數(shù)學(xué)建模案例卡車裝運(yùn)問題

1、卡車裝運(yùn)的最優(yōu)效率模型班級(jí):2001級(jí)混合7班作者 楊驍3013001188曹葵康：3013001197就誠(chéng)3013001200摘要：本文在詳細(xì)分析的基礎(chǔ)上，通過介理的假設(shè)并引進(jìn)裝卸貨原則，將問題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的優(yōu)化問題， 運(yùn)用了排隊(duì)論與優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想和遞推的計(jì)篦方法.給出了歡學(xué)模樂一一平藝等待時(shí)間隨拖車到達(dá)的時(shí)間 間隔的變化關(guān)系.再求最小值Min（w）：而第二小問，址在一問的基礎(chǔ)上，磺了 24小時(shí)的限制時(shí)間以及 準(zhǔn)時(shí)到達(dá)的定義，求得了兩種情況下的時(shí)間界PUMax（tJ與Max（t2）o一、問題重述：聯(lián)合集裝箱運(yùn)輸（ACM）足一個(gè)卡車公司，它提供晝夜貨物運(yùn)輸。公旳有一個(gè)調(diào)度網(wǎng)，有許多集裝箱 處理

2、中心（ICPC,以下簡(jiǎn)稱中心）。在毎個(gè)中心.進(jìn)來的貨物在卸我口卸敬后，到這個(gè)中心的貨物就認(rèn)為 足收到了.梵他的貨物被分到不同的接運(yùn)門.以準(zhǔn)備運(yùn)到不同的地方.毎個(gè)中心有許多卸載口，拖車可以在此卸載。當(dāng)拖車數(shù)目大于卸載口數(shù)目時(shí)，進(jìn)來的拖車將要排隊(duì)等 待，直到有一個(gè)門空出來。一輛拖車可能有兒個(gè)中心的貨物。對(duì)進(jìn)入卸戟口的拖車來說，只裝肓當(dāng)前中 心貨物的拖車比需要接運(yùn)的拖車優(yōu)先級(jí)要低。同樣的.接運(yùn)拖車中，后到的拖車比先到的拖車進(jìn)入卸載口 的優(yōu)先級(jí)要低.如果需要卸載和裝運(yùn).不考慮貨物的大小和數(shù)吊.卸載的時(shí)間和裝運(yùn)的時(shí)間那圧2小時(shí)。 當(dāng)接運(yùn)拖車裝滿貨物肓.或足這一天需要運(yùn)到那個(gè)H的地的貨物全部運(yùn)卜.了拖車，

3、拖車就立即開始向下一 個(gè)H的地出發(fā)。貨物的大小按照拖車容雖的口分比計(jì)算。為了使拖車盡呈裝滿，毎輛車上的貨物尺寸盡呈 選擇致.在拖車離開卸載口或接運(yùn)口，隊(duì)列中另一輛又進(jìn)入.這之間不需要時(shí)間。在接運(yùn)口，拖車永遠(yuǎn) 不會(huì)短缺.為了幫助公司估計(jì)網(wǎng)絡(luò)的效率，請(qǐng)你決定拖車在等待進(jìn)入卸載口的平均等待時(shí)間以及確定哪些貨物沒 有準(zhǔn)時(shí)到達(dá)中間站或目的地。二、模型假設(shè)：1. 各中心規(guī)模一樣：且針對(duì)調(diào)度網(wǎng)絡(luò)而言,各中心的地位和同.2. 兀拖車的裝載雖與性能都相同。3貨物種類不同決定了其尺寸也不同.4.裝卸貨原則：1假設(shè)有兩種裝貨方式：整裝和混裝。2整裝足扌斤同中心同尺寸的裝貨形式：混裝圧指不同中心的同一尺寸的裝負(fù)形式。

4、3）為了使司機(jī)的工作程序變得較為簡(jiǎn)單，在裝車時(shí)先蔡裝后混裝.4 為了提高效率，同一中心不同卸載口等待的隊(duì)長(zhǎng)相同.2.準(zhǔn)時(shí)到達(dá)：出指總公司當(dāng)天發(fā)出的貨物在當(dāng)天04小時(shí)）內(nèi)完成卸載。網(wǎng)絡(luò)效率：圧指在當(dāng)天內(nèi)的等待時(shí)間，越短則效率越高.二、符號(hào)定義：1. n中間集裝箱處理中心的個(gè)數(shù)2. n 不冋尺寸的貨物種類3. s各中心的裝卸口數(shù)4. A(i,j)第i中心所需的第j種貨物的數(shù)雖5. k(j) 第j種貨物相對(duì)丁拖車容雖的百分比6. L(1, t) 第i中心的任一卸載口到t時(shí)刻等待車的長(zhǎng)度(i=ln)(i=l-n)(il,i2=l-n)7. v(i, t) 第i中心的任一卸載口到t時(shí)刻拖車等待總時(shí)間8.

