人教版七年級數(shù)學上冊—第3章一元一次方程單元總結(jié)

1、第三章一元一次方程知識點一：一元一次方程的概念1 .方程的定義：含有未知數(shù)的等式.未知數(shù)；等式.2 . 一元一次方程的定義：只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的最高次數(shù)是1,等號兩邊都是整式的方程叫一元一次方程 一元一次方程的一般形式：ax+b=0 （a、b為常數(shù)，且 aO,即末知數(shù)的系數(shù)一定不能為0） 3 .方程的解：使方程等號左、右兩邊相等的未知數(shù)的值4 .解方程：求方程的解的過程 .例題:1 .（1）下列方程中是一元一次方程的是（）2 1，A. 2x 3yB. 7x 5 6 x 1 C. x - x 112（2）下列各式中，是一元一次方程的是（）_2/D. x x 1x 1 x 2A. x

2、y 6B.-C. 3x 423. m 12. （1）已知2x +4=0是一兀一次方程，則 m=.（2）已知方程（a 2）x|a| 1 4 0是一元一次方程，則 a 2（3）右（2 a 1）x 3bx c 0是關(guān)于x的一兀一次方程，則一止有（）1 . c ，1.，一A. a 一，b 0 , c為任息數(shù)B. a 一，b、c為任息數(shù)2 21 , c c1, C CC. a 一，b 0,c 0D. a ，b 0,c 022（4）若（k 1）x2 （k 1）x 3 0是關(guān)于x的一元一次方程，求k的值3.下列說法：等式是方程；x=4是方程5x+20=0的解； x=-4和x=6都是方程I x-1 =5的解.

3、其中說法正確的是.（填序號）4. （1）下列方程中，解為 4的方程是（）第23頁A. x 10 4xB. 5(x 2)6y2(2x 7) C. y 2 3 -y55D.5 c -x 0.5x 94(2)已知x4是方程2x 3 a1的解，則a的值是5.根據(jù)條件列出方程(1)某數(shù)的2倍，再減去1等于5(2)某數(shù)的3倍與它的-的和等于1026. (1)買4本練習本和5支鉛筆一共用了4.9元，已知鉛筆每支 0.5元，練習本每本多少元？若設(shè)練習本每本元，則可列方程為(2) 一輛汽車從 A地到B地后，用去了郵箱里的汽油的25%,還剩40升，郵箱里原有汽油多少升？若設(shè)郵箱里原有汽油x升，可列方程為知識點二：

4、等式的基本性質(zhì)等式的性質(zhì)1：等式兩邊都加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等即：如果a=b,那么a ± c= b ± c等式的性質(zhì)2:等式兩邊都乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),結(jié)果仍相等.例題:即：如果a=b,那么ac= bc;如果a= b (cw 0),那么1. (1)若a b,則下列式子正確的有A.1個(2)如果ma,一小 11一b2一a- b32B.2 個I)3 a4C.3個5a 1D.4個5bA. ma(3)下列變形中,A.若 ac=bc,mb,那么在下列變形中，不一定成立的是mb 1正確的是那么a=b(4)運用等式的性質(zhì)進行變形,A.如果a b ,那么aaC

5、.如果a b ,那么一 cB. ma 3 mba bb.若q b,那么c c正確的是(2. (1)給出下面四個方程及其變形:a=b)C. - ma2B.如果-cD.如果a21一 mb2D. a b那么 a=b3a ,那么a 3D.若 a2=b2 那么 a=b4x 8 0變形為x3變形為2x 15；22 0;x 7 5 3x變形為4x2;2x54x 2變形為x2;其中變形正確的是(A.B.(2)下列各式的變形中，錯誤的是A. 2x 6 0變形為2x 6C. 2(x 4)2 變形為 x 4 1C.D.( )x 3 ，、c c cB. 1 x 變形為 x 3 2 2x2x 11D.變形為 x 1 1

6、223 .用適當?shù)臄?shù)或式子填空，使所得結(jié)果仍是等式，并說明是根據(jù)等式的哪一條性質(zhì)以及怎樣變形的(1)如果 x 8 10,那么 x 10 (2)如果 4x 3x 7,那么 4x-=71(3)如果 3x 8 ,那么x(3)如果x 2,那么=-634 .完成下列解方程：1(1) 3 1x 43.，11解：兩邊，根據(jù)得3 - x 3 4于是 _x 兩邊,根據(jù)3 得x 3(2) 5x 23x 4解：兩邊,根據(jù),得=3x+6兩邊,根據(jù),得 2x=兩邊,根據(jù),得x=5.根據(jù)下列變形，填寫過程及理由2x0.1解:0.220x10120x10 .八1025 1020x3x 4156.利用等式的性質(zhì)解下列方程并檢

