高階常系數(shù)線性微分方程、歐拉方程ppt課件

1、6.1.46.1.4續(xù)續(xù) 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程0 yqypy二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)齊線性方程)(xfyqypy 二階常系數(shù)非齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性方程特征方程特征方程02qp特征根特征根 , 21 2211yCyCy通解通解 * y特解特解 * yyy通通解解一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如形如) 1 ( 0 yqypy )(常數(shù)。常數(shù)。實(shí)實(shí)為為的方程，稱為二階常系數(shù)齊線性微分方程，的方程，稱為二階常系數(shù)齊線性微分方程， qp、其其中中 得得的解，則代入方程后，的解，則代入方程后，假設(shè)方程有形如假設(shè)方程有形如xey 02，x

2、xxeqepe即即 02。qp ) 121，則則實(shí)實(shí)根根特特征征方方程程有有兩兩個(gè)個(gè)不不同同的的xxeyey2121 ，是方程是方程 (1) 的兩個(gè)線性無關(guān)的解，故方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解，故方程 (1) 的通解為的通解為 22122111。yCeCyCyCyx由劉維爾公式求另一個(gè)解：由劉維爾公式求另一個(gè)解：xeexeeeyxpxxxpxdd)()2(2d21111021p d11。xxexxe于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時(shí)，方程于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時(shí)，方程 ( 1 ) 的通解為的通解為 )(2121111。xCCeexCeCyxxx )221，則則實(shí)實(shí)重重根根特特征征方方程程有有 042， q

3、p由求根公式由求根公式 22422, 1，pqpp ) 1 ( 11的一個(gè)解。的一個(gè)解。是方程是方程此時(shí)，此時(shí)，xey021p故當(dāng)特征方程有一對共軛復(fù)根故當(dāng)特征方程有一對共軛復(fù)根 i i21，時(shí)，原方程的通解可表示為時(shí)，原方程的通解可表示為 )sincos(21。xCxCeyx均為方程均為方程 ( 1 ) 的解，且它們是線性無關(guān)的：的解，且它們是線性無關(guān)的： sin)(i21212xeyyyx cos)(21211，xeyyyx由線性方程解的性質(zhì)：由線性方程解的性質(zhì)： )sini(cosi)i(2。xxeeeeyxxxx )sini(cosi)i(1，xxeeeeyxxxx歐拉公式：歐拉公式：

4、 sinicosi。e3) 特征方程有一對共軛復(fù)根：特征方程有一對共軛復(fù)根： i i21，則則， )i(2)i(121xxxxeeyeey，是方程是方程 ( 1 ) 的兩個(gè)線性無關(guān)的解，其通解為的兩個(gè)線性無關(guān)的解，其通解為 )i(2)i(12211。xxeCeCyCyCy二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程 0 yqypy特征方程特征方程 02。qp特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21實(shí)根實(shí)根xxeCeCy2121)( 21實(shí)實(shí)重重根根)(211xCCeyx)( i2, 1共軛復(fù)根共軛復(fù)根)sincos(21xCxCeyx 例解解 032 的的通通解解。求求方方程程 y

5、yy 032 2，特特征征方方程程 3 1 21，特征根特征根 321。所求通解為所求通解為xxeCeCy 例 052 的通解。的通解。求方程求方程 yyy解解 052 2，特特征征方方程程 i21 i21 21，特特征征根根 )2sin2cos( 21。所所求求通通解解為為xCxCeyx 例解解 0 d d2 dd 22滿足初始條件的解：滿足初始條件的解：求方程求方程ststs 012 2，特特征征方方程程 1 21，特特征征根根 ) ( 21。所所求求通通解解為為tCCeyt 2 d d 4 0 0 。，tttss 2 4 2 d d 4 210 0 ，得得，由由初初始始條條件件CCtss

6、tt故所求特解為故所求特解為 ) 24(。test 例解解 的的彈彈簧簧從從靜靜止止?fàn)顮顟B(tài)態(tài)用用手手將將懸懸掛掛著著的的質(zhì)質(zhì)量量為為 m此時(shí)彈簧僅受到彈性恢復(fù)力此時(shí)彈簧僅受到彈性恢復(fù)力 f 的作用。求反映此彈的作用。求反映此彈 O 0時(shí)時(shí)，的的位位移移為為當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)xx 突然放手，突然放手，開始拉長，開始拉長，簧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律設(shè)其彈性系數(shù)為簧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律設(shè)其彈性系數(shù)為 k ）。）。O0 xx取取 x 軸如如圖所示。軸如如圖所示。由力學(xué)的虎克定理，有由力學(xué)的虎克定理，有 。xkf（ 恢復(fù)力與運(yùn)動(dòng)方向相反恢復(fù)力與運(yùn)動(dòng)方向相反 ）由牛頓第二定律，得由牛頓第二定律，得 dd22。xktxm 2，則有，則有移項(xiàng)

