量子光學(xué)基礎(chǔ)第一章

1、1楊伯君 北京郵電大學(xué)理學(xué)院2 量子光學(xué)是用量子理論研究光的量子特性以及光與量子光學(xué)是用量子理論研究光的量子特性以及光與物質(zhì)相互作用的量子特性的科學(xué)。它是量子力學(xué)物質(zhì)相互作用的量子特性的科學(xué)。它是量子力學(xué)與量子與量子場論場論在光學(xué)中的應(yīng)用在光學(xué)中的應(yīng)用. 光的量子性在量子力學(xué)建立以前已為人們所認(rèn)識(shí)光的量子性在量子力學(xué)建立以前已為人們所認(rèn)識(shí): 1900年年,為了解釋熱輻射的頻譜分布為了解釋熱輻射的頻譜分布,Planck第一個(gè)提出第一個(gè)提出光的量子性光的量子性,引入能量子的概念引入能量子的概念. 1905年年,Einstein為解釋光電效應(yīng)為解釋光電效應(yīng),提出光量子的概念提出光量子的概念,給給出光

2、子的能量為出光子的能量為E=h,是光的頻率，是光的頻率，h是是Planck常數(shù)。常數(shù)。 1917年年 ,Einstein利用光量子概念唯象地解釋了光在原子利用光量子概念唯象地解釋了光在原子中的吸收與輻射，提出了受激輻射的概念中的吸收與輻射，提出了受激輻射的概念. 光的量子性提出光的量子性提出,為量子力學(xué)的建立和發(fā)展起重要作用為量子力學(xué)的建立和發(fā)展起重要作用. 3 緒緒 論論 量子力學(xué)建立于量子力學(xué)建立于1925-1926年年,Draic與海森堡的矩陣與海森堡的矩陣力學(xué)和力學(xué)和Schrdinger的波動(dòng)力學(xué)。的波動(dòng)力學(xué)。 上世紀(jì)上世紀(jì)60年代前量子力學(xué)與物理光學(xué)獨(dú)立發(fā)展。物年代前量子力學(xué)與物理光

3、學(xué)獨(dú)立發(fā)展。物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)大都利用經(jīng)典電磁場理論來解釋。理光學(xué)實(shí)驗(yàn)大都利用經(jīng)典電磁場理論來解釋。1909年年Tayler利用很弱光束、長時(shí)間照射雙縫干涉，希望觀利用很弱光束、長時(shí)間照射雙縫干涉，希望觀測單光子通過雙縫干涉的量子效應(yīng)，沒有成功。一階測單光子通過雙縫干涉的量子效應(yīng)，沒有成功。一階振幅相干實(shí)驗(yàn)顯示不出干涉過程中的量子效應(yīng)。要顯振幅相干實(shí)驗(yàn)顯示不出干涉過程中的量子效應(yīng)。要顯示干涉過程中的量子效應(yīng)不是簡單振幅相干，而應(yīng)是示干涉過程中的量子效應(yīng)不是簡單振幅相干，而應(yīng)是振幅平方即強(qiáng)度相干。振幅平方即強(qiáng)度相干。 1956年年Hanbury，Brown和和Twiss進(jìn)行了光子計(jì)數(shù)器進(jìn)行了光子計(jì)數(shù)器

4、之間的相干，即二階相干實(shí)驗(yàn)，稱之間的相干，即二階相干實(shí)驗(yàn)，稱HBT實(shí)驗(yàn)。它是量實(shí)驗(yàn)。它是量子光學(xué)的開創(chuàng)性實(shí)驗(yàn)。子光學(xué)的開創(chuàng)性實(shí)驗(yàn)。4 緒 論 量子光學(xué)作為一個(gè)學(xué)科建立起來是在1960年激光器發(fā)現(xiàn)以后，高強(qiáng)度的激光出現(xiàn)使物理光學(xué)發(fā)生深刻變化，表現(xiàn)為： 1、高階相干性的產(chǎn)生，高強(qiáng)度的激光可以實(shí)現(xiàn)強(qiáng)度相干，產(chǎn)生高階相干性。 2、非線性光學(xué)出現(xiàn)，高功率激光射入介質(zhì)引起明顯的非線性效應(yīng)，如光孤子、光子回聲、四波混頻、光學(xué)混沌等； 3、光場的集體量子效應(yīng)，光子反聚束效應(yīng)、亞泊松分布和壓縮態(tài)等，這些是大量光子的集體效應(yīng)，是光場的非經(jīng)典效應(yīng)； 4、在激光場作用下原子系統(tǒng)的量子動(dòng)力學(xué)特性，崩塌與再生效應(yīng)、原子相