5、 a(i) 一在24小時(shí)內(nèi)到達(dá)第i中心任一卸載口的拖車數(shù)目9. t(il, 12) 第il中心到第12中心所需的最短時(shí)間10. t(o,i)一一總公司o到第i中心所需的就短時(shí)間11. f 一拖車到達(dá)任一卸載口的時(shí)間間隔.四、問題分析:(一)公司運(yùn)作過程對(duì)于一中心而占，貨物有直接從總公司來的和從其它中心轉(zhuǎn)運(yùn)來的：而拖車在整個(gè)運(yùn)作過程可分為兩種惜況，即整裝與混裝。具體如下：整霞：總公司裝貨 卸載隊(duì)列卸載混裝：總公司裝貨 卸我排隊(duì)卸載 裝車等待 裝 _ 卸貨(附:表示運(yùn)輸)(二排隊(duì)的優(yōu)先級(jí)別混裝拖車對(duì)整裝拖車具有絕對(duì)的優(yōu)先權(quán)，即混裝拖車可以不經(jīng)過等持直接卸貨：相同類型的拖車Z 間的優(yōu)先級(jí)別肚郴同的，

6、符合"先到先服務(wù)"原則.(三)假設(shè)某中心的某一卸載口在t時(shí)刻駛來一臺(tái)拖車.現(xiàn)分析其對(duì)系統(tǒng)總等待時(shí)間的影響，如圖(1、2) 所示：圖(1)圖(2)(附：新到的拖車；口 排隊(duì)的拖車：卸載口)若為整裝車，則系統(tǒng)等待時(shí)間增加的部分就址新到的那輛車的等待時(shí)間，R卩 (i, t+dt)=v(i, t)+2L(i, t)(2)若為混裝，根據(jù)絕對(duì)優(yōu)先權(quán)原則，原來整裝的拖車都要后退一個(gè)位置；其實(shí)也就出說，混裝車插 到第-輛整裝車的位垃.而原來排在第一位的整車就排到燄啟。則系統(tǒng)等待時(shí)間增加的部分就圧新到的拖 車的節(jié)待時(shí)間加上第-輛整裝車后退所增加的時(shí)間.即 (i, t+dt)=w(i, t)+

7、2L(i, t)綜上分析可知，對(duì)F個(gè)卸載口，不骨到達(dá)的是整裝的還足混裝的，對(duì)于系統(tǒng)的總等待時(shí)間的影響 足一樣的.但對(duì)丁接運(yùn)車來說，為了減少裝貨的等待時(shí)間，應(yīng)使該接運(yùn)口的貨物盡快集夠一車或這一天的 貨物全到達(dá).而對(duì)于該公司來說.整裝還足混裝并不影響英效率.因而，可設(shè)混裝車的到來圧連續(xù)的。五、模型建立與求解：(一)平均等待時(shí)間的優(yōu)化模型根據(jù)上面的分析，該問題可轉(zhuǎn)化為種簡(jiǎn)敢的情況：即讓一天內(nèi)到達(dá)卸救【I的混茨午先到達(dá).接行才 足蔡裝車的到來，這樣就轉(zhuǎn)化為“先到先服務(wù)”的排隊(duì)問題。現(xiàn)對(duì)第i個(gè)中心的任一卸載口進(jìn)行分析：0 時(shí)刻從總公司發(fā)來第一輛拖車.每間隔t時(shí)間乂發(fā)來一輛車.一直到本中心的貨物全部運(yùn)到為

8、止。假設(shè)w(i,O)=OL(i, 0)=05則：到該卸載口的總車輛數(shù)為:m工他)x£+l)一尸1址后輛拖車發(fā)出的時(shí)間為:P4jM+1)再過t時(shí)間該卸載口的等待卸載的隊(duì)伍長(zhǎng)：tL(i, t+t' )=L(i, t)+ X f -uXt)+l2由上式的遞推關(guān)系可得：tftfL(i,t)=L(i, 0)+ X(1-一 )=X(1) (*)r2 r2該卸載口到t+/*時(shí)刻總等待時(shí)間：w(i, t+tf )=¥(i, t)+2(L(i, t+tf )-1)山上式的遞推關(guān)系式可得,該卸載口的總等待時(shí)間為：v(i, a(i)tf )=v(i, 0)+2(L(i, a(i)t *

