2-4-1 已知電容兩端起已知電容兩端起始電壓始電壓vc(0-)，激勵源為，激勵源為e(t),求求t0時的系統(tǒng)響應(yīng)時的系統(tǒng)響應(yīng)vc(t)。微分方程為微分方程為vc(0-)-R+-+-vc(t)e(t)( )i t解：解：KVLteRCtvRCtvdtdcc11 cRdCdtvt vtc e t( )i t teRCtvRCtvdtdcc11RCte將將上上列列方方程程兩兩端端乘乘以以 teeRCtveRCtvdtdeRCtRCtRCtcc11 teeRCt

26、vedtdRCtRCtc1或或?qū)憣懽髯?deeRCdveddtctRCRC001兩邊求積分：兩邊求積分： dteeRCvtvetccRCRCt010 deeRCvetvtcctRCRCt0110系統(tǒng)的完全響應(yīng)可以看作由系統(tǒng)的完全響應(yīng)可以看作由外加激勵源外加激勵源和和起始狀態(tài)起始狀態(tài)共同作用共同作用的結(jié)果。的結(jié)果。系統(tǒng)的完全響應(yīng)系統(tǒng)的完全響應(yīng) = 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) + 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 一般情況，設(shè)系統(tǒng)是一般情況，設(shè)系統(tǒng)是線性時不變線性時不變的，含起始狀態(tài)系統(tǒng)方框圖為：的，含起始狀態(tài)系統(tǒng)方框圖為：He(t)x(0-)r(t)= He(t)+ Hx(0-)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)rzi(t)：

27、Hx(0-)沒有外加激勵信號的作用，只有起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)電容、沒有外加激勵信號的作用，只有起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)電容、電感儲能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。電感儲能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)rzs(t)：He(t) 不考慮起始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于零不考慮起始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于零 ），），由系統(tǒng)的外加激勵信號產(chǎn)生的響應(yīng)。由系統(tǒng)的外加激勵信號產(chǎn)生的響應(yīng)。 （H 表示系統(tǒng)作用的結(jié)果）表示系統(tǒng)作用的結(jié)果）零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)滿足方程滿足方程 確定。確定?？梢杂煽梢杂芍械某?shù)中的常數(shù)，所以，所以即即發(fā)生變化，發(fā)生變化，因而系統(tǒng)的狀態(tài)不會，因而系統(tǒng)的狀態(tài)不會由于沒有外界激勵作

28、用由于沒有外界激勵作用零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)部分自由響應(yīng)）部分自由響應(yīng)）次解中的一部分次解中的一部分可見，零輸入響應(yīng)是齊可見，零輸入響應(yīng)是齊及起始狀態(tài)及起始狀態(tài)0 0 0 (1, 2 , 1 , 0 0 0111110kzikzikktnkzikzikzinzinzinnzinnrAtrrreAtrnkrtrCtrdtdCtrdtdCtrdtdCk滿足方程滿足方程 1, 2 , 1 , 0 00 1111011110nkrteEtedtdEtedtdEtedtdEtrCtrdtdCtrdtdCtrdtdCkmmmmmmzsnzsnzsnnzsnn及及起起始始狀狀態(tài)態(tài) tBeAtrnktzskzs

29、k1 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 構(gòu)構(gòu)成成。強強迫迫響響應(yīng)應(yīng)自自由由響響應(yīng)應(yīng)的的一一部部分分和和信信號號作作用用下下，其其響響應(yīng)應(yīng)由由可可見見零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)在在激激勵勵確確定定由由是是特特解解其其中中：tBrAtBkzsk0 , 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) tBeAeAtBeAtrnktzsktnkziknktkkkk111自由響應(yīng)自由響應(yīng)齊次解齊次解強迫響應(yīng)強迫響應(yīng) 特解特解零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)完全響應(yīng)完全響應(yīng)例例2-4-2)()2sin(e2)()()(3zszi1tuttrtrtrt)()2sin(2e )(2)()(3zszi2tuttrtrtrt解：解：)()()(0z