5、干捕獲，激光致冷效應(yīng)等。 這些現(xiàn)象的研究形成量子光學(xué)內(nèi)容。量子光學(xué)是用量子理論研究光的量子特性，以及光與物質(zhì)相互作用量子特性的科學(xué)。5 緒 論 量子光學(xué)分為半經(jīng)典理論和全量子理論兩部分： 量子光學(xué)半經(jīng)典理論，光場用經(jīng)典Maxwell電磁場理論來描述，光與物質(zhì)相互作用用量子力學(xué)處理，這就是方程中介質(zhì)的電極化強(qiáng)度用量子力學(xué)計(jì)算，這一理論可以用來研究激光器的閾值條件、頻率牽引、相位鎖定和功率特性，討論四波混頻、受激拉曼散射等。 量子光學(xué)全量子理論，要求電磁場和原子、分子系統(tǒng)都量子化；討論光子場與物質(zhì)場相互作用，用來研究激光線寬、光場非經(jīng)典效應(yīng)、光學(xué)壓縮態(tài)、激光場中原子動(dòng)力學(xué)和激光致冷等。 本課程主要

6、從光通信研究需要介紹量子光學(xué)基本知識(shí)，包括激光器，光在光纖中產(chǎn)生各種量子效應(yīng)，量子噪聲、光孤子、光學(xué)壓縮態(tài)等，光學(xué)壓縮態(tài)在量子通信中有重要的應(yīng)用。 6 緒 論 理學(xué)院申請到一個(gè)國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973計(jì)劃）課題：基于表面等離激元效應(yīng)的光子-電子相互作用的量子調(diào)控研究。光子-電子相互作用是量子光學(xué)研究的內(nèi)容，為了幫助部分同學(xué)能更好地投入這一課題研究，我們課程將書中第六章光孤子傳輸?shù)牧孔永碚摳臑楸砻娴入x體激元中的量子效應(yīng)，將介紹表面等離體激元的量子化，光子與表面等離體激元的相互作用，表面等離體激元在金屬表面的傳輸，光子與表面等離體激元之間量子態(tài)的轉(zhuǎn)移以及表面等離體激元的壓縮與糾纏性質(zhì)。這些

7、有利于同學(xué)們深入了解表面等離子體激元的量子特性，對研究其在量子通信和量子計(jì)算中的應(yīng)用有重要意義。 7 緒緒 論論課程分以下幾章：1、量子力學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)2、激光的半經(jīng)典理論3、電磁場的量子化4、電磁場與原子的相互作用5、光學(xué)壓縮態(tài)6、表面等離子體激元中的量子效應(yīng)參考書：楊伯君，量子光學(xué)基礎(chǔ)，1996，北郵出版社。 此書可在網(wǎng)上下載?？己?作業(yè)，譯文加考勤。網(wǎng)上教材量子光學(xué)基礎(chǔ)89 第一章第一章 量子力學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)量子力學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí) 量子力學(xué)是處理物質(zhì)微觀現(xiàn)象的基本理論，它是近代 物理：包括原子分子物理、固體物理、半導(dǎo)體物理、原子核物理和粒子物理等學(xué)科的基礎(chǔ)，也是量子光學(xué)的基礎(chǔ)。 由于工科院校大學(xué)

8、物理中近代物理講得很少，大多專業(yè)也不開量子力學(xué)，為了學(xué)習(xí)量子光學(xué)必需復(fù)習(xí)量子力學(xué)量子力學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)。 本章分以下幾節(jié)： 1) 量子力學(xué)的基本原理； 2）量子力學(xué)的表述； 3）二能級(jí)原子模型； 4）密度矩陣。 參考書：彭金生，李高翔，近代量子光學(xué)導(dǎo)論，科學(xué)出版社，1996。10 第一節(jié) 量子力學(xué)的基本原理 物理學(xué)中各學(xué)科的基本理論都是建立在幾個(gè)基本定律或假設(shè)的基礎(chǔ)上的， 經(jīng)典力學(xué)的基本理論是牛頓三定律, 電磁學(xué)的基礎(chǔ)是Maxwell方程組，它對應(yīng)電磁場中四個(gè)基本定律，F(xiàn)araday電磁感應(yīng)定律、Ampere環(huán)路定律和電場與磁場的Gauss定理， 熱學(xué)的基礎(chǔ)是熱力學(xué)三定律。第一定律是能量

