平面向量知識點歸納

1、第一章平面向量2.1向量的基本概念和基本運算16、 向量：既有大小，又有方向的量.數(shù)量：只有大小，沒有方向的量.有向線段的三要素：起點、方向、長度.零向量：長度為0的向量.單位向量：長度等于1個單位的向量.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行. 相等向量：長度相等且方向相同的向量.17、向量加法運算：三角形法則的特點：首尾相連.平行四邊形法則的特點：共起點.rrr三角形不等式：a b| a b a br r運算性質(zhì)：交換律：abba ；匚-： -:二r r r r r r rrr結(jié)合律：a b ca b c :aOOaa.坐標(biāo)運算：設(shè)a%X1,y2卷lbra貝%

2、X2X1y218、向量減法運算：三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量.坐標(biāo)運算：設(shè) a%X1,y2卷r b ra 貝y1X1uuu設(shè) 、 兩點的坐標(biāo)分別為x1,y1 , x2, y2，則為 x2,y1 y219、向量數(shù)乘運算：實數(shù)與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作a.Ia丨腳；當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，a的方向與a0時，ar0.運算律：r aa :r arraa ；a b坐標(biāo)運算：設(shè)a x,y ,則ax,yx, y .的方向相反；當(dāng)20、向量共線定理：向量 a ara設(shè)X2r 1UuU ILHIrHrU= AC-AB = BCrr與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯

3、一一個實數(shù)，使ba.ry2 ,其中b 0,則當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時，向量a、br o共線.2.2平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示iruu21、平面向量基本定理：如果ei、e，是同一平面內(nèi) 的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1、 2，使a 1Uuuu ur2O2 .（不共線的向量e、e2作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）22、分點坐標(biāo)公式：設(shè)點 是線段1 2上的一點，1、2的坐標(biāo)分別是h，X22，uuuujir2時，點的坐標(biāo)是X1X2 %y2（當(dāng)1時，就為中點公式。）2.3平面向量的數(shù)量積23、平面向量的數(shù)量積（兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。）：r

4、 ar a180° 零向量與任一向量的數(shù)量積為0 .rr性質(zhì)：設(shè)a和b都是非零向量，則a brrr ra b o.當(dāng)a與b同向時，a b a b運算律：r bra當(dāng)a與b反向時，ararar a2rara或2r ar ar ar c lb r c r a坐標(biāo)運算：設(shè)兩個非零向量ar |x2, y2，貝V a bx-!x2y y2 ra若yX,2X2raHu貝ra設(shè)y1X1>oy2%X1r br arr設(shè)a、 b都是非零向量，ax., y1 , bx2, y2 ,是a與b的夾角，貝r bra知識鏈接：空間向量空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得.下面對空間向量在立體幾何中

5、證明，求值的應(yīng)用進行總結(jié)歸納.1、直線的方向向量和平面的法向量.jjjjjj若A、B是直線l上的任意兩點，則 AB為直線I的一個方向向量；與 AB平行的任意非零向量也是直線I的方向向量.平面的法向量：若向量n所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作n ,如果nr那么向量n叫做平面 的法向量.平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.設(shè)平面的法向量為n （x, y,z）. 求出平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標(biāo)r r 根據(jù)法向量定義建立方程組 r an b 解方程組，取其中一組解，即得平面rura (ai,a2,a3), b (bbb)-00的法向量（如圖）1、用向量方法判定空間中的平

6、行關(guān)系線線平行設(shè)直線1門2的方向向量分別是a、b，則要證明ii J，只需證明a b，即a kb（k R）.即：兩直線平行或重合 =:兩直線的方向向量共線。線面平行 （法一）設(shè)直線i的方向向量是a，平面的法向量是u，則要證明I ，只需證明r r r ra u，即 a u 0.即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外 （法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可面面平行若平面的法向量為u，平面的法向量為v，要證，只需證u v，即證u v. 即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系線線垂直r

