數學史概論近代數學的興起

1、 第五講第五講 近代數學的興起近代數學的興起-文藝復興時期的數學文藝復興時期的數學(1517世紀初世紀初)5.1中世紀的歐洲中世紀的歐洲5.2向近代數學的過度向近代數學的過度5.3解析幾何的誕生解析幾何的誕生5.2.15.2.1代數學代數學5.2.2三角學5.2.3從透視學到攝影學5.2.4計算技術與對數5.1中世紀的歐洲中世紀的歐洲 - 歐洲中世紀的回顧歐洲中世紀的回顧公元公元5-11世紀，是歐洲歷史上的黑暗時期世紀，是歐洲歷史上的黑暗時期直到直到12世紀，同于受翻譯、傳播阿拉伯世紀，同于受翻譯、傳播阿拉伯著作和希臘著作的刺激，歐洲數學與開著作和希臘著作的刺激，歐洲數學與開始出現復蘇跡象?？?/p>

2、以說，始出現復蘇跡象。可以說，12世紀是歐世紀是歐洲數學的翻譯時代洲數學的翻譯時代歐洲黑暗時期過后，第一位有影響力的歐洲黑暗時期過后，第一位有影響力的數學家是斐波那契數學家是斐波那契斐波那契斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250):(1202 算盤書算盤書)算盤書主要內容：整數和分數算法；開方法；二次和三次方程以及不定方程；系統(tǒng)介紹印度-阿拉伯數碼；算盤書算盤書可以看作是歐洲數學在可以看作是歐洲數學在經歷了漫長的黑夜之后走向復蘇的經歷了漫長的黑夜之后走向復蘇的號角。號角。 一、文藝復興（14-16世紀）文藝復興運動：13世紀末，在意大利各城市興起，以后擴展到西歐各國，于16世紀在

3、歐州盛行的思想文化運動。是科學與藝術的革命時期文藝復興時期在各領域取得很大成就 ，數學成就只不過是其中之一 5.2向近代數學的過度向近代數學的過度-希望的曙光希望的曙光-歐州文藝復興時期歐州文藝復興時期的數學的數學代數學代數學 三角學三角學 從透視學到射影幾何從透視學到射影幾何計算技術與對數計算技術與對數5.2.1代數學代數學歐洲人在數學上的推進是從代數歐洲人在數學上的推進是從代數學開始的，它是文藝復興時期成學開始的，它是文藝復興時期成果最突出、影響最深遠的領域，果最突出、影響最深遠的領域，拉開了近代數學的序幕。主要包拉開了近代數學的序幕。主要包括三、四次方程求解與符號代數括三、四次方程求解與

4、符號代數的引入這兩個方面。的引入這兩個方面。 1. 三、四次方程根式求解的成功三、四次方程根式求解的成功第一個突破：約1515年費羅發(fā)現形如：x3+mx=n (m,n0)，代數方程的解法并將解法秘密傳給自己的學生費奧1535年，意大利另一位數學家塔塔利亞，也宣稱自己能解形如：x3+mx2=n (m,n0)的三次方程。費奧向塔塔利亞挑戰(zhàn)，要求各自解出對方提出的30個三次方程。 結果是，塔塔利亞很快解出形如: x3+mx2=n 和x3+mx=n (m,n0)兩類型所有方程，而費奧只能解出后一類方程后來，塔塔利亞把解法傳給了卡爾丹塔塔利亞（niccolo fontana, 1499?1557，綽號t

5、artaglia意為口吃著） 大法（Ars Magna）qpxx3（p, q 0） 332)3()2(2pqqa332)3()2(2pqqb實質是考慮恒等式333)(3)babaabba（若選取a,b,使：3ab=p, a3-b3=q,不難解得a,bqpxx3p, q 0 332)3()2(2pqqa332)3()2(2pqqb2.四次方程求解四次方程求解x4+ax3+bx2+cx+d=0基本思想是通過配方、因式分解后降次基本思想是通過配方、因式分解后降次 關于四次方程的解法，以后韋達和笛卡關于四次方程的解法，以后韋達和笛卡爾都作過研究，并取得成果，由此引發(fā)探求爾都作過研究，并取得成果，由此引

6、發(fā)探求五次方程根式解的嘗試，經拉格朗日、阿貝五次方程根式解的嘗試，經拉格朗日、阿貝爾、伽羅瓦的努力，阿貝爾首先證明了一般爾、伽羅瓦的努力，阿貝爾首先證明了一般的五次及以上方程無根式解，伽羅瓦在此基的五次及以上方程無根式解，伽羅瓦在此基礎上創(chuàng)造了礎上創(chuàng)造了群論群論，將代數研究推向縱深，將代數研究推向縱深。3.代數符號體系與代數運算代數符號體系與代數運算 韋達韋達(F.Vieta):(1591)近現代數學一個最為明顯、突出的標志，近現代數學一個最為明顯、突出的標志，就是普遍地使用了數學符號，它體現了就是普遍地使用了數學符號，它體現了數學學科的高度抽象與簡練。文藝復興數學學科的高度抽象與簡練。文藝復