9、守恒定理,熱力學(xué)第二定律是熵增原理 。 量子力學(xué)基本原理是五個(gè)假設(shè):系統(tǒng)狀態(tài)用波函數(shù)來表述、力學(xué)量用算符表示、Schrdinger方程，力學(xué)量平均值公式和全同性原理。 下面分別敘述：11 第一節(jié)量子力學(xué)的基本原理第一節(jié)量子力學(xué)的基本原理 1，量子力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)用波函數(shù) 來描述 電子與中子的衍射實(shí)驗(yàn)顯示出微觀粒子具有波動(dòng)性，假定微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)來描述，表示為 ，式中r是位置，t為時(shí)間。 自由粒子，de Broglie建議用平面波來描述 顯示 在這條基本原理中最重要的是如何正確理解 波函數(shù)的物理意義。波函數(shù)在空間某處的強(qiáng)度 是和該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率成正比，稱為概率振幅 。 微觀粒子的波動(dòng)性,由

10、Danson-German電子衍射實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。 )( t r)( t r). p().()(EtritrkiAeAet rEkp.212 第一節(jié)量子力學(xué)的基本原理 波的強(qiáng)度是振幅的絕對值平方其中 共軛函數(shù)，在t時(shí)刻，空間r附近體積元dV中找到粒子的幾率dW為波函數(shù)滿足單值、連續(xù)和有限的要求，滿足歸一化條件為了解釋干涉和衍射現(xiàn)象，要求波函數(shù)滿足狀態(tài)疊加原理： 22( )1rtdVjnjjnncccc12211.的復(fù)是dVrtW2)(d13第一節(jié)量子力學(xué)的基本原理2，在量子力學(xué)中系統(tǒng)的物理量F用線性厄米算符 來表示。算符 滿足 其中 為常數(shù)， 為線性算符，線性算符要求來源于波函數(shù)要滿足狀態(tài)疊加原理

11、。若 為常數(shù)稱為本征值， 為本征函數(shù) FF22112211)(FcFcccF2, 1cc11F1F14第一節(jié)量子力學(xué)的基本原理 算符的Hermite性要求對任意函數(shù)、，滿足以下關(guān)系 若=稱自厄算符,算符的厄米性要求來源于物理量的平均值必須是實(shí)數(shù)。 波函數(shù)的自變量是坐標(biāo)時(shí)，坐標(biāo)是乘算符，動(dòng)量是微分算符有dVFdVF)(zipyipxipzyx.zkyjxiip15第一節(jié)量子力學(xué)的基本原理算符的運(yùn)算規(guī)則A, 算符相等：若 ，且 是任意的， 則 。B, 算符加減：對任意波函數(shù) , 則 , 則 C, 算符乘法:對任意態(tài)矢量 則算符乘法一般不滿足交換律，即 若兩個(gè)算符滿足 ，稱 與 是對易的。算符運(yùn)算類

12、似于矩陣運(yùn)算 .BABAFBAFABABGGABFABFABABBAABBAAB16第一節(jié)量子力學(xué)的基本原理 對于坐標(biāo)和動(dòng)量可以證明 其他力學(xué)量算符用以下方法得到：將各力學(xué)量用經(jīng)典力學(xué)方法寫成坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)，然后將其中坐標(biāo)和動(dòng)量變成算符，就得到其他力學(xué)量算符。 例如角動(dòng)量算符 哈密頓算符 ixppxxx riprL)(2)(21222rVmrVpmH17第一節(jié)量子力學(xué)的基本原理3，在狀態(tài)，在狀態(tài)（rt）上測量物理量）上測量物理量F的平均值的平均值 是歸一化的， 是算符F的本征態(tài)，在本征態(tài)上測力學(xué)量有確定的數(shù)值。 若兩個(gè)力學(xué)量算符 和 相互對易，則它們有共同的本征函數(shù)，在共同本征態(tài)上兩力學(xué)量A

