《2.4.1-2.4.2平面向量的坐標(biāo)表示》導(dǎo)學(xué)案1

1、241-242平面向量的坐標(biāo)表示導(dǎo)學(xué)案 1課程學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 了解向量的實(shí)際背景.2. 理解平面向量的概念和向量的幾何表示.3. 理解相等向量的含義及向量的一些概念.4. 理解零向量的特點(diǎn).課程導(dǎo)學(xué)建議重點(diǎn)：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會(huì)表示向量難點(diǎn):理解平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系第一層級(jí)：知識(shí)記憶與理解知識(shí)體系梳理創(chuàng)設(shè)情境一只帆船剛開(kāi)始在風(fēng)平浪靜的海上行駛，但突遇“熱帶風(fēng)暴”，使得它的航向發(fā)生了偏移，沒(méi)有按照規(guī)定的航向行駛，雖然行駛了相同的路程但沒(méi)有到達(dá)目的地.為什么？知識(shí)導(dǎo)學(xué)問(wèn)題1:向量的概念、向量與數(shù)量、向量與有向線段的區(qū)別 在數(shù)學(xué)中，把既有大

2、小又有方向的量叫作向量.如:力、速度、加速度、位移等 數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量 只有大小沒(méi)有方向，是一個(gè)代數(shù)量，能 比較大小、進(jìn)行 代數(shù) 運(yùn)算;有方向、大小的雙重性，不能 比較大小,向量的大小是一 個(gè)數(shù)量（正數(shù)或0），可以比較大小 向量與有向線段的區(qū)別：有向線段是具有 方向 的線段,有向線段AB己作：_，起 點(diǎn)一定寫(xiě)在終點(diǎn)的前面； 線段AB的長(zhǎng)度也叫作 有向線段的長(zhǎng)度;有向線段的三要素： 起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度 ；向量只有 大小 和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn) 無(wú)關(guān)；向量可以用有向線段來(lái)表示 .問(wèn)題2：向量的表示方法：沖（起點(diǎn)）起點(diǎn)與終點(diǎn)字母 幾何表示法：用 有向線段 表示，即用表示向量的有向線段的來(lái)表示，如

3、圖，以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量表示為向量； 字母表示法：向量可以用小寫(xiě)字母來(lái)表示，書(shū)寫(xiě)時(shí)用，等表示（印刷時(shí)用黑體字a、b、c表示），如圖，向量可表示為 a.問(wèn)題3:向量的有關(guān)概念：（1）向量的模：向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度（或稱模），記作_|_，向量不能比較大 小，但向量的 ?？梢员容^大小（2）零向量與單位向量：長(zhǎng)度為零的向量叫作零向量，記作0.（3）長(zhǎng)度等于1個(gè)單位 的向量叫作單位向量.（4）平行向量：方向 相同或相反的兩個(gè)非零向量叫作平行向量 （也稱共線向量）：規(guī)定向量0與任一向量平行.（5）相等向量與相反向量： 大小相同，方向相同 的兩個(gè)向量是相等向量;大小相同，方向相反 的兩個(gè)向量互

4、為相反向量問(wèn)題4：平行向量（共線向量）與平行線段、共線線段的區(qū)別：平行向量（共線向量）不是幾何圖形，沒(méi)有幾何位置關(guān)系，表示兩個(gè)非零平行向量的有向 線段可以平行，也可以在同一條直線上；平行線段和共線線段是幾何圖形，有位置關(guān)系，兩條平行線段所在的直線一定平行，不會(huì)共線,反過(guò)來(lái)，兩條共線線段一定在同一條直線上，不會(huì)平行知識(shí)鏈接數(shù)學(xué)中，引進(jìn)一個(gè)新的量后，首先要考慮的是如何規(guī)定它的“相等”，這是討論這個(gè)量的基礎(chǔ)，如何規(guī)定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此，把“長(zhǎng)度相等且方向相同的向量”規(guī)定為相等向量是非常自然的由向量相等的定義可以知道，對(duì)于一個(gè)向量，只要不改變它的方向和大小，就可以任意平行移動(dòng)

