直線的對(duì)稱問題解析(共17頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上直線系對(duì)稱問題（一） 主要知識(shí)及方法：點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 ； 關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 .點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的求法： 設(shè)所求的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的中點(diǎn)一定在直線上.直線與直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，即直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線方程的求法： 到角相等； 在已知直線上去兩點(diǎn)（其中一點(diǎn)可以是交點(diǎn)，若相交）求這兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，再求過這兩點(diǎn)的直線方程； 軌跡法(相關(guān)點(diǎn)法)； 待定系數(shù)法，利用對(duì)稱軸所在直線上任一點(diǎn)到兩對(duì)稱直線的距離相等，點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，曲線：關(guān)于定點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為.直線系方程：直線（為常數(shù)，參數(shù)；為

2、參數(shù)，位常數(shù)）.過定點(diǎn)的直線系方程為及與直線平行的直線系方程為（）與直線垂直的直線系方程為過直線和的交點(diǎn)的直線系的方程為：（不含）典例分析（一）例1：已知3a+2b=1, 求證：直線ax+by+2(x-y)-1=0過定點(diǎn),并求該定點(diǎn)坐標(biāo).思路一：由3a+2b=1得:b=(1-3a) 代入直線系方程ax+by+2(x-y)-1=0整理得(2x y-1)+a(x -y)=0 由, 得交點(diǎn)(1, )直線過定點(diǎn)(1, ).思路二：賦值法令a=0得b= 得L1: 2x - y-1=0令b=0得a= 得L2: x y=0由, 得交點(diǎn)(1, )把交點(diǎn)坐標(biāo)代入原直線方程左邊得: 左邊=(3a+2b-1)3a+

3、2b-1=0 左邊=0 這說明只要3a+2b-1=0 原直線過定點(diǎn)(1, ).例2:求證:無(wú)論為何值,直線(2+)x-(1+)y-2(3+2)=0與點(diǎn)P(-2,2)的距離d都小于4.證明：將直線方程按參數(shù)整理得 (2x-y-6)+(x-y-4)=0故該直線系恒過二直線2x-y-6=0和x-y-4=0的交點(diǎn)M易解得M(2,-2) 求得|PM|=4 所以d4而過點(diǎn)M垂直PM的直線方程為x-y-4=0, 又無(wú)論為何值,題設(shè)直線系方程都不可能表示直線x-y-4=0d4【注】此題若按常規(guī)思路,運(yùn)用點(diǎn)距公式求解,則運(yùn)算量很大,難算結(jié)果,運(yùn)用直線系過定點(diǎn)巧妙獲解.例題：例3、 （1）證明直線l過定點(diǎn)； （2

4、）若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，AOB的面積為S，求S的最小值，并求此時(shí)直線l的方程； （3）若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍。 分析：（1）證直線系過定點(diǎn)，可用分離參數(shù)法。 （2）求AOB面積S的最小值，應(yīng)先求出目標(biāo)函數(shù)Sf(k)，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征選擇最小值的求法。 （3）直線不經(jīng)過第四象限的充要條件是：直線在x軸上的截距小于或等于-2，在y軸上的截距大于或等于1。或由直線經(jīng)過定點(diǎn)（-2，1）知斜率大于或等于零。 解：（1）直線l的方程是： 無(wú)論k取何值，直線總經(jīng)過定點(diǎn)（-2，1） （2）由l的方程，得： 解得：k0 解之得：k0 小結(jié)：本題證明直線系過定點(diǎn)問題所使

5、用的“分離參數(shù)法”，也是證明曲線系過定點(diǎn)的一般方法。例4、已知P（1，3），直線l：x4y10（1）求過P且平行于l的直線l1的方程；（2）求過P且垂直于l的直線l2的方程策略：由l1l的斜率關(guān)系可得，由l2l的斜率關(guān)系得4，再利用點(diǎn)斜式方程可求出直線l1，l2的方程由平行直線系與垂直直線系可以求出l1，l2的方程解法一：（1）直線l的斜率為且l1l，直線l1的斜率k1又l1過P（1，3），l1的方程為y3(x1)，即x4y110(2)kl且l2l，直線l2的斜率為k24又l2過P(1，3)l2的方程為y34(x1)即4xy70解法二：（1）l1l且l方程為x4y10設(shè)l1的方程為x4yC0又