13、和B能同時(shí)確定。 若兩個(gè)力學(xué)量算符 和 不對易，在同一態(tài)上這兩力學(xué)量A和B不能同時(shí)確定，其不確定量由測不準(zhǔn)關(guān)系來表示。)()(t rFt rdVFF)(1t r)()(111t rt rFABAB)(1t r18第一節(jié)量子力學(xué)的基本原理力學(xué)量F的不確定量大小由均方差根表示測不準(zhǔn)關(guān)系為對坐標(biāo)與動(dòng)量對時(shí)間和能量 ,原子能態(tài)的壽命212)(FFF,21GFGF221, 21 ipxpxxx2EEh19第一節(jié)量子力學(xué)的基本原理4，在非相對論量子力學(xué)中波函數(shù)（rt）滿足的動(dòng)力學(xué)方程是Schrdinger方程若勢函數(shù)不顯含t，取代入前式得到稱定態(tài)Schrdinger方程, 形成一個(gè)正交完備系. 正交性)(

14、222rVmHtintEinncerut rn)()()()()(2)(22ruErurVmruHnnnn)(runnnnmnmnrrrurudvruru)()()()()(mn)(rr和和分別為分別為Knonecker和和Dirac函數(shù)。函數(shù)。其中其中20第一節(jié)量子力學(xué)的基本原理簡單諧振子作為用Schrdinger方程求解的實(shí)例。質(zhì)量為1的諧振子的Harmilton量算符定態(tài)Schrdinger方程方程可轉(zhuǎn)化為Hermite方程求解得 能量本征值諧振子歸一化的波函數(shù)其中 Hermite多項(xiàng)式：基態(tài)波函數(shù) （n=0） 222222222122121qqqpH)()(21)(222222qEuq

15、uqdqqud)21( nEn2212122)()2 !()(qnnneqHnqu22410)()(qequ22xnnnxnedxd1exH）（）（2x4xHx2xH1xH2210）（）（）（由由/221第一節(jié)量子力學(xué)的基本原理引入振子湮沒與產(chǎn)生算符系統(tǒng)的Harmilton量N個(gè)振子能量本征值與本征態(tài)：諧振子基態(tài) )(21)(21piqapiqa)21(2121222aaqpH0)()(000quqqa22410)()(qequ0a n1n21nEnn）（?。?2第一節(jié)量子力學(xué)的基本原理5，全同性原理 量子力學(xué)認(rèn)為全同粒子是不可區(qū)分的，全同粒子不可分辨性原理簡稱全同性原理。即任何兩個(gè)全同粒子

16、交換不改變系統(tǒng)的物理性質(zhì)，因此，描述全同粒子的波函數(shù)，對粒子交換只能是對稱的或反對稱的。 上式取正號(hào)為對稱的，取負(fù)號(hào)為反對稱的。要求波函數(shù)對稱的粒子是玻色子，其自旋為 的整數(shù)倍，如光子，介子，中間玻色子；要求波函數(shù)反對稱的粒子是費(fèi)米子，其自旋為 的半整數(shù)倍，如電子，質(zhì)子，中子；費(fèi)米子要滿足pauli不相容原理：即在每一個(gè)量子態(tài)最多只能有一個(gè)費(fèi)米子。 ),(),(),(),(22abbaabbarrrrrrrr23第一節(jié) 量子力學(xué)的基本原理 兩粒子對稱波函數(shù)反對稱波函數(shù)可以用行列式表示，N粒子系統(tǒng)對稱波函數(shù)為 1 211221211()( )( )( ) ( )2srrrrrr1 2112212

17、21111221221()( )( )( )( )2( )( )1( )( )2Arrrrrrrrrr12121,2,.1 21122!.!(. )( )( ).( )!Skknnnpn nnrrrPrrrn24第一節(jié)量子力學(xué)的基本原理N個(gè)粒子反對稱波函數(shù)為玻色子服從Bose-Einsten統(tǒng)計(jì)，在j態(tài)上粒子數(shù)的最概然分布，費(fèi)米子服從Fermi-Draic統(tǒng)計(jì)，在j態(tài)上粒子數(shù)的最概然分布 其中g(shù)j是j態(tài)上單粒子狀態(tài)數(shù)， ，為化學(xué)勢。分母上的正號(hào)保證Pauli原理要求, 。1112112122221,2,.1, 2,12( )( ).( )( )( ) .( )1(. )().!( )( ) .

