第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分n

1、數(shù)值分析1 計(jì)算定積分有微積分基本公式但很多函數(shù)找不到原函數(shù)，如等。而實(shí)際上，有很多函數(shù)只知一些離散點(diǎn)的函數(shù)值，并無表達(dá)式，這就需要利用已知條件求出近似值。 baaFbFdxxffI)()()(,sin)(xxxf2)(xexf第第4章章 數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分 數(shù)值分析2一、一、數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分的基本概念的基本概念數(shù)值積分定義如下：是離散點(diǎn)上的函數(shù)值的線性組合是離散點(diǎn)上的函數(shù)值的線性組合0 ( ) ( )nbniiaiI ff x dxIfA f x稱為求積系數(shù),與f (x)無關(guān),與積分區(qū)間和求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn)有關(guān)稱為數(shù)值積分公式稱為數(shù)值積分公式數(shù)值積分問題可分解為下述三個(gè)問題：

2、1、求積公式的具體構(gòu)造問題；、求積公式的具體構(gòu)造問題；(包括包括xi的選取和的選取和Ai的構(gòu)造的構(gòu)造)3、精確性程度的衡量標(biāo)準(zhǔn)問題。、精確性程度的衡量標(biāo)準(zhǔn)問題。2、余項(xiàng)估計(jì)問題、余項(xiàng)估計(jì)問題(亦即誤差估計(jì)問題亦即誤差估計(jì)問題)；求積公式的誤差 RnfIfInf求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn) 數(shù)值分析31、解決第一個(gè)問題；節(jié)點(diǎn)、解決第一個(gè)問題；節(jié)點(diǎn)xi 和和系數(shù)系數(shù)Ai如何選取，即選取原則如何選取，即選取原則兩個(gè)目標(biāo)：兩個(gè)目標(biāo)：1、余項(xiàng)估計(jì)問題；求積公式的誤差 RfIfInf盡可能小。2、求積公式的代數(shù)精度盡可能高。2、解決第二個(gè)問題；依賴插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)估計(jì)公式。、解決第二個(gè)問題；依賴插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)估計(jì)公

3、式。3、對(duì)于第三個(gè)問題；引進(jìn)代數(shù)精度的概念、對(duì)于第三個(gè)問題；引進(jìn)代數(shù)精度的概念數(shù)值分析4 若求積公式對(duì)(x)=xj (j=0,1,2,m)都精確成立,但對(duì)(x)=xm+1不精確成立,即nkkkbaxfAdxxf0)()(mjxAdxxnkjkkbaj,.,2 , 1 , 0,0nkmkkbamxAdxx011則稱此公式具有具有m次代數(shù)精度次代數(shù)精度. 可見, 若公式具有m次代數(shù)精度,則公式對(duì)所有次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式都精確成立.注意：注意：、求積公式的誤差是計(jì)算精度的度量標(biāo)志，而代數(shù)精度、求積公式的誤差是計(jì)算精度的度量標(biāo)志，而代數(shù)精度是求積公式優(yōu)良性能的標(biāo)志。是求積公式優(yōu)良性能的標(biāo)志。2、求積公

4、式的誤差小，不代表代數(shù)精度高。、求積公式的誤差小，不代表代數(shù)精度高。代數(shù)精度代數(shù)精度數(shù)值分析5討論討論具有代數(shù)精度的求積公式的存在性。具有代數(shù)精度的求積公式的存在性。思思路路利用利用插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 ，則積分易算。則積分易算。)()(xfxPn 在在a, b上取上取 a x0 x1 xn b，做，做 f 的的 n 次插值次插值多項(xiàng)式多項(xiàng)式 ，即得到，即得到 nkkknxlxfxL0)()()( babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak bakjxxxxkdxAjkj)()(由由 決定，決定，與與 無關(guān)。無關(guān)。節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) f (x)插值型積分公式插值型積分公式 bankkxnba

