《151二項(xiàng)式定理》導(dǎo)學(xué)案

1、1.5.1 二項(xiàng)式定理 導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解并掌握二項(xiàng)式定理，能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2. 會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.3. 培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識(shí)，合作精神，體驗(yàn)二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，體會(huì)數(shù)學(xué) 語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔和嚴(yán)謹(jǐn) .重點(diǎn)理解并掌握二項(xiàng)式定理，能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理 .難點(diǎn)會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題 .教學(xué)過(guò)程先看下面的問(wèn)題 :二項(xiàng)式定理研究的是(a+b)n的展開(kāi)式，如：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3= ? , (a+b)4= ? , (a +b)100= ?，那么(a+b )n的展開(kāi)式是什么？這就是本節(jié)課我們將要學(xué)習(xí)的

2、內(nèi)容問(wèn)題 1:(1)二項(xiàng)式定理：(a+b)n= an+an-1b+an-2b2+abn-1+bn (n N+).(2)+ +=2n (n N+).問(wèn)題2:二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)在二項(xiàng)式定理中，右邊的多項(xiàng)式叫作(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式，展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)為 +1=an-rbr (r=0, 1, 2n),其中的系數(shù)(r= 0, 1, 2n)叫作 二項(xiàng)式系數(shù) .問(wèn)題3:使用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)要注意的問(wèn)題 通項(xiàng)+1是第r+ 1項(xiàng)，不是第r項(xiàng)； 通項(xiàng)+1的作用:處理與指定項(xiàng) 、 特定項(xiàng) 、 常數(shù)項(xiàng) 、 有理項(xiàng) 等有關(guān)的問(wèn)題. 二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念.如:(a+2b)3=a3

3、+a2 (2b)+a (2b)2+(2b)3=a3+6a2b+ 12ab2 + 8b3，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為=3,第三項(xiàng)的系數(shù)為 12.問(wèn)題4:使用二項(xiàng)式定理需要注意的問(wèn)題二項(xiàng)式定理展開(kāi)式中的 a和b的位置不能顛倒，且包括 a, b前面的符號(hào) ，而且a的次數(shù)逐漸降低，b的次數(shù)逐漸升高，每一項(xiàng)的次數(shù)都為n .牛頓與二項(xiàng)式定理牛頓被譽(yù)為人類(lèi)歷史上最偉大的科學(xué)家之一 .他不僅是一位物理學(xué)家、天文學(xué)家，他還是一位偉大的數(shù)學(xué)家 .二項(xiàng)式定理就是他數(shù)學(xué)生涯中的重大成果之一.1664年冬， 22歲的牛頓 在研讀沃利斯博士的無(wú)窮算術(shù)時(shí)，引發(fā)了許多思考，牛頓思考的是 “一般情形下，當(dāng) n N+時(shí)，(a+b)n等

4、于多少”這樣一個(gè)問(wèn)題經(jīng)過(guò)認(rèn)真思索、推算，得出了我們現(xiàn)在的二項(xiàng)式定 理.學(xué)習(xí)交流1. (+)6的展開(kāi)式的第 3項(xiàng)是().A.15 B.20 C.15 D.20【解析】T3=()4()2=15，故選C.【答案】 C2. (x-y)1°的展開(kāi)式中第5項(xiàng)的系數(shù)是().A.840B.-840C.210D.-210【解析】在通項(xiàng)公式Tr+i = (-y)rx10-r中令r=4,即得(x-y)10的展開(kāi)式中x6y4項(xiàng)的系數(shù)為(-)4=8 40，故選 A.【答案】 A3. (+)10的展開(kāi)式中第四項(xiàng)為.【解析】 T4=()7()3=120.【答案】 1204已知什2x)n的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