30、szi3ttrtrtr)()22sin(e)(e300)(330ttutttuttt)(5 . 0)(2)(zszi4trtrtr tuttutt2sine5 . 0e3233解得解得)(e3)(3zitutrt)()2sin(e)(3zstuttrt tutt2sin5 .0e5 .53例例2-4-3時的變化。時的變化。在在方程并求解方程并求解的微分的微分。建立電流。建立電流轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向由由時時達到穩(wěn)態(tài)。當(dāng)達到穩(wěn)態(tài)。當(dāng)?shù)奈恢枚乙呀?jīng)的位置而且已經(jīng)處于處于開關(guān)開關(guān)給定如圖所示電路，給定如圖所示電路，0)()(21S01S0ttititt21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC

31、tiLH41 L 232R把把t0時的零輸入響應(yīng)和零時的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。狀態(tài)響應(yīng)。Avc540i , v560L起始儲能：起始儲能：1、零輸入響應(yīng)、零輸入響應(yīng)t 0電路：電路：+-e(t)R1CL+-vc(0- )iL(0- )R2i(t)解：解：R1=1C=1FL=1/4H+-vc(0- )=6/5ViL(0- )=4/5AR2=3/2 i(t)滿足微分方程：滿足微分方程： 010722titidtdtidtdzizizit 0零輸入等效電路：零輸入等效電路：R1=1+-vc(0- )=6/5ViL(0- )=4/5AR2=3/2 izi(0+)iL(0+)作出作出t = 0+時刻的

32、等效電路時刻的等效電路求得：求得：AvRiczi560101000001LzizicciiiRdtdCvdtdCisAiiCRidtdLzizi/20010 1所以所以 0t 5221tzitzizieAeAtiAizi560零輸入響應(yīng)的形式：零輸入響應(yīng)的形式：sAidtdzi/20 和和將將代入求出常數(shù)代入求出常數(shù) 152 3421ziziAA 0t)A 15234(52ttzieeti要求的零輸入響應(yīng)：要求的零輸入響應(yīng)：2. 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)+-e(t)=4u(t)C=1FL=1/4HR2=3/2izs(t)R1=1等效電路：等效電路： tuteidtditetedtdtedtdtit

33、idtdtidtdzszszszszs4 000461072222和和及起始狀態(tài)及起始狀態(tài)微分方程：微分方程：由例由例2-3-1 可求得可求得 0t 58 5221tzstzszseAeAti零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)00 zszsidtdi和和確定確定 162444622tttetedtdtedtd把把e ( t )=4 u( t )代入方程右端得自由項代入方程右端得自由項利用沖激函數(shù)匹配法：利用沖激函數(shù)匹配法： 0t0 -22tuatitubtatidtdtuctbtatidtdzszszs代入原方程：代入原方程： tutttuatubtatuctbta16244107444 161072474

34、cbaabcaba解解得得得得4040 400400zszszszszszsidtdibidtdidtdaii 58 5221tzstzszseAeAti代代入入求得求得1543821zszsAA 0 5815438 52tAeetittzs系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)3. 完全響應(yīng)完全響應(yīng) 5815234 52tteeti 581543815234 5252tttteeee零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 5815234 52ttee瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)t時保留下來的時保留下來的那部分分量那部分分量 自由響應(yīng)自由響應(yīng) 齊次解齊次解強迫響應(yīng)強迫響應(yīng) 特解特解He(t)x

35、(0-)r(t)= He(t)+ Hx(0-) 對外加激勵信號對外加激勵信號e(t)和它對應(yīng)的響應(yīng)和它對應(yīng)的響應(yīng)rzs(t)=He(t)的關(guān)系而言，的關(guān)系而言，若系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零，若系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零，xi(0-) =0，則零輸入響應(yīng)為零，那么，則零輸入響應(yīng)為零，那么用常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)是線性的和時不變的用常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)是線性的和時不變的。如果起始如果起始狀態(tài)狀態(tài)xi(0-) 0，由于響應(yīng)中零輸入分量的存在，導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)由于響應(yīng)中零輸入分量的存在，導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)對外加激勵對外加激勵e(t)不滿足疊加性和均勻性，也不滿足時不變性，因不滿足疊加性和均勻性，也不滿足時不變性，因而而是

