_格林公式·曲線積分與路線的無關性

1、3 格林公式曲線積分與路線的無關性 在計算定積分時, 牛頓-萊布尼茨公式反映了區(qū)間上的定積分與其端點上的原函數值之間的聯(lián)系; 本節(jié)中的格林公式則反映了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界上的第二型曲線積分之間的聯(lián)系.一、格林公式 二、曲線積分與路線的無關性 一、格林公式 設區(qū)域設區(qū)域 D 的邊界的邊界 L 是由是由一一條條或幾條光滑曲線所或幾條光滑曲線所 組成組成. .邊界曲線的正方邊界曲線的正方向向規(guī)定為規(guī)定為: :當人沿邊界當人沿邊界行走行走時時, ,區(qū)域區(qū)域 D 總在它的左邊總在它的左邊, , 如圖如圖 21-12 所示所示. 與上述規(guī)定的方向相反的與上述規(guī)定的方向相反的方向稱方向稱2112 圖

2、圖LD.L為為負方向負方向, ,記為記為定理定理21. .11 若函數若函數 ( ,),( ,)P x yQ x y在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D 上上 有連續(xù)的一階偏導數有連續(xù)的一階偏導數, 則有則有ddd ,LDQPP xQ yxy (1)這里這里 L 為區(qū)域為區(qū)域 D 的邊界曲線的邊界曲線, 并取正方向并取正方向. 公式公式(1)稱為稱為格林公式格林公式. 證證 根據區(qū)域根據區(qū)域 D 的不同形狀的不同形狀, 這里這里對以下三種情形對以下三種情形 (i) 若若 D 既是既是 x 型又是型又是 y 型區(qū)域型區(qū)域( (圖圖21-13) ), 則可表為則可表為 作出證明作出證明: :12( )( ),xy

3、xaxb 又可表為又可表為 12( )( ),.yxyy 1( )yx 2( )yx 這里這里和和分分 CAE分別是曲線分別是曲線 和和 CBE的方程的方程. 于是于是 ACBAEB別為曲線別為曲線 和和 的方的方1( )xy 2( )xy 程程, 而而 和和 則則Ox1( )x AbEaBC2( )x yD圖圖 21-1321( )( )dddyyDQQyxxx 21( ),)d( ),)dQyyyQyyy( ,)d( ,)dCBECAEQ x yyQ x yy( ,)d( ,)dCBEEACQ x yyQ x yy( ,)d .LQ x yy 同理又可證得同理又可證得 d( ,)d .LD

4、PP x yxy 將上述兩個結果相加即得將上述兩個結果相加即得ddd .LDQPP xQ yxy (ii) 若區(qū)域若區(qū)域 D 是由一條是由一條 按段光滑的閉曲線圍成按段光滑的閉曲線圍成,且可用幾段光滑曲線將且可用幾段光滑曲線將D 分成有限個既是分成有限個既是 x 型型 21 14圖圖 3L1D2L1L3D2D又是又是 y 型的子區(qū)域型的子區(qū)域 (如圖如圖21-14), 則則可逐塊按可逐塊按 (i) 得到得到 它們的格林公式它們的格林公式, 然后然后相加即可相加即可. 如圖如圖21-14 所示的區(qū)域所示的區(qū)域 D, 可將它分成三個既是可將它分成三個既是 x 型又是型又是 y 型的區(qū)域型的區(qū)域12

5、3,.DDD于是于是 dDQPxy 123dddDDDQPQPQPxyxyxy 123ddddddLLLP xQ yP xQ yP xQ y dd .LP xQ y (iii) 若區(qū)域若區(qū)域 D 由幾條閉曲線由幾條閉曲線 所圍成所圍成, 如圖如圖21-15 所示所示. . 這這 把區(qū)域化為把區(qū)域化為 (ii) 的情形來處的情形來處 2115 圖圖1LD3L2LCABEFG時可適當添加線段時可適當添加線段 ,AB CE理理. 在圖在圖21-15中添加了中添加了,AB 后后, D 的邊界則由的邊界則由 23,AB L BA AFC CE L ECCEdDQPxy 23( dd )ABLBAAFCC