7、，并記移項(xiàng)，并記mka )0( 0 dd222。，axatx它能正確描述它能正確描述我們的問題嗎？我們的問題嗎？ 0 ，則有初始條件：，則有初始條件：t記拉長后，突然放手的時(shí)刻為記拉長后，突然放手的時(shí)刻為 00 ，初初始始位位移移xxt 0 dd 0 。初初始始速速度度ttx我們要找的規(guī)律是下列初值問題的解：我們要找的規(guī)律是下列初值問題的解： 0 dd222，xatx 00 ，xxt。 0 dd 0 ttx sin cos 21。所所求求通通解解為為taCtaCy 0100 ；，得得由由xCxxt 0 0) cos sin( dd 220 210 。，得，得由由CaCtaaCtaaCtxtt從

8、而，所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為從而，所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 ) ( cos0。，mkataxxn 階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為 單單實(shí)實(shí)根根xCe 1 項(xiàng)項(xiàng) 實(shí)實(shí)重重根根k)( 121kkxxCxCCek項(xiàng)項(xiàng) 一對共軛復(fù)根一對共軛復(fù)根)sincos( 221xCxCex項(xiàng)項(xiàng) 011 1 nnnnpppi 2, 1 重復(fù)根重復(fù)根一對共軛一對共軛 ki 2, 1 2 項(xiàng)項(xiàng)k cos)(121xxCxCCekkx sin)(121xxDxDDkk特特 征征 根根通通 解解 中中 的的 對對 應(yīng)應(yīng) 項(xiàng)項(xiàng)二、二、n 階常系數(shù)齊線性微分方程階常系數(shù)齊線性微分方程 例解解在研究彈性地基梁

9、時(shí)，遇到一個(gè)微分方程在研究彈性地基梁時(shí)，遇到一個(gè)微分方程 )0( 0dd444。，x試求此方程的通解。試求此方程的通解。 0 44，特特征征方方程程 i)1 (2 i)1 (2 432, 1，特特征征根根， 所求通解為所求通解為 ) 2sin2cos(212xCxCeyx ) 2sin2cos(432。xCxCex ) ( 2321。所所求求通通解解為為xCxCCeyx解解 0133 23，特特征征方方程程 1 321，特特征征根根 例 0dd3dd3dd 2233的通解。的通解。求方程求方程xxyxyxy三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程形如形如)2( )( xfy

10、qypy )(常數(shù)。常數(shù)。實(shí)實(shí)為為的方程，稱為二階常系數(shù)非齊線性微分方程，的方程，稱為二階常系數(shù)非齊線性微分方程， qp、其其中中它對應(yīng)的齊方程為它對應(yīng)的齊方程為) 1 ( 0 。 yqypy我們只討論函數(shù)我們只討論函數(shù) f ( x ) 的幾種簡單情形下，的幾種簡單情形下，(2) 的特解。的特解。 )()( . 1的的情情形形xPexfnx )( 1110。其中其中nnnnnaxaxaxaxP方程方程 (2) 對應(yīng)的齊方程對應(yīng)的齊方程 (1) 的特征方程及特征根為的特征方程及特征根為 0 2；特特征征方方程程qp 21。，特特征征根根)2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。

11、xPuqpupun ) 1 (不是特征根，則不是特征根，則若若 02，qp由方程由方程 (3) 及多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有及多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有 )()(1110，nnnnnbxbxbxbxQxu )2( )()( 的的特特征征根根時(shí)時(shí)，不不是是方方程程中中的的故故當(dāng)當(dāng)xPexfnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*。xQeynx )(xueyx )2(是單特征根，則是單特征根，則若若方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*。xQexynx )3(是二重特征根，則是二重特征根，則若若方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(

12、*2。xQexynx當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程)2( )( xfyqypy )()( 時(shí)時(shí)，的的右右端端為為xPexfnx它有下列形式的特解：它有下列形式的特解： )(*，xPexynxk其中：其中： 0 ；不是特征根時(shí)，取不是特征根時(shí)，取當(dāng)當(dāng)k 1 ；是是單單特特征征根根時(shí)時(shí)，取取當(dāng)當(dāng)k 2 。是是二二重重特特征征根根時(shí)時(shí)，取取當(dāng)當(dāng)k :。可以為復(fù)數(shù)可以為復(fù)數(shù)注意注意 例解解 2。的的通通解解求求方方程程xxyy ) )()( 2 0 )(2xPexfnxxxfnx。，對應(yīng)的齊方程的特征方程為對應(yīng)的齊方程的特征方程為 012，特征根為特征根為 i2, 1。對應(yīng)的齊方程的

13、通解為對應(yīng)的齊方程的通解為 sincos21。xCxCy 0 ，原原方方程程有有特特解解不不是是特特征征根根，故故取取由由于于k *2120，bxbxby將它代入原方程，得將它代入原方程，得 2221200，xxbxbxbb比較兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)，得比較兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)，得 10，b 11，b 2 2，b故原方程有一特解為故原方程有一特解為 2*2。xxy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 2sincos*221。xxxCxCyyy 例解解 32 。的通解的通解求方程求方程xeyyy ) )()( 0 1 )(xPexfnexfnxx。，對應(yīng)的齊方程的特征方程為對應(yīng)的齊方程的特征方