36、非線性時變系統(tǒng)是非線性時變系統(tǒng)。同時由于零輸入分量存在，使響應(yīng)的變。同時由于零輸入分量存在，使響應(yīng)的變化不可能只發(fā)生在激勵變化之后，因而系統(tǒng)化不可能只發(fā)生在激勵變化之后，因而系統(tǒng)也是非因果的也是非因果的。這。這樣可以說樣可以說用常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)只有在起始狀態(tài)為零的用常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)只有在起始狀態(tài)為零的條件下，系統(tǒng)才是線性時不變的，而且是因果的條件下，系統(tǒng)才是線性時不變的，而且是因果的。 如果如果將起始狀態(tài)也看成是一種激勵將起始狀態(tài)也看成是一種激勵，如電壓源，如電壓源vC(0-)和電流和電流源源iL (0-)，則對零輸入響應(yīng)，則對零輸入響應(yīng)rzi(t)而言也而言也滿足疊加性和均勻

37、性滿足疊加性和均勻性，因，因而可以而可以把常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)的線性加以擴展把常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)的線性加以擴展：（1）響應(yīng)的可分解性：）響應(yīng)的可分解性：系統(tǒng)響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)和零系統(tǒng)響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。狀態(tài)響應(yīng)。（2）零狀態(tài)線性：）零狀態(tài)線性：當(dāng)起始狀態(tài)為零時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)當(dāng)起始狀態(tài)為零時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)rzs(t)對于外加激勵信號對于外加激勵信號e(t)呈現(xiàn)線性，稱為零狀態(tài)線性。呈現(xiàn)線性，稱為零狀態(tài)線性。（3）零輸入線性：）零輸入線性：當(dāng)外加激勵為零時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)當(dāng)外加激勵為零時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)rzi(t)對于各起始狀態(tài)呈線性關(guān)系，稱為零輸入線

38、性。對于各起始狀態(tài)呈線性關(guān)系，稱為零輸入線性。始始狀狀態(tài)態(tài)和和激激勵勵信信號號決決定定要要同同時時由由起起，而而自自由由響響應(yīng)應(yīng)的的僅僅由由起起始始儲儲能能情情況況決決定定零零輸輸入入響響應(yīng)應(yīng)的的然然而而它它們們的的系系數(shù)數(shù)不不同同。都都滿滿足足齊齊次次方方程程之之解解，自自由由響響應(yīng)應(yīng)和和零零輸輸入入響響應(yīng)應(yīng)kzikAA) 1 (系系統(tǒng)統(tǒng)自自身身參參數(shù)數(shù)有有關(guān)關(guān)。勵勵信信號號決決定定，二二者者都都與與定定，另另一一部部分分由由激激，一一部部分分由由起起始始狀狀態(tài)態(tài)決決自自由由響響應(yīng)應(yīng)由由兩兩部部分分組組成成)2(決決定定。勵勵信信號號和和系系統(tǒng)統(tǒng)參參數(shù)數(shù)共共同同響響應(yīng)應(yīng)可可以以不不為為零零，

39、由由激激應(yīng)應(yīng)為為零零，但但自自由由條條件件為為零零，則則零零輸輸入入響響若若系系統(tǒng)統(tǒng)起起始始無無儲儲能能，即即0)3(。出出現(xiàn)現(xiàn)在在零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)之之中中發(fā)發(fā)生生跳跳變變只只可可能能時時刻刻不不跳跳變變。此此時時刻刻若若時時刻刻到到零零輸輸入入響響應(yīng)應(yīng)由由00)4(之之關(guān)關(guān)系系仍仍為為線線性性。與與，但但是是增增量量不不滿滿足足疊疊加加性性和和齊齊次次性性而而對對于于滿滿足足線線性性關(guān)關(guān)系系；如如合合疊疊加加性性和和齊齊次次性性。，輸輸入入輸輸出出之之增增量量符符之之差差的的線線性性函函數(shù)數(shù)。也也即即響響應(yīng)應(yīng)之之差差是是兩兩激激勵勵任任意意兩兩個個激激勵勵信信號號產(chǎn)產(chǎn)生生增增量量線線性性