5、nbanbankkkndxxxnfdxxRdxxLxfxfAdxxffR0)1(0)()!1()()()()()()(誤差誤差定理定理：形如形如 的求積公式至少有的求積公式至少有 n 次代數(shù)精度次代數(shù)精度 該該公式為公式為插值型插值型（即：（即： ） nkkkxfA0)(bakkdxxlA)(數(shù)值分析6例例1 試確定參數(shù)A0,A1,A2,使求積公式11210) 1 ()0() 1()(fAfAfAdxxf具有盡可能高的代數(shù)精度,并問代數(shù)精度是多少? 解解 令公式對(duì)(x)=1,x,x2 都精確成立,則 A0+A1+A2=2 -A0+A2=0 A0+A2=2/3 解得:A0=A2=1/3, A1=

6、4/3.求積公式為11)1 ()0(4) 1(31)(fffdxxf 當(dāng)(x)=x3時(shí),左=0,右=0,公式也精確成立.當(dāng)(x)=x4時(shí),左=2/5,右=2/3,公式不精確成立.所以,此公式的代數(shù)精度為3.數(shù)值分析7練習(xí) 試確定參數(shù)A0, A1和x0, x1,使求積公式111100)()()(xfAxfAdxxf具有盡可能高的代數(shù)精度,并問代數(shù)精度是多少? 解解 令公式對(duì)(x)=1, x, x2, x3都精確成立,則 A0+A1=2 A0 x0+A1x1=0 A0 x02+A1x12=2/3 A0 x03+A1x13=0解得:3111010 xxAA求積公式為11)31()31()(ffdxx

7、f求積公式的代數(shù)精度為3。數(shù)值分析8 為了簡化計(jì)算,取等距節(jié)點(diǎn)xk=a+kh,(k=0,1,2,n,),nabh 則有 bakkdxxlA)( bankiiikidxxxxx0thax令 nnkiikndtitknkh00)()!( !) 1(令 knkAabC1)(nkdtitknnknnkiikn,.,1 , 0,)()!( !) 1(00 則有nkknkbayCabdxxf0)()()(稱為Newton-Cotes公式公式.Ck(n)稱為Cotes系數(shù).它不僅與它不僅與函數(shù)函數(shù)f(x)無關(guān)，而且與無關(guān)，而且與積分區(qū)間積分區(qū)間a,b無關(guān)。無關(guān)。二、二、 Newton-Cotes公式公式數(shù)值

8、分析9取n=1時(shí)的Newton-Cotes公式。 計(jì)算Cotes系數(shù)于是有,21) 1(10)1(0dttC,2110)1(1tdtC)()(2)(bfafabdxxfba 2.2 幾幾種種常用常用Newton-Cotes公式公式從幾何上看從幾何上看: :用梯形的面用梯形的面積近似曲邊梯形的面積。積近似曲邊梯形的面積。所以公式)()(2)(bfafabdxxfba=T也稱為梯形公式梯形公式,記為T.f(x)abf(a)f(b)代數(shù)精度代數(shù)精度 = 1 nnkiiknnkdtitknnkC00)()()!( !) 1(數(shù)值分析10稱之為Simpson公式公式或拋物線公式拋物線公式，記為S.,64

9、)2(2120)2(1dtttC,61) 1(4120)2(2dtttC于是有)()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba=S.取n=2時(shí)的Newton-Cotes公式. 解解 計(jì)算Cotes系數(shù),61)2)(1(4120)2(0dtttC取n=3時(shí)的Newton-Cotes公式. )()(3)(3)(8)()(3210 xfxfxfxfabdxxfba ) 3 , 2 , 1 , 0(3/ )( kkhaxabhk，其中代數(shù)精度代數(shù)精度 = 3可以驗(yàn)證Simpson公式具有三次三次代數(shù)精度 nnkiiknnkdtitknnkC00)()()!( !) 1(數(shù)值分析11取取n =4的的