9、)+l-a(i)=a(i) (1) a(i) (1)*l-2a(i)ftnm W)=化/-I y-1而整個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的總等待時(shí)間即為所有卸載口的時(shí)間之和.而平均等待時(shí)間.即遲勺(1 - 訓(xùn) 0 (1 -)+1 - 2q elL'n ntj-1 y-1在貨物雖、貨源與乞中心的距離確定的惜況下該聯(lián)介集裝箱運(yùn)輸( ACK)公司的網(wǎng)絡(luò)效率只與該 公司的發(fā)車時(shí)間尸有關(guān).現(xiàn)用Mat lab軟件對(duì)7(廣)最小值進(jìn)行求解，得：z 55$半尸=2( + 1) = +2時(shí).拖車在等待進(jìn)入卸裁口的最小平均等待時(shí)間為：7-1#一 E （寧2勺）Min 吆）=z«l /!工158工(竝3區(qū)勺+1)8Sf

10、«y）XO/-I y-1山上式可知.平均等待時(shí)間還與珂小©冇關(guān)：當(dāng)這些條件一定時(shí)，該公司可通過調(diào)度整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)車時(shí)間.即調(diào)節(jié)拖車到達(dá)各卸載點(diǎn)的時(shí)間間隔來使網(wǎng)絡(luò)的平均時(shí)間最短(二)時(shí)間界限根據(jù)假設(shè)6可知.不準(zhǔn)時(shí)到達(dá)中間站或冃的地.就兄指-拖車在第24時(shí)刻沒冇完成卸載：仍在等待或 還沒和載完.現(xiàn)對(duì)第i個(gè)中心的任一卸載口進(jìn)行分析.求出從哪一時(shí)刻起發(fā)出的貨物不能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)。設(shè)4 一從總公司發(fā)車的時(shí)間：3從任一中心接運(yùn)口的發(fā)車時(shí)間從總公司發(fā)出的車：o <A+A0n + 2Z 丄、+ 2<24(a)從任一中心接運(yùn)發(fā)出的車：*2 +4 + 気2)+2血24+2如“ < 2

11、4YI /2 > 2 + /(0 ;1)(b)把上面L(i,t)的農(nóng)達(dá)式(*)帶入上式，得pO<A<llx/x/（0>0-/（0i0I2 +仏）* 511x2-務(wù)可見，時(shí)間界限與拖車到達(dá)的時(shí)間間隔有關(guān)。對(duì)應(yīng)一確定的時(shí)間間隔幾就可知道愎大的時(shí)間界限 t、g?？偣?在Xax(4)Z后發(fā)車就不能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)；而接運(yùn)口在Max(/2)時(shí)刻Z后發(fā)出的拖車也就不 能準(zhǔn)時(shí)到達(dá).當(dāng)厶5sm工（仏X勺+1）/T.Max （/j） = （11 心刀）x （+ 2） _ orE（4）x<+1）Max尸1(右)=R 亠十20 _如a工/M+1)戶 1所以，該AC*中心估計(jì)為了到達(dá)網(wǎng)絡(luò)的最高效率，總公司的發(fā)車時(shí)間間隔為尸，最小的平均時(shí)間為 Min()o而相應(yīng)的不能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)中間站或H的地的時(shí)間界限分別為：從總公司發(fā)出的拖車的時(shí)間為 Max(),從接運(yùn)口發(fā)出的拖車的時(shí)間為Max(/2).木、模型的評(píng)價(jià)、改進(jìn)與推廣木文先在假設(shè)的前提下，運(yùn)用排隊(duì)論與優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想和方法，將問題轉(zhuǎn)化為求極值以及求時(shí)間界限 的問題。整個(gè)模型較為簡(jiǎn)單，計(jì)算呈也較小。對(duì)F由總部統(tǒng)一控制運(yùn)作的服務(wù)系統(tǒng)，具有較大的指導(dǎo)作用。在建模過程中，提出了一個(gè)裝貨原則，對(duì)貨物混裝的惜況作了較為簡(jiǎn)單的處理，這就簡(jiǎn)化了模型：但 在本?？罩校舆\(yùn)車的利用率較低.在具體使用中.該網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可通過