40、系系統(tǒng)統(tǒng)的的概概念念)()()()()()(:)5(tetrbtaetrtaetr注意注意2.5 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一定義一定義1沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t) 系統(tǒng)在單位沖激信號系統(tǒng)在單位沖激信號 作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，一般用沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，一般用h(t)表示。表示。 )(t2階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)g(t)系統(tǒng)在單位階躍信號系統(tǒng)在單位階躍信號 激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，一般用階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，一般用g(t)表示。表示。 )(tu3h(t)與與g(

41、t)的關(guān)系的關(guān)系沖激信號沖激信號 與單位階躍信號與單位階躍信號 之間存在微分與積分關(guān)系，因之間存在微分與積分關(guān)系，因而對于而對于LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)，h(t)與與g(t) 間也同樣存在微分積分關(guān)系，即間也同樣存在微分積分關(guān)系，即)(tu)(ttdhtgtgdtdth)()()()( 由于系統(tǒng)沖激響應(yīng)由于系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)要求系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，且輸入要求系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，且輸入激勵為單位沖激信號激勵為單位沖激信號(t)，因而沖激響應(yīng)，因而沖激響應(yīng)h(t)僅取決于系統(tǒng)的僅取決于系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其元件參數(shù)。也就是說，不同結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其元件參數(shù)。也就是說，不同結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)的系統(tǒng)，將具

42、有不同的沖激響應(yīng)。因此，系統(tǒng)，將具有不同的沖激響應(yīng)。因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)可可以表征系統(tǒng)本身的特性以表征系統(tǒng)本身的特性。換句話說，。換句話說，不同的系統(tǒng)就會有不同不同的系統(tǒng)就會有不同的沖激響應(yīng)的沖激響應(yīng)h(t)。二二h(t)表示系統(tǒng)特性表示系統(tǒng)特性任意信號都可以用沖激信號的組合來表示：任意信號都可以用沖激信號的組合來表示：dtete)()()(若將若將e(t)作用到作用到?jīng)_激響應(yīng)為沖激響應(yīng)為h(t)的的線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)，則系統(tǒng)的響，則系統(tǒng)的響應(yīng)為：應(yīng)為： )(*)()()()()()()()()(thtedthedtHedteHteHtr 由于由于h(t)是在零

43、狀態(tài)下定義的，因而上式表示的響應(yīng)是系統(tǒng)的零是在零狀態(tài)下定義的，因而上式表示的響應(yīng)是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)狀態(tài)響應(yīng)rzs(t)。（卷積積分的計算及性質(zhì)將在。（卷積積分的計算及性質(zhì)將在2.6、2.7節(jié)介紹）節(jié)介紹）卷積卷積（H 表示系統(tǒng)作用的結(jié)果）表示系統(tǒng)作用的結(jié)果）系統(tǒng)的時域、頻域系統(tǒng)的時域、頻域 、 S域模型域模型( )( )( )r th te t( )( ) ( )RHE( )( ) ( )R sH s E s沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)H() 、H(s) 從時域和變換域兩方從時域和變換域兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性。面表征了同一系統(tǒng)的本性。( )( )( )( )( ) ( )r

44、 te th tRHE( )( )( )( )( ) ( )r te th tR sH s E s響應(yīng)及其響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)各階導(dǎo)數(shù)(最高階最高階為為n次次)三三. 沖激響應(yīng)求解沖激響應(yīng)求解(1)沖激響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型沖激響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn對于線性時不變系統(tǒng)對于線性時不變系統(tǒng), ,可以用一高階常系數(shù)微分方程表示可以用一高階常系數(shù)微分方程表示 )()()()()()()()(1111011110tEtEtEtEthCthCthCthCmmmmnnn

45、n激勵及其各階導(dǎo)數(shù)激勵及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為最高階為m次次)令令 e(t)= (t) 則則 r(t)=h(t)（式一）（式一）起始狀態(tài)起始狀態(tài)) 1,.,2 , 1 , 0(0)()0()(nkthdtdhkkk(2) h(t) 解的形式解的形式)(e)(1tuAthnktkk 由于由于（t）及其各階導(dǎo)數(shù)在）及其各階導(dǎo)數(shù)在t0+時都為零，因而方程式右端時都為零，因而方程式右端的自由項恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次解的形的自由項恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次解的形式相同。在式相同。在nm時，時， h(t)可以表示為可以表示為（式二）（式二）式中待定系數(shù)式中待定系數(shù)Ak (k=