6、ELECCGAP xQ y231( dd )LLLP xQ ydd .LP xQ y 注注1 并非任何單連通區(qū)域都可分解為有限多個既是并非任何單連通區(qū)域都可分解為有限多個既是 xy型又是型又是 型區(qū)域的并集型區(qū)域的并集, 例如由例如由 及及 構成構成. 由由(ii)知知 CGA31sin,(0,1;1;0;1yxxyxxx 所圍成的區(qū)域便是如此所圍成的區(qū)域便是如此. 注注2 為便于記憶為便于記憶, 格林公式格林公式 (1) 也可寫成下述形式也可寫成下述形式: ddd .LDxyPQP xQ y 注注3 應用格林公式可以簡化某些曲線積分的計算應用格林公式可以簡化某些曲線積分的計算. . 請看以下

7、二例請看以下二例: : 第一象限部分第一象限部分 (圖圖21-16). 解解 對半徑為對半徑為 r 的四分之一圓域的四分之一圓域 D, 應用格林公式應用格林公式: : ddLDx y ddd .OAABBOx yx yx y由于由于d0,d0,OABOx yx y因此因此 21dd.4ABDx yr 例例1 計算計算d ,ABx y其中曲線其中曲線 是半徑為是半徑為 r 的圓在的圓在 ABOx2116 圖圖BLADy例例2 計算計算22dd,Lx yy xIxy 其中其中 L 為任一不包含原為任一不包含原 點的閉區(qū)域的邊界線點的閉區(qū)域的邊界線.解解 因為因為2222222,()xyxxxyxy

8、 2222222,()yyxyxyxy 它們在上述區(qū)域它們在上述區(qū)域 D 上連續(xù)且相等上連續(xù)且相等, 于是于是 2222d0,Dxyxyxyxy 所以由格林公式立即可得所以由格林公式立即可得0.I 在格林公式中在格林公式中, 令令,Py Qx 則得到一個計算則得到一個計算平平 面區(qū)域面區(qū)域 D 的面積的面積 SD 的公式的公式: : 1ddd .2DLDSx yy x (2)例例3 計算拋物線計算拋物線 2()(0)xyax a 與與 x 軸所圍圖軸所圍圖 形的面積形的面積 (圖圖21-17). 解解 曲線曲線AMO由函數由函數 ,0, yaxx xaONA0,y 表示表示, 為直線為直線 于

9、是于是 1dd2DSx yy x x2117 圖圖O( ,0)A aNMy11dddd22ONAAMOx yy xx yy x1dd2AMOx yy x011() d22aaxaxxxax020111dd.2246aaaaxxx xa二、曲線積分與路線的無關性在第二十章在第二十章2 中計算第二型曲線積分的開始兩中計算第二型曲線積分的開始兩 個例子中個例子中, 讀者可能已經看到讀者可能已經看到, 在例在例1中中, 以以 A 為起點為起點 B 為終點的曲線積分為終點的曲線積分, 若所沿的路線不同若所沿的路線不同, 則其積分則其積分 值也不同值也不同, 但在例但在例2 中的曲線積分值只與起點和終中的

10、曲線積分值只與起點和終 點有關點有關, 與路線的選取無關與路線的選取無關. 本段將討論曲線積分在本段將討論曲線積分在 什么條件下什么條件下, 它的值與所沿路線的選取無關它的值與所沿路線的選取無關. 首先介紹單連通區(qū)域的概念首先介紹單連通區(qū)域的概念. 若對于平面區(qū)域若對于平面區(qū)域 D 內任一封閉曲線內任一封閉曲線, 皆可不經過皆可不經過 D 以以外的點而連續(xù)收縮于屬于外的點而連續(xù)收縮于屬于 D 的某一點的某一點, 則稱此平則稱此平面面區(qū)域為區(qū)域為單連通區(qū)域單連通區(qū)域; 否則稱為否則稱為復連通區(qū)域復連通區(qū)域.2118 圖圖1D4D3D2D1D2D3D4D在圖在圖 21-18 中中, 與與是單連通區(qū)

11、域是單連通區(qū)域, 而而與與 則則 是復連通區(qū)域是復連通區(qū)域. 單連通區(qū)域也可以這樣敘述單連通區(qū)域也可以這樣敘述: D 內任內任 一封閉曲線所圍成的區(qū)域只含有一封閉曲線所圍成的區(qū)域只含有 D 中的點中的點. 更通更通 俗地說俗地說, 單連通區(qū)域就是沒有單連通區(qū)域就是沒有“洞洞”的區(qū)域的區(qū)域, 復連通區(qū)復連通區(qū) 域則是有域則是有“洞洞”的區(qū)域的區(qū)域. 定理定理21. .12 設設 D 是單連通閉區(qū)域是單連通閉區(qū)域. 若函數若函數( ,),P x y( ,)Q x y 在在 D 內連續(xù)內連續(xù), 且具有一階連續(xù)偏導數且具有一階連續(xù)偏導數, 則以則以 下四個條件兩兩等價下四個條件兩兩等價: (i) 沿沿