10、Newton-Cotes公式公式.計(jì)算得于是有907,4516,152,4516,907)4(4)4(3)4(2)4(1)4(0CCCCC)(7)(32)(12)(32)(790)(43210 xfxfxfxfxfabdxxfba稱之為Cotes公式，公式，記為C。其代數(shù)精度為其中, xk=a+kh , k=0,1,2,3,4 , h=(b-a)/4 . 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 5n 為為偶數(shù)階偶數(shù)階的的Newton-Cotes 公式至少有公式至少有 n+1 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。數(shù)值分析12( )111221412666133138888716216749045154590192525252

11、5195288961441449628841993499416840352801052802584075135771323298929891323357775171728017280172801728017280172801728017280989588892882835028350283ninC10496454010496928588898950283502835028350283502835028350)1(0C)1(1C)2(0C)2(1C)2(2C)3(2C)3(0C)3(1C)3(3C)4(2C)4(0C)4(1C)4(3C)4(4C 由于構(gòu)造Newton-Cotes公式需要Cote

12、s系數(shù),將其列表如下:數(shù)值分析13 badxbxaxffR)()(! 21 badxbxaxf)(2)()(12)(3fab 2.3、幾種低階、幾種低階Newton-Cotes公式的余項(xiàng)公式的余項(xiàng)利用利用Lagrange插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)可導(dǎo)出插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)可導(dǎo)出Newton- -Cotes求積公式的余項(xiàng)為求積公式的余項(xiàng)為,d)()()!1(11)1(bannnnxxfnfIfIfR其中其中與變量與變量x有關(guān)。有關(guān)。如果如果f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上具有上具有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，n+1(x)在在a,b上不變號(hào)，上不變號(hào)，則有積分第二中值定理則有積分第二中值定理,存在存在，使得，使得

13、.d)()()!1(11)1(bannnxxfnfR(1) 設(shè)設(shè)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上具有上具有2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，梯形公式的階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，梯形公式的余項(xiàng)為余項(xiàng)為),(),(12)(2bafhab 數(shù)值分析14構(gòu)造三次多項(xiàng)式H3(x),使?jié)M足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),證明證明 因?yàn)镾impson公式對(duì)不高于三次三次的多項(xiàng)式精確成立精確成立。即)()2(4)(6)(2222bpbapapabdxxpba ),2/ )()2/ )(3bafbaH ),2/ )()2/ )(3bafbaH 這時(shí)插值誤差為 辛普森 ,4,)(. 2公式的余項(xiàng)為則階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有在若baxf ., ),

14、( 180)()2(4)(6d)()4(4bafhabbfbafafabxxfSIfRbaS ),(),()2)(! 4)()()(2)4(3babxbaxaxfxHxf 于是有 babaSdxxpdxxffR)()(2 babadxxpxHdxxHxf)()()()(233 badxbxbaxaxf)()2)()(! 412)4(badxbxbaxaxf)()2)(! 4)(2)4(),(,)(2880)()4(5bafab數(shù)值分析15則柯特斯公式的余項(xiàng)為階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有在若 ,6,)(. 3baxf ., ),( 945)(2)6(6bafhabCIfRC 其中其中h=(b-a)/4.數(shù)值

15、分析16三三 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式高次插值有高次插值有Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象，故采用分段低次插值，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 復(fù)化復(fù)化求積公式。求積公式。 復(fù)化梯形公式：復(fù)化梯形公式：),., 0(,nkhkaxnabhk在每個(gè)在每個(gè) 上用梯形公式：上用梯形公式：,1kkxx11)()(2)(2nkkbfxfafhbankkkxfxfhdxxf11)()(2)(= Tnnkxfxfxxdxxfkkxxkkkk,., 1,)()(2)(111數(shù)值分析17可見,復(fù)化梯形公式是收斂的。而且是二階收斂的。如果記M2=復(fù)化梯形公式的誤差為)()()(12