7、驗，、1(1) -x 2 62)1c c C一x 5 4(3) 3x 283 47 .當x為何值時，式子 - x 5與3x 1的和等于9? 38 .列方程并求解：一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大2,個位與十位上的數(shù)字之和是10,求這個兩位數(shù)（提示，設(shè)個位上的數(shù)字為 x）9 .如果方程2x a x 1的解是x=-4，求3a 2的值210 .等式（a 2）x ax 1 0是關(guān)于x的一元一次方程，求這個方程的解知識點三：一元一次方程的解法（一般步驟、注意事項）1 .解方程的一般步驟：把含未知數(shù)的項歸在方程的一邊，把常數(shù)項歸到方程的另一邊，將方程化為最簡的形式ax b （a 0）,然后根據(jù)方程

8、兩邊都除以a ,化為x b的形式。（一趕二除） a2 .具體步驟去分母一去括號一移項一合并同類項一系數(shù)化成1 一解。 去分母：在方程兩邊同時乘以所有分母的最小公倍數(shù)（即把每個含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍數(shù)） 去括號：去括號法則（可先分配再去括號） 移項：把未知項移到方程的一邊（左邊），常數(shù)項移到另一邊（右邊） 合并同類項：字母和其指數(shù)不變，前面的系數(shù)相加。 系數(shù)化成1:在方程兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù)（方程兩邊同時乘以未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù)） .注意：去分母時，不要漏乘不含分母的項；分子是一個整體，含有多項式時應該加上括號。去括號時，不要漏乘括號里的項；不要弄錯符號。移項時，要

9、變號，不要丟項。合并同類項時，字母和其指數(shù)不變，前面的系數(shù)相加。系數(shù)化為一時，不要把分子、分母顛倒了。例題：1.下列方程變形中，正確的是()A.方程 3x 2 2x 1,移項，得 3x 2x 1 2;B.方程3 x 2 5x1,去括號，得3 x 2 5x 1;、-23 C.方程一t ,未知數(shù)系數(shù)化為1,得x 1;32x 1 xD.方程 1化成3x 6.0.20.52. (1)如果方程 5x 3 a 3的解是x6,那么a=.(2)已知關(guān)于x的方程4x 3m 2的解是x m ,則m的值是 (3)若 x=-6 是方程 2x 18m 6 的解，則 m2008 m2009 = 3.如果方程6x+3a=2

10、2與方程3x+5=11的解相同，那么310310A.B.C.-D.-103103a=(x 2 2x a4 .當a=時，關(guān)于x方程 1的解是0465 .若方程9x 3 kx 14有正整數(shù)解，則 k的整數(shù)值為 x . 16. (1)若2 與一(1 x)的值相等，則x=321(2)右7x 3與3(x 1)互為相反數(shù)，則x=7 .當x=-1時，ax3 6x 3的值是2,那么當x 1時，這個代數(shù)式的值是 8 .解下列方程1(1) 2x 3(2x 1) 16 (x 1)(2)x 2 1 (x 4) 2x 324x 1(4)2x 110x 13八12一2 x5x2332.5x 30.05(7) 4(2 x

11、1) 3(5x 2) 3(2 x)(8) x(9) 0.1x O, x-J 30.020.5知識點四：應用題列方程解應用題的一般步驟(解題思路)(1)審一審題：認真審題，弄清題意，找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系(找出等量關(guān)系)(2)設(shè)一設(shè)出未知數(shù)：根據(jù)提問，巧設(shè)未知數(shù).(3)列一列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程.(4)解一一解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.(5)答一檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫出答案.(注意帶上單位)(一)行程問題：(1)行程問題中的三個基本量及其關(guān)系：路程=速度X時間S=vt

12、(2)基本類型有 相遇問題； 追及問題；常見的還有：相背而行；行船問題；環(huán)形跑道問題。(3)解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，一般情況下問題就能迎刃而解。并且還常常借助畫草圖來分析，理解行程問題。例：甲、乙兩站相距 480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行 90公里，一列快車從乙站開出，每小時行 140公里。(1)慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？(2)兩車同時開出，相背而行多少小時后兩車相距600公里?(3)兩車同時開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時后快車與慢車相距600公里?（4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車的后面，多