5、因此，用有向線段表示向量時(shí)，可以任意選取有向線段的起點(diǎn)， 這為用向量處理幾何問(wèn)題帶來(lái)了方便，并使平面上的向量與向量的坐標(biāo)得以一一對(duì)應(yīng)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.給出下列物理量：質(zhì)量；速度；力；位移；路程；密度；功其中是向量的有（）A. 2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)【解析】判斷一個(gè)量是不是向量， 就是看它是否同時(shí)具備向量的兩個(gè)要素：大小和方向由于速度、位移、力都是由大小和方向確定的，所以是向量；而質(zhì)量、路程、密度、功有大 小而沒(méi)有方向，所以不是向量【答案】B2.已知a, b為兩個(gè)單位向量，下列結(jié)論正確的是().A. a=bB. a=b或 a=-bC.若all b,則 a=bD. |a|=|b|【解析】單位向

6、量的模為1，但方向不確定【答案】D3.下列命題中，正確的序號(hào)是 .平行向量的方向相同；不相等的向量一定不平行；零向量只能與零向量相等； 若兩個(gè)向量在同一條直線上，則這兩個(gè)向量一定共線； 兩個(gè)非零向量相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的模相等且方向相同；單位向量都相等.【解析】根據(jù)平行向量的定義，它們的方向可以相反，故不正確；由于模不相等的向量，它們也可以共線，故 不正確；由于零向量只能與零向量相等，故正確；由共線向量的定義知，當(dāng)兩個(gè)向量在同一條直線上時(shí)，這兩個(gè)向量不論方向如何,它們一定共線，故正確，但是應(yīng)注意當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，它們卻不一定在同一條直線上;由兩向量相等的定義知，正確；雖然單位向量的模都相等，但它

7、們的方向可以不相同，因此不正確.【答案】4. 一輛貨車(chē)從A點(diǎn)出發(fā)向東行駛了 150 km到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向向北偏東30°走了300 km到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向西行駛了150 km到達(dá)D點(diǎn).(1)作出向量，；求|.【解析】(1)，如圖.由圖可知和方向相反，故與共線又|=|= 150 km，所以AB CD所以四邊形ABC是平行四邊形，故 |=|= 300 km.第二層級(jí)：思維探索與創(chuàng)新重難點(diǎn)探究探究一與向量相關(guān)的概念關(guān)于向量有下列說(shuō)法： 方向相同或相反的非零向量是平行向量； 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等的向量； 有公共起點(diǎn)的向量叫共線向量； 零向量與任一向量共線； 若 |a

8、|=|b| ，則 a=b或 a=-b.其中正確說(shuō)法的序號(hào)是 .【方法指導(dǎo)】可根據(jù)共線向量或平行向量、相等向量的定義和零向量的特點(diǎn)來(lái)判斷.【解析】共線向量或平行向量是指方向相同或相反的兩個(gè)非零向量，所以正確，不正確；長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等的向量，故正確；規(guī)定零向量與任一向量平行，故正確；混淆了兩個(gè)向量的模相等和兩個(gè)實(shí)數(shù)相等的概念，兩個(gè)向量的模相等，只能說(shuō)明它們的長(zhǎng)度相等，并不意味著它們的方向相同或相反【答案】【小結(jié)】對(duì)于涉及向量及相關(guān)概念的說(shuō)法往往要抓住這些概念的實(shí)質(zhì)，從概念去分析判斷，并注意它們的區(qū)別.規(guī)定：零向量與零向量相等，零向量與任何向量共線探究二相等向量與共線向量如圖，四邊形A