16、213nnfffhTR ),(,)(12)(2bafabh )(maxxfbxa ，則有2212)(MhabTRn 若在每個(gè)小區(qū)間上的積分采用Simpson公式,則可得到復(fù)化復(fù)化Simpson公式公式:),(),(123bafh 由連續(xù)函數(shù)介值定理)0(lim0chfIfIpnh如果一種求積公式如果一種求積公式Inf,滿足滿足則稱求積公式則稱求積公式Inf是是p階收斂的。階收斂的。梯形公式的誤差數(shù)值分析18復(fù)化復(fù)化 Simpson 公式：公式：),., 0(,nkhkaxnabhk)()(4)(6)(1211kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21kx1kx44444 )()(2)(4)(

17、6)(101121nknkkkbabfxfxfafhdxxf= Sn誤差為)()()(2880)4(2)4(1)4(5nnfffhSR),()(2880)()4(4bafhab，如果記M4=)(max)4(xfbxa，則有4452880)(MnabSIn 復(fù)化Simpson公式也是收斂的,而且是4階收斂的。數(shù)值分析19例例 已知函數(shù)分別用復(fù)化梯形公式、復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分 解解xxxfsin)(的數(shù)據(jù)表10sindxxxI的近似值。9456909. 0)1 ()87(2)43(2)85(2)21(2)83(2)41(2)81(2)0(1618fffffffffT9460832. 0)

18、1 ()43(2)21(2)41(2)87(4)85(4)83(4)81(4)0(2414 fffffffffSI精確到精確到數(shù)點(diǎn)后數(shù)點(diǎn)后7位的位的值是值是0.9460831。數(shù)值分析20 例例 利用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式分別計(jì)算上例中定積分,若使精度 =10-6,問各需取n為多少? 解解 因?yàn)?x)=sinx/x 10)cos(dtxt,所以有,sin)(10 xtdttxf 102cos)(xtdttxf,sin)(103 xtdttxf104)4(cos)(xtdttxf于是有210231|cos|)(Mdtxttxf 4104)4(51|cos|)(Mdtxttxf對(duì)復(fù)化

19、梯形公式,若使|RTn|10-6, 只要,67.1666101036136n故應(yīng)取n=167.對(duì)復(fù)化Simpson公式,若使|RSn|10-6, 只要,89. 21028805164n 故只需取n=3.實(shí)際上, S3=0.9460838. 2212)(MhabTRn4452880)(MnabSIn )(12)(2fabh )(2880)()4(4fhab 數(shù)值分析21四、四、變步長求積變步長求積公式及加速收斂技術(shù)公式及加速收斂技術(shù) 實(shí)際的積分計(jì)算問題，很難根據(jù)誤差實(shí)際的積分計(jì)算問題，很難根據(jù)誤差|Rf |0時(shí)時(shí),總有總有Rf-0.這說明這說明,只需只需 h 充分小充分小,必可滿足誤差要求必可滿

20、足誤差要求.因此為計(jì)算積分，通常采取因此為計(jì)算積分，通常采取逐步縮小步長逐步縮小步長的辦法。的辦法。數(shù)值分析22 這表明算出Tn后，為算T2n ，只需計(jì)算新增節(jié)點(diǎn)xi+1/2處的函數(shù)值f(xi+1/2) ，將它們的和乘h/2，再加上Tn的一半。.)()(2)(2)()(2 10101niiniiinbfxfafhxfxfhT，的中點(diǎn)記等分作把區(qū)間2, ,2,1121 iiiiixxxxxnba復(fù)化梯形公式為 1012)()(2)(221 21niiiinxfxfxfhT10101)(2)()(221 21niniiiixfhxfxfh. )(2211021niinxfhT但是復(fù)化梯形公式但是復(fù)