14、程為 0322， 1 321。，對應(yīng)的齊方程的通解為對應(yīng)的齊方程的通解為 231。xxeCeCy 1 ，原原方方程程有有特特解解是是單單特特征征根根，故故取取由由于于k *0，bexyx將它代入原方程，得將它代入原方程，得 3)1 (2)2(000，xxeexbxbxb 410，b故原方程有一特解為故原方程有一特解為 41*。xexy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 41*231。xxxexeCeCyyy 例解解 1332 。的的通通解解求求方方程程 xeyyyx 1332 xeyyyx 32xeyyy 1332 xyyy 41*1xexy31*2xy對應(yīng)的齊方程的通解為對應(yīng)的

15、齊方程的通解為 231。xxeCeCy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 3141*231。xexeCeCyyyxxx)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy sin)()( cos)()( . 2的的情情形形、xxPexfxxPexfnxnx )( 1110。其中其中nnnnnaxaxaxaxP i不不是是特特征征根根， 0 ；取取k i是特征根，是特征根， 1 ；取取k )(*)i(xQexynxk 例解解 cos 的一個(gè)特解。的一個(gè)特解。求方程求方程xyy 01 2，特特征征方方程程 i 2, 1，特征根特征根 i的特解：的特解：首先求方程首先求方程xe

16、yy 1 0 i ，且且有有，故故取取是是特特征征根根，由由于于kn *i0，xexby 代入上述方程，得代入上述方程，得 2i i20ii000，即即有有beexbxbbxx從而，原方程有一特解為從而，原方程有一特解為 sin21)cosisin(21 Re。xxxxxx)2i( Re*Re*i1xexyy 例解解 sin 的的一一個(gè)個(gè)特特解解。求求方方程程xxyy 01 2，特特征征方方程程 i 2, 1，特征根特征根 i的的特特解解：首首先先求求方方程程xexyy 1 1 i ，且有，且有，故取，故取是特征根，是特征根，由于由于kn )(*i10，xebxbxy代入上述方程，得代入上述方

17、程，得 i22i4100，xbbxb比較系數(shù)，得比較系數(shù)，得 1i40，b 0i10，bb 41 4i10，bb故故 )414i()(*ii10，xxexxebxbxy從而，原方程有一特解為從而，原方程有一特解為xexyyi2)414i( Im*Im* )cossin(412。xxxx)cossin(41sin21*221xxxxxxyyy cos41sin432。xxxx 例解解 sin2 )4(的的通通解解。求求方方程程xyyy 012 24，特征方程特征方程)( i i 4, 32, 1二二重重共共軛軛復(fù)復(fù)根根，特特征征根根對應(yīng)的齊次方程的通解為對應(yīng)的齊次方程的通解為 sin)(cos)

18、(2121。xxDDxxCCy 2 i)4(有有特特解解由由于于方方程程xeyyy ) 2 ( *i20。二二重重根根，取取，kexbyx將它代入此方程中，得將它代入此方程中，得 810，故，故b 81*i2，xexy從而，原方程有一特解為從而，原方程有一特解為 sin81*Im*21，xxyy故原方程的通解為故原方程的通解為 sin81sin)(cos)(22121。xxxxDDxxCCy引入算子記號：引入算子記號： ddkkktyyDkkktD dd ) , 2 , 1 (。k ，則有，則有令令tex dd1dddddd，tyxxttyxyy dddd1dd22222， tytyxxyy

19、dd2dd3dd1dd2233333， tytytyxxyyyDyxyDDyx) 1(2 yDDDyx)2)(1(3 由數(shù)學(xué)歸納法可以證明：由數(shù)學(xué)歸納法可以證明： ) 1()2)(1()(。ynDDDDyxnn四、歐拉方程四、歐拉方程 )(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn tex 令令關(guān)于變量關(guān)于變量 t 的常系數(shù)線性微分方程的常系數(shù)線性微分方程 。 例解解 34 223的的通通解解。求求方方程程xyxyxyx 這是三階歐拉方程，這是三階歐拉方程， ，原方程化為，原方程化為令令tex 34) 1()2)(1( 2，teDyyDDyDDD作代數(shù)運(yùn)算后，得作代數(shù)運(yùn)算后，得 322 223，teDyyDyD即即 (1) 3dd3dd2dd 22233，tetytyty這是一個(gè)三階常系數(shù)線性非齊微分方程，且這是一個(gè)三階常系數(shù)線性非齊微分方程，且 032 23，特特征征方方程程 , 3 1 0 321，特特征征根根方程方程 (1) 對應(yīng)的齊方程的通解為對應(yīng)的齊方程的通解為 33 21。tteCeCCy 2 0 2 3)( 2特征根，故特征根，故不是不是，且，且，由于由于netftteby 20*為方程為方程 (1) 特解形式