7、興時期代數學的另一重大進展，便是系統(tǒng)時期代數學的另一重大進展，便是系統(tǒng)地引入符號代數。地引入符號代數。 韋達是第一個有意識地、系統(tǒng)地使用字韋達是第一個有意識地、系統(tǒng)地使用字母。他的符號體系的引入導致代數性質母。他的符號體系的引入導致代數性質上產生最重大變革上產生最重大變革 l 1616世紀最大的數學家世紀最大的數學家l 代數學之父：代數學之父：1591年年分析引論分析引論5.2.2三角學(從球面三角到平面三角） 航海、歷法推算以及天文觀測的需要，推動了三角學的發(fā)展 。早期三角學總是與天文學密不可分，這樣在1450年以前，三角學主要是球面三角 。后來由于間接測量、測繪工作的需要而出現了平面三角

8、三角學,起源于古希臘。為了預報天體運行路線、計算日歷、航海等需要，古希臘人已研究球面三角形的邊角關系，掌握了球面三角形兩邊之和大于第三邊，球面三角形內角之和大于兩個直角，等邊對等角等定理。印度人和阿拉伯人對三角學也有研究和推進，但主要是應用在天文學方面。15、16世紀三角學的研究轉入平面三角，以達到測量上的應用目的。 在歐洲，最早將三角學從天文學獨立出來的數學家是德國人雷格蒙塔努斯（J.Regionomtanus,1436-1476）。雷格蒙塔努斯的主要著作是年完成的論各種三角形。這是歐洲第一部獨立于天文學的三角學著作。全書共卷，前卷論述平面三角學，后卷討論球面三角學，是歐洲傳播三角學的源泉。

9、雷格蒙塔努斯還較早地制成了一些三角函數表。三角學的進一步發(fā)展，是法國數學家韋達所做的平面三角與球面三角系統(tǒng)化工作。他在標準數學（1579）和斜截面（1615）二書中，把解平面直角三角形和斜三角形的公式匯集在一起，其中包括自己得到的正切公式：)2tan()2tan(BABAbaba三角學在今天 的應用三角測量：在導航，測量及土木工程中精確測量距離和角度的技術，主要用于為船只或飛機定位。它的原理是：如果已知三角形的一邊及兩角，則其余的兩邊一角可用平面三角學的方法計算出來。5.2.3從透視學到射影幾何從透視學到射影幾何由于繪畫、制圖的刺激而導致了富有文藝復興特色的學科透視學的興起，從而誕生了投影幾何

10、學。意大利藝術家布努雷契（f.brunelleschi, 13771446）由于對數學對興趣而認真研究透視法，他試圖運用幾何方法進行繪畫。數學透視法的天才阿爾貝蒂（l.b.alberti ，14041472) 的完全是數學性質的論繪畫（1511）一書，是早期數學透視法的代表作，書中除引入投影線、截影等一些概念外，還討論了截影的數學性質，成為射影幾何發(fā)展的起點。重要人物布努雷契布努雷契 意(F.Brunelleschi,1377-1446)阿爾貝蒂阿爾貝蒂(L.B. Alberti ,1404-1472) -早期數學透視法的代表作富有獨創(chuàng)精神的數學天才-德沙格德沙格（g.desargues, 1

11、5911661） （笛沙格）德沙格的工作德沙格的工作德沙格德沙格（1591-1661），法國陸軍軍官，），法國陸軍軍官，德沙格定理。德沙格發(fā)表了德沙格定理。德沙格發(fā)表了本關于圓本關于圓維曲線的很有獨創(chuàng)性的小冊子維曲線的很有獨創(chuàng)性的小冊子試論錐試論錐面截一平面所得結果的初稿面截一平面所得結果的初稿 ，從開普，從開普勒的連續(xù)性原理開始，導出了許多關于勒的連續(xù)性原理開始，導出了許多關于對合、調和變程、透射、極軸、極點以對合、調和變程、透射、極軸、極點以及透視的基本原理及透視的基本原理1、兩投影三角形對應邊交點共線，反之，對應邊、兩投影三角形對應邊交點共線，反之，對應邊共點的兩三角形，對應頂點的連線共

12、點（德沙格共點的兩三角形，對應頂點的連線共點（德沙格定理）定理）德沙格定理德沙格德沙格德沙格的另一項重要工作是從對合點問題出發(fā)首次討論了調和點組的理論。在對合概念的基礎上他又引入共軛點與調和點組的概念，認為對合、調和點組關系在投影變換下具有不變性。 即投影線的每個截線上的交比都相等:如下圖，有( A B , C D )=( AB,CD)2、交比在投影下的不變性；3、對合、調合點組關系不變性。對任一直線上的定點O，稱直線上的兩對點A，B和A，B是對合的，如果成立：OAOB=OA OB帕斯帕斯卡卡帕斯卡（帕斯卡（1623-1662），著作），著作圓錐曲線論圓錐曲線論（1640），在射），在射影幾何