13、少小時后快車追上慢車?（5）慢車開出1小時后兩車同向而行， 快車在慢車后面，快車開出后多少小時追上慢車？（此題關(guān)鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。）（二）行船問題流水問題是研究船在流水中的行程問題，因此，又叫行船問題。流水問題有如下兩個基本公式：順水速度=船速+水速（V順九靜+V水）逆水速度=船速-水速（V順=V靜-V水）例：一艘船在兩個碼頭之間航行，水流速度是3千米每小時，順水航行需要 2小時，逆水航行需要 3小時,求兩碼頭的之間的距離？（三）工程問題：工程問題中的三個量及其關(guān)系為：工作總量=工作效率X工作時間經(jīng)常在題目中未給出工作總量時，設(shè)工作總量為單位 1。（多解釋）

14、例：一件工程，甲獨做需 15天完成，乙獨做需12天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作 3天后，甲有其他任務，剩下工 程由乙單獨完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？（四）和差倍分問題（生產(chǎn)、做工等各類問題）1.和、差、倍、分問題：（1）倍數(shù)關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率”來體現(xiàn)。（2）多少關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余”來體現(xiàn)。例：某車間加工30個零件，甲工人單獨做，能按計劃完成任務，乙工人單獨做能提前一天半完成任務，已知乙工人每天比甲工人多做 1個零件，問甲工人每天能做幾個零件？原計劃幾天完成？（五）勞力調(diào)配問題：這類問題要搞清人數(shù)的變化.（時間的加

15、與減）例1.某廠一車間有64人，二車間有56人。現(xiàn)因工作需要，要求第一車間人數(shù)是第二車間人數(shù)的一半。問需 從第一車間調(diào)多少人到第二車間？例2.甲、乙兩車間各有工人若干，如果從乙車間調(diào)100人到甲車間，那么甲車間的人數(shù)是乙車間剩余人數(shù)的6倍；如果從甲車間調(diào) 100人到乙車間，這時兩車間的人數(shù)相等，求原來甲乙車間的人數(shù)。（六）配套問題：例1.某車間有28名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每小時平均能生產(chǎn)螺栓12個或螺母18個，應如何分配生產(chǎn)螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一個螺栓配兩個螺母）例2.機械廠加工車間有 85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個，已知2個大齒輪與3個小齒

16、輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？（七）分配問題：例.學校分配學生住宿，如果每室住 8人，還少12個床位，如果每室住 9人，則空出兩個房間。求房間的個數(shù)和學生的人數(shù)。（八）年齡問題：例：甲比乙大15歲，5年前甲的年齡是乙的年齡的兩倍，乙現(xiàn)在的年齡是 .（九）比賽積分問題：例：某企業(yè)對應聘人員進行英語考試，試題由50道選擇題組成，評分標準規(guī)定：每道題的答案選對得3分，不選彳#0分，選錯倒扣1分。已知某人有5道題未作，得了 103分，則這個人選錯了 道題。（十）利潤贏與問題（1）銷售問題中常出現(xiàn)的量有：進價、售價、標價、利潤等（2）有關(guān)關(guān)系式：商品

17、利潤=商品售價一商品進價=商品標價x折扣率一商品進價商品利潤率=商品利潤/商品進價商品售價=商品標價x折扣率例1. 一家商店將某種服裝按進價提高40%后標價，又以8折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進價是多少?例2.某種電腦的價格一月份下降了10%,二月份上升了 10%,則二月底的價格與原價相比（）A.相同B.增加10% C.減少9% D.減小1%例3.如果某商品的進貨價降低了8%,而售出價不變，那么利潤可由現(xiàn)在的 P%增加到（P+1）%，則P等于（）A.15B.20C.10D.5解：分析本題若直接設(shè)未知元為 X,則不易列方程，為此，可間接設(shè)元，設(shè)進貨價為X,則下降后的進貨價為0

