反常積分與級(jí)數(shù)

1、第九章 反常積分前面討論的定積分，事實(shí)上有兩個(gè)前提：積分區(qū)間是有限的；被積函數(shù)是有界的.但實(shí)際問(wèn)題常常要突破這兩個(gè)前提,要求我們將函數(shù)在區(qū)間上的定積分從不同方面予以推廣.例如，將區(qū)間推廣到無(wú)限區(qū)間，就有無(wú)限區(qū)間的反常積分，簡(jiǎn)稱無(wú)窮積分；將區(qū)間的有界函數(shù)推廣到無(wú)界函數(shù)，就有無(wú)界函數(shù)的反常積分，簡(jiǎn)稱瑕積分.將被積函數(shù)由一元函數(shù)推廣到多元函數(shù)就有含參變量積分，等等.第一節(jié) 無(wú)窮積分的性質(zhì)與斂散性的判別一、無(wú)窮積分的概念引例求曲線和直線及軸所圍成的開口曲邊梯形的面積.解:在區(qū)間中任取一點(diǎn),那么由軸、曲線及直線與所圍圖形的面積是可以用定積分計(jì)算的，即很自然，把極限1b當(dāng)作所求曲邊梯形的面積，寫作 由此可

2、得一般的無(wú)窮積分的概念.定義9-1設(shè)函數(shù)在區(qū)間連續(xù),任取,則稱極限為函數(shù)在區(qū)間上的反常積分(無(wú)窮積分).記作,即=若此極限存在,稱無(wú)窮積分收斂. 若此極限不存在,則稱無(wú)窮積分發(fā)散. 發(fā)散時(shí)仍用記號(hào)表示,但它不表示任何數(shù).類似可定義函數(shù)在上的無(wú)窮積分為定義函數(shù)在上的無(wú)窮積分為其中為任意常數(shù).當(dāng)且僅當(dāng)上式右端的兩個(gè)無(wú)窮積分都收斂時(shí),稱無(wú)窮積分收斂,否則稱無(wú)窮積分發(fā)散. 根據(jù)積分區(qū)間可加性，不難證明，上式的右端與數(shù)無(wú)關(guān).為了方便常取=0.設(shè)是的一個(gè)原函數(shù),并記, 則無(wú)窮積分可表示為=即得到了與牛頓-萊布尼茨公式相似的表達(dá)式,所不同的是與是一種極限運(yùn)算,當(dāng)極限存在時(shí),與表示極限值,當(dāng)極限不存在時(shí)與只是

3、記號(hào),不表示數(shù)值.因此無(wú)窮積分的斂散性,取決于極限與是否存在.顯然,求無(wú)窮積分的基本思路是:先求定積分,再取極限.例1 計(jì)算下列無(wú)窮積分（1） （2） （3） （4）解: （1）=（2）=1（3）=+=（4）=1例2判別無(wú)窮積分的斂散性（>0）解: 當(dāng)時(shí)，有=當(dāng)時(shí)，有于是，當(dāng)時(shí)，無(wú)窮積分收斂，無(wú)窮積分（的值）是；當(dāng)時(shí)，無(wú)窮積分發(fā)散.例3判別無(wú)窮積分的斂散性解：當(dāng)時(shí)，有=當(dāng)時(shí)，有=于是，當(dāng)時(shí)，無(wú)窮積分收斂，無(wú)窮積分（的值）是；當(dāng)時(shí)，無(wú)窮積分發(fā)散.在上述三例中,無(wú)論是求無(wú)窮積分的值還是判別無(wú)窮積分的斂散性,都是首先求出被積函數(shù)的原函數(shù),然后再取極限.顯然用這種方法只有被積函數(shù)存在初等函數(shù)的原

4、函數(shù)才是可行的.如果被積函數(shù)的原函數(shù)不易求出或不是初等函數(shù),上述方法不能使用.因此,要進(jìn)一步討論判別無(wú)窮積分?jǐn)可⑿院颓鬅o(wú)窮積分值的方法.二、無(wú)窮積分的性質(zhì)下面討論的無(wú)窮積分總是假設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義，且對(duì)于任意函數(shù)在上可積.由無(wú)窮積分的定義,無(wú)窮積分收斂當(dāng)時(shí),函數(shù)存在極限.于是,無(wú)窮積分也有柯西收斂準(zhǔn)則:定理9-1(柯西收斂準(zhǔn)則) 無(wú)窮積分收斂的充分必要條件是:對(duì)于任給正數(shù),存在,當(dāng)， 時(shí)，有 .推論1若無(wú)窮積分收斂，則證明：根據(jù)定理1，與，有.令,即或.推論2若無(wú)窮積分收斂,則無(wú)窮積分也收斂.證明: 根據(jù)定理1，與，有從而,有即無(wú)窮積分收斂.推論3無(wú)窮積分收斂,無(wú)窮積分也收斂.讀者自證.定理9

5、-2若無(wú)窮積分收斂,則無(wú)窮積分也收斂,其中是常數(shù),且=定理9-3若無(wú)窮積分與都收斂，則無(wú)窮積分也收斂，且=定理9-4若函數(shù)與在區(qū)間上存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，極限存在，且無(wú)窮積分收斂，則無(wú)窮積分也收斂，有=或.這是無(wú)窮積分的分部積分公式.定理9-5若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，無(wú)窮積分收斂，且函數(shù)在嚴(yán)格增加（或減少），存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而，則.這是無(wú)窮積分的換元公式.例4求無(wú)窮積分解：根據(jù)定理4，有=1=.有 2K=1 或 ， 即例5求無(wú)窮積分解：設(shè) 則.根據(jù)定理5,有=三、無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘呐袆e法1、非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分收斂的判別法定理9-6（非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分判別法）無(wú)窮積分，收斂的充分必要條件是：存在正數(shù)M，對(duì)一切，有證

6、明：由于，所以函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，故收斂的充要條件是函數(shù)在上有界，即定理9-7（比較判別法）設(shè)定義在上的正值函數(shù)與在任何區(qū)間上都可積，若存在正數(shù)c(c>a)及k,當(dāng)x>c時(shí)，有， k>0， 當(dāng)收斂時(shí)，也收斂； 當(dāng)發(fā)散時(shí)，也發(fā)散.證明：若收斂，則也收斂.又因,根據(jù)定理6,存在M>0,對(duì)一切u>c, 有 ,由條件當(dāng)x>c時(shí),所以當(dāng)u>c時(shí),有所以,無(wú)窮積分收斂,從而也收斂. 是的逆否命題,所以成立.例6判別的收斂性解：顯然，由于收斂，因此，收斂.例7設(shè),是上的非負(fù)連續(xù)函數(shù),證明: 若和收斂,則收斂.證明： 由于 , 而=收斂,因此,收斂.推論4若，且，則

