【2020年】四川省遂寧市高考數(shù)學(xué)一診試卷(理科)及解析

1、四川省遂寧市高考數(shù)學(xué)一診試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四 個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1 . (5 分)已知集合 A=x 3x6 , B=x|2x 10g2b”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4. （5分）已知隨機(jī)變量 陰艮從正態(tài)分布N（%（2）,若P（工2） =P（26） =0.15, 則P （20, b0,且函數(shù) f （x） =4x3-ax2-2bx+2 在 x=2處有極值，貝U ab的最大值等于（）A. 121 B, 144 C. 72 D. 809. （5分）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn

2、,若a1為函數(shù)f （x） =/3sinx+cosx （x C R）的最大值，且滿足an - anSn+1號(hào) -HnS ,則數(shù)歹an的前2018項(xiàng)之積人2。18= （ ）A. 1B.C. - 1 D. 222210. （5分）若雙曲線 C：卷-卷=1（a0, b0）的一條漸近線被圓 x2 +y2- a2 b24x=0所截得的弦長為2,則雙曲線C的離心率為（A. 2B. 一； C 丁 D 工！311. （5分）已知。為 ABC的外心，A為銳角且sinAI,若此途+菽,則a+B的最大值為（3)D.412. （5分）定義在R上的函數(shù)f （x）滿足f （-x） =f （x）,且對(duì)任意的不相等的實(shí)數(shù)X1,

3、 X2 0, +oo）有（町）f（K、2f (3) - f ( - 2mx+lnx+3)在 xC 1, 3上恒成立，貝U實(shí)數(shù) m 的取值 范圍()A.白,1登B.工 2+C.工 2+D,1+2e 6e 3e 32e 6二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.r2x+3y-30,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最小值y+30是.14. （5分）二項(xiàng)式（2爪-=）6展開式中常數(shù)項(xiàng)是15. （5分）已知點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為（-1, 0）, （1, 0）.直線AM, BM相交 于點(diǎn)M,且它們的斜率之和是2,則點(diǎn)M的軌跡方程為.16. （5分）設(shè)函數(shù)f （工）二,J_2x（aQ）與g （x） =a

4、2lnx+b有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線方程相同，則實(shí)數(shù) b的最大值為.三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. （12分）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為&,向量：=（0, 2）,石二（1,滿足條件（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)Cn,求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn.18. (12分)已知函數(shù)f(x)=2sin(2x) + l，在 ABC中，角A, B, C的對(duì)邊 6分別為a, b, c(1)當(dāng)xC0,匹時(shí)，求函數(shù)f (x)的取值范圍；2(2)若對(duì)任意的x R者B有f(x) &f(A),c=2b=4,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，求|標(biāo)|的化19. (12分)心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視

5、覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為 了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中用分層抽樣的方法抽取 50名同學(xué)(男30,女20), 給所選的同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題， 讓各位同學(xué)自由選擇一題進(jìn)行解答， 選題 情況如表(單位：人)幾何體代數(shù)題總計(jì)男同學(xué)22830女同學(xué)81220總計(jì)302050(1)能否據(jù)此判斷有97%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)(2)經(jīng)過多次測(cè)試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在 5-7分鐘，乙每次 解答一道幾何題所用的時(shí)間在 6-8分鐘，現(xiàn)甲乙解同一道幾何題，求乙比甲先 解答完成的概率(3)現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的大題情況進(jìn)行全程 研究，記甲、乙兩女生

6、被抽到的人數(shù)為 X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期E (X) 附表及公式P (k2 k0)0.150.100.050.0250.100.0050.001k02.07212.7063.4815.0246.6357.87910.828k2=-y 1- (a+b) (c+d) (a+c) (b+d)20. (12分)設(shè)橢圓三三=1 (ab0)的離心率e=L,左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn) / b22為A,過點(diǎn)F的直線交橢圓于E, H兩點(diǎn)，若直線EH垂直于x軸時(shí)，有|EH|V(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線l: x=- 1上兩點(diǎn)P, Q關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B (B 異于點(diǎn)A),直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若4

7、APD的面積為逅，求直線AP的方2程.21. (12 分)已知函數(shù) f (x) =ex+px-2lnx(1)若p=2,求曲線y=f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線；(2)若函數(shù)F (x) =f (x) -ex在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)p的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)g (x) =ex+生，若在1, e上至少存在一點(diǎn)xo,使得f (xo) g (xo)x成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選 修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程r 73 +x1 -122. (10分)已知直線l的參數(shù)方程為“ j(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為