46、1,2,n)可以采用可以采用沖激函數(shù)匹配法沖激函數(shù)匹配法確定，確定，即將即將式二式二代入代入式一式一中，為保持系統(tǒng)對應(yīng)的動態(tài)方程式恒等，方中，為保持系統(tǒng)對應(yīng)的動態(tài)方程式恒等，方程式兩邊所具有的沖激信號及其高階導(dǎo)數(shù)必須相等，根據(jù)此規(guī)程式兩邊所具有的沖激信號及其高階導(dǎo)數(shù)必須相等，根據(jù)此規(guī)則即可求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)則即可求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)中的待定系數(shù)。當(dāng)中的待定系數(shù)。當(dāng)nm時時, 要使要使方程式兩邊所具有的沖激信號及其高階導(dǎo)數(shù)相等，則方程式兩邊所具有的沖激信號及其高階導(dǎo)數(shù)相等，則h(t) 表示表示式中還應(yīng)含有式中還應(yīng)含有(t)及其相應(yīng)階的導(dǎo)數(shù)及其相應(yīng)階的導(dǎo)數(shù)(m-n)(t), (m-n-1)(

47、t), (t)等等項。此時可設(shè)項。此時可設(shè) nmdttdBtueAthkknmkktankkk01 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)中是否含有沖激信號中是否含有沖激信號(t)及其高階導(dǎo)數(shù)，及其高階導(dǎo)數(shù)，是通過觀察動態(tài)方程右邊的是通過觀察動態(tài)方程右邊的(t)的最高次與左邊的最高次與左邊h(t)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)最高次來決定。對于最高次來決定。對于h(t)中的含中的含u(t)項，其形式由特征方程項，其形式由特征方程的特征根來決定，其設(shè)定形式與零輸入響應(yīng)的設(shè)定方式相的特征根來決定，其設(shè)定形式與零輸入響應(yīng)的設(shè)定方式相同，即將特征根分為不等根、重根、共軛根等幾種情況分同，即將特征根分為不等根、重根、共軛根等幾種情況分

48、別設(shè)定。別設(shè)定。例例2-5-1 設(shè)系統(tǒng)微分方程為設(shè)系統(tǒng)微分方程為求其求其沖激響應(yīng)。沖激響應(yīng)。（方法一）（方法一） tedttdetrdttdrdttrd56522解解:n=2m=1方程的特征根為方程的特征根為a1=-2,a2=-3,可以設(shè)可以設(shè)tueAeAthtt3221而而 tAAtueAeAdttdhtt21322132 tAAtAAtueAeAdtthdtt21213221223294方程右端為方程右端為 tt5將上述結(jié)果代入后對比可得將上述結(jié)果代入后對比可得52321AA121 AA最后解出最后解出A1=3，A2=-2沖激響應(yīng)為沖激響應(yīng)為 tueethtt3223 為了保證等式兩邊系數(shù)

49、相平衡，顯然當(dāng)為了保證等式兩邊系數(shù)相平衡，顯然當(dāng)m=n時，時，h(t)的表達式中應(yīng)包含的表達式中應(yīng)包含(t) 項；當(dāng)項；當(dāng)mn時時, h(t) 中還應(yīng)包含中還應(yīng)包含(t)的相應(yīng)階導(dǎo)數(shù)項。此時可設(shè)的相應(yīng)階導(dǎo)數(shù)項。此時可設(shè) nmdttdBtueAthkknmkktankkk01(t)的篩選特性：的篩選特性：(t)f(t)=f(0) (t)無須求無須求h(0+)0hdtd和和例例2-5-2 對例對例2-3-1所示電路，求電流所示電路，求電流i(t)對激勵對激勵e(t)=(t)的沖激響的沖激響應(yīng)。應(yīng)。 （方法二）（方法二）解：解：)(4)(6)()(10d)(d7d)(d22tttthtthtth 沖