7、當(dāng)時(shí)，與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散. 當(dāng)L=0, 且收斂時(shí),則也收斂;當(dāng)L=,且發(fā)散時(shí), 則也發(fā)散.證明：由假設(shè)>0，對(duì)，總存在c>a,當(dāng)時(shí)，有或，即又因?yàn)?gt;0，故當(dāng)時(shí)，有.若收斂,由式,當(dāng)時(shí),有 .根據(jù)比較判別法,無(wú)窮積分也收斂.若發(fā)散,由式, 當(dāng)時(shí)，有,根據(jù)比較判別法,無(wú)窮積分也發(fā)散. 由,存在c>a, 當(dāng)時(shí)，有 ,即, .根據(jù)比較判別法,若收斂時(shí), 也收斂., 必存在c>a, 當(dāng)時(shí)，有 或 .根據(jù)比較判別法,若發(fā)散時(shí),也發(fā)散.推論5設(shè)，且，則 當(dāng)，p>1時(shí)，收斂； 當(dāng)， p1時(shí),發(fā)散.證明：令或，由例2，當(dāng)p>1時(shí)，收斂，根據(jù)推論4,當(dāng)時(shí)，收斂. 由例2

8、, p1時(shí),發(fā)散,再根據(jù)推論4,當(dāng)時(shí),也發(fā)散.例8證明收斂.證明：因?yàn)椋鶕?jù)推論5，無(wú)窮積分收斂.例9證明收斂.證法1：當(dāng)x>1時(shí)，有由于，收斂，根據(jù)比較判別法，也收斂.證法2： 令 ，x>1，于是，.根據(jù)推論5,收斂.2、一般函數(shù)無(wú)窮積分收斂的判別法.定義9-2若無(wú)窮積分收斂，則稱無(wú)窮積分絕對(duì)收斂.若無(wú)窮積分收斂,而發(fā)散, 則稱無(wú)窮積分條件收斂.定理9-8 (狄利克雷判別法) 若在上有界,在上當(dāng)時(shí),單調(diào)趨于0,則收斂.證明：設(shè), ,由于, , 故,時(shí), . 因?yàn)間為單調(diào)函數(shù),由積分第二中值定理,對(duì) 任意的, 使得于是, =<因此,由柯西準(zhǔn)則,收斂.定理9-9 （阿貝爾判別法

9、） 若收斂，在上單調(diào)有界，則收斂.證明：因在上單調(diào)有界，故存在A，使令 ，則在上單調(diào)趨于0. 又因收斂, 故在上有界,由狄利克雷判別法,收斂,所以,=+A 收斂.例10討論與 （p>0）的收斂性.解：當(dāng)p>1時(shí)，收斂，由于， 因此，絕對(duì)收斂.若, 則當(dāng)時(shí),而單調(diào)趨于0, 因此, 由狄利克雷判別法知, 收斂.另一方面, ,其中, 滿足狄利克雷判別法的條件,是收斂的.而,發(fā)散, 因此, 發(fā)散.總之, 當(dāng)時(shí),條件收斂;當(dāng)時(shí), 絕對(duì)收斂.類似可證, 當(dāng)時(shí),條件收斂;當(dāng)時(shí),絕對(duì)收斂.第二節(jié) 瑕積分的性質(zhì)與斂散性的判別一、瑕積分的概念本節(jié)討論無(wú)界函數(shù)的積分，即瑕積分.若函數(shù)在點(diǎn)b的任意領(lǐng)域無(wú)界

10、,則稱b是函數(shù)的瑕點(diǎn).例如:a是函數(shù)的瑕點(diǎn). -1和1都是函數(shù)的瑕點(diǎn).定義9-2設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),而,取稱極限為函數(shù)在區(qū)間上的反常積分(瑕積分).記作,即=若此極限存在,稱反常積分收斂. 若此極限不存在,則稱反常積分發(fā)散. 發(fā)散時(shí)仍用記號(hào)表示.類似可定義:=其中為瑕點(diǎn),=+=+其中為瑕點(diǎn),當(dāng)上式右端的兩個(gè)反常積分都收斂時(shí),稱反常積分收斂,否則發(fā)散.例1求下列瑕積分解：為被積函數(shù)的瑕點(diǎn), 有=是為被積函數(shù)的瑕點(diǎn), 則=+=+=+=+=是為被積函數(shù)lnx的瑕點(diǎn), 則=-1.例2 判別瑕積分的斂散性.解：為被積函數(shù)的瑕點(diǎn), 有=.即, 瑕積分發(fā)散.例3判別瑕積分的斂散性 （a<b）解：當(dāng)時(shí)，

11、是被積函數(shù)的瑕點(diǎn).當(dāng),有 ,=當(dāng),有 =.于是,當(dāng)時(shí),瑕積分收斂,其瑕積分(的值)是;當(dāng)時(shí), 瑕積分發(fā)散.二、瑕積分的性質(zhì)與收斂判別法瑕積分的性質(zhì)與收斂判別法與無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂判別法相類似，因此，下面只給出瑕積分的性質(zhì)與收斂判別法的幾個(gè)重要結(jié)果，并舉例加以應(yīng)用，再不進(jìn)行重復(fù)論證.定理9- （柯西收斂準(zhǔn)則）瑕積分（a為瑕點(diǎn)）收斂的充要條件是：對(duì)任給的正數(shù),存在正數(shù),當(dāng)時(shí)，有 .推論1瑕積分收斂的充要條件是：對(duì)任何，瑕積分收斂.推論2若瑕積分收斂，則瑕積分收斂.定理2設(shè)正值函數(shù)在包含于內(nèi)的任何閉區(qū)間上都可積，則瑕積分收斂的充要條件是：存在正數(shù)M，對(duì)任何，有.定理3（比較原則）設(shè)定義在上的正值函

12、數(shù)與在任何區(qū)間（u>a）上可積，且則 當(dāng)瑕積分收斂時(shí)，瑕積分也收斂；當(dāng)瑕積分收斂時(shí)，瑕積分也收斂.推論3 設(shè)，且則 當(dāng)時(shí)，瑕積分與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散； 當(dāng)L=0, 且瑕積分收斂時(shí),則也收斂;當(dāng)L=,且發(fā)散時(shí), 則也發(fā)散.推論4設(shè)且，則 當(dāng)，時(shí)，收斂； 當(dāng)， p1時(shí),發(fā)散.利用 ()，可以判別一些非負(fù)函數(shù)瑕積分的收斂性.以上判別法都是以為瑕點(diǎn)的情形給出,讀者不難仿此給出以為瑕點(diǎn)的判別法.例4 判別瑕積分的斂散性.解:是為被積函數(shù)的瑕點(diǎn), 由=1根據(jù)推論4, 瑕積分收斂.例5判別瑕積分的斂散性.解:是瑕點(diǎn), 由,根據(jù)洛比達(dá)法則,有=0根據(jù)推論4,這個(gè)瑕積分收斂.第十章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)的理論

13、不僅是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具，而且對(duì)微積分學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展及討論微分方程的解都是十分重要的.第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性一、級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念.定義1把一個(gè)數(shù)列: 的項(xiàng)依次用加號(hào)連接起來(lái),得到表達(dá)式: （1）簡(jiǎn)寫為即=稱為無(wú)窮數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù),其中稱為級(jí)數(shù)(1)的項(xiàng),為級(jí)數(shù)的第項(xiàng)或通項(xiàng).定義2設(shè)級(jí)數(shù)(1)前n項(xiàng)的和是,即稱為級(jí)數(shù)(1)的項(xiàng)部分和.當(dāng)n趨于無(wú)限大時(shí),可構(gòu)造出另一個(gè)無(wú)窮數(shù)列,即, , , （2）定義3 若級(jí)數(shù)(1)的部分和數(shù)列（2）收斂,并設(shè),則稱級(jí)數(shù)(1)收斂.其和為S,記作,即.若部分和數(shù)列（2）發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)（1）發(fā)散.此時(shí)級(jí)數(shù)（1）沒(méi)有和.定義4若級(jí)數(shù)收斂，其和是S，而s-表