18、( )nnAnnnnnnrrrrrrr rrnrrr1jjjgne1jjjgne 1.kTkT jjgn 25第一節(jié)量子力學(xué)的基本原理總結(jié)量子力學(xué)的幾個(gè)基本原理為； 1, 量子力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)用波函數(shù) 來描述 2，量子力學(xué)系統(tǒng)的物理量F用線性厄米算符 來表示 3，在狀態(tài) 上測量物理量平均值為 4，在非相對論量子力學(xué)中波函數(shù) 滿足動(dòng)力學(xué)方程為Schrdinger方程 5，全同性原理：在量子力學(xué)中全同微觀粒子是不可區(qū)分的，描述全同微觀粒子的波函數(shù)，對粒子交換只能是對稱的和反對稱的。),(tr),(),(trFtrdvF),()(2),(),(22trrVmtrHttriF),(tr),(tr26第二

19、節(jié)第二節(jié) 量子力學(xué)的表述量子力學(xué)的表述本節(jié)將介紹量子力學(xué)中的一些描述方法。本節(jié)將介紹量子力學(xué)中的一些描述方法。1，量子力學(xué)中的表象，量子力學(xué)中的表象 系統(tǒng)狀態(tài)波函數(shù)的寫法與自變量有關(guān)，通常波函數(shù)表示為 自變量是坐標(biāo)r與時(shí)間t，稱為坐標(biāo)表象中的波函數(shù)。若將波函數(shù)表示為 ，稱為動(dòng)量表象中的波函數(shù)。兩類波函數(shù)之間關(guān)系是一個(gè)Fourier變換 逆變換 表示t時(shí)刻在動(dòng)量空間 p 附近出現(xiàn)的概率密度，dVp為動(dòng)量空間的體積元( , ) tr( , ) tp3 21( , )( , )(2)itdVt ep rpr3 21( , )( , )(2)iptdVt ep rrp2( , ) tp27第二節(jié) 量子

20、力學(xué)的表述 表示力學(xué)量的算符也與所用的自變量有關(guān)，即與表象有關(guān)。在坐標(biāo) 表象中，坐標(biāo)為乘算符x,y,z，動(dòng)量是微商算符 在動(dòng)量表象中，動(dòng)量算符為乘算符 、 、 ，而坐標(biāo)算符為微 商算符 其它力學(xué)量算符可以將各力學(xué)量用經(jīng)典力學(xué)方法寫成坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)，然后將其中坐標(biāo)和動(dòng)量變成算符，就得到其他力學(xué)量在不同表象中的算符.ypiyzpizxpixxxipxpyyipzzipypzp28 第二節(jié)第二節(jié) 量子力學(xué)的表述量子力學(xué)的表述能量表象，取其中 是能量表象中的波函數(shù)。 是系統(tǒng) t 時(shí)刻處在能態(tài)上的概率。力學(xué)量F的平均值為： 其中 是力學(xué)量F的算符在能量表象中的表示，它是一個(gè)矩陣。取 得到 滿足的動(dòng)力學(xué)

21、方程，為能量表象中的Schrdinger方程()( )( )niEE tinmmnnmmnmnFC C F eFdVur Fu r( )( )( )( )niEEitnmmnmC tin V m eCttn V mdVu r Vur 0HHV( )( )( )niEtnnnrtC t u r e2ntC ）（nnE)(tCn)(tCnmnF29第二節(jié)量子力學(xué)的表述2，量子躍遷幾率 設(shè)初態(tài)E=Ei，波函數(shù)t時(shí)波函數(shù)量子躍遷概率求解能量表象的Schrodinger方程，在一級(jí)近似下得到( 0)( )iru r( )( )( )nE tinnnrtC t u r e()10*( )( )( )nit

22、iEE tnniiC tn V i edtn V iu r Vu r dV 2( )nnpC t30第二節(jié)量子力學(xué)的表述取積分得到其中在旋轉(zhuǎn)波近似下得到躍遷幾率的一級(jí)近似從式中看出只有當(dāng) 才有明顯的躍遷。這是量子光學(xué)中引入二能級(jí)原子模型的依據(jù)。00cos2i ti tVVVtee(1)0()()( )2112()()nininitEEitititnititniniiCtn V ieeedtieen V iii1()niniEE222(1)(1)22()2( )()24ninnnitSinn V iPCtiEnE31第二節(jié)量子力學(xué)的表述3，Dirac符號(hào) 量子力學(xué)系統(tǒng)的一切可能狀態(tài)構(gòu)成一個(gè)矢量空