18、.92X.由于售出價不變，它可用以下方程式表示：x （1+p% =0.92x1+ （10+p） %,即 x （1+0.01p） =0.92x1+0.01 （p+10）,解得：p=15.答：原禾I潤為p為15.（十一）方案選擇1000元，？經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元，經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至是：如果對蔬菜進行精加工，每天可加工時進行，受季度等條件限制， 公司必須在7500元，當?shù)匾患夜臼召忂@種蔬菜16噸，如果進行精加工，每天可加工15天將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，140噸，該公司的加工生產(chǎn)能力6噸，？但兩種加工方式不能同 為此公司研制了三種可行方案：例某蔬菜公司的一種綠色蔬菜

19、，若在市場上直接銷售，每噸利潤為方案一：將蔬菜全部進行粗加工.方案二：盡可能多地對蔬菜進行粗加工，沒來得及進行加工的蔬菜，？在市場上直接銷售.方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好15天完成.你認為哪種方案獲利最多？為什么?（十二）數(shù)字問題：a,十位數(shù)字是b,個位數(shù)字為c （其中a、b、c均為整（1）要搞清楚數(shù)的表示方法：一個三位數(shù)的百位數(shù)字為數(shù)，且iwaw 9, 0<b<9, 0<c<9）則這個三位數(shù)表示為：100a+10b+c。（2）數(shù)字問題中一些表示： 兩個連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比較小的大1;偶數(shù)用2n表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n2表不&

20、#39;奇數(shù)用 2n+1或2n1表不例：有一個三位數(shù)，個位數(shù)字為百位數(shù)字的2倍，十位數(shù)字比百位數(shù)字大 1 ,若將此數(shù)個位與百位順序?qū)φ{(diào)（個位變百位）所得的新數(shù)比原數(shù)的2倍少49,求原數(shù)。（十三）古典數(shù)學：例1.100個和尚100個饃，大和尚每人吃兩個，小和尚兩人吃一個，問有多少大和尚，多少小和尚。例2.有若干只雞和兔子，它們共有88個頭，244只腳，雞和兔各有多少只？（十四）幾何題：例1.如圖，一塊電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖由6個顏色不同的正方形組成，若中間最小的正方形邊長為1,則這個矩形色塊圖的面積是 。練習(整理到上面)1、已知A、B相距60千米，甲位于 A處，騎自行車，他的速度是每小時1

21、5千米，乙位于B處，開汽車，他的速度是每小時45千米。(1)若他們同時相向而行，則經(jīng)幾小時他們相遇？(2)若他們相向而行，小明先騎車0.5小時，問幾小時他們相遇？(3)若他們同時同向而行，則經(jīng)幾小時乙追上甲？(4)若他們同向而行，甲先騎車 1小時以后，問乙經(jīng)幾小時追上甲？(5)若他們同向而行，甲先騎車 1小時以后，發(fā)現(xiàn)他的一個重要文件在乙那里，因此掉頭去拿，同時乙也開車給甲送去，問甲經(jīng)幾小時和乙碰到？2、A、B兩地相距1200千米。甲從A地、乙從B地同時出發(fā)，相向而行。甲每分鐘行50千米，乙每分鐘行 70千米。兩人在C處第一次相遇。問 AC之間距離是多少？如相遇后兩人繼續(xù)前進，分別到達A、B兩

22、地后立即返回，在D處第二次相遇。問 CD之間距離是多少？3 .從甲地到乙地，某人步行比乘公交車多用 3.6小時，已知步行速度為每小時8千米，公交車的速度為每小時40千米，設(shè)甲乙兩地相距 x千米，則列方程為 。4 .某人從家里騎自行車到學校。若每小時行15千米，可比預定的時間早到 15分鐘；若每小時行 9千米，可比預定的時間晚到15分鐘；求從家里到學校的路程有多少千米？5 .一架飛機飛行在兩個城市之間，風速為每小時24千米，順風飛行需要 2小時50分鐘，逆風飛行需要 3小時,求兩城市間距離。6 .一項工程，甲單獨做需要 10天完成，乙單獨做需要 15天完成，兩人合作 4天后，剩下的部分由乙單獨做

23、，需要幾天完成？7 .某工程由甲、乙兩隊完成，甲隊單獨完成需16天，乙隊單獨完成需12天。如先由甲隊做4天，然后兩隊合做, 問再做幾天后可完成工程的六分之五？8 .已知某水池有進水管與出水管一根，進水管工作15小時可以將空水池放滿，出水管工作24小時可以將滿池的水放完；(1)如果單獨打開進水管，每小時可以注入的水占水池的幾分之幾？(2)如果單獨打開出水管，每小時可以放出的水占水池的幾分之幾？(3)如果將兩管同時打開，每小時的效果如何？如何列式？(4)對于空的水池，如果進水管先打開2小時，再同時打開兩管，問注滿水池還需要多少時間？9 .有一個水池，用兩個水管注水。如果單開甲管，2小時30分注滿水