7、 rr r r r設(shè)直線Ii,l2的方向向量分別是a、b，則要證明Ii I2，只需證明a b，即a b 0. 即：兩直線垂直 ='兩直線的方向向量垂直。線面垂直（法一）設(shè)直線i的方向向量是a,平面的法向量是u，則要證明i,只需證明ar rr/ u，即 au.rLT uu （法二）設(shè)直線l的方向向量是a，平面內(nèi)的兩個相交向量分別為 m、n,若T LTam 0T T ,則 Ia n 0即：直線與平面垂直 ='直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。面面垂直若平面 的法向量為LL，平面 的法向量為v,要證，只需證L V，即證L V 0.即

8、：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。4、利用向量求空間角求異面直線所成的角已知a, b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a,b上的任意兩點，a, b所成的角為，UULT UUIL.AC BD貝廿 COSUULT|ULU.ac|b d|求直線和平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角一 求法：設(shè)直線i的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為，a與T的夾角為，貝U為的余角或的補角 的余角.即有:sincos求二面角定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分, 線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角， 二面角的面-其中的每一部分叫做半平面

9、；從一條直 這條直線叫做二面角的棱， 每個半平面叫做面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點0,分別在兩個半平面內(nèi)作射線AO l, BO l，貝y AOB為二面角l的平面角.求法：設(shè)二面角i的兩個半平面的法向量分別為m、n，再設(shè)m、n的夾角為，.面角的平面角為，則二面角ir r為m、n的夾角或其補角根據(jù)具體圖形確定 是銳角或是鈍角:如果是銳角，則coscos即 arccosir r m n ti-r- m n如果是鈍角，則coscos即 arccosnr m tr-r m n5、利用法向量求空間距離rr urnr若Q為直線l外的一點，P在直線l上，a為直線I的方向向量，b =PQ，則點Q到直線I

10、距離為h r 、（心潔|）2 a b）2|a r點a到平面 的距離若點P為平面 外一點，點 M為平面 內(nèi)任一點，ruuirr平面 的法向量為n,則P到平面 的距離就等于 MP在法向量n方向上的投影的絕對值.UULTMPUUITMPt uutn MP直線a與平面 之間的距離當(dāng)一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點面距離。由此可知，直線到平面兩平行平面,之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點面距離。r uurn MP即d r.n異面直線間的距離r設(shè)向量n與兩異面直線 a, b都垂直，M a,

11、P b,則兩異面直線 a,b間的距離d就是imrrMP在向量n方向上投影的絕對值。r unrn MP即d r.n6、三垂線定理及其逆定理如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線, 和這條斜線垂直.概括為：垂直于射影就垂直于斜線三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直PO,0推理模式：PAIAa AOa, a AP概括為：垂直于斜線就垂直于射影7、三余弦定理設(shè)AC是平面內(nèi)的任一條直線，AD是 的一條斜線 AB在 內(nèi)的射影，且BD丄AD,垂足為D.設(shè)AB與 (AD)所成的角為i , AD與AC所成的角為2

12、 , AB與AC所成的角為.則COS COS 1 COS 2 8、面積射影定理已知平面內(nèi)一個多邊形的面積為S S原，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為S S射，平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角SS射cos =.Ss原9、一個結(jié)論長度為I的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為2 22 2 2 21、2、3,則有I liI2I3coS1 coS2sin 1 sin 2 sin 3 2 （立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例），則li、I2、I3，夾角分別為cog 3 1B. 7個D. 9個 解析：選D.與向量共線的向量有，共9個，故選D.2.設(shè)不共線的兩個非零向量A. 1 B . - 1

13、(& + ke2)，則實數(shù)k的值為(ei,C . ±1D基礎(chǔ)練習(xí)一 選擇題1如圖，點0是正六邊形 ABCDE的中心，則以圖中點 A, B, C D, E, F, 0中的任意 一點為起點，與起點不同的另一點為終點的所有向量中，除向量外，與向量共線的向量共有( )A. 6個C. 8個答案：A3. 已知向量是不共線向量ei, e2,給出下列各組向量：1a= 2e1, b= &+ e； a= 2e1-e2, b= e1 + 尹；a= e1 + e2, b= 2& 2e2:a= e1+ e2, b= e1 e2.其中共線的向量組共有()A. 1個 B . 2個 C .