13、方面他最影幾何方面他最突出的成就就是突出的成就就是帕斯卡定理：帕斯卡定理：圓圓錐曲線的內接六錐曲線的內接六邊形對邊交點共邊形對邊交點共線。線。拉伊爾拉伊爾（1640-1718），），著作著作圓錐線圓錐線，最突出的地方在于極點理論方面有所最突出的地方在于極點理論方面有所創(chuàng)新，獲得并且這樣的定理：創(chuàng)新，獲得并且這樣的定理：若一點若一點Q在直線在直線p上移動，則該點上移動，則該點Q的極帶將的極帶將繞直線繞直線p的極點的極點P轉動。轉動。5.2.4計算技術與對數計算技術與對數十六世紀前半葉，歐洲人象印度、阿拉伯人一樣，把實用的算術計算放在數學的首位。1585年荷蘭數學家史蒂文發(fā)表的論十進制算術系統(tǒng)探討

14、十進數及其運算理論，并提倡用十進制小數來書寫分數，還建議度量衡及幣制中也廣泛采用十進制。這種十進位值制的采用又為計算技術的改進準備了必要條件。 這一時期計算技術最大的改進是對數的發(fā)明和應用，它主要是由于天文和航海計算的強烈需要，為簡化天文、航海方面所遇到繁復的高位數值計算，自然希望將乘除法歸結為簡單的加減法。蘇格蘭貴族數學家納皮爾(j.napier)正是在球面天文學的三角學研究中首先發(fā)明對數方法的。1614年他在題為奇妙的對數定理說明書的小書中，闡述了他的對數方法。納皮爾納皮爾（1550-1550-16171617），利用），利用兩種不同的運兩種不同的運動之間的關系，動之間的關系，建立了建立了

15、“對數對數”關系。稱為納關系。稱為納皮爾對數。皮爾對數。對數的實用價值很快為納皮爾的朋友，倫敦雷沙姆學院幾何學教授布里格斯(henrybriggs,15611631)所認識，他與納皮爾合作，決定采用 ，則 時得到 ，這樣就獲得了今天所謂的“常用對數”。10yxx21xxyyy21布里格斯布里格斯（1561-1561-16311631），建），建立了以立了以1010為為底的常用對底的常用對數，制出第數，制出第一張常用對一張常用對數表。數表。比爾吉比爾吉（1552-16321552-1632），），也獨立發(fā)明了對數。他對數思想的基礎是斯蒂費爾的級數對應思想，屬于算術性質而略異于納皮爾的做法。 對數

16、的發(fā)明大大減輕了計算工作量，很快風靡歐洲，所以拉普拉斯（laplace, 17491827）曾贊譽道：“對數的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長了天文學家的壽命”。 5.3解析幾何的誕生 誕生的社會背景：誕生的社會背景：歷史地位：解析幾何是變量數學的第一歷史地位：解析幾何是變量數學的第一個里程碑個里程碑解析幾何基本思想：1.平面上引進所謂“坐標”的概念；2.平面上的點和有序數對（x,y)之間建立一一對應關系；3.以此方式，代數方程f(x,y)=0與平面上一條曲線對應起來；本質思想：用代數的方法去研究幾何；解析幾何最重要的前驅是法國數學家解析幾何最重要的前驅是法國數學家奧雷斯姆奧雷斯姆(N. Oresme,

17、 13231382)；真正發(fā)明者歸功于法國另外兩位數學真正發(fā)明者歸功于法國另外兩位數學家笛卡兒家笛卡兒(R.Descartes , 15961650)與與費馬費馬(P. de Fermat, 16011665)。笛卡兒(R.Descartes, 1596-1650): 幾何學(1637)我思故我在我思故我在證明證明帕普斯問題帕普斯問題時時建立了歷史上第一個傾斜坐標系建立了歷史上第一個傾斜坐標系求：的軌跡為常數），點（CkkCSCQCRCPl1l2l3l4CP1 R2 S3Q4Axy22DxCxBxyAyy新穎的想法：1.曲線次數與坐標軸選取無關,但坐標軸選取應使曲線方程盡量簡單；2.利用曲線的

18、方程表示來求兩條不同曲線的交點；3.大膽的想法：任何的問題數學問題代數問題方程求解 一切問題化歸為一切問題化歸為代數方程求解問題后如何問題后如何繼續(xù)？繼續(xù)？1.任意選取單位線段;2.定義線段的加、減、乘、除、乘方、開方等運算；3.線段的巧妙表示：(a,b,c,);4.一切一切幾何問題成功轉化為關于一個未知成功轉化為關于一個未知線段的線段的單個代數方程: z = b z2 = -az + b z3 = -az2 + b z + c z4 = -az3 + bz2 + cz + d與笛卡兒懷疑、批評希臘幾何學與笛卡兒懷疑、批評希臘幾何學思想相反。思想相反。另一位法國巨人：費馬工作的出另一位法國巨人：費馬工作的出發(fā)點是竭力恢復希臘幾何發(fā)點是竭力恢復希臘幾何他倆工作的出發(fā)點不同，但方式都他倆工作的出發(fā)點不同，但方式都是采用代數方法來研究幾何問題。是采用代數方法來研究幾何問題。費馬(P