21、化梯形公式收斂速度慢收斂速度慢. .為此由復(fù)化梯形余項(xiàng)公式為此由復(fù)化梯形余項(xiàng)公式如應(yīng)用復(fù)化梯形求積公式時(shí)，注意當(dāng)前步長為h=(b-a)/n時(shí),有數(shù)值分析231212041241()33363nnnnniihTTTf xT110 ( )()2nniiihTf xf x121201()22nnniihTTf x)( 12)(2nnfhabTI )( 212)(222nnfhabTI n等分區(qū)間h=(b-a)/n2n等分區(qū)間近似有：)( )( 2nnff nnnTTTI 2231事后誤差估計(jì)公式事后誤差估計(jì)公式,4 2nnTITI則 一方面，若|T2n-Tn|3 ,則有近似誤差|I-T2n|. 另一

22、方面，(4T2n-Tn)/3應(yīng)比Tn和T2n的近似程度更好.事實(shí)上,有121014()36nniihTf x12110 ( )4 ()()6niiiihf xf xf x121110014 ( )()()326nniiiiihhf xf xf x.nS數(shù)值分析24復(fù)化Simpson公式能加工成更高精度的公式嗎? 由復(fù)化Simpson公式的誤差估計(jì)式有：),(),(2880)()4(45bafnabSIn ),(),()2(2880)()4(452bafnabSIn 復(fù)化梯形公式是復(fù)化梯形公式是2 2階收斂的，復(fù)化階收斂的，復(fù)化Simpson公式是公式是4 4階階收斂的。對(duì)兩個(gè)復(fù)化梯形公式的加權(quán)

23、組合得到了更高精收斂的。對(duì)兩個(gè)復(fù)化梯形公式的加權(quán)組合得到了更高精度的度的Simpson公式。這種技術(shù)稱為加速收斂技術(shù)。公式。這種技術(shù)稱為加速收斂技術(shù)。nnnTTS31342所以有162 nnSISI由此得15162nnSSI )(15122nnnSSSI 或 一方面，若|S2n-Sn|15 ,則有近似誤差|I-S2n|.另一方面,(16S2n-Sn)/15應(yīng)比Sn和S2n的近似程度更好.事實(shí)上,有(16S2n-Sn)/15=Cn數(shù)值分析25類似地,由于),(,)(1935360)()6(67bafnabCIn ),(,)()2(1935360)()6(672bafnabCIn 所以有642 n

24、nCICI由此得63642nnCCI )(63122nnnCCCI 或 一方面，若|C2n-Cn|63 ,則有近似誤差|I-C2n|. 另一方面,(64C2n-Cn)/63應(yīng)比Cn和C2n的近似程度更好.記(64C2n-Cn)/63=Rn, 稱為Romberg求積公式求積公式.數(shù)值分析26一般有：一般有：nnnSTT 1442nnnCSS 144222nnnRCC 144323Romberg 序列序列 Romberg 算法：算法： ? ? ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1 =)0

25、(2T C2 =)1(2T S4 =)2(1T數(shù)值分析27 用Tm(k)(m=0,1,2,3)分別表示把區(qū)間2k等分的復(fù)化梯形公式,復(fù)化Simpson公式, 復(fù)化Cotes公式和Romberg求積公式.)()(200bfafabT , 3 , 2 , 1,)2)(22121121)1(0)(0 kabiafabTTkikkkk 3 ,2, 1,2, 1 ,0,144)(1)1(1)(mkTTTmkmkmmkm而且，要使|I-Tm(k)| ,只要|Tm-1(k)-Tm-1(k-1)|(4m-1) (m=1,2,3).),(2)(32)(22)(12)(0kkkkRTCTSTTTkkkk 則有數(shù)值

26、分析28 實(shí)際計(jì)算可按下表順序進(jìn)行 數(shù)值分析29解解 按遞推公式計(jì)算,結(jié)果如下可見,由于|T0(4)-T0(3)|=0.0019531,應(yīng)有|I-T0(4)|0.000651033.由于|T1(3)-T1(2)|=0.0000001,應(yīng)有|I-T1(3)|0.00000000667.由于|T2(2)-T2(1)|=0.0000015,應(yīng)有|I-T2(2)|0.00000002381.由于|T3(1)-T3(0)|=0.0000068,應(yīng)有|I-T3(1)|=2時(shí)就很難求解時(shí)就很難求解. 故一般不通過解非線性方程求故一般不通過解非線性方程求 ，), 1 ,0(nkAxkk及而從分析高斯點(diǎn)的特性來

