厄米算符的對易關系

1、6 - 3 厄米算符的對易關系一 算符的一般運算規(guī)則和對易式 1 、 算符之和與積1 ) 單位算符I對于任意的波函數，有 . (6. 42)2 ) 算符和相等如果對于任意的波函數y,都有, 則有. (6. 43)3 ) 算符與之和對于任意的波函數y，有 . (6. 44) 顯然： , (滿足交換律) ,(滿足結合律)可證: 兩個線性算符之和仍為線性算符. 兩個厄米算符之和仍為厄米算符。4 ) 算符與之積對于任意的波函數y，有. (6. 45)問題：兩個厄米算符之積是不是厄米算符？研究兩個算符作用是否與次序有關？ 2、 對易式及其滿足的恒等式算符之積一般并不滿足交換律，即 . 對易式的定義 .

2、(6. 46)若，則稱算符與對易；若 0，則稱算符與不對易。 兩個厄米算符之積一般并不是厄米算符，除非這兩個厄米算符可對易。具體而言，若，則有 , (6. 47)只有當或時，才有 ,這時兩個厄米算符與的積才是厄米算符。 對易式滿足下列恒等式：, , (6. 48) . 3、 逆算符若由 能夠唯一地解出y，則有 .若算符的逆算符存在，則有 .可以證明，若與的逆算符均存在，則有. (6. 49)二 學的基量子力本對易式1、 動量算符的各個分量之間可對易, , .由坐標表象中的動量算符為 立即可證. 2、 量子力學的基本對易式（位置算符和動量算符各分量之間的對易式，重要?。? (6.50)其中或1,

3、 2, 3，這里用了克羅內克符號 .可見，動量算符的各個分量只與位置算符的不同分量對易, , , ,;動量算符的相同分量之間是不可對易的 .凡與經典力學量相對應的力學量之間的對易關系，均可由此導出。顯然，克普朗常量在力學量的對易關系中起著關鍵性的作用。證明:考慮坐標算符x和動量算符的x分量. 對于任一波函數y，有, .將以上兩式相減，得.由于y 是體系的任意波函數，所以有.其它等式與此類似證明。（典型證法，要掌握）三 角動量算符各分量之間的對易式1、角動量算符各分量之間 , , ， (6. 51)2、角動量算符平方與各分量之間. (6. 52)3、角動量算符各分量與空間坐標分量之間, , ,

4、（6. 53）, .由以上各式可以歸納出以下規(guī)則：從左到右，以依次循環(huán)指標為正，任一指標“錯位”則為負，相同指標則為零。4、角動量算符各分量與動量坐標分量之間有類似（6. 53）的關系。5、若令 , (6. 54)則有 , (6. 55) . (6. 56)例題21. 2 試證明對易式.（要掌握）證明 利用基本對易式(21. 66)和對易式恒等式(21. 64)，可以得到.例題21. 3 試證明角動量算符三分量之間的對易式(21. 67) （要掌握）。解 利用基本對易式(21. 66)和對易式恒等式(21. 64)，可以得到 ,同理可得： , .以上三個關于分量的對易式，在形式上可以合寫成一個

5、矢量公式：, (21. 76)上式可以看成是角動量算符的定義式，是經典物理學中根本不可能存在的關系式。在經典物理學中，所有物理量都是可對易的，因此對任何矢量A總有A A = 0. 然而，在量子力學中，角動量算符的各分量互不對易，滿足式(21. 76)，由此決定了角動量的一系列異乎尋常的性質。6-4 共同本征函數(量子力學中的核心問題)一 不同力學量同時有確定值的條件和共同本征函數通常，對大量的、完全相同的、均處在用波函數y 描述的狀態(tài)體系的集合多次測量力學量A，然后對所得的結果求平均，則將會得一個平均值。每一次測量的結果將圍繞平均值有一個漲落. (6. 57)若令, (6. 58)對于任意兩個

6、力學量A和B，普遍的不確定關系為（省略證明）. (6. 59)可見：如果A,B0，則一般來說DA和DB不可能同時為零，即A與B不可能同時具有確定值，或者說，它們不可能具有共同本征態(tài)。如果A,B=0，則可以找到使DA=0和DB=0同時得到滿足的態(tài)，即可以找到這兩個算符的共同本征態(tài)。可以證明，一組算符具有共同本征函數的充要條件是，這組算符中的任意兩個算符都可以對易。例、動量算符的三個分量中的任意兩個算符都可以對易，它們的共同本征函數是,相應的本征值是p( px，py，pz )。二 角動量的共同本征函數 球諧函數1、角動量z分量的本征值方程以及正交歸一化的本征函數 , (6. 60) (6. 61)

7、其相應的本征值為 .2、的共同本征函數考察的本征值方程, (6. 62) 的本征值，l是待定的無量綱參量 的本征函數從和的表達式 , 可以看出，本征值方程(6. 62)可以用分離變量法來求解。取其本征函數為. (6. 63)將它代入本征值方程(6. 62)，利用的本征值方程，可得關于函數的方程為.為了保證上述方程解的有限性，待定參量l滿足 (6.64)通過計算，可以得到的正交歸一化共同本征函數為, (6. 65)其中的為關聯勒讓德函數，為球諧函數(見表6 - 1)表6 - 1 球諧函數l m0 01 01 12 02 12 2，總之，的共同本征函數是球諧函數, 它們滿足以下兩個本征值, (6.