8、極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為p =4coS 8-胃).J(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)若P (x, y)是直線l與圓面我口具3 專-)的公共點(diǎn)， 求V3x+y的取 值范圍.23. 已知函數(shù) f (x) =| 1 -x-a|+| 2a-x|(1)若f (1) 1, x R,判斷f (x)與1的大小關(guān)系并證明.2018年四川省遂寧市高考數(shù)學(xué)一診試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四 個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1. (5 分)已知集合 A=x| 3x6 , B=x|2x7, WJ AH (?rB)=(A. (2, 6

9、) B. (2, 7) C. ( 3, 2D. ( 3, 2)【解答】解：. B=x2x 10g2b”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解答】解：0)y與嚴(yán)？ ab,logplog2b？ ab0.“1一”是“l(fā)ogalog2b”的必要不充分條件.故選：B.4. （5分）已知隨機(jī)變量 陰艮從正態(tài)分布N（%（2）,若P（工2） =P（26） =0.15, 則P （2工4）等于（）A. 0.3 B. 0.35 C. 0.5 D. 0.7【解答】解：由題意可得上入0.35，2故選：B.5. （5 分）已知 a滿足 cos2 a工，則 COS （+ a） C

10、OS （ - a）=（）944AB,C J 【解答】解：: a滿足 COS2 a工，則 COS（_+a） COS（ - a） =COS（_+a） COS 94442-（. +a） 4=cos （+a） sin （+ a） -sin （+2 a）,COS2 a工，4422218故選：A.6. （5分）執(zhí)行如圖所示的程序，若輸入的x=3,則輸出的所有x的值的和為（）A. 243 B. 363 C. 729 D. 1092【解答】解：模擬程序的運(yùn)行可得：當(dāng)x=3時(shí)，y是整數(shù)；當(dāng)x=32時(shí)，y是整數(shù)；依此類推可知當(dāng)x=3n（nCN*）時(shí)，y是整數(shù)，則由 x=3n1000,得 n7,所以輸出的所有x的值

11、為3, 9, 27, 81, 243, 729,其和為1092, 故選：D.7. （5分）要排出某理科班一天中語文、數(shù)學(xué)、物理、英語、生物、化學(xué) 6堂課 的課程表，要求語文課排在上午（前 4節(jié)），生物課排在下午（后2節(jié)），不同排 法種數(shù)為（）A. 144 B. 192 C, 360 D. 720【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：，要求數(shù)學(xué)課排在上午（前 4節(jié)），生物課排在下午（后2節(jié)），則數(shù)學(xué)課有4種排法，生物課有2種排法，故這兩門課有4X2=8種排法；，將剩下的4門課全排列，安排在其他四節(jié)課位置，有 A44=24種排法，則共有8X24=192種排法，故選：B.8. （5分）若 a0, b

12、0,且函數(shù) f （x） =4x3-ax2-2bx+2 在 x=2處有極值，貝Uab的最大值等于（）A. 121 B, 144 C. 72 D. 80【解答】解：由題意，求導(dǎo)函數(shù)f（x） =12x - 2ax- 2b,;在x=2處有極值，2a+b=24,. a0, b0, 2ab 0, b0)的一條漸近線不妨為：bx+ay=0, a2 b?圓 x2+y2 - 4x=0 即為(x- 2) 2+y2=4 的圓心(2, 0),半徑為 2,雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2 - 4x=0所截得的弦長為2,可得圓心到直線的距離為：疹子=,Va2+b222解得：=3,c由e,a可得e2=4,即e=2.故選A.

13、11. (5分)已知。為 ABC的外心，A為銳角且sinA或今，若麗二凝+慈,則a+B的最大值為(A 一A,.B:)D.二【解答】解：如圖所示，以BC邊所在直線為x軸,BC邊的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系(D為BC邊的中點(diǎn)). 由外接圓的性質(zhì)可得/ BOD=Z COD=Z BAC由A為銳角且sinA=；2 ,不妨設(shè)外接圓的半徑R=3.則OA=OB=OC=3cos/ COD=cosA, OC 3 .OD=1, dc=Joc2vd2=2&.B ( -2V2, 0), C (22, 0), O (0,1), A (m, n),則AABC外接圓的方程為：x2+(y-1) 2=9. (*)(-m, 1

14、 - n) =a ( - 22 - m, - n) +0 (2/2 - m, - n),o+Bwl時(shí)，否則CD=aCB,由圖可知是不可能的.f 2的(B-COCL+p-l_ T尸 a +6 T代入(*)可得產(chǎn)+(-G邛產(chǎn)=9, (a+p-1)2 (a+P-1)2化為 18 ( a+位=9+32 a 6利用重要不等式可得18 (a+B) 0,解得a+產(chǎn)W或a+睜.42又a+B 1,故a+睜及應(yīng)舍去.則a+B的最大值為故選：D.12. (5分)定義在R上的函數(shù)f (x)滿足f (-x) =f (x),且對(duì)任意的不相等的實(shí)數(shù)X1, X20, +OO)有!2f (3) - f ( - 2mx+lnx+