23、間，它是一個(gè)復(fù)空間，稱Hilbert空間，系統(tǒng)狀態(tài)將由這空間中的一個(gè)單位矢量表示，符號(hào)為 ，稱為右矢（ket），要標(biāo)出特定狀態(tài)可寫為 ，如能量的本征態(tài) 。相應(yīng)復(fù)共軛空間矢量為 ，稱為左矢（bra），矢量的內(nèi)積為: 歸一化條件表示為：正交歸一化條件表示： 1 nmnm ndVdVr2)(32第二節(jié)量子力學(xué)的表述能量算符 的本征態(tài) 滿足正交歸一化條件 完備性 任一態(tài)矢可用完備系 展開態(tài)矢表示Schrodinger方程力學(xué)量F的平均值Hn1.0.nmnmn mnm1nnn nnnnnnnnc niHt( )( )Ft Ftn33第二節(jié)量子力學(xué)的表述4，量子力學(xué)中的繪景，量子力學(xué)中的繪景 若系統(tǒng)處在狀

24、態(tài) ，系統(tǒng)某力學(xué)量F的平均值（期望值） 當(dāng)系統(tǒng)變化時(shí)， 也將隨時(shí)間變化，這變化可以來源于 ， 也可以來源于 ，到底以誰的變化來體現(xiàn)，形成三個(gè)繪景： 1，Schrdinger繪景（繪景（picture） 在Schrdinger繪景中，力學(xué)量平均值變化來自于態(tài)矢量而與算 符無關(guān)，即算符不隨時(shí)間變化 的變化滿足Schrdinger方程 。 2，Heisenberg繪景繪景 在Heisenberg繪景中，力學(xué)量平均值變化來自于算符 ，而 態(tài)矢量 不變 的變化滿足Heisenberg方程FFFF)(t( )( )sssFt Ft( )HHHFFt( )( )( )( )( )( ),( )HHHHiFt

25、Ft H tH t FtFtH tt( )F t( )stF( )F t)()(tHttisss34第二節(jié)量子力學(xué)的表述3，相互作用繪景，相互作用繪景 若系統(tǒng)受到某種微擾作用，如在輻射場中的原子系統(tǒng)，其哈密頓算符為 為原子內(nèi)部哈密頓量， 為相互作用哈密頓量，對這系統(tǒng)的研究可以利用相互作用繪景，在這繪景中，態(tài)矢量和算符都隨時(shí)間變化。 這繪景中的態(tài)矢量和算符與Schrdinger繪景中態(tài)矢量和算符關(guān)系： 其中態(tài)矢量 滿足方程 其中 算符滿足Heisenberg方程0HHV( )( )( )IIIFt F tt0( )( )iH tIstet00( )iH tiH tIsF teF e( )( )(

26、 )IIIitVttt00( )iH tiH tIsV teV e000 ( )( )( )( ),IIIIiF tF t HH F tF tHt0HV( )It35第三節(jié)第三節(jié) 二能級(jí)原子模型二能級(jí)原子模型 原子是由原子核和核外電子組成，其性質(zhì)主要由核外電子所決定，從原子光譜是線狀光譜，顯示出原子中的電子在核外處在分離的能態(tài)上，電子從高能態(tài)躍遷到低能態(tài)放出光子，這從經(jīng)典電磁場理論是無法解釋的，原子結(jié)構(gòu)顯示典型的量子特性。原子結(jié)構(gòu)是量子力學(xué)研究最早的課題，其中氫原子是唯一能嚴(yán)格求解的量子力學(xué)實(shí)際問題。 本節(jié)先介紹氫原子的量子力學(xué)處理，然后再介紹量子光學(xué)中常用的二能級(jí)原子模型。36第三節(jié) 二能級(jí)