14、為即，稱為收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)余和，簡(jiǎn)稱余和.顯然，有.其中是公比.例1討論幾何級(jí)數(shù)的斂散性.其中是公比.解：1）當(dāng)時(shí)，已知幾何級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和是=，這時(shí)，有 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所?.因此，當(dāng)時(shí)，幾何級(jí)數(shù)收斂，其和是,即 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，因此，?dāng)時(shí)，幾何級(jí)數(shù)發(fā)散.2)當(dāng)時(shí),也分兩種情形討論:若r=1, 級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和是=,因?yàn)閍為非零常數(shù),所以,因此,當(dāng)r=1時(shí), 幾何級(jí)數(shù)發(fā)散.若r=-1, 幾何級(jí)數(shù)變成為,其前n項(xiàng)和是n為偶數(shù)n為奇數(shù)=因此,當(dāng)r=-1時(shí), 幾何級(jí)數(shù)也發(fā)散.綜上所述，當(dāng)時(shí)，幾何級(jí)數(shù)收斂，其和是，當(dāng)時(shí)，幾何級(jí)數(shù)發(fā)散. 例2證明級(jí)數(shù)收斂，并求其和.證明：因?yàn)閷?duì)任何n，有，所以，=，從而有.故

15、級(jí)數(shù)收斂, 其和是1.例3證明級(jí)數(shù)， 收斂，并求其和.證明：因?yàn)?， （3）對(duì)（3）式兩邊同乘以r，得r= （4）由（3）式兩邊分別減去（4）式兩邊，得- r=， （5） 由（5）式得=.又因時(shí),所以有=,故級(jí)數(shù)收斂, 其和是.二、收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì) 定理1（柯西收斂準(zhǔn)則） 級(jí)數(shù)收斂.根據(jù)定理1的必要性,若級(jí)數(shù)收斂,則取p=1,有,于是,有推論1 若級(jí)數(shù)收斂，則.推論1的等價(jià)命題是，若，則級(jí)數(shù)發(fā)散.例如,級(jí)數(shù)=因?yàn)?=,所以級(jí)數(shù)發(fā)散.注:僅是級(jí)數(shù)收斂的必要條件而不是充分條件,即,級(jí)數(shù)也可能發(fā)散.推論2若去掉、添加或改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng),則不改變級(jí)數(shù)的斂散性.例如,去掉發(fā)散級(jí)數(shù)的前面100項(xiàng),而級(jí)數(shù)仍是

16、發(fā)散的.定理2若級(jí)數(shù)收斂,其和是S,則級(jí)數(shù)也收斂,其和是,其中是常數(shù)(0).證明：設(shè)級(jí)數(shù)與的n項(xiàng)部分和分別是與，有=.已知,有,即級(jí)數(shù)收斂,其和是.定理2的結(jié)果可改寫為=c,即收斂級(jí)數(shù)(無(wú)限個(gè)數(shù)的和)滿足數(shù)(非零)的分配律.定理3若級(jí)數(shù)收斂,其和是,則不改變級(jí) 數(shù)每項(xiàng)的位置,按原來(lái)的順序?qū)⒛承╉?xiàng)結(jié)合在一起,構(gòu)成的新的級(jí)數(shù) (3)也收斂,其和也是.證明: 設(shè)級(jí)數(shù)的n項(xiàng)部分和是,新級(jí)數(shù) (3)的k項(xiàng)部分和是,有=即新級(jí)數(shù) (3)的部分和數(shù)列是級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列的子數(shù)列.已知,則.于是, 新級(jí)數(shù) (3)收斂, 其和也是.定理3說(shuō)明:收斂級(jí)數(shù)(無(wú)限個(gè)數(shù)的和)滿足結(jié)合律.注:一個(gè)級(jí)數(shù)的項(xiàng)經(jīng)過(guò)結(jié)合之后構(gòu)成的

17、新級(jí)數(shù)收斂,去掉括號(hào)之后的級(jí)數(shù)(即原級(jí)數(shù))不一定收斂.例如,級(jí)數(shù)收斂于0,但去掉括號(hào)之后的級(jí)數(shù)卻是發(fā)散的.定理4若級(jí)數(shù)與都收斂.其和分別是和, 則級(jí)數(shù)+.也收斂.其和是.證明: 設(shè)級(jí)數(shù),與的n項(xiàng)部分和分別是，有=.已知與,有=即級(jí)數(shù)收斂，其和是.例4判定級(jí)數(shù)的斂散性.解:因?yàn)?所以級(jí)數(shù)發(fā)散.例5討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:因?yàn)?而當(dāng)時(shí),通項(xiàng)的極限不存在.故此極限發(fā)散.例6利用柯西收斂準(zhǔn)則證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.證明:因?yàn)?于是令p=n,有=由于上式對(duì)任何自然數(shù)n都成立,因此只要取,對(duì)任何自然數(shù)N,存在自然數(shù)nN及自然數(shù)p=n,有.所以不滿足柯西收斂準(zhǔn)則的條件,故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.第二節(jié) 同號(hào)級(jí)數(shù)定義1 一個(gè)級(jí)

18、數(shù),若則稱級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù); 若則稱級(jí)數(shù)為負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù). 正項(xiàng)級(jí)數(shù)與負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)統(tǒng)稱為同號(hào)級(jí)數(shù).這一節(jié)我們討論同號(hào)級(jí)數(shù)的斂散性.將負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)乘以-1, 負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就變成了正項(xiàng)級(jí)數(shù),根據(jù)定理2, 負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與正項(xiàng)級(jí)數(shù)有相同的斂散性,因此,對(duì)同號(hào)級(jí)數(shù)的斂散性,只要討論正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性就可以了.對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù),它的部分和數(shù)列是一個(gè)非負(fù)的單調(diào)遞增數(shù)列.根據(jù)數(shù)列的單調(diào)有界原理,可直接得到下面的定理.定理1正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂它的部分和數(shù)列有上界.例1證明正項(xiàng)級(jí)數(shù)=收斂.證明：因?yàn)?當(dāng)時(shí),有所以,對(duì)任何,有=.因此部分和數(shù)列有上界,從而級(jí)數(shù)收斂.定理2 (比較判別法) 設(shè) 與是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且有，是正常數(shù).1) 若級(jí)數(shù)收斂