6、P(1，3)在l1上143C0解得C11l1的方程為x4y110(2)l2l設(shè)l2的方程為4xyC0又l2過P（1，3）413C0解得C7l2的方程為4xy70評(píng)注：一般地，利用平行直線系和垂直直線系求直線方程會(huì)給計(jì)算帶來(lái)很大方便例5、求證：不論m為何實(shí)數(shù)，直線l：(m1)x(2m1)ym5恒過一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)策略：對(duì)于這類題目，只要找出兩條相交的直線，然后解出交點(diǎn)坐標(biāo)即可證法一：（特殊值法）當(dāng)m1時(shí)，直線l的方程為y4；當(dāng)m時(shí)，直線l的方程為x9；兩直線的交點(diǎn)為（9，4），滿足直線l的方程(m1)x(2m1)ym5不論m為何實(shí)數(shù)，直線l：(m1)x(2m1)ym5恒過一定點(diǎn)（9，4）

7、證法二：（直線系法）將方程(m1)x(2m1)ym5整理得m(x2y1)(xy5)0解方程組得不論m為何實(shí)數(shù)，定點(diǎn)(9，4)恒滿足方程(m1)x(2m1)ym5即不論m為何實(shí)數(shù)，直線l：(m1)x(2m1)ym5恒過一定點(diǎn)（9，4）評(píng)注：求某直線過定點(diǎn)的題目，常用的兩種方法特殊值法和直線系法例6、求經(jīng)過兩直線l1：x2y40和l2：xy20的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x4y50垂直的直線l的方程策略：可以先解方程組求出交點(diǎn)P，再利用ll3求出斜率，用點(diǎn)斜式求l方程；求出P點(diǎn)后，用垂直直線系求l方程；先由過l1，l2的交點(diǎn)的直線系設(shè)出l方程，然后由l3l求系數(shù)解法一：解方程組得交點(diǎn)P（0，2）k3

8、kl由點(diǎn)斜式得l：y2x即4x3y60解法二：設(shè)所求直線l：4x3yC0由解法一知：P(0，2）代入方程，得C6l：4x3y60解法三：設(shè)所求直線l：(x2y4)(xy2)0整理得(1)x(2)y240ll33(1)4(2)011l的方程為：(x2y4)11(xy2)0即4x3y60評(píng)注：解法一是常規(guī)解法，解法二用待定系數(shù)法，解法三應(yīng)用了經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程，省去了求兩直線交點(diǎn)的解方程組的運(yùn)算利用直線系解題一、直線系的定義1、 共點(diǎn)直線系方程經(jīng)過兩直線的交點(diǎn)的直線系方程為2、 平行直線系方程與直線3、 垂直直線系方程與直線二、利用直線系解題例題：(一)直接應(yīng)用1、 求過點(diǎn)A(1，-4)且

9、與直線平行直線方程。(課本第45頁(yè)例2) ()2、 求過點(diǎn)A(2,1)，且與直線垂直的直線方程。(課本第46頁(yè)例4) ()3、 求經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程。(課本第54頁(yè)第11題第1小題)( )4、 經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且平行于直線的直線方程。(課本第54頁(yè)第11題第2小題)( 5、 經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，且垂直于第一條直線的直線方程。(課本第54頁(yè)第11題第3小題)( )6、 求平行于直線且與它的距離為的直線方程。(課本第87頁(yè)第13題) (或 )(二)間接應(yīng)用7、 當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線恒過的定點(diǎn)為_。解：直線的方程可以化為，由直線系的定義我們知道：直線過的點(diǎn)是方程組 的

10、解，這樣我們就可以知道直線過點(diǎn)(-2,3)。8、已知圓C：及直線證明：無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，直線恒與圓C相交。分析：判斷直線與圓的位置關(guān)系通常采用“法”，或“比 較d與r法“，特別是“法”運(yùn)算量往往很大，當(dāng)發(fā)現(xiàn)直線過定點(diǎn)，且此定點(diǎn)又在圓內(nèi)部時(shí)，妙解應(yīng)運(yùn)而生。 證明：易證直線過定點(diǎn)M(3,2)，且4，即點(diǎn)M在圓C內(nèi)，點(diǎn)M又在直線上，故不論m為任何實(shí)數(shù)，直線與圓C相交。9、a、b滿足什么條件時(shí)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,直線： 與曲線C：總有公共點(diǎn)。分析：本題雖然可以用“法”來(lái)解，但不僅運(yùn)算量大(兩次使用判別式)，而且還容易忽視對(duì)二次不等式系數(shù)的討論而造成失解，如果利用直線過定點(diǎn)(0，b)，并使該點(diǎn)在橢圓C