27、原子模型1，氫原子的量子力學(xué)處理，氫原子的量子力學(xué)處理 氫原子滿足的定態(tài)Schrodinger方程在球坐標(biāo)中方程為分離變量得到兩個(gè)方程222()2euEumr 222222211()(sin)2sinsineruumrrrrEu()( ) ()u rR r Y22222222()01()1()(sin)()0sinsinddRmrerERRdrdrrYYY37第三節(jié) 二能級(jí)原子模型球函數(shù)方程有單值解 只能取 =L（L+1） L=0，1，2，。方程的解為球諧函數(shù)徑向方程有界要求能量取不連續(xù)值徑向本征函數(shù)為廣義的Leguerre多項(xiàng)式氫原子的波函數(shù)()(cos ).0, 1, 2.mimlmlml

28、YN Pem 422220.1,2,3,.22nmeeEnna n )2()2()(01200narLnareNrRllnlnarnlnl02130100)()()()()(arlmnlnlmearuYrRru38第三節(jié) 二能級(jí)原子模型波函數(shù)給出電子云空間分布。能級(jí)分布如右圖所示。 能態(tài)n=1， n=2 n=3 n=4，電子在各能態(tài)之間躍遷將吸收或放出光子，光子頻率滿足頻率定則；eVEEeVEEeVEEeVae85. 016151. 1914 . 3416 .132E141312021inniinniEEhEE.85. 016151. 191,4 . 3,6 VEEe

29、VEEeVEeVaeE，39第三節(jié) 二能級(jí)原子模型2,二能級(jí)原子模型二能級(jí)原子模型 在原子中當(dāng)電子從高能態(tài)躍遷到低能態(tài)，就放出一個(gè)光子，放出光子頻率滿足頻率定則 顯示光子輻射主要涉及原子中兩個(gè)電子能態(tài)。在研究光子與原子相互作用時(shí)，僅考慮原子中兩個(gè)能級(jí)而忽略其他能級(jí)作用，稱二能級(jí)原子模型 ua-a 二能級(jí)原子： ub -b 二能級(jí)原子模型中，原子僅兩個(gè)能態(tài)分別為 a與b，其中 b 為基態(tài)，波函數(shù)表示為ub ，激發(fā)態(tài)波函數(shù)為ua ua, ub形成一個(gè)正交完備系. niEEh40第三節(jié) 二能級(jí)原子模型任一電子波函數(shù)可以用它展開，電子與電磁場作用取偶極近似，偶極作用矩陣元取E（t）=E0cost得到躍

30、遷概率公式tibbtiaabaerutCerutCrt)()()()()()()(rtErertV)()()(rurudVererprtEpbVaVbaEeEEab4)(2)(sin4)()(222202) 1 (ababEatEptC41第三節(jié) 二能級(jí)原子模型當(dāng)輻射場光子的能量不完全等于原子兩能級(jí)的能量差時(shí)，設(shè)想兩能級(jí)頻率為 和 a 兩能級(jí)原子波函數(shù)表示 -a-/2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b+/2 b代入Schrodinger方程，適當(dāng)處理后得 到Ca和Cb滿足的方程稱二能級(jí)原子的Sch

31、rodinger方程 (A) 稱Rabi振蕩頻率abbaabEE., 2/a2/b)(2)(200abbbaaCRCitCCRCitC)2(exp)()()2(exp)()()(tirutCtirutCrtbbbaaa00EpRE42第三節(jié) 二能級(jí)原子模型在精確共振時(shí)=0，即光場頻率等于兩能級(jí)的頻差，方程成為若取， 解得，這時(shí)狀態(tài)在上下兩能態(tài)間以頻率 振蕩， 是Rabi振蕩頻率。bbabbaCRtCCRitCCRitC202200412,21)0(, 0)0(baCCtRitCtRtCab0021sin)(,21cos)(021R0R43第三節(jié) 二能級(jí)原子模型若0，取方程解為方程化為利用久期方

32、程（系數(shù)行列式等于零） 得到R稱廣義的Rubi振蕩頻率。可以求出方程（A）的解為)2exp()0()0()()(tiCCtCtCbaba)()(2)(2)()(2)(200tCtCRitCitCRtCitCibabbaaRRRR202000)0()0(21sin21cos21sin21sin21sin21cos)()(00babaCCRtRiRtRtRRiRtRRiRtRiRttCtC44第三節(jié) 二能級(jí)原子模型3，衰減的二能級(jí)系統(tǒng)由于自發(fā)輻射，原子能級(jí)是不穩(wěn)定的，方程(A)中引入衰減項(xiàng)，得衰減的二能級(jí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程 a (B)其中 與 分別是a和b能態(tài)的衰減系數(shù) . b下面分兩種情況討論 (