19、，則級(jí)數(shù)也收斂.2) 若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散.證明1）設(shè) 級(jí)數(shù)與的部分和數(shù)列分別是與，由條件，有=（1）因級(jí)數(shù)收斂，由定理1知數(shù)列有上界，由不等式（1）知也必有上界，再根據(jù)定理1知級(jí)數(shù)也收斂.2) 若級(jí)數(shù)發(fā)散，則數(shù)列無(wú)上界. 由不等式（1）知也無(wú)上界,則級(jí)數(shù)也發(fā)散.例2證明級(jí)數(shù)發(fā)散.證明：因?yàn)閷?duì)任何自然數(shù),有.又因?yàn)檎{(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,所以級(jí)數(shù)也發(fā)散.例3證明級(jí)數(shù)收斂，其中取1,2,3，9中的某一個(gè).證明：由于,=1,2,3,9又因?yàn)榧?jí)數(shù),所以由定理2知級(jí)數(shù)收斂.推論(比較判別法的極限形式)有兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)與（，且.1) 若級(jí)數(shù)收斂，且，則級(jí)數(shù)也收斂；2) 若級(jí)數(shù)發(fā)散，且，則級(jí)數(shù)也發(fā)散.例4討論級(jí)數(shù)

20、的斂散性.解：分兩種情況考慮：1）當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散，根據(jù)定理2，級(jí)數(shù)發(fā)散.2)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù),具體證明如下:首先,作輔助函數(shù),此函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo),由拉格朗日中值定理,得,=1,2,或. (2)又因 (3)根據(jù)(2)式與(3)式,有=. (4)其次,我們證明級(jí)數(shù)收斂,因?yàn)榇思?jí)數(shù)的前項(xiàng)和是=,又因,所以有.于是,級(jí)數(shù)收斂得證.最后,根據(jù)定理2及不等式(4),知時(shí),級(jí)數(shù)收斂.例5判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.1), 2), 3)解:1)因?yàn)?已知廣義調(diào)和級(jí)數(shù)收斂,根據(jù)定理2,級(jí)數(shù)收斂.2)取,有=0,已知級(jí)數(shù)收斂,所以,級(jí)數(shù)也收斂.3) 取,有已知級(jí)數(shù)發(fā)散,根據(jù)定理2的推論,級(jí)數(shù)也發(fā)散.定理3柯西

21、判別法（根式判別法）對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),若有1) <1, (p是常數(shù))，則級(jí)數(shù)收斂;2)則級(jí)數(shù)發(fā)散.證明：1)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，或，又已知幾何級(jí)數(shù)收斂，于是級(jí)數(shù)收斂.2)當(dāng)時(shí),有即不趨近于0,于是級(jí)數(shù)發(fā)散.推論（柯西判別法的極限形式）: 有正項(xiàng)級(jí)數(shù),若則1) 時(shí),級(jí)數(shù)收斂;2)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.證明：1）取正數(shù)k，使，由已知條件，對(duì)正數(shù)，存在自然數(shù)N，當(dāng)時(shí)，有，或，于是，當(dāng)時(shí)，有，根據(jù)定理4，級(jí)數(shù)收斂.2）當(dāng)時(shí), 存在自然數(shù)N，當(dāng)時(shí)，有或,根據(jù)定理4，級(jí)數(shù)發(fā)散.例6判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.1）, 2） （）, 3)解：1）因?yàn)?，所以?jí)數(shù)收斂.2)因?yàn)閷?duì)任給,有所以級(jí)數(shù)對(duì)所有正實(shí)數(shù)都收斂.3).級(jí)數(shù)發(fā)散

22、.定理4達(dá)朗貝爾判別法(比值判別法)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)(,1) 若有(常數(shù))<1,則級(jí)數(shù)收斂;2) 若有, 則級(jí)數(shù)發(fā)散.證明：1）不妨設(shè)，有或.=1, ,=2,=3, =k, , 已知幾何級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)收斂.2)已知,有或,即正數(shù)數(shù)列從項(xiàng)以后單調(diào)增加,不趨近于0,則級(jí)數(shù)發(fā)散.推論(達(dá)朗貝爾判別法的極限形式) 有正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且.1) 若則級(jí)數(shù)收斂；2) 若則級(jí)數(shù)發(fā)散.證明:1).由數(shù)列極限定義,有或.根據(jù)比值判別法,級(jí)數(shù)收斂.2)已知根據(jù)數(shù)列極限的保號(hào)性,有.根據(jù)比值判別法,級(jí)數(shù)發(fā)散.例7判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.1）， 2), 3), 4) ()解：1）,所以,級(jí)數(shù)收斂.2)=，所以,級(jí)數(shù)收斂.

23、3),所以,級(jí)數(shù)發(fā)散.4),根據(jù)比值判別法的推論,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.定理5積分判別法：如果在上非負(fù)且單調(diào)減少，其中是某個(gè)自然數(shù)，那么級(jí)數(shù)和積分同時(shí)斂散.證明:因?yàn)樵谏蠁握{(diào)減少,所以.由于,故級(jí)數(shù)和積分或者收斂或者取值.因此,上式當(dāng)時(shí)可變成.由此可見,級(jí)數(shù)收斂收斂.例8討論的斂散性，其中.解：取,它在上非負(fù)且單調(diào)減少,由于,可見,上述積分當(dāng)時(shí)收斂;當(dāng)時(shí)發(fā)散.根據(jù)積分判別法,級(jí)數(shù)也在時(shí)收斂;在時(shí)發(fā)散.第三節(jié) 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)本節(jié)討論一般項(xiàng)級(jí)數(shù),即變號(hào)級(jí)數(shù),也就是級(jí)數(shù)既有無(wú)窮多個(gè)正項(xiàng),又有無(wú)窮多個(gè)負(fù)項(xiàng).一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其收斂判別法定義1級(jí)數(shù)-+-+，稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性有下面的判

24、別法:定理1(萊布尼茨判別法)有交錯(cuò)級(jí)數(shù),若1） 2）.則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且，其中分別是交錯(cuò)級(jí)數(shù)的和，項(xiàng)部分和與余和.證明:用表示交錯(cuò)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和數(shù)列,下面我們分別考察的兩個(gè)子列與的極限.首先,討論子列,當(dāng)時(shí),有=+=+于是,有-=.由知的子數(shù)列單調(diào)遞增.另一方面,=-+-+=-(-)-(-)-(.因?yàn)橛叶死ㄌ?hào)里的每一項(xiàng)都非負(fù),所以,因此子列有界,根據(jù)單調(diào)有界原理, 子列數(shù)列.設(shè). (1)其次,由=+及,得=+. (2)(1)、(2)兩式表明,數(shù)列的偶次項(xiàng)與奇次項(xiàng)不僅都收斂,而且極限相同,所以數(shù)列也收斂,其極限是,即.故級(jí)數(shù)收斂.例1討論級(jí)數(shù)的斂散性.解：因?yàn)榍腋鶕?jù)定理1,交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂.例2討論