14、3個 D . 4個答案：B4. 已知E F分別為四邊形 ABCD勺邊CD BC邊上的中點，設(shè)=a,=匕則=()1 1a. 2( a+ b)B . 2(a+ b)1 1C.?(a b)D.尹a)答案：B5. 下列計算正確的有()(7) X6a= 42a: a 2b+ (2 a+ 2b) = 3a； a+ b (a+ b) = 0.A. 0個1個 C . 2個 D . 3個解析：對，對，錯，因為a+ b（a+ b） = 0.答案：C1. 化簡+所得結(jié)果是（）A. B. C . 0D.答案：C2 .在ABC中, | =| =| = 1，則 | 的值為（）A. 0 B . 1 C.3D. 2答案：B3

15、. 已知向量 a II b,且| a|>| b|>0，則向量a+ b的方向（）A. 與向量a方向相同B. 與向量a方向相反C. 與向量b方向相同D. 與向量b方向相反答案：A4. 在平行四邊形 ABCD，對角線 AC與 BD交于點Q +=入則 冶答案：25 .向量（+） + （ + ） +等于（）A. B. C. D.解析：（+ ） + （ + ） += （ + ） + （ + ） + = + + =.故選 C.答案：C1. 如果8、e2是平面a內(nèi)所有向量的一組基底，那么 （）A. 若實數(shù) 入、?2使 入e1+ 徐2= 0,貝U入=?2= 0B. 空間任一向量 a可以表示為a=e1

16、+be2，這里 入、九是實數(shù)C. 對實數(shù) 入、?2,入ei + 伽不一定在平面 a內(nèi)D. 對平面a中的任一向量a,使a=入ei+ 2的實數(shù)入、k有無數(shù)對答案：A2.如果 3ei + 4e2= a, 2ei + 3e2= b,其中 a, b 為已知向量，貝V ei =,e2=答案：ei= 3a 4b e2 = 2a + 3b3.設(shè)ei, e2是平面內(nèi)一組基底，如果=3ei 2a,= 4ei+ e2,= 8ei 9q，則共線的三點是 ()A. A、B、CB.B、C、DC. A、B、DD.A、C、D答案： C4設(shè)ei,e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是()A. ei+

17、 e2 和 ei e2B. 3ei 2e2 和 4e2 6eiC. ei+ 2e2 和 e2+ 2eiD. e2 和 ei + e2解析：T 4e2 6ei = 2(3 ei 2e2), 3ei 2e2 與 4e2 6ei 共線，故選 B.答案： B1. 若=(2, 3)，且點A的坐標(biāo)為(i,2)，則點B的坐標(biāo)為()A. (i,i)B.( i，i)C.(3, 5)D.( 4, 4)答案： C2. 已知平行四邊形 OABCO為原點)，=(2,0) , = (3,i)，則0C等于()A. (i,i)B. (i ， i)C. (i,i) D. (i,i)解析：=一=(3,1) (2,0) = (1,

18、1)，故選 A.1), c = ( 1,2)，貝V c 等于(答案：A13A. ga+b13B.護一尹31C. -ab2 231D.尹+ b3.若向量 a= (1,1) , b= (1 ,答案：B1.若a= (2,3) , b= (4 ,1 + y)，且 a / b,貝U y =()A.6B. 5C. 7D. 8答案：C2已知點M是線段AB上的一點，點P是平面上任意一點，=3+ 2，若=入則入等于（323A.B.C.552D.解析：用，表示向量，2 = + = + 5+5=一5+5,3 3=+ = 一 + = 一 5+5+ = 一 5+5,23.答案：D1.若向量a、b滿足| a| = | b