5、的和等于37,求展開(kāi)式中的第5項(xiàng)的系數(shù).【解析】由 += 37得 1+n+n(n-1)=37,得 n= 8.又TT5=(2x)4=x4,.該項(xiàng)的系數(shù)為5. 二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式求(4a-b)5的展開(kāi)式【方法指導(dǎo)】4a和-b分別是二項(xiàng)式定理中a, b的值，代入展開(kāi)式中整理即可.【解析】(4a-b)5= (4a)5+ (4a)4(-b)1+(4a)3(-b)2+ (4a)2(-b)3+ (4a)1(-b)4+ (-b)5=(4a)5- ><4a)4b+ x3 22 345543 22 345(4a)3b2-x(4a)2b3+x4ab4-b5=1024a5-640a4b+160a3b2-2

6、0a2b3+ab4-b5.【小結(jié)】熟練掌握二項(xiàng)式定理，弄清展開(kāi)式中a, b的值分別是什么，包括前面的符號(hào)6. 求二項(xiàng)展開(kāi)式的某項(xiàng)的系數(shù)(x-)8展開(kāi)式中x5的系數(shù)為【方法指導(dǎo)】可先求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，在通項(xiàng)中令X的指數(shù)為5,求出r的值，從而求出x5的系數(shù).【解析】通項(xiàng)公式Tr+1=x8-r(-)r=(-1)r，由題意得8-r=5，則r=2，故所求x5的系數(shù)為(-1)2= 28.【答案】 28 【小結(jié)】常用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式中某特定項(xiàng)的系數(shù).7. 求二項(xiàng)展開(kāi)式的項(xiàng)(+)24的展開(kāi)式中的整數(shù)項(xiàng)是().A.第12項(xiàng)B.第13項(xiàng)C.第14項(xiàng)D.第15項(xiàng)【方法指導(dǎo)】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求

7、解【解析】Tr+1=()24-r()r=xx經(jīng)檢驗(yàn)，r= 14,即第14項(xiàng)為整數(shù)項(xiàng).問(wèn)題上述解法有錯(cuò)誤嗎？結(jié)論通項(xiàng)公式中的項(xiàng)數(shù)是第r+ 1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng).故第15項(xiàng)為整數(shù)項(xiàng)【答案】D【小結(jié)】注意二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中+1=an-rbr是展開(kāi)式中的第r+1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng).例題應(yīng)用求(2x-)5的展開(kāi)式.【解析】(2x-)5= (2x)5+ (2x)4(-)1+ (2x)3(-)2+ (2x)2(-)3+(2x)1)4+ (-)5=32x5-80x4x+40x2-10+-=52-132x -40+40x -10+x -.二項(xiàng)式(+)n (n N+)的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則此展

8、開(kāi)式是否存在x?若存在，求出該項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)【解析】+1=()，令r=0, 1, 2得前3項(xiàng)的系數(shù)為1,所以n=1+，解得n= 1(舍去),n= 8,所以 Tr+1=()r，令=1，得 r=4 ,所以 T5= ()4x=x , =70 ,故展開(kāi)式中的第5項(xiàng)是x項(xiàng),系數(shù)為，二項(xiàng)式系數(shù)為70.應(yīng)用三已知(-)n的展開(kāi)式中，第五項(xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為 14 : 3,求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng).【解析】依題意：=14 ： 3? 3=14 ,/. = , n= 10.設(shè)第 r+1 項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),又 Tr+1 = () 10-r(-) r= (-2)r.令=0? r=2 ,2 T2+1 = (-2) =1

9、80 ,故所求常數(shù)項(xiàng)為180.課堂練習(xí)1.(3-)5展開(kāi)式中x2項(xiàng)的系數(shù)是().A.-270B.270C.-90D.90【解析】Tr+1=35-r(-1)r ,令=2得r=2 ,所以 T3=270x2 ,故選 B.答案】 B2若(ax-1)5的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是80,則實(shí)數(shù)a的值是().A.-2 B.2 C. D.2【解析】Tr+i=(ax)5-r -1)r=(-1)r a 5-r x 5-r，由 5-r= 3，得 r= 2，所以 a3= 80? a= 2，選 D. 【答案】 D6234563. 設(shè) x =a o+a i(x-1)+a 2(x-1)+a3(x-1)+a4(x-1)+a5(x-