12、 D 內任一按段光滑封閉曲線內任一按段光滑封閉曲線 L, 有有dd0;LP xQ y (ii) 對對 D 中任一按段光滑曲線中任一按段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分 ddLP xQ y 與路線無關與路線無關, 只與只與 L 的起點及終點有關的起點及終點有關;ddP xQ y ( ,)u x y(iii) 是是 D 內某一函數內某一函數的全微分的全微分, 即在即在 D 內有內有 ddd ;uP xQ y (iv) 在在 D 內處處成立內處處成立 .PQyx ARBASB證證 (i)(ii) 如圖如圖 21-19, 設設 與與 為聯(lián)結點為聯(lián)結點 A, B 的任意兩條按段光滑曲線的任意兩條按段光滑

13、曲線, 由由 (i) 可推得可推得 ddddARBASBP xQ yP xQ yddddARBBSAP xQ yP xQ ydd0,ARBSAP xQ y 所以所以dddd .ARBASBP xQ yP xQ y2119 圖圖BARSOx2120 圖圖B0 xADCxxx 0yyyD 內任意一點內任意一點. 由由 (ii), 曲線積分曲線積分 ddABP xQ y與路線的選擇無關與路線的選擇無關, 故當故當( , )B x y在在 D 內變動時內變動時, 其其 積分值是積分值是( , )B x y的函數的函數, 即有即有 ( , )dd .ABu x yP xQ y取取x 充分小充分小, 使使

14、 (,),C xx yD 則函數則函數 ( ,)u x y對于對于 x 的的偏增量偏增量( (圖圖21-20) ) 00(,)A xy( , )B x y(ii)(iii) 設設 為為 D 內某一定點內某一定點, 為為 (,)( ,)xuu xx yu x y dddd .ACABP xQ yP xQ y因為在因為在 D 內曲線積分與路線無關內曲線積分與路線無關, 所以所以 dddddd .ACABBCP xQ yP xQ yP xQ y因直線段因直線段 BC 平行于平行于 x 軸軸, 故故 d0y , 從而由積分從而由積分中中 值定理可得值定理可得 ddxBCuP xQ y( ,)d(,),

15、xxxP t ytP xx yx 01. ( ,)P x y其中其中 根據根據 在在 D 上連續(xù)上連續(xù), 于是有于是有 00limlim(,)( ,).xxxuuP xx yP x yxx 同理可證同理可證( ,).uQ x yy 所以證得所以證得 ddd .uP xQ y ( ,),u x y(iii)(iv) 設存在函數設存在函數使得使得ddd ,uP xQ y 因此因此 ( ,)( ,),( ,)( ,).xyP x yux yQ x yux y于是由于是由 一點處都有一點處都有 ( , )( , ).xyyxPQux yux yyx即即(iv)(i) 設設 L 為為 D 內任一按段光滑

16、封閉曲線內任一按段光滑封閉曲線, 記記 L 所圍的區(qū)域為所圍的區(qū)域為. 由于由于 D 為單連通區(qū)域為單連通區(qū)域, 所以區(qū)域所以區(qū)域 含在含在 D 內內. 應用格林公式及在應用格林公式及在 D 內恒有內恒有 PQyx 的的 條件條件, 就得到就得到 以及以及 P, Q 具有一階連續(xù)偏導數具有一階連續(xù)偏導數, 便可知道便可知道在在 D 內每內每 ( , ),( , ),xyyxPQux yux yyxddd0.LQPP xQ yxy 上面我們將四個條件循環(huán)推導了一遍上面我們將四個條件循環(huán)推導了一遍, 這就證明了這就證明了 它們是相互等價的它們是相互等價的.應用定理應用定理21.12 中的條件中的條