15、3)在 xC 1, 3上恒成立，貝U實(shí)數(shù) m 的取值范圍()A.2,1普B.2普C廿,2筲D.2，1噌【解答】解：.定義在R上的函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,函數(shù)f (x)為偶函數(shù)，二,函數(shù)數(shù)f (x)在0, +00)上遞減，- f (x)在0)上單調(diào)遞增，若不等式 f (2mx- lnx-3) 2f (3) - f ( 2mx+lnx+3)對(duì) xC 1, 3恒成立,即 f (2mx- lnx-3) f (3)對(duì) xC 1, 3恒成立. . 302mx-lnx -303 對(duì) xC 1, 3恒成立，即 002mxlnx06 對(duì) xC1, 3恒成立，即 2mll且 2m0 6+lnx 對(duì) xC

16、 1, xz3恒成立.令 g (x)=!絲，則 g(x) =11,在1, e)上遞增，(e, 3上遞減,g (x)令 h (x)x-1max.e=8+1 門乂 , h (x)-5-lnx0,在1,3上遞減,h (x)-6+ln3 min =3綜上所述，me噂”1.故選D.二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.r2x+3y-30,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最小值是 y+3)0-15 .r2x+3y-30的可行域如圖:y+30在坐標(biāo)系中畫出可行域 ABG A (-6, -3), B (0, 1), C (6, -3), 由圖可知，當(dāng)x=- 6, y=- 3時(shí)，則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最

17、小，最小值為-15. 故答案為：-15.54-3一2-14. （5分）二項(xiàng)式（2r-%） 6展開式中常數(shù)項(xiàng)是-16013=-160.【解答】解：因?yàn)橛?20X8X （- 1）VX所以展開式中常數(shù)項(xiàng)是-160.故答案為：-160.15. （5分）已知點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為（-1, 0）, （1, 0）.直線AM, BM相交 于點(diǎn)M，且它們的斜率之和是2,則點(diǎn)M的軌跡方程為 x2-xy- 1=0（ xw 1）.【解答】解：設(shè)M （x, y）, /AM, BM的斜率存在，；x* 1,又,J kAM= J , kBM= , z+1 X-l.由 kAM+kBM=2 得：一y?=0,z+1 x-1整理得：

18、xy- 1=0,:點(diǎn)M的軌跡方程為：x2 - xy- 1=0 (xw 1).故答案為：x - xy- 1=0 (xw 1)16. （5分）設(shè)函數(shù)fG）二,J-2aK（a0）與g （x） =a2lnx+b有公共點(diǎn)，且在公共 ill點(diǎn)處的切線方程相同，則實(shí)數(shù) b的最大值為_七.2【解答】解：設(shè)公共點(diǎn)坐標(biāo)為（刈，y。），則F （k）=3x-2為 丁 G）千，2所以有f (xo) =g (xo),即3工n-2乎二，解出Xo=a (工二號(hào)舍去)，U 工口U 3又 y0=f (x0) =g (x0),所以有謚=a21nxij+b，Inx 口，所以有b二二_”四，對(duì)b求導(dǎo)有b=- 2a (1+lna), 2

19、故b關(guān)于a的函數(shù)在(0,所以當(dāng)生工時(shí)b有最大值e故答案為：2e2_L)為增函數(shù)，在(L, +8)為減函數(shù), ee12e2三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. (12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為向量索(Sn, 2),石二(1, 1-211)滿足條件ab(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)CnL,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn. an【解答】解：(1) 工b. a?b=S1+2-2n+1=0,S=2n+1-2,當(dāng) n2 時(shí)，an=S - Si - 1=2n,當(dāng)n=1時(shí)，a二S=2滿足上式, an=2n,(2) .飛上工, 4 2nn 21 22：徨 1 t J 2

20、x行I.11 1nT沖一2nn彳，兩邊同乘-+T?,兩式相減得:2同2 22 2n 2n+1r n+2二 wTn二2一- (n N+) n 218. (12分)已知函數(shù)fG)=2sin(2x)+l，在ABC中，A A, B, C的對(duì)邊 6分別為a, b, c(1)當(dāng)xC0,匹時(shí)，求函數(shù)f (x)的取值范圍；2(2)若對(duì)任意的x R者B有f(x) &f(A),c=2b=4,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，求|標(biāo)| 的化【解答】解：(1)當(dāng)xC0,匹時(shí)，2x-2L -2L,旦L,2666jl1sin (2x -) -工 1, bz所以函數(shù)f (k)二2sin(2x，1-)+l的取值范圍是0, 3；(2)由對(duì)任