27、構(gòu)造高斯求積公式而從分析高斯點(diǎn)的特性來構(gòu)造高斯求積公式. . 此方法稱為用此方法稱為用待定系數(shù)法待定系數(shù)法構(gòu)造高斯求積公式構(gòu)造高斯求積公式.利用正交多項(xiàng)式構(gòu)造高斯求積公式.數(shù)值分析35證明：證明： “” x0 xn 為為 Gauss 點(diǎn)點(diǎn), 則公式則公式 至少有至少有 2n+1 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 bankkkxfAdxxfx0)()()( 對(duì)任意次數(shù)對(duì)任意次數(shù)不大于不大于n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 Pn(x)， Pn(x) n+1(x)的次的次數(shù)數(shù)不大于不大于2n+1，則代入公式應(yīng)則代入公式應(yīng)精確成立精確成立： nkknknkbannxxPAdxxxPx011)()()()()(0= 0 “

28、” 要證明要證明 x0 xn 為為 Gauss 點(diǎn)，即要證公式對(duì)任意次點(diǎn)，即要證公式對(duì)任意次數(shù)數(shù)不大于不大于2n+1 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 f(x) 精確成立，即證明：精確成立，即證明： nkkkbaxfAdxxfx0)()()(設(shè)設(shè))()()()(1xqxpxxfn babanbadxxqxdxxpxxdxxfx)()()()()()()(10 nkkkxqA0)( nkkkxfA0)( x0 xn 為為 Gauss 點(diǎn)點(diǎn) 與任意次數(shù)與任意次數(shù)不大于不大于n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 P(x) （帶權(quán)）正交（帶權(quán)）正交。 nkknxxx01)()(定理定理求求 Gauss 點(diǎn)點(diǎn) 求求n+1(x)數(shù)值分析

29、36(2)求出pn+1(x)的n個(gè)零點(diǎn)x0 , x1 , xn 即為Gsuss點(diǎn). (1)求出區(qū)間a,b上權(quán)函數(shù)為(x)的正交多項(xiàng)式pn+1(x) .(3)再計(jì)算積分系數(shù) Gauss型求積公式的構(gòu)造方法型求積公式的構(gòu)造方法一是采用施密特正交化方法或三項(xiàng)遞推關(guān)系.如何求正交多項(xiàng)式pn+1(x). )., 1 , 0()()(nkdxxxlAbakk 另是借用現(xiàn)成的正交多項(xiàng)式函數(shù)組.數(shù)值分析37)()(),()(,()(00001xpxpxpxpxxxp)()(),()(,()()(),()(,()(111120000222xpxpxpxpxxpxpxpxpxxxp5321141151121142

30、xxdxxdxxdxxdxxx解解 按 Schemite 正交化過程求出正交多項(xiàng)式: 的2點(diǎn)Gauss公式.求積分dxxfx)(112例：0( )1p x = xP2(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為 ,531530 xx求積系數(shù)為31)(11101211020 dxxxxxxdxxlxA112201111101( )3xxAx l x dxxdxxx故兩點(diǎn)Gauss公式為 )()()(535331112ffdxxfx數(shù)值分析38一些現(xiàn)成的正交多項(xiàng)式組有 1. Legendre多項(xiàng)式,.2 , 1 , 0, 1 , 1) 1(!21)(2nxxdxdnxLnnnnn Tn(x)=cos(narccosx) x