17、件(iv)考察第二十章考察第二十章2 中的中的 例例1 與例與例2. 在例在例1中中( ,),( ,).P x yxy Q x yyx 由于由于,1,PQPQxyxyx 故積分與路線有關故積分與路線有關. 在例在例2 中中( ,),( ,),P x yy Q x yx 由于由于 1,PQyx所以積分與路線無關所以積分與路線無關.例例4 計算計算 220.5d0.5d,0.5Lxyxxyyxy其中其中 到點到點 D(0,1) 的路徑的路徑(見圖見圖21-21). 分析分析 如果第二型曲線積分在某單連通區(qū)域內滿足如果第二型曲線積分在某單連通區(qū)域內滿足 與路徑無關的條件與路徑無關的條件, ,則可改變

18、積分路徑則可改變積分路徑, ,使易于計算使易于計算. . L 為沿著右半圓周為沿著右半圓周221(0)xyx由點由點 A(0, - -1) 解解 記記 220.5( , ),0.5xyP x yxy 2222 2(0.5)2 (0.5).(0.5)QPxyy xxyxy 220.5( , ).0.5xyQ x yxy 易知除去點易知除去點 E(0.5, 0) 外外, 處處滿足處處滿足 1L(0, 1)A (1, 1),B (1,1),C設設 為由點為由點 到點到點 再到點再到點 最最 圖圖 21-21xyO(0, 1)A(1, 1)B(1,1)C(0,1)D1L2LL E220.5d0.5d0

19、.5Lxyxxyyxy1( , )d( , )dLP x yxQ x yy( , )d( , )dABBCCDP x yxQ x yy1LL因為與因為與(0,1)D的折線段的折線段. 后到點后到點 可被包含在某可被包含在某 一不含奇點一不含奇點 E 的單連通區(qū)域內的單連通區(qū)域內, 所以有所以有1102220110.50.51.5ddd(0.5)10.25(0.5)1xyxxyxxyx4arctan0.52arctan2. 注注1 定理定理 21.12 中對中對“單連通區(qū)域單連通區(qū)域”的要求是重要的要求是重要 何不包含原點的單連通區(qū)域何不包含原點的單連通區(qū)域, 已證得在這個區(qū)域內已證得在這個區(qū)域

20、內 的任何封閉曲線的任何封閉曲線 L 上上, 皆有皆有 22dd0.Lx yy xxy (3)的的. .如本例若取沿如本例若取沿 y 軸由點軸由點 A 到點到點 D 的路徑的路徑 , 雖雖 2L然算起來很簡單然算起來很簡單, ,但卻不可用但卻不可用. .因為任何包含因為任何包含 2LL與與的單連通區(qū)域必定含有奇點的單連通區(qū)域必定含有奇點 E . 又如又如本節(jié)例本節(jié)例 2, ,對任對任 2222( ,),( ,)yxP x yQ x yxyxy 只在剔除原點外的任何區(qū)域只在剔除原點外的任何區(qū)域 D 上有定義上有定義, 所以所以 L 必必 含在某個復連通區(qū)域內含在某個復連通區(qū)域內. 這時它不滿足定

21、理這時它不滿足定理 21.12 的條件的條件, 因而就不能保證因而就不能保證(3)式成立式成立. 事實上事實上, 若取若取 L 為繞原點一周的圓為繞原點一周的圓 :cos,sin(02),L xaya 則有則有 倘若倘若 L 為繞原點一周的封閉曲線為繞原點一周的封閉曲線, 則函數則函數 注注2 若若 ( ,),( ,)P x yQ x y滿足定理滿足定理21. .12 的條件的條件, 則則 由上述證明可看到二元函數由上述證明可看到二元函數 ( ,)( ,)d( ,)dABu x yP x yxQ x yy00(,)(,)( ,)d( ,)dB x yA xyP x yxQ x yy具有性質具有

22、性質d ( ,)( ,)d( ,)d .u x yP x yxQ x yy 22222222200ddcossindd2 .Lx yy xaaxya 例例5 試應用曲線積分求試應用曲線積分求(2sin )d( cos )dxyxxyy 的原函數的原函數. . 解解 這里這里( ,)2sin,( ,)cos,P x yxy Q x yxy 在整個平面上成立在整個平面上成立 cos.PQyyx由定理由定理21.12, 曲線積分曲線積分我們也稱我們也稱( ,)u x y為為ddP xQ y 的一個的一個原函數原函數. (2sin )d( cos )dABxyxxyy為此為此, 取取(0,0),( , ),OB