50、激響應(yīng)沖激響應(yīng)系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程 )(4d)(d6)(dd)(10)(dd7)(dd2222tettetettitittit將將e(t) (t)，i(t)h(t) 0t 5221tteAeAth下面利用沖激函數(shù)匹配法求下面利用沖激函數(shù)匹配法求h(0+)0hdtd和和由于方程右端自由項由于方程右端自由項 (t)的最高階導(dǎo)數(shù)為的最高階導(dǎo)數(shù)為 (t)，所以，所以須求須求h(0+)0hdtd和和代入方程代入方程 )(4)(6)()(10)(7)(ttttubtatuctbtatudtctbta 111 4107671cbaabcaba解解得得得得1)0()0(1)0()0()(chdtdch

51、dtdbhbhtu的的含含義義，故故由由 0t0 )( )()( -22tubtathtuctbtathdtdtudtctbtathdtd設(shè)設(shè)的的相相對對單單位位跳跳變變到到表表示示對對應(yīng)應(yīng)項項00)(tu 0t 5221tteAeAth代代入入進一步求參數(shù)進一步求參數(shù)A1、A2)(3134)()()()(1 3134 152152212121tueetthtthaAAAAAAtt響響應(yīng)應(yīng)為為，因因而而得得出出要要求求的的沖沖激激中中有有一一項項，即即考考慮慮到到得得響應(yīng)及其響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)各階導(dǎo)數(shù)(最高階最高階為為n次次)四四. 階躍響應(yīng)求解階躍響應(yīng)求解(1)階躍響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型階躍響應(yīng)的數(shù)學(xué)

52、模型)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn對于線性時不變系統(tǒng)對于線性時不變系統(tǒng), ,可以用一高階常系數(shù)微分方程表示可以用一高階常系數(shù)微分方程表示 )()()()()()()()(1111011110tuEtuEtuEtuEtgCtgCtgCtgCmmmmnnnn激勵及其各階導(dǎo)數(shù)激勵及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為最高階為m次次)令令 e(t)=u(t) 則則 r(t)=g(t)（式一）（式一）起始狀態(tài)起始狀態(tài)) 1,.,2 , 1 , 0(0)()0()(nktgdtdgkkk(2)

53、 g(t) 解的形式解的形式)()e()(1tuBAtgnktkk 與沖激響應(yīng)方程右端恒為零不同，階躍響應(yīng)方程右端的自與沖激響應(yīng)方程右端恒為零不同，階躍響應(yīng)方程右端的自由項含有由項含有(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，同時還包含階躍函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)，同時還包含階躍函數(shù)u(t)，因而階，因而階躍響應(yīng)表示式中，除去含齊次解形式之外，還應(yīng)含有特解項。躍響應(yīng)表示式中，除去含齊次解形式之外，還應(yīng)含有特解項。（式二）（式二）例例2-5-3 求電流求電流i(t)對激勵對激勵e(t)=u(t)的階躍響應(yīng)的階躍響應(yīng)g(t)(4d)(d6)(dd)(10)(dd7)(dd2222tettetettitittit階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)

54、g(t)滿足方程滿足方程 000)(46)()(10)(dd7)(dd22ggtutttgtgttgt及及起起始始狀狀態(tài)態(tài) 0t B 525221tteAeAtg，故故可可設(shè)設(shè)階階躍躍響響應(yīng)應(yīng)和和特特征征根根為為求特解求特解B，對，對t0+代入方程代入方程10 B = 4 故故 B = 2/5解：解：B為常數(shù)，因為激勵為階躍信號，即為常數(shù)，因為激勵為階躍信號，即時，其為常數(shù)時，其為常數(shù)1，由，由P46表表2-2有，激勵函有，激勵函數(shù)為常數(shù)時，響應(yīng)函數(shù)的特解也為常數(shù)。數(shù)為常數(shù)時，響應(yīng)函數(shù)的特解也為常數(shù)。 0t利用沖激函數(shù)匹配法求常數(shù)利用沖激函數(shù)匹配法求常數(shù)A1、A2，由于方程右端自由項由于方程右

55、端自由項 (t)的最高的最高階導(dǎo)數(shù)為階導(dǎo)數(shù)為 (t)，所以，所以111 4107671cbaabcaba解解得得得得 100100 gdtdbgdtdgag因因而而有有15132 152152212121AAAAAA得得 tueetgtt5215132 52因因而而階階躍躍響響應(yīng)應(yīng)注意：該題也可以直接利用例注意：該題也可以直接利用例2-5-2的結(jié)果以及的結(jié)果以及h(t)與與g(t)的微、的微、積分的關(guān)系求得。積分的關(guān)系求得。 0t0 )()( -22tuatgtubtatgdtdtuctbtatgdtd設(shè)設(shè)的的相相對對單單位位跳跳變變到到表表示示對對應(yīng)應(yīng)項項00)(tu代入方程代入方程 )(4