25、級(jí)數(shù)的斂散性.解:因?yàn)樗曰?又因,根據(jù)定理1,交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂.二、絕對(duì)收斂與條件收斂定義2若級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若級(jí)數(shù)收斂，而級(jí)數(shù)卻發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)條件收斂.定理2若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂.證明：已知級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)級(jí)數(shù)的柯西收斂準(zhǔn)則，有+.從而,有+,即級(jí)數(shù)收斂.注:這個(gè)定理的逆命題不真,即若級(jí)數(shù)收斂,但級(jí)數(shù)不一定收斂.例如,雖然級(jí)數(shù)收斂,但級(jí)數(shù)=卻發(fā)散.例3討論下列變號(hào)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性：1）； 2）； 3）解:1)=，有=。已知正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)定理2，級(jí)數(shù)收斂，且絕對(duì)收斂.2)=+-，有.已知正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)定理2，級(jí)數(shù)收斂,且絕對(duì)收斂.3),有,且.根據(jù)萊布尼茨判別法,(交錯(cuò))級(jí)

26、數(shù)收斂.而正項(xiàng)級(jí)數(shù)=(p級(jí)數(shù), )發(fā)散,從而級(jí)數(shù)條件收斂.判別級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂可歸結(jié)為判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂,判別變號(hào)級(jí)數(shù)的條件收斂,有下面兩個(gè)判別法.這兩個(gè)判別法要用到一個(gè)引理,通常稱為阿貝爾變換.引理（阿貝爾變換）設(shè)與(k=1，2，,n)是兩組數(shù)，（）.若,且有,則.定理3(狄利克雷判別法) 若數(shù)列單調(diào)減少,且級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界,即 有 則級(jí)數(shù)收斂.證明：，有.根據(jù)引理,有.已知,即有或于是,有.根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則,級(jí)數(shù)收斂.不難看到，判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的萊布尼茨判別法只是狄利克雷判別法的特殊情況.事實(shí)上,若數(shù)列單調(diào)減少,且,而級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界,即n是偶數(shù)n是奇數(shù)根據(jù)狄利克雷判別法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)收

27、斂.定理4（阿貝爾判別法） 若數(shù)列是單調(diào)有界，而級(jí)數(shù)收斂.則級(jí)數(shù)收斂.證明：若數(shù)列單調(diào)減少有下界,則數(shù)列收斂,設(shè).從而數(shù)列是單調(diào)減少的,且.已知級(jí)數(shù)收斂,則它的部分和數(shù)列必有界.根據(jù)狄利克雷判別法,級(jí)數(shù)收斂.已知級(jí)數(shù)收斂.再根據(jù)前面定理,級(jí)數(shù)=+收斂.若數(shù)列單調(diào)增加有上界,則數(shù)列是單調(diào)減少有下界.利用上面結(jié)果,級(jí)數(shù)收斂,于是級(jí)數(shù)收斂.例4設(shè)數(shù)列單調(diào)減少，且。討論下列級(jí)數(shù)的收斂性：1）； 2）.解：1）級(jí)數(shù)的部分和=，有，即，部分和數(shù)列有界.根據(jù)狄利克雷判別法,級(jí)數(shù)收斂.,有,顯然,級(jí)數(shù)也收斂.于是, 級(jí)數(shù)收斂.2)級(jí)數(shù)的部分和=.,有,即,部分和數(shù)列有界,根據(jù)狄利克雷判別法,級(jí)數(shù)收斂.,有,級(jí)

28、數(shù)=.于是,級(jí)數(shù)與同時(shí)收斂,同時(shí)發(fā)散.由例4知:,級(jí)數(shù)與都收斂.,級(jí)數(shù)與都收斂.例5判別下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂:1); 2),p是參數(shù)，且.解:1)正項(xiàng)級(jí)數(shù)=發(fā)散,事實(shí)上,有.已知級(jí)數(shù)發(fā)散,根據(jù)比較判別法的推論, 正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散.已知交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,而數(shù)列嚴(yán)格減少有下界.根據(jù)阿貝爾判別法,級(jí)數(shù).于是,級(jí)數(shù)條件收斂.2),有.已知級(jí)數(shù)收斂,于是,級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.,由上例知,級(jí)數(shù)收斂.又因?yàn)?已知級(jí)數(shù)發(fā)散,收斂,則級(jí)數(shù)發(fā)散,從而級(jí)數(shù)發(fā)散.于是,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)條件收斂.三、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)1、交換律性質(zhì)1若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，其和為，則任意交換級(jí)數(shù)的項(xiàng)，得到的新級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂，其和也為.2、結(jié)合律性質(zhì)2若級(jí)數(shù)

29、與都絕對(duì)收斂, 其和分別是與,則它們的乘積也絕對(duì)收斂, 其和為.其中=第十一章 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)本章我們將數(shù)列與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)推廣到更為一般的情形,即函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù). 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的理論是無(wú)窮級(jí)數(shù)的重要內(nèi)容.第一節(jié) 收斂概念一、函數(shù)列的收斂概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂概念是建立在數(shù)列的基礎(chǔ)上，同樣，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂概念是建立在函數(shù)列的基礎(chǔ)上因此我們首先討論函數(shù)列的收斂概念定義1設(shè)函數(shù)列的每個(gè)函數(shù)在區(qū)間I有定義.，數(shù)列收斂，設(shè)它的極限是，即，有 ，則稱函數(shù)列在區(qū)間收斂于，并稱是函數(shù)列的極限函數(shù)對(duì)于,若函數(shù)列收斂,則稱函數(shù)列在收斂,稱為函數(shù)列的收斂點(diǎn); 若函數(shù)列發(fā)散, 則稱函數(shù)列在發(fā)散,稱為函數(shù)列的發(fā)散點(diǎn).函

30、數(shù)列的全體收斂點(diǎn)（或發(fā)散點(diǎn)）的集合，稱為函數(shù)列的收斂域（或發(fā)散域）.例1求函數(shù)列的收斂域與極限函數(shù).解:因?yàn)閷?duì)任意,總有,故對(duì)任給,只要,就有,所以函數(shù)列的收斂域?yàn)?又,所以極限函數(shù)是=0.例2求函數(shù)列的收斂域與極限函數(shù).解:1)當(dāng)時(shí)，=0；當(dāng)，所以函數(shù)列在，處收斂；2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以對(duì)任給，只要取，當(dāng)時(shí)，有，故函數(shù)列在內(nèi)收斂且極限函數(shù)是.3)當(dāng),時(shí),由于函數(shù)列發(fā)散,所以函數(shù)列也發(fā)散.綜上所述, 函數(shù)列的收斂域?yàn)?其極限函數(shù)是=對(duì)收斂的函數(shù)列,我們不僅要確定它的收斂域,找出它的極限函數(shù),更重要的是研究極限函數(shù)的解析性質(zhì)(連續(xù)性、可微性、可積性).由上例看出,僅有函數(shù)列的收斂概念,由函數(shù)列的

31、連續(xù)還保證不了它的極限函數(shù)的連續(xù)性.為此,提出下面的一致收斂概念.定義2 設(shè)函數(shù)列在區(qū)間收斂于極限函數(shù).若存在，有,稱函數(shù)列在區(qū)間I一致收斂或一致收斂于極限函數(shù).例3明函數(shù)列：1）在區(qū)間一致收斂；2）在區(qū)間非一致收斂.證明：,有.即函數(shù)列在的極限函數(shù).1),要使不等式=,成立,從不等式,解得,取.于是,有,即函數(shù)列在區(qū)間一致收斂.2),有=即函數(shù)列在非一致收斂.二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂概念定義3設(shè)函數(shù)列中的每個(gè)函數(shù)都定義在數(shù)集上，將它們用加號(hào)連結(jié)起來(lái)，即 (1)就是定義在數(shù)集上的函數(shù)級(jí)數(shù).函數(shù)級(jí)數(shù)(1)的前項(xiàng)和就是函數(shù)級(jí)數(shù)(1)的項(xiàng)部分和，簡(jiǎn)稱部分和.若對(duì), 函數(shù)級(jí)數(shù)收斂，則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂,