19、| = 1,a與b的夾角為60°貝U aa+ a b等于（B. 2D. 2C. 1 +213解析：選 B.a a+ a b= |a| + | a| b|cos60 °= 1 +2. 設(shè)a, b, c是任意的非零向量，且相互不共線，則下列結(jié)論正確的是(A. (a b) c (c a) b = 0B. a b= 0? a= 0 或 b= 0C. ( b c) a (a c)b 不與 c 垂直2 2D. (3a+ 4b) (3a 4b) = 9| a| 16| b|解析：選D.由于數(shù)量積是實數(shù)，因此(ab)c, (ca)b分別表示與c, b共線的向量，運算結(jié) 果不為0，故A錯誤；

20、當(dāng)a±b, a與b都不為零向量時，也有 ab = 0,故B錯誤；(b c) a - (a c) b c = ( b c) a c- (a c) b c= 0,故 C錯誤；2 2(3a+ 4b) (3a-4b) = 9a 16b - 12a b+ 12a b2 2=9| a| - 16| b| .1.a= ( - 4, 3) , b = (5 , 6)，則 3| a| x 2kx- 1 = 0，二 X1X2=- 1, X1 + X2= 2k,- 4a b 等于()A. 23B. 57C. 63D. 83解析：選 D. / |a| =(- 4) 2+ 32= 5,a b=-4拓 + 3$

21、 = - 2, / 3| a|2-4a b= 3X52-4* -2) = 83.故選 D.2.已知 A(2 , 1) , B(3 , 2) , C( - 1, 4)，則ABC是 ()A.銳角三角形B.直角三角形C. 鈍角三角形D.任意三角形解析：選 B. = (1 , 1) ( -3, 3) =- 3+ 3 = 0.故選 B.1 1 21.設(shè)坐標(biāo)原點為O已知過點0,的直線交函數(shù) y=x2的圖象于 a B兩點，貝U的值為()A.-C.B.-D.1 1 2y1y2=1 kx2 +2 1kxx + 4+k( X1+ X2)2=k2 + k2 +1 =414,解析：選C.由題意知直線的斜率存在可設(shè)為k

22、，則直線方程為y = kx+，與y=歹 聯(lián)13=X1X2+ y1y2=- 1 +" = -4 4填空題m=2. 已知A, B, C是不共線的三點，向量 m與向量是平行向量，與是共線向量，則解析： A, B, C不共線，.與不共線，又m與，都共線， m= 0.答案：06.已知 | = | a| = 3,| = | b| = 3，/ AOB= 120° 則 | a + b| =答案：35.已知向量a, b不共線，實數(shù)x, y滿足(3x-4y)a + (2x-3y)b=6a+ 3b,貝卩 xy =.解析：由題意，得3x 4y = 6且2x 3y = 3,解得x= 6, y = 3

23、, x y = 3.答案：36. 如下圖所示，已知E、F分別是矩形ABC啲邊BC CD的中點， EF與AC交于點G 若=a，= b，用a、b表示=.解析： E、F分別為相應(yīng)邊中點,3 3.334= 4(a+ b) = 4a+ 4b4. 已知 a= （ 1, 2）,b=（2, 3），實數(shù) x,y滿足 xa+ yb=（3, 4）,貝 y x=.答案：i5. 若將向量a= C.3, 1）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)扌得到向量b,則b的坐標(biāo)為.答案：(1, 3)6. 已知平行四邊形 ABC呼，A(1,1) , B(6,1) , q8,5)，則點D的坐標(biāo)為.答案：(3, 5)7. 作用于原點的兩個力Fi =(2, 2), F2= (I, 3)，為使它們平 衡，需加力F3 =.答案：(一3, 5)3.已知？ ABC四個頂點的坐標(biāo)為 A(5,7) , B(3 , x) , C(2,3),D(4 , x)，貝S x =.答案：53. 已知向量a, b滿足| b| = 2, a與b的夾角為60°,貝U b在a上的投影是 .解析：b 在 a 上