56、)(6)(10)(7)(tutttuatubtatuctbta 0t 525221tteAeAtg代入代入一卷積（一卷積（Convolution）積積分分和和設(shè)設(shè)有有兩兩個個函函數(shù)數(shù)),()(21tftf d21 tfftftftftftftftf2121)(或或記記為為簡簡稱稱卷卷積積的的卷卷積積積積分分和和稱稱為為,)()(21tftf卷積積分的結(jié)果為另一個新的時間信號。卷積積分的結(jié)果為另一個新的時間信號。 信號的脈沖分量分解之實質(zhì)是將信號表示為其本身與單位脈沖函數(shù)的信號的脈沖分量分解之實質(zhì)是將信號表示為其本身與單位脈沖函數(shù)的卷積，換句話說，即任意信號可以用沖激信號的組合表示。線性時不卷積

57、，換句話說，即任意信號可以用沖激信號的組合表示。線性時不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為： d( )( )f tftf tt 2.卷積卷積)(*)()()()()()()()()(thtedthedtHedteHteHtrzs由上式知由上式知卷積的物理意義卷積的物理意義：卷積的原理就是將信號分解為沖激信號之：卷積的原理就是將信號分解為沖激信號之和，借助系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，求解系統(tǒng)對任意激勵信號的零狀態(tài)響應(yīng)。和，借助系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，求解系統(tǒng)對任意激勵信號的零狀態(tài)響應(yīng)。二卷積的計算二卷積的計算信號存在時間的局限性（如分段信號），卷積的積分限會有信號存在時間的局限性（如分段信號），卷積的積分限

58、會有所變化。卷積積分中所變化。卷積積分中積分限的確定積分限的確定是非常關(guān)鍵的。是非常關(guān)鍵的。(1)利用圖解說明確定積分限利用圖解說明確定積分限(2) 借助于階躍函數(shù)借助于階躍函數(shù)u(t)確定積分限確定積分限 d2121tfftftftf卷積的圖解步驟卷積的圖解步驟)()()()( . 12211ftfftft，積積分分變變量量改改為為改改為為變變量量代代換換，由由)()(. 321tff相相乘乘：d)(. )(. 421tff乘乘積積的的積積分分：tt)(t時時延延對對的的函函數(shù)數(shù)積積分分結(jié)結(jié)果果為為t 1222,ffff的圖形不動，反褶為再移動)()()()( . 22222 tffftf時

59、時延延反反褶褶反反褶褶、移移位位 d2121tfftftftf方法一：利用圖解確定積分限方法一：利用圖解確定積分限例例2-6-1)30(2)(1011)(21tttftttfO 2f3 23O tf2233 tt t ttOt tf1111 O 1f111 tf2Ot323O 231 1浮動坐標(biāo)浮動坐標(biāo)浮動坐標(biāo)：浮動坐標(biāo)：下限下限 上限上限t- -3t- -0 1f tf2t ：移動的距離：移動的距離t =0 未移動未移動 f2(t- )t 0 右移右移 f2(t- )t 0 右移右移 f2(t- )O 1f111 t -13 tt tf2兩波形沒有重合處，二者乘積為兩波形沒有重合處，二者乘積

60、為0 0，即積分為，即積分為0 0 021 tff 021 tftftg0)(1)(0)(2)(12112時時有有非非零零值值而而，時時有有非非零零值值時時 tfffttft-1 t 1O 1f111 3tt tf2向右移向右移tf2d)()()(211tfftgtd211tt1422tt41242tt 時兩波形有重合部分，積分開始不為時兩波形有重合部分，積分開始不為0，積分下限，積分下限- -1，上限上限t ，t 為移動時間為移動時間;1t2)(1)(21ttff1 t 2O 1f111 3 tt tf2113tt即即1 t 2tttgd21)(111 t 2范圍內(nèi)兩波形有重合部分，積分不為