32、稱為它的收斂點(diǎn); 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在點(diǎn)發(fā)散,稱為它的發(fā)散點(diǎn).全體收斂點(diǎn)（或發(fā)散點(diǎn)）的集合，稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域（或發(fā)散域）.顯然，函數(shù)級(jí)數(shù)（1）在收斂域的每個(gè)點(diǎn)都有和，于是，函數(shù)級(jí)數(shù)（1）的和是定義在收斂域的函數(shù)，設(shè)此函數(shù)是，即或=稱是函數(shù)級(jí)數(shù)（1）在收斂域的和函數(shù).函數(shù)級(jí)數(shù)（1）的和函數(shù)與它的項(xiàng)部分和的差,表為,即=-=稱為函數(shù)級(jí)數(shù)（1）的第項(xiàng)余和.對(duì)收斂域的任意,有例4求幾何級(jí)數(shù)=,的收斂域與和函數(shù).解：函數(shù)級(jí)數(shù)是幾何級(jí)數(shù),公比是.已知當(dāng)時(shí), 函數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí), 函數(shù)級(jí)數(shù)收斂,和函數(shù)=,即=于是,它的收斂域是收斂區(qū)間,和函數(shù)函數(shù)=.例5求函數(shù)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).解：因?yàn)槭菐缀渭?jí)數(shù), 公比

33、是,所以有=.1)當(dāng),即時(shí),有,于是;2)當(dāng),即時(shí),有,.3)當(dāng),即,時(shí),有=于是,當(dāng)時(shí), 函數(shù)列收斂,且0,當(dāng),函數(shù)列發(fā)散.綜上所述,有=不難看出，盡管函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是連續(xù)函數(shù)，但它的和函數(shù)卻不一定連續(xù).為了能保證,的解析性質(zhì)“遺傳”給它的和函數(shù),下面給出函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的概念.定義4設(shè)函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間收斂于和函數(shù)，若（通用），有 ,則稱函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂或一致收斂于和函數(shù).由此可見, 函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂,等價(jià)于函數(shù)列一致收斂,也等價(jià)于一致收斂于0.例6證明函數(shù)級(jí)數(shù),1)在(其中)一致收斂;2)在非一致收斂.證明:，有=.1),要使不等式=成立,從不等式,解得,取.于是,有.即函數(shù)級(jí)

34、數(shù)在一致收斂.2),有=,(因?yàn)?所以,使),即函數(shù)級(jí)數(shù)在非一致收斂.第二節(jié) 一致收斂的判別法一致收斂對(duì)討論極限函數(shù)或和函數(shù)的解析性質(zhì)是很重要的,但要用定義去判定,首先要知道它的極限函數(shù)或和函數(shù),對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)還要能寫出它的前項(xiàng)和的表達(dá)式.然而這些要求除了很少一部分函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)能做到外,絕大部分是困難的,甚至根本做不到.為此,就必須尋求不需要事先知道函數(shù)列的極限函數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù),僅根據(jù)函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)本身的特點(diǎn),就可以直接判定它是否一致收斂的判別法.一、函數(shù)列一致收斂的判別法定理1(柯西一致收斂準(zhǔn)則)：函數(shù)列在區(qū)間一致收斂，,，有一般來(lái)說(shuō), 函數(shù)列在區(qū)間收斂,它的極限函數(shù)較易求得

35、.因此判別函數(shù)列在區(qū)間的一致收斂性經(jīng)常使用如下的判別法:定理2函數(shù)列在區(qū)間一致收斂于極限函數(shù)證明:必要性已知函數(shù)列在區(qū)間一致收斂于極限函數(shù),即,有，從而，即.充分性（）已知，即，有.從而,有.即函數(shù)列在區(qū)間一致收斂于極限函數(shù).例1判別下列函數(shù)列在區(qū)間的一致收斂性：1）； 2）解：1），有，即極限函數(shù)=.=.顯然,即函數(shù)列在區(qū)間一致收斂.2)，有,即極限函數(shù).設(shè)函數(shù)=.函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),必取最大值.=.令=0,解得穩(wěn)定點(diǎn)1與.=0,.于是,是函數(shù)的極大點(diǎn),最大值(極大值)是,有=,即函數(shù)列在非一致收斂.二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法定理3(柯西一致收斂準(zhǔn)則)：函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂，有證明：必要

36、性已知函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂,設(shè)其和函數(shù)是,即,有.也有.于是,=+.充分性（）已知,有=,從而, 函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間收斂, 設(shè)其和函數(shù)是.因?yàn)槭侨我庾匀粩?shù),所以當(dāng)時(shí),由上述不等式,有,即函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.定理4（判別法）有函數(shù)級(jí)數(shù)，是區(qū)間.若,，有，且級(jí)數(shù)收斂，則函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間 一致收斂.證明：已知級(jí)數(shù)收斂,根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則,即,有,由已知條件,有+,即函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間 一致收斂.例2討論函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間的一致收斂性.解:應(yīng)用柯西一致收斂準(zhǔn)則,即,要使不等式=成立，從不等式，解得.取.于是,有,即函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間的一致收斂.例3證明：1）在區(qū)間一致收斂;2)在一致收斂.證明:1),即,有=.已知

37、級(jí)數(shù)收斂,根據(jù)定理4,函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.2),有.已知級(jí)數(shù)收斂,根據(jù)定理4,函數(shù)級(jí)數(shù)在一致收斂.注：-判別法是判別函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂的很簡(jiǎn)單的判別法，但是這個(gè)方法有很大的局限性，凡能用-判別法判別函數(shù)級(jí)數(shù)是一致收斂，此函數(shù)級(jí)數(shù)必是絕對(duì)收斂；如果此函數(shù)不是絕對(duì)收斂，而是條件收斂，那么就不能使用-判別法.對(duì)于條件收斂的函數(shù)級(jí)數(shù),判別其一致收斂,有下面的狄利克雷和阿貝爾判別法.首先給出下面結(jié)幾個(gè)概念:設(shè)函數(shù)列的每個(gè)函數(shù)都在數(shù)集有定義.1) 若,有,則稱函數(shù)列在一致有界.2) 若,有,則稱函數(shù)列在一致收斂于0.3)若，數(shù)列單調(diào)增加（單調(diào)減少），則稱函數(shù)列在單調(diào)增加（單調(diào)減少）. 單調(diào)增加或單調(diào)減少