10、1) +a6(x-1)，貝U a3=.66【解析】x =1 + (x-1)，故 a3= 20.【答案】204. 設(shè)常數(shù)m>0, (mx2+ )4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為，求m的值.【解析】Tr+1=m4rx82r，由 x8 2r=x3，得r=2,由 m4 r=，得m2= , m=±.又因?yàn)?m>0,所以 m5. (2013年遼寧卷)使得(3x+)n(n N+)的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為().A.4B.5C.6D.7【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tr+1=(3x)n r()r,Tr+1 = 3“ r, r= 0, 1, 2,，n.令n-r= 0, n=r,故最小正整數(shù)n=5，

11、故選B.【答案】B課后練習(xí)1.若(1 + 2x)n展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)的系數(shù)等于含x的項(xiàng)的系數(shù)的8倍，則n等于().A.5B.7C.9D.11【解析】展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)的系數(shù)為23,含x項(xiàng)的系數(shù)為2,依題意有=2，即n2-3n-10=0,. n= 5.【答案】A2.(x-)10的展開(kāi)式中，X6的系數(shù)是().A.-27B.27 C.-9 D.9【解析】Tr+1=x10-r(-)r,當(dāng)r=4時(shí)，x6的系數(shù)為9.【答案】 D3. 若(cos $ +*5的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為2,則cos 2 $=.【解析】由二項(xiàng)式定理得，x3的系數(shù)為cos2 0 =,22cos $=,故 cos 2 $=2cos 如仁

12、-.【答案】 -4. 設(shè)(a+b )20的展開(kāi)式中第4r項(xiàng)的系數(shù)與第r+2項(xiàng)的系數(shù)相等，求r的值.【解析】由題設(shè)可得 =，所以4r-1=r+ 1或20-(4r-1)=r+ 1，所以r=或r= 4,由于r N+，所 以 r= 4.5. (-)10的展開(kāi)式中含x的正整數(shù)指數(shù)幕的項(xiàng)數(shù)是().A.0 B.2 C.4 D.6【解析】(-)10的展開(kāi)式通項(xiàng)為T(mén)r+1=()10-r (-)=(-)，因此含X的正整數(shù)次幕的項(xiàng)共有2項(xiàng)， 故選B.【答案】B6. 在什f的展開(kāi)式中，若常數(shù)項(xiàng)為 60，則n的值為().A.3 B.6 C.9 D.12【解析】Tr+i=()n-r()r=2r，由=0，得n=3r，將四個(gè)

13、答案代入驗(yàn)證知，只有答案B符合題意.【答案】B7. (1+x )3+(1+x )4+(1+x)5+ (1 +x)20展開(kāi)式中 x3的系數(shù)是【解析】先求各展開(kāi)式中 X3的系數(shù)，再求和.所求X3的系數(shù)為+=(+)+=(+) + + =(+)+ += + = 5985.【答案】59858. 求(x3-)4+ (x+ )8的展開(kāi)式中整理后的常數(shù)項(xiàng).【解析】(X3-)4的通項(xiàng)公式為 Tr+1=(-)r(x3)4-r=(-2)rx12-4r,令 12-4r=0,則 r=3,這時(shí)得(x3-)4 的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-23=-32, (x+)8的通項(xiàng)公式為T(mén)k+1 = ()kx8-k=x8-2k,令8-2k=0,則k=4,這 時(shí)得(x+)8的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 =70,故(x3-)4+ (x+ )8的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)等于 -32 + 70=38.9. 在(x-y)10的展開(kāi)式中，x7y3的系數(shù)與x3y7的系數(shù)之和為 .【解析】(x7)(-y)3=-x 7y3, x3(-y)7=-x 3y7，即系數(shù)之和為-=-2=- 240.【答案】-24010. 是否存在等差數(shù)列，使a1+a2+a3+an+1= n 2“對(duì)任意n N+都成立？若