21、意的xR,都有f (x) ko)0.150.100.050.0250.100.0050.001ko2.07212.7063.4815.0246.6357.87910.828附表及公式(a+b) (c+d) (a+c) (b+d)k2=n(ad-bc),【解答】解：(1)由表中數(shù)據(jù)，得：k2=：- -、-一？=|/ ,|k 3UX20X30X209據(jù)此判斷有97%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān).(2)設(shè)甲、乙解答同一道題的時(shí)間分別為 x, y分鐘,則基本事件滿足區(qū)域?yàn)槟苋鐖D所示:設(shè)事件A為 乙比甲先做完此題”，則滿足的區(qū)域還要滿足xy,占XIX 1由幾何概型得乙比甲先解答完成的概率 P (A

22、) =2-2 匹(3)由題意知在8名女生中任意抽取2人，抽取方法有 犬二28種, 其中甲、乙兩人沒有一個(gè)人被抽取有 chi 5種,恰有一人被抽到有種，兩人都被抽到有c|二1種,.X的可能取值有0, 1, 2,P (X=0)嚙，P (X=1)嗤，P (X=2)擊，- X的分布列為：X01220. (12分)設(shè)橢圓號(hào)唉=1 (ab0)的離心率e=L,左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn) a2為A,過點(diǎn)F的直線交橢圓于E, H兩點(diǎn)，若直線EH垂直于x軸時(shí)，有|EH|二2(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l: x=- 1上兩點(diǎn)P, Q關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B (B 異于點(diǎn)A),直線

23、BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若4APD的面積為半，求直線AP的方 程.【解答】解：(1)設(shè)F ( - c, 0) (c0), ve=L, . . a=2c,又由| EH 哈 得巡母， 且 a2=b2+c2,解得”= 1, b2=y,# 2因此橢圓的方程為：J+警二1；(2)設(shè)直線AP的方程為x=my+1 (m*0),與直線l的方程x=- 1聯(lián)立，可得點(diǎn)P (T,故Q (T, Z). IDD.2將x=my+1與J+笑一口聯(lián)立，消去x,整理得(3m2+4) y2+6my=0,解得y=0,或y= 即 .3ro+4由點(diǎn)B異于點(diǎn)A,.6m )2可得點(diǎn)B (1：3nT+4由Q( - 1,2),可得直線BQ的方程

24、為(T馬(11)-3m +%)(一)二0, m3/+4 m3mJ+4111_ 2_2令y=0,解得工二可由，故D(之羿一，0)31rl，23m2+2 . | AD產(chǎn)2-3m，_ 6m23m+2 3犯2+2_2_蕊Im | - 2又APD的面積為返，故“ 改22 .+2整理得3m2-2泥瓜|+2=0,解得|m|*, =I.m=+.3直線AP的方程為3在泥廠3=0,或3x-捉”3=0.21. (12 分)已知函數(shù) f (x) =ex+px-皂-21nx x(1)若p=2,求曲線y=f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線；(2)若函數(shù)F (x) =f (x) -ex在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)p

25、的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)g (x) =ex+,若在1, e上至少存在一點(diǎn)xo,使得f (&) g (&)成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍.【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f (x) =ex+px-息-21nx, x(1)當(dāng) p=2 時(shí)，f (x) =ex+2x- - - 21nx, f (1) =e,又(工)二廠+2人工，；f(1) =e+2,則曲線y=f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線方程為：y- e= (e+2) (x- 1),即(e+2) x- y 2=0;(2) F (x) =f (x)ex=px-21nx,1 于瑪上二紅 2yX/ K /由F (x)在定義域(0, +oo)內(nèi)為增函數(shù)，F(xiàn) (x)

26、0在(0, +oo)上包成立,px2- 2x+p0,即。對(duì)任意x0恒成立，oo _ o設(shè)h&）二M （籃）二2 +27；= 2一2x .k +1（z2+l）（x2+l）可知h （x）在（0, 1）上單調(diào)遞增，在（1, +00）上單調(diào)遞減，則 h （x） max=h （1） =1,ph （1） =1,即 pC 1, +8）；（3）設(shè)函數(shù)小（x） =f （x） - g （x） =px-21nx, xC1, e,X則原問題？在1, e上至少存在一點(diǎn)xo,使得?。▁o） 0??。▁） max0 （x1, e）.士，/、,p+2e 2 px2-2x+ （p+2e） 二 pHj-7=2，當(dāng)p=0時(shí)，（工）二一如產(chǎn)）0,貝U?。▁）在xC 1, e上單調(diào)遞增，?。▁） xmax=小（e） = 4 0,（舍）；當(dāng) p0,生0, lnx0,貝U 小（x） 0 時(shí)，瞑 G）二似 J+D：2（lx） 0,K則?。▁）在 xC 1, e上單調(diào)遞增，小（x） ma