24、池，如果單開乙管，5小時注滿水池。 如果甲、乙兩管先同時注水 20分鐘，然后由乙單獨注水。問還需要多少時間才能把水池注滿？假設(shè)在水池下面安裝了排水管丙管，單開丙管3小時可以把一滿池水放完。如果三管同時開放，多少小時才能把一空池注滿水？10 .整理一批圖書，由一個人做要40小時完成。現(xiàn)計劃由一部分人先做 4小時，再增加2人和他們一起做8小時, 完成這項工作。假設(shè)這些人的工作效率相同，具體先安排多少人工作。11 .岳池縣城某居民小區(qū)的水、電、氣的價格是：水每噸1.55元，電每度0.67元，天然氣每立方米1.47元.某居民戶在2006年11月份支付款67.54元，其中包括用了 5噸水、35度電和一些

25、天然氣的費用，還包括交給物業(yè)管理4.00元的服務費.問該居民戶在2006年11月份用子多少立方米天然氣？12 .已知:我市出租車收費標準如下：乘車里程不超過2公里的一律收費2元；乘車里程超過 2公里的，除了收費2元外超過部分按每公里 1.4元計費.(1)如果有人乘出租車行駛了x公里(x>2),那么他應付多少車費？(列代數(shù)式，不化簡)(2)某游客乘出租車從客運中心到三星堆，付了車費10.4元，試估算從客運中心到三星堆大約有多少公里？13 .已知購買甲種物品比乙種物品貴5元，某人用款300元買到甲種物品10件和乙種物品若干件，這時，他買到甲、乙物品的總件數(shù)，比把這筆款全都購買甲種物品的件數(shù)多

26、5件，問甲、乙物品每件各是多少元?14 .兩個班組工人，按計劃本月應共生產(chǎn)680個零件，實際第一組超額 20%、第二組超額15%完成了本月任務,因此比原計劃多生產(chǎn) 118個零件。問本月原計劃每組各生產(chǎn)多少個零件？15 .某工廠甲、乙、丙三個工人每天生產(chǎn)的零件數(shù)，甲和乙的比是 3: 4,乙和丙的比是2: 3。若乙每天所生產(chǎn)的件數(shù)比甲和丙兩人的和少 945件，問每個工人各生產(chǎn)多少件？16 .甲隊人數(shù)是乙隊人數(shù)的 2倍，從甲隊調(diào)12人到乙隊后，甲隊剩下來的人數(shù)是原乙隊人數(shù)的一半還多15人。求甲、乙兩隊原有人數(shù)各多少人？17 .甲、乙兩車間各有工人若干，如果從乙車間調(diào)100人到甲車間，那么甲車間的人數(shù)

27、是乙車間剩余人數(shù)的6倍;如果從甲車間調(diào)100人到乙車間，這時兩車間的人數(shù)相等，求原來甲乙車間的人數(shù)。18 .包裝廠有工人42人，每個工人平均每小時可以生產(chǎn)圓形鐵片120片，或長方形鐵片 80片，將兩張圓形鐵片與和一張可配套成一個密封圓桶，問如何安排工人生產(chǎn)圓形或長方形鐵片能合理地將鐵片配套？19 .某部隊派出一支有 25人組織的小分隊參加防汛抗洪斗爭，若每人每小時可裝泥土 18袋或每2人每小時可抬泥土 14袋，如何安排好人力，才能使裝泥和抬泥密切配合，而正好清場干凈。20 .某車間加工機軸和軸承，一個工人每天平均可加工15個機軸或10個軸承。該車間共有 80人，一根機軸和兩個軸承配成一套，問應分配多少個工人加工機軸或軸承，才能使每天生產(chǎn)的機軸和軸承正好配套。21 .某廠生產(chǎn)一批西裝，每 2米布可以裁上衣 3件，或裁褲子4條，現(xiàn)有花呢240米，為了使上衣和褲子配套,裁上衣和褲子應該各用花呢多少米？22 .機械廠加工車間有 85名工人，平均每人每天加工大齒輪16