33、A),設(shè) 取代入方程（B）使 的方程與方程（A）形式相同。利用微擾論得到一級(jí)近似躍遷概率，在旋轉(zhuǎn)波近似下有 （*） abbbbaaaCiRCidtdCCiRCidtdC0021)(2121)(21)()().()(22tCetCtCetCbtbataba2202)1(2/ )()2)(sin(4)(ababtateRtCabab)(),(tCtCba,/,00EpREab45第三節(jié) 二能級(jí)原子模型（B）當(dāng) 時(shí) 通過解久期方程（系數(shù)行列式等于零）得本征值是復(fù)Rabi振蕩頻率。可以求出方程(B)的解為其中若取得求出衰變總概率ba21220)(21()(21.babaababiRititNtitMC

34、CNtiRtRiMetCtCbababatbaab21sin)(21121cos.21sin)(21121cos)0()0(21sin21sin)()(00210)0(,.1)0(baCC21sin)(21121cos)(2titetCbataab1 2121sin)(21121cos)(2022202002baababbataaaRRtitdtetCdtab46第四節(jié)，密度矩陣第四節(jié)，密度矩陣 對于混合態(tài)沒法寫用單一波函數(shù)或態(tài)矢量來描述，而必需用密度矩陣，本節(jié)將從二能級(jí)原子系統(tǒng)引入密度矩陣概念，然后討論密度矩陣的性質(zhì)，并引入光學(xué)的Bloch方程。1，二能級(jí)原子的密度矩陣 考慮二能級(jí)原子系統(tǒng)某

35、一個(gè)狀態(tài)用Dirac表示 可以定義一個(gè)投影算符 ，稱密度算符，這算符的矩陣表示為 稱為密度矩陣，其中 ，它正比于原子在能態(tài) a 的概 率， 而 正比于原子在能態(tài) b 的概率。 它顯示出 a 、b 兩 能態(tài)之間關(guān)聯(lián)，它與兩能態(tài)之間量子躍遷 有關(guān)， 顯示密度矩陣可以比態(tài)矢量帶來更多的信息( )( )( )aabbCtC t aC t bC*aaaabaaababbabbbbabbCC CC CCCCC CC C *aaaaC C*ababbaC C*bbbbC C47第四節(jié)，密度矩陣第四節(jié)，密度矩陣 不僅可以表示狀態(tài)，也可以用它來求力學(xué)量的平均值 Tr 為Trace，為矩陣的跡，即力學(xué)量平均值是密

36、度算符與該力學(xué) 量算符乘積的矩陣跡，這結(jié)果不僅對二能級(jí)系統(tǒng)，對多能級(jí)系統(tǒng) 也是成立的。 若一個(gè)量子系統(tǒng)不能確切知道在哪個(gè)純態(tài) ，而只知道在 的概率為 ，這系統(tǒng)為混合態(tài)，對混合態(tài)的密度矩陣為*()()()ababaabbabbaaaaaabbabaabbbbbMMCaCb M CaC bC Ca M aC Cb M bC Ca M bC Cb M aMMMMTrM()()nmmnnnnmnMMMTrMPP48第四節(jié)，密度矩陣第四節(jié)，密度矩陣將態(tài)矢量 在某力學(xué)量的本征態(tài) 上展開 其中，矩陣元 相應(yīng)力學(xué)量M的平均值 對于混合系統(tǒng)，力學(xué)量的平均值也是密度算符和力學(xué)量算符乘積的矩陣跡。nnnCnCn*nmnmnmnmPC Cnmnm *nmnmP C C()kkMPMPM kkkM kTrM n492,密度矩陣的性質(zhì)密度矩陣的性質(zhì)描述量子系統(tǒng)的密度矩陣具有以下基本性質(zhì)： 1）密度矩陣的跡為1 取密度矩陣 2）密度矩陣是Hermite矩陣 3）密度矩陣是一個(gè)正定矩陣,若 是狀態(tài)空間任一態(tài)矢， 4）對于純態(tài)， 則 而對于混合態(tài)2 21t rt r21trP()1trP trP* *()nmnmmnmnP C CP C