9、BC是正方形， BC為等腰直角三角形.(1) 找出圖中與共線的向量；(2) 找出圖中與相等的向量；(3) 找出圖中與|相等的向量；(4) 找出圖中與相等的向量.【方法指導(dǎo)】?jī)蓚€(gè)向量相等滿足模相等且方向相同，而兩個(gè)向量共線則要求兩個(gè)向量所在的直線平行或重合，對(duì)于它們的方向和模的大小沒(méi)有要求【解析】(1)與共線的向量有、(2) 與相等的向量有、；(3) 與|相等的向量有、(4) 與相等的向量是.【小結(jié)】非零向量共線或平行，有四種情形：(1)兩個(gè)向量方向相同且模相等；(2)兩個(gè)向量方向相反且模相等；(3)兩個(gè)向量方向相同且模不相等；(4)兩個(gè)向量方向相反且模不相等.注意向量共線與相等的區(qū)別探究三向量

10、概念的實(shí)際應(yīng)用已知飛機(jī)從甲地向北偏東30°的方向飛行 2000 km到達(dá)乙地，再?gòu)囊业叵蚰掀珫|30°的 方向飛行2000 km到達(dá)丙地，再?gòu)谋叵蛭髂戏较蝻w行 1000 km到達(dá)丁地，問(wèn)丁地在甲地的什 么方向？ 丁地距甲地多遠(yuǎn)？【方法指導(dǎo)】用向量解決實(shí)際問(wèn)題，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單化【解析】如圖，A B、C D分別表示甲地、乙地、丙地、丁地，依題意知，三角形 ABC 為正三角形，AC=2000 km.又 T/ ACD45°, CD=000, AC為直角三角形，即 AD=000 km , / CAD45° .所以丁地在甲地的東南方向，距甲地1000 km.【小結(jié)】解

11、決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一下列說(shuō)法中正確的是. 若 |a|>|b| ，則 a>b; 共線向量一定相等； 起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量； 若|a|= 0,則 a=0; 與非零向量a共線的單位向量是【解析】由于向量是既有大小又有方向的量，兩個(gè)向量不能比較大小，故不正確；由于共線向量方向相同或相反（模不一定相等），故不正確；由于向量與起點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，故 正確；忽略了 0與0的區(qū)別，由|a|= 0,知a是零向量，即a=0，但a0,故不正確；因?yàn)榕c 任一非零向量，共線的單位向量有兩個(gè)，一個(gè)與a方向相同，一個(gè)與a方向相反，所以 不正

12、確【答案】應(yīng)用二理如圖，四邊形 ABC中，=,N M分別是AD BC上的點(diǎn)，且=.求證：三【方法指導(dǎo)】非零向量平行（共線）包括兩種情況：一種是方向相同，另一種是方向相反【解析】=, |=| ，且AB/ CD.四邊形ABC是平行四邊形.fi又與的方向相同,同理可證，四邊形CNA是平行四邊形,-11=11 ，11=11|=| ，且 DN/ MB.又與的方向相同，=.【小結(jié)】證明向量相等要抓住向量的模相等且方向相同，從而證明四邊形為平行四邊形只要證明兩個(gè)向量相等即可應(yīng)用三已知兩個(gè)力Fi,F2的方向互相垂直，且它們的合力F的大小為10 N,其與力Fi的夾角是60°, 求力Fi, F2的大小.

13、【解析】設(shè)表示力Fi,表示力F2,以O(shè)A 0囲鄰邊作平行四邊形 OACB則表示合力F,因 為Fi與F2垂直，所以平行四邊形 OAC是矩形，所以|=| cos 60 ° =5, |=| sin 60 ° =5, 因此，力F1和F2的大小分別為5 N和5 N.第三層級(jí)：技能應(yīng)用與拓展基礎(chǔ)智能檢測(cè)1. 設(shè)偽等邊三角形ABC勺中心，則向量，是().A. 有相同起點(diǎn)的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等的向量【解析】由正三角形的性質(zhì)可知，的長(zhǎng)度相等【答案】C2. 下列各命題中，正確的是().A. 若 |a|=|b| ，則 a=bB. 若 |a|=|b|，|b|=|c| ，則 a=