38、,統(tǒng)稱為單調(diào).定理5（狄利克雷判別法）若函數(shù)列在區(qū)間單調(diào)減少一致收斂于0,且函數(shù)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間一致有界，則函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.證明:已知函數(shù)列一致收斂于0,即,有.又已知函數(shù)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間一致有界,即,有.從而,有=.根據(jù)阿貝爾變換,有.于是,有,即函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.定理6（阿貝爾判別法）若函數(shù)列在區(qū)間單調(diào)一致有界，且函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂，則函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.證明：不妨設(shè)函數(shù)列在區(qū)間單調(diào)減少。已知它在區(qū)間一致有界，即,有.有.從而,有.又已知函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂,即,有.根據(jù)阿貝爾變換,有,即函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.已知函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂;兩個(gè)函數(shù)級(jí)

39、數(shù)在區(qū)間都一致收斂,它們的“差”在區(qū)間也一致收斂.因此，函數(shù)級(jí)數(shù)=-在區(qū)間一致收斂.例4證明:若函數(shù)級(jí)數(shù)在收斂,則它在區(qū)間一致收斂.證明:將函數(shù)級(jí)數(shù)改寫為=.已知級(jí)數(shù)收斂,從而它在區(qū)間也是一致收斂,且函數(shù)列在單調(diào)減少,又一致有界,即,有.根據(jù)阿貝爾判別法,函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.例5證明：函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.證明：,，有.即函數(shù)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在一致有界,而數(shù)列單調(diào)減少趨近于0(當(dāng)然在也是一致收斂于0).根據(jù)狄利克雷判別法,函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.第三節(jié) 一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)本節(jié)我們將要證明，只要函數(shù)列（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）一致收斂，就可以保證它們的解析性質(zhì)“遺傳”給極限函數(shù)（和函數(shù)

40、）.定理1(和函數(shù)的連續(xù)性) 函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂于和函數(shù)，且在區(qū)間連續(xù)，則和函數(shù)在區(qū)間也連續(xù)證明:,已知函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂于和函數(shù),即,有.取定自然數(shù),有.從而,已知部分和函數(shù)在區(qū)間連續(xù), 從而在必連續(xù),即對(duì)上述同樣,:,有.于是,=+<+=.即和函數(shù)在連續(xù), 從而和函數(shù)在區(qū)間連續(xù).,定理1可寫成=.定理1指出,在函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂的條件下,極限運(yùn)算與無(wú)限和運(yùn)算可以交換次序.定理1 (極限函數(shù)的連續(xù)性) 若函數(shù)列在區(qū)間一致收斂于極限函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，則極限函數(shù)在區(qū)間連續(xù)證明略.定理2（逐項(xiàng)積分）若函數(shù)級(jí)數(shù)在一致收斂于和函數(shù)，且在連續(xù)，則和函數(shù)在可積，且簡(jiǎn)稱逐項(xiàng)積分證法：由于=.只須證

41、明,有.估算要用到函數(shù)級(jí)數(shù)在一致收斂于和函數(shù).證明:根據(jù)定理1, 和函數(shù)在連續(xù),從而和函數(shù)在可積.已知函數(shù)級(jí)數(shù)在一致收斂于和函數(shù),即,有.于是,=,即.定理2可改寫成.定理2指出,在函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂的條件下,定積分運(yùn)算與無(wú)限和運(yùn)算可以交換次序.定理3 (可積性)若函數(shù)列在一致收斂于極限函數(shù)，且在連續(xù)，則極限函數(shù)在可積，且或.簡(jiǎn)稱積分號(hào)下取極限.證明略.定理3(逐項(xiàng)微分)若函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間滿足下列條件：1) 收斂于和函數(shù)，即；2) 有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)；3) 導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂；則和函數(shù)在區(qū)間有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且.簡(jiǎn)稱逐項(xiàng)微分證明：已知函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間滿足定理1的條件，于是它有和函數(shù)，且，有=在區(qū)間連續(xù).

42、任意取定,根據(jù)定理2,有=-=-.上述等式的兩端對(duì)求導(dǎo)數(shù),有=.即和函數(shù)在區(qū)間有連續(xù)導(dǎo)函數(shù),且=.定理3指出,在函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂的條件下,求導(dǎo)運(yùn)算與無(wú)限和運(yùn)算可以交換次序.定理4 (極限函數(shù)的可微性)若函數(shù)列在區(qū)間滿足下列條件：1) 收斂于極限函數(shù)，即2) 有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)；3) 導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)數(shù)列一致收斂，則極限函數(shù)在區(qū)間有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且或. 簡(jiǎn)稱微分號(hào)下取極限.證明從略.例1討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),在上的解析性質(zhì).解:因?yàn)?根據(jù)判別法,在上一致收斂.設(shè)其和函數(shù)是,即=,由定理1知,函數(shù)在上連續(xù), 由定理2知在上可積,且=.由于,，所以有.又因?yàn)?且,已知收斂,根據(jù)判別法,在上一致收斂, 由定理3知在上可

43、導(dǎo),且=-,.例2討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),的解析性質(zhì).解:因?yàn)?所以此函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂.設(shè)其和函數(shù)是,即=,由定理1知, 函數(shù)在上連續(xù), 由定理2知在任一個(gè)閉區(qū)間上逐項(xiàng)可積.但因,及對(duì)任何,所以函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上發(fā)散,因此不能逐項(xiàng)求導(dǎo).第十二章 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)是把多項(xiàng)式直接推廣到無(wú)限情形而獲得的一類特殊的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).因此,它的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,應(yīng)用廣泛.除了一般的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)所具有的性質(zhì)外,在一定范圍內(nèi),它還具有多項(xiàng)式的性質(zhì).第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)一、冪級(jí)數(shù)的收斂域形如= （1）的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).其中叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù).下面著重討論當(dāng)?shù)那樾?，? （2）的性質(zhì).這既能把問(wèn)題簡(jiǎn)單化，又不失一般性.因?yàn)橹灰饕粋€(gè)簡(jiǎn)單

44、的線性變換，令，級(jí)數(shù)(1)就可以變成級(jí)數(shù)(2),反之亦真.顯然,任意冪級(jí)數(shù)(2)在0都收斂.關(guān)于冪級(jí)數(shù)(2)的收斂有下面的定理:定理1(阿貝爾第一定理) 對(duì)于冪級(jí)數(shù)1） 若在收斂，則冪級(jí)數(shù)（2）在都絕對(duì)斂；2） 若在發(fā)散，則冪級(jí)數(shù)（2）在都發(fā)散證明:1)已知級(jí)數(shù)收斂,由數(shù)列的必要條件,有.從而,數(shù)列有界，即，有.:,即,有.已知幾何級(jí)數(shù)收斂.于是,冪級(jí)數(shù)(2)在:都絕對(duì)斂.(2)用反證法:假設(shè):,冪級(jí)數(shù)(2)在收斂,由1), 冪級(jí)數(shù)(2)在(絕對(duì))收斂,與已知條件矛盾,即冪級(jí)數(shù)(2)在都發(fā)散.定理1指出, 冪級(jí)數(shù)(2)的收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn)在數(shù)軸上不能混雜交錯(cuò)出現(xiàn).由此不難想到,若冪級(jí)數(shù)(2)既有非