31、-1,1, n=0,1,2,是區(qū)間-1,1上權(quán)函數(shù)(x)=211x正交多項(xiàng)式。 3. Laguere多項(xiàng)式, 2 , 1 , 0,0),()(nxexdxdexLxnnnxn是區(qū)間0,+)上權(quán)函數(shù)(x)=e-x 的正交多項(xiàng)式。 2. Chebyshev多項(xiàng)式數(shù)值分析39 區(qū)間-1,1上權(quán)函數(shù)(x)=1的Gauss型求積公式,稱為Gauss-Legendre求積公式求積公式,其n+1個(gè)Gauss點(diǎn)為n+1次Legendre多項(xiàng)式的零點(diǎn). 幾種幾種常用的常用的GaussGauss求積公式求積公式 (1) Gauss-Legendre求積公式求積公式 公式的Gauss點(diǎn)和求積系數(shù)可在數(shù)學(xué)用表中查到

32、., )(d)(011 niiixfAxxf401sin(0.77459071)20.55555560.77459071I 9460411.015773503.0)15773503.0(21sin15773503.0)15773503.0(21sin I1sin20.888888901 1sin(0.77459071)20.55555560.94608310.77459071 11sin(1)/21tIdtt I準(zhǔn)準(zhǔn)=0.9460831（2）用）用3個(gè)節(jié)點(diǎn)的個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss公式公式（1）用）用2個(gè)節(jié)點(diǎn)的個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss公式公式. dsin1,2),Legendre(Gauss 10的近似值

33、求利用xxxIn例例作變換作變換x=(t+1)/2 10 dsinxxxI數(shù)值分析41211)(xx 定義在定義在 1, 1上，上，Tn+1 的根為的根為 2212cosnkxkk = 0, , n1102)()(11nkkkxfAdxxfx稱為稱為 Gauss-Chebyshev 公式公式。注意到積分端點(diǎn)注意到積分端點(diǎn) 1 可能是積分的可能是積分的奇點(diǎn)奇點(diǎn)，用普通用普通Newton-Cotes公式在端點(diǎn)會(huì)公式在端點(diǎn)會(huì)出問題。而出問題。而Gauss公公式可能避免此問題式可能避免此問題的發(fā)生。的發(fā)生。 2.Gauss-Tchebyshev求積公式其Gauss點(diǎn)為Tn+1(x)的零點(diǎn). ), 1

34、, 0(.1)(11112nkndxxlxAkk 求積系數(shù)42積分。公式計(jì)算用兩點(diǎn)例dxxxI 112211Tchebyshev-Gauss 解解 由由兩點(diǎn)兩點(diǎn)Gauss- -Tchebyshev公式的公式的Gauss點(diǎn)點(diǎn)是是: :0122,22xx 求積系數(shù)求積系數(shù)012AA2( )1f xx 故故22212-1122d11222221xIxx 公式精確成立。公式精確成立。 ？43高斯型求積公式的高斯型求積公式的余項(xiàng)為余項(xiàng)為：GaussGauss求積公式求積公式的余項(xiàng)和穩(wěn)定性的余項(xiàng)和穩(wěn)定性nkkkbaGxfAxxfxR0)(d)()(bannxxxnfd)()()!22()(21)22(),

35、(ba證證 由求積公式具有由求積公式具有2n+1次代數(shù)精度，現(xiàn)以求積節(jié)點(diǎn)次代數(shù)精度，現(xiàn)以求積節(jié)點(diǎn)xk(k=0,.,n),為插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)次數(shù)不超過為插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)次數(shù)不超過2n+1次的次的Hermite插值多項(xiàng)插值多項(xiàng)H(x)，滿足滿足)()(kkxfxH)()(kkxfxH), 1 , 0(nk由由Hermite插值余項(xiàng)插值余項(xiàng), ,得得nkkkbaGxfAxxfxR0)(d)()(babaxxHxdxxfxd)()()()(baxxHxfxd)()()(bannxxxfnd)()()()!22(121)22(由積分第二中值定理，得出余項(xiàng)公式。由積分第二中值定理，得出余項(xiàng)公式。余項(xiàng)定理說