14、cC. 若 |a|=|b| ，則 a>b或 a<-bD. 若 a=b, b=c，貝U a=c【解析】向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向卻不一定相同，故A、B不正確；向量不能比較大小，故 C不正確；向量相等可以傳遞.【答案】D3. 下列說(shuō)法正確的是. 相等的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同 與非零向量共線的單位向量有兩個(gè) 不相等的向量一定不平行【解析】認(rèn)為 錯(cuò)誤是考慮到零向量，對(duì)于零向量，雖然起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，但當(dāng)起點(diǎn)不同時(shí)，終點(diǎn)也是不同的；認(rèn)為錯(cuò)誤是誤以為與非零向量 a共線的單位向量只有，而把與方向相反的向量漏掉了，兩個(gè)向量只要方向相同或相反就是平行向量，故不正確.【答案】

15、4. 如圖，設(shè)C是正六邊形ABCDEF中心.(1) 模與的模相等的向量有多少個(gè)？(2) 是否存在與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？(3) 請(qǐng)寫(xiě)出與共線的向量有哪些？【解析】(1)因?yàn)樵谡呅沃校?各條邊長(zhǎng)與中心C到各頂點(diǎn)的距離都相等，所以模 與的模相等的向量有23個(gè).(2) 存在，如、等.(3) 與共線的向量有、和、全新視角拓展（2013年四川卷）如圖，在平行四邊形 ABC中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O, +=入，則【解析】T +=2，二入=2.【答案】2第四層級(jí)：總結(jié)評(píng)價(jià)與反思思維導(dǎo)圖構(gòu)建學(xué)習(xí)體驗(yàn)分享固學(xué)案基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)檢測(cè)1. 下列各量中不是向量的是（）.A.體積B.風(fēng)速C.浮力D.加速度【解析】體積

16、只有大小沒(méi)有方向【答案】A2. 下列說(shuō)法正確的是（）.A. 若a/ b, b / c,貝y a / cB. 終點(diǎn)相同的兩個(gè)向量不平行C. 若=,則四邊形ABC是平行四邊形D. 單位向量的長(zhǎng)度為單位1【解析】對(duì)A，當(dāng)b=0時(shí)，a與c可以不平行，單位向量的模或長(zhǎng)度為單位1.【答案】D3. 已知a,b是兩個(gè)非零向量，且a與b共線，若非零向量c與a共線，則c與b必定.【解析】當(dāng)a，b是兩個(gè)非零向量時(shí)，若 a / b，a/ c，則b / c.【答案】共線4. 在直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出下面的向量：|a|= 4，a的方向與x軸正方向的夾角是30°，與y軸正方向的夾角是120°；|b|= 4，

17、b的方向與x軸正方向的夾角是110°，與y軸正方向的夾角是20° .【解析】根據(jù)與x軸正方向的夾角可以得到兩個(gè)向量，再根據(jù)與y軸正方向的夾角可以將向量確定下來(lái).a， b如圖所示.5. 如圖，在菱形ABCI中，可以用一條有向線段表示的向量是（）.A. 、B.、C. 、 D.、【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，有 DC AB又與的方向相同，故 =.【答案】B6. 正n邊形有n條邊，它們對(duì)應(yīng)的向量依次為 a1，a2，a3，an，則這n個(gè)向量（）.A.都相等 B.都共線 C.都不共線D.模都相等【解析】正n邊形各邊長(zhǎng)相等，可知 D正確.【答案】D7. 把平行于某一直線的一切向量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)，則終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是若這些向量為單位向量，則終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是【解析】共線向量的特點(diǎn)是方向相同或相反，所以把平行于某一直線的一切向量歸結(jié)到相同的始點(diǎn)時(shí)，則終點(diǎn)落在同一條直線上；單位向量的長(zhǎng)度為1，方向只有兩個(gè)，所以終點(diǎn)會(huì)構(gòu)成兩個(gè)點(diǎn)【答案】一條直線兩個(gè)點(diǎn)8. 如圖，四邊形ABC和四邊形ABD都是平行四邊形.試求：(1) 與向量相等的向量；(2) 與向量共線的向量.【解析