11、上或在其內(nèi)部便可達(dá)到目的。解：易知直線：過點(diǎn)M(0，b)，欲使與橢圓C恒有公共點(diǎn)，須使點(diǎn)在橢圓C上或在其內(nèi)部，于是有即時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,直線與橢圓C恒有公共點(diǎn)。對(duì)稱問題是高中數(shù)學(xué)的比較重要內(nèi)容，它的一般解題步驟是：1. 在所求曲線上選一點(diǎn)；2. 求出這點(diǎn)關(guān)于中心或軸的對(duì)稱點(diǎn)與之間的關(guān)系；3. 利用求出曲線。直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題是對(duì)稱問題中的較難的習(xí)題，但它的解法很多，現(xiàn)以一道典型習(xí)題為例給出幾種常見解法，供大家參考典例分析（二）： 例1 （1）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)（2）求關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)（3）一張坐標(biāo)紙，對(duì)折后，點(diǎn)A(0，4)與點(diǎn)B（8，0）重疊，若點(diǎn)C(6，8)與D（m，n）重疊，求m+

12、n；例2：試求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程。解法1：（動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法）在上任取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則又點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，所以，所以。即。所以直線的方程是。解法2：（到角公式法）解方程組所以直線的交點(diǎn)為A(1,0) 設(shè)所求直線的方程為，即,由題意知，到與到的角相等，則.所以直線的方程是。解法3：（取特殊點(diǎn)法）由解法2知，直線的交點(diǎn)為A(1,0)。在上取點(diǎn)P（2，1），設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則而點(diǎn)A，Q在直線上，由兩點(diǎn)式可求直線的方程是。解法4：（兩點(diǎn)對(duì)稱法）對(duì)解法3，在上取點(diǎn)P（2，1），設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為Q，在上取點(diǎn)M（0，1），設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為而N，Q在直線上，由兩點(diǎn)式

13、可求直線的方程是。解法5：（角平分線法）由解法2知，直線的交點(diǎn)為A(1,0)，設(shè)所求直線的方程為：設(shè)所求直線的方程為,即.由題意知，為的角平分線，在上取點(diǎn)P（0，-3），則點(diǎn)P到的距離相等，由點(diǎn)到直線距離公式，有：時(shí)為直線，故。所以直線的方程是解法6（公式法）給出一個(gè)重要定理：曲線（或直線 ）關(guān)于直線的對(duì)稱曲線（或直線 ）的方程為。 證：設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn)，它關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則于是。M與M/關(guān)于直線l對(duì)稱，,（3）代入（2），得，此即為曲線的方程。解析：定理知，直線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線的方程為：所以直線的方程是。練習(xí)： （1）求直線關(guān)于點(diǎn)A（1，2）對(duì)稱的直線方程；（2）求直線關(guān)于直線x=3對(duì)

14、稱的直線方程；（3）求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程；例3 （1）已知，在直線上找一點(diǎn)P，使最小，并求最小值； （2 ）已知，在直線上找一點(diǎn)P，使最大，并求最大值； 例4 光線由點(diǎn)A(2，3)射到直線反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)B（1，1）求反射光線所在直線方程。練習(xí)：1、 光線從射出，被x軸反射后經(jīng)過點(diǎn)B（3，2），求入射光線所在直線方程；2、 光線沿著直線射向直線，求反射光線所在直線方程。3、 直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線方程是，求直線的傾斜角；4、 直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱，求直線的方程；5、一張坐標(biāo)紙對(duì)折后，點(diǎn)A(0，2)與點(diǎn)B（4，0）重疊，若點(diǎn)C(2，3)與D（m，n）重疊，求m+n；6、求直線關(guān)于點(diǎn)A（2，3）對(duì)車的直線方程7、與關(guān)于直線對(duì)稱，求直線的方程；8（選）、入射光線沿直線射到x軸后反射，這時(shí)又沿著直線射到y(tǒng)軸，由y軸再反射沿著直線射出，求直線的方程；9（選）、直線，直線，求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線方程。（三）課后作業(yè)： 方程表示的直線必經(jīng)過點(diǎn) 直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線方程是 ，僅有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的范圍是 求經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程已知的頂點(diǎn)為，的平分線所在直線的方程分別是：與：，求邊所在直線的方程.已知直線，當(dāng)變化