36、明余項(xiàng)定理說明Gauss求積公式是收斂的求積公式是收斂的。44定理定理 Gauss求積公式求積公式(4.5.1) 的求積系數(shù)的求積系數(shù)Ak(k=0,.,n)全為全為正正.證證 由于由于Lagrange插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)lk(x)為為n次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，應(yīng)準(zhǔn)確成立，即有應(yīng)準(zhǔn)確成立，即有為為2n次多項(xiàng)式。所以次多項(xiàng)式。所以Gauss求積公式對(duì)求積公式對(duì)bakdxxlx)()(02kniikiAxlA02)(), 1 , 0(nk由于求積系數(shù)由于求積系數(shù)Ak全為正，所以設(shè)全為正，所以設(shè)f(xk)的近似值的近似值(實(shí)際計(jì)算值實(shí)際計(jì)算值)為為f*(xk),則則有有GGII*n

37、knkkkkkxfAxfA00*)()(nkkkkxfxfA0*)()(nkkkknkAxfxf0*0)()(maxnkkbaAxx0d)( Gauss求積公式與求積公式與Newton-Cotes求積公式比較，它有代數(shù)精度高且求積公式比較，它有代數(shù)精度高且穩(wěn)定性好的優(yōu)點(diǎn)。穩(wěn)定性好的優(yōu)點(diǎn)。由由Gauss求積公求積公式，有式，有數(shù)值分析45例題例題:分別用不同方法計(jì)算如下積分分別用不同方法計(jì)算如下積分,并做比較并做比較 各種做法比較如下： 一、Newton-Cotes公式公式 當(dāng)n=1時(shí)，即用梯形公式，I=0.9270354 當(dāng)n=2時(shí), 即用Simpson公式,I=0.9461359 當(dāng)n=3時(shí)

38、,I=0.9461090 當(dāng)n=4時(shí),I=0.9460830 當(dāng)n=5時(shí),I=0.9460831dxxx10sin二二:用復(fù)化梯形公式用復(fù)化梯形公式 令h=1/8=0.12594569086. 0) 1 ()7()(2)0(2sin10fhfhffhdxxx三：用復(fù)化三：用復(fù)化Simpson公式公式946083305. 0) 1 ()6 ()2 (2)7 ()(4) 0 (241sin10fhfhfhfhffdxxx數(shù)值分析46 四、 Romberg公式公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.946086

39、9 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831數(shù)值分析4717745907. 0) 17745907. 0(21sin5555556. 0I 五、五、Gauss公式公式 令x=(t+1)/2, 用用2個(gè)節(jié)點(diǎn)的個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss公式公式 用用3個(gè)節(jié)點(diǎn)的個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss公式公式 =0.9460831 9460411.015773503.0)15773503.0(21sin15773503.0)15773503.0(21sinI1021sin8888889. 017745907.0)17745907.0(21sin5555556.0dtt

40、tI1112/)1sin(數(shù)值分析48比 較 此例題的精確值為0.9460831. 由例題的各種算法可知： 對(duì)Newton-cotes公式，當(dāng)n=1時(shí)只有1位有效數(shù)字，當(dāng)n=2時(shí)有3位有效數(shù)字，當(dāng)n=5時(shí)有7位有效數(shù)字。 對(duì)復(fù)化梯形公式有2位有效數(shù)字，對(duì)復(fù)化拋物線公式有6位有效數(shù)字。 用復(fù)合梯形公式，對(duì)積分區(qū)間0，1二分了11次用2049個(gè)函數(shù)值，才可得到7位準(zhǔn)確數(shù)字。 用Romberg公式對(duì)區(qū)間二分3次，用了9個(gè)函數(shù)值，得到同樣的結(jié)果。 用Gauss公式僅用了3個(gè)函數(shù)值，就得到結(jié)果。數(shù)值分析49數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分就是用離散方法近似地求出函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值就是用離散方法近似地求出函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值.,fxhfxfxOhh六六 數(shù)值微分?jǐn)?shù)