8、 66), (6. 67), (；) (6. 68)方程以及正交歸一化條件：其中和Lz的本征值都是量子化的，l稱為軌道量子數或角量子數，而m稱為磁量子數。對于給定的軌道量子數l，L2的本征函數是不確定的，由于m =，因此共有個簡并態(tài)，這些簡并態(tài)由Lz的本征值來區(qū)分。 三 力學量完全集和本征函數的完全性1、解除簡并？一個力學量的一個本征值對應于若干個本征函數，因此只利用的本征值不足以完全確定波函數；找力學量（與獨立而又與對易），得 和的共同本征函數，仍然是簡并的？找力學量（與和獨立又對易）得，和的共同本征函數2、 力學量完全集假定(,)是一組彼此獨立而又相互對易的厄米算符，它們的共同本征函數記為

9、ya，其中a 是一組量子數的籠統(tǒng)記號（如）。如果在給定一組量子數a 之后，就能夠完全確定體系的一個可能狀態(tài)，則稱這一組力學量(,)構成了體系的一組力學量完全集。例、一維諧振子哈密頓算符的本征函數全部是非簡并的，因H本身就是力學量完全集，自由度為1. 共同本征函數的正交歸一性表示力學量的算符必定是厄米算符，而厄米算符的屬于不同本征值的本征函數是彼此正交的。因此，力學量完全集的共同本征函數ya具有正交性，對于已經歸一化的ya，有 , (6. 69) 態(tài)疊加原理如果一個體系剛好處于它的力學量完全集的共同本征態(tài)ya，則力學量的取值就是相應的本征值. 如果體系所處的狀態(tài)y不是力學量的共同本征態(tài)，而是若干

10、個共同本征態(tài)的線性疊加，即 , (6. 70)則按照態(tài)疊加原理可以認為，處于y 態(tài)下的體系是部分地處于 態(tài)，部分地處于態(tài)部分地處于態(tài)。由于力學量的取值只能是其本征值，所以只要式(6. 70)中存在某個ya項，則相應的本征值就是的一種可能取值，即力學量的取值既可以是A1，也可以是 . 希爾伯特空間與波函數統(tǒng)計詮釋包含哈密頓量在內的力學量完全集的共同本征態(tài)，構成了量子體系的態(tài)空間的一組完全的基矢，即體系的任何態(tài)均可用它們來展開。于是，力學量完全集的共同本征函數所張開的空間，就構成了體系的一個完全的態(tài)空間，稱為希爾伯特空間。如此，體系的任何一個狀態(tài)y 均可用希爾伯特空間中的矢量來描寫，即用力學量完全

11、集的共同本征函數(設量子數a 是離散的)來展開，即 , (6. 71)則共同本征函數系必須是一組完全的函數系。利用ya的正交歸一性，可以得到式(6. 71)中的展開系數為 . (6. 72)如果y 是歸一化的波函數，則有 . (6. 73)如果a 是連續(xù)變化的，則可將以上各式中求和化為積分. 按照態(tài)疊加原理，展開式(6. 71)表示該體系可以部分地處在展開式中所包含的共同本征函數系的任何一個態(tài)中。展開系數的模方表示y 態(tài)部分地處于態(tài)的概率，或者說，表示在y 態(tài)下測量力學量A得到Aa值的概率。四 狄拉克符號狄拉克符號特點：運算簡捷，無需采用具體表象。微觀體系的狀態(tài)： 用希爾伯特空間中的一個矢量來

12、表示，稱為右矢(ket)。在右矢內標上某種記號，可表示某個特殊的態(tài)。對于本征態(tài)，常把本征值或相應的量子數標在右矢內。例、用表示能量本征態(tài)。左矢(bra)：表示右矢的共軛空間中的一個抽象態(tài)矢。態(tài)矢與態(tài)矢的內積記為，于是有 .與正交: = 0；為歸一化矢: 。正交歸一性設和為力學量完全集F的離散的本征態(tài)，則它們的正交歸一性表示為. (6. 74)例題21. 4 求粒子處于態(tài)時角動量的x分量和y分量的平均值以及.解 由于與不對易，所以盡管球諧函數是與的共同本征函數，但卻并不是和的本征函數。為了求出和的平均值，我們利用對易關系 ， 可以得到.同理可得.由于坐標x與y的對稱性，因此有 , 再由 可得.例