45、0的收斂點(diǎn)又有發(fā)散點(diǎn),那么數(shù)軸上必存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)與,它們是冪級(jí)數(shù)(2)的收斂點(diǎn)集與發(fā)散點(diǎn)集的分界點(diǎn).顯然,這個(gè)正數(shù)就是冪級(jí)數(shù)(2)的收斂點(diǎn)集的上確界,即=.不難證明, 冪級(jí)數(shù)(2)在絕對(duì)收斂;在發(fā)散.這個(gè)稱為冪級(jí)數(shù)(2)的收斂半徑.我們作如下的規(guī)定:若冪級(jí)數(shù)(2)僅在原點(diǎn)收斂，則它的收斂半徑=0；若冪級(jí)數(shù)(2)在收斂，則它的收斂半徑=.于是,任意冪級(jí)數(shù)都有唯一一個(gè)收斂半徑.設(shè)冪級(jí)數(shù)(2)的收斂半徑是,那么冪級(jí)數(shù)(2) 都絕對(duì)斂.在開區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)-與,冪級(jí)數(shù)(2)可能收斂也可能發(fā)散,將由冪級(jí)數(shù)(2)本身確定.因此冪級(jí)數(shù)(2)的收斂域必是收斂區(qū)間,只能是四類區(qū)間:,之一.冪級(jí)數(shù)(2),

46、即,由它的系數(shù)行列式所確定.因此冪級(jí)數(shù)(2)的收斂半徑也必由它的系數(shù)行列式唯一確定.怎樣求冪級(jí)數(shù)(2)的收斂半徑呢?有下面定理:定理2對(duì)冪級(jí)數(shù)，若，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑證明:討論正項(xiàng)級(jí)數(shù).根據(jù)達(dá)朗貝爾判別法,有,.1)，當(dāng)或，冪級(jí)數(shù)(2)絕對(duì)收斂；當(dāng)或，冪級(jí)數(shù)(2)發(fā)散.于是，收斂半徑=.2),有,即,冪級(jí)數(shù)(2)絕對(duì)收斂.于是, 收斂半徑.3),且,有,即,冪級(jí)數(shù)(2)發(fā)散.于是, 收斂半徑=0.例1求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,并討論收斂區(qū)間.解:已知,.=1.于是, 收斂半徑=1.冪級(jí)數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的斂散性分別討論:當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)變成調(diào)和級(jí)數(shù),所以發(fā)散;當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)變成交錯(cuò)級(jí)數(shù),所以級(jí)數(shù)條件收斂.于是,冪

47、級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是.例2求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及收斂域.解:已知,.=.于是,收斂半徑=0,即僅在0收斂,收斂域是.例3求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,并討論收斂區(qū)間.解:令,則=.已知,.=1,即冪級(jí)數(shù)的收斂半徑=1.時(shí), 冪級(jí)數(shù)都收斂.因此冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是.又因,即,所以冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是.下面討論冪級(jí)數(shù)的一致收斂性.定理3(阿貝爾第二定理) 若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，則它在任意閉區(qū)間上都一致收斂.(簡(jiǎn)稱內(nèi)閉一致收斂).證明:,即, ,有.已知級(jí)數(shù)收斂,根據(jù)判別法,冪級(jí)數(shù)在閉區(qū)間一致收斂.由此可見,雖然冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間不一定一致收斂,但是它在收斂區(qū)間的任意閉區(qū)間內(nèi)都一致收斂.二、冪級(jí)數(shù)的解析性質(zhì)上一章在講一般

48、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)時(shí),我們得到了一個(gè)很重要的結(jié)果:即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂可以保證它的解析性質(zhì)具有“遺傳”性.本章定理3也告訴我們冪級(jí)數(shù)在它的收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂,自然可推得冪級(jí)數(shù)在它的收斂域內(nèi)的解析性質(zhì)也可以“遺傳”給它的和函數(shù).下面給出具體的證明.定理4若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，則它的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù).證明:,即,總存在,使得,從而有,根據(jù)定理3,冪級(jí)數(shù)在上一致收斂,再根據(jù)和函數(shù)連續(xù)性定理,冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).又因是在中任意取的,所以和函數(shù)在內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù).定理5若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，則它的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的任一閉區(qū)間上可積,且可逐項(xiàng)積分,即=.證明:因?yàn)?所以冪級(jí)數(shù)在上一致收斂,因此有=

49、.特別是,對(duì),有=.定理6若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，則它的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 且可逐項(xiàng)微分,即=.證明:首先,證明冪級(jí)數(shù)與有相同的收斂半徑.由,有,根據(jù)定理2,所以冪級(jí)數(shù)與有相同的收斂半徑=.其次,證明=,.因冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)收斂,所以對(duì)任意,總存在,使得,即,根據(jù)定理3, 冪級(jí)數(shù)在閉區(qū)間上一致收斂.因此冪級(jí)數(shù)在上逐項(xiàng)可微,當(dāng)然在點(diǎn)可微,再根據(jù)點(diǎn)在內(nèi)的任意性,所以=,.推論冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是,在其收斂區(qū)間內(nèi)存在任意階導(dǎo)數(shù),且=,=,一般情形=,.由定理16看到, 冪級(jí)數(shù)的（收斂半徑）具有以下性質(zhì)：1. 收斂域是以原點(diǎn)為心的區(qū)間（可能是開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間，特殊情況可能是或退化為原點(diǎn)）.2

50、. 在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂3. 和函數(shù)在區(qū)間連續(xù).4. 和函數(shù)在任意閉區(qū)間可積，且可逐項(xiàng)微分,特別是，由0到可逐項(xiàng)積分，得到的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑也是5. 和函數(shù)在區(qū)間存在任意階導(dǎo)函數(shù)，且可逐項(xiàng)微分，逐項(xiàng)微分得到的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑也是例4求冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù).解:設(shè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是,即=, ,根據(jù)定理6,冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)微分,于是=, ,對(duì)上式兩邊積分,得=, ,從而=,又因=0,所以=, .例5求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解:不難計(jì)算冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是1,設(shè)它的和函數(shù)是,即,有=.為了逐項(xiàng)積分,將它改寫為=.=.將函數(shù)在0作連續(xù)開拓(=0,定義=1).,從0到逐項(xiàng)積分,有=.所以,有.對(duì)上式等號(hào)兩端求導(dǎo)數(shù),有=,于是=.第二節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開上一節(jié)我們討論了冪級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù)的解析性質(zhì).本節(jié)我們反其道而行之,即從給定的函數(shù)出發(fā),研究它具備什么條件時(shí)可展成冪級(jí)數(shù),如果可展成冪級(jí)數(shù)又怎樣計(jì)算它的系數(shù),這些問(wèn)題的解決將為函數(shù)的近似計(jì)算提供理論基礎(chǔ).一、泰勒級(jí)數(shù)首先討論假設(shè)函數(shù)能展成冪級(jí)數(shù),那么冪級(jí)數(shù)的系數(shù)與函數(shù)有什么關(guān)系.定理1若函數(shù)在區(qū)間能展成冪級(jí)數(shù),即,有=, (1)則函數(shù)函數(shù)在區(qū)間存在任意階導(dǎo)數(shù),且, 證明：根據(jù)定理6的推論,函數(shù)在區(qū)間存在任意階導(dǎo)數(shù),且