13、題21. 5 已知一量子態(tài)的波函數為,試求y 態(tài)中角動量L2和Lz的可能取值、概率以及和. 解 由于y 是由L2和Lz的共同本征函數球諧函數疊加而成的，而且其展開系數分別為：,因此由和可得，y 態(tài)中角動量的可能取值及其概率分別為：,；：,；：,.所以，y 態(tài)的角動量的平均值和分別為：,.6 - 5 力學量隨時間的變化 守恒量與對稱性體系的哪一個力學量是守恒的？一 力學量平均值隨時間的變化在波函數y ( r, t )所描寫的量子態(tài)中，力學量A的平均值. (6. 75)通常是時間t的函數(因為y ( r, t )是時間t的函數，也可能顯含時間t，所以通常是時間t的函數)。求隨時間的變化率？對時間的

14、微商為 , (6. 76)由薛定諤方程 和,代入式(6. 76)中，可得 . (6. 77)因為是厄米算符()，有 ,代入式(6. 77)可得,或 . (6. 78) 如果力學量不顯含時間t ( ),有 . (6. 79) 如果力學量滿足 和 ,有 , (6. 80) 即力學量的平均值不隨時間改變。二 守恒量if 和 , or ，則力學量A稱為體系的一個守恒量。例、哈密頓量不顯含時間若體系的哈密頓量H不顯含時間t，總有 , H是體系的守恒量，體系的能量是守恒的。 例、自由粒子 , 動量和角動量都是守恒量。 例、在中心力場中運動的粒子, , . 角動量是守恒量，而動量卻不是守恒量。 守恒量的意義

15、：無論在什么狀態(tài)下，量子體系的守恒量的平均值和概率分布都不隨時間改變。 好量子數：如果初始時刻體系處在守恒量A的本征態(tài)，則隨著時間的推移，體系將保持在該本征態(tài)，守恒量A總是具有確定值。在這種情況下，守恒量A的量子數稱為好量子數。 如果初始時刻體系并不處在守恒量A的本征態(tài)，則以后的狀態(tài)也不會是 A的本征態(tài)。在這種情況下，盡管守恒量A并不具有確定值，但守恒量A的觀測值的概率分布卻不再隨時間而改變。量子體系的守恒量與定態(tài)守恒量是體系的一種特殊的力學量，它與體系的哈密頓量對易；守恒量在一切狀態(tài)(不管是否是定態(tài))下的平均值和概率分布都不隨時間改變。定態(tài)是體系的一種特殊的狀態(tài)，即能量本征態(tài)；在定態(tài)下，一切

16、不顯含時間t的力學量(不論其是否是守恒量)的平均值和測值概率分布都不隨時間改變，這正是稱之為定態(tài)的原因。三 守恒量與對稱性經典力學中守恒定律與對稱性的密切關系。體系具有空間平移不變性或空間均勻性 體系的動量守恒；空間轉動不變性或空間各向同性 體系的角動量守恒；時間平移不變性或時間均勻性 體系的能量守恒。在量子力學中，對于一個體系的對稱性的仔細分析，可以有助于了解體系的總體性質，發(fā)掘出隱藏的守恒量，得出一些非常重要的結論，而避免嚴格地求解薛定諤方程。21 - 6 量子力學的基本框架一、 量子理論基礎1、 熱輻射 普朗克量子假說：物體發(fā)射或吸收電磁輻射只能以“量子”方式進行，每個能量子的能量為。2

17、、光電效應愛因斯坦光子假說：光和粒子相互作用時表現出粒子性，每一個光量子的能量E與輻射頻率的關系。3、康普頓效應光量子具有動量，在定量上是正確的；在微觀的單個碰撞事件中，動量和能量守恒定律仍成立。4、 玻爾理論原子具有離散能量的定態(tài)，兩個定態(tài)之間的量子躍遷的概念以及頻率條件： .5、 德布羅意的波粒二象性假設 德布羅意波物質波de Broglie relation二、量子力學的基本框架1、 量子系統(tǒng)的狀態(tài)用波函數描述。 波函數的概率詮釋 ：在r點處的體積元中找到粒子的概率。 態(tài)疊加原理如y1, y2yn等都是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加態(tài)也是這個體系的一個可能狀態(tài)，2 、描寫物理系統(tǒng)的一

18、個力學量，對應于一個線性厄米算符。 ，本征值 本征函數 的共同本征函數是球諧函數：，對易式 . 基本對易式厄米算符的本征值為實數，對應不同本征值的本征矢相互正交。3 、任一狀態(tài)的波函數y，都可以用力學量算符的本征函數系，或一組力學量完全集的共同本征函數系來展開。當系統(tǒng)處在由波函數y 所描述的狀態(tài)時，每次測量一個力學量所得到的結果，只可能是與該力學量相對應的算符的所有本征值中的一個。對與算符相應的力學量進行足夠多次的測量，所得的平均值是y 與的內積，同y 與其自身的內積的商，即.或者說，對與算符相應的力學量進行測量，每次測量的結果取的某一本征值An的概率wn，等于y 對的本征函數系的展開式中，相應