4-4參數(shù)方程高中復(fù)習(xí)資料經(jīng)典題型

1、9 )表示；同時(shí)，極坐標(biāo)(p ,9 )表示的點(diǎn)也是惟一確定的.坐標(biāo)系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標(biāo)系探究1.極點(diǎn)的極坐標(biāo)如何表示？提示：規(guī)定極點(diǎn)的極坐標(biāo)是極徑p =0，極角可取任意角.3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M是平面任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x, y)，極坐標(biāo)是(p , 9 )，那么它們之間的關(guān)系為：2 2 2p = x + y ,x = p cos 9 ,yy = p sin 9 ; tan 9 =- x工0 .x探究2.平面點(diǎn)與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)法那么是什么？與點(diǎn)的極坐標(biāo)呢?考什么備考方向要明了 怎么考提示：平面的點(diǎn)與點(diǎn)的直角坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)法那么,而與點(diǎn)的極坐標(biāo)不是對(duì)應(yīng)法那么，如果規(guī)定p 0,0

2、 w 9 0,0： yy u0的作用下，點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P(x,y),稱0為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換.2 .極坐標(biāo)系的概念圓心為(r, 0)，半徑為r的圓7tf圓心為r,，半徑為r的圓過極點(diǎn)，傾斜角為a的直線過點(diǎn)(a, 0)，與極軸垂直的直線n過點(diǎn)a,，與極軸平行的直線P =2rcos 9p = 2r sin_ 9 (0 w 9vn)cos 9 =n+ a ( p R)(1) 9 = a ( p R)或 9(2) 9 = a 和 9 =n +n2 V9V27t7t2 W 9 W 2自測(cè)牛刀小試1.極坐標(biāo)方程 p = cos 9化為直角坐標(biāo)方程.p sin_ 9 = a

3、(0 v 9v(1) 極坐標(biāo)系如下列圖，在平面取一個(gè)定 Q點(diǎn)O叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn) O引一條射線 Ox, Ox叫做極軸；再確定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)與其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)2. (2021 模擬)在極坐標(biāo)系中，求過點(diǎn)(1,0)并且與極軸垂直的直線方程.wl標(biāo)L1 廠邂雙滬十序垃対叭時(shí)叫做點(diǎn)“的戰(zhàn)業(yè)標(biāo).記柞陽3,町般地，不作特殊說明時(shí)，我們認(rèn)為p 0, 9可取任意實(shí)數(shù).(3)點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系般地，極坐標(biāo)(p , 9 )與(p , 9 + 2kn )(k Z)表示同一個(gè)點(diǎn)，特別地，極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0 , 9 )( 9 R)，和直角坐標(biāo)不同

4、，平面一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表n3. 在極坐標(biāo)系中，求點(diǎn) A 2, 2關(guān)于直線I ： p cos 9 = 1的對(duì)稱點(diǎn)的一個(gè)極示.坐標(biāo).如果規(guī)定p 0,0 W 9 V 2n,那么除極點(diǎn)外，平面的點(diǎn)可用惟一的極坐標(biāo)求經(jīng)伸縮變換后曲線方程的方法的作用下的變換方程的求法X =入 X , 平面上的曲線 y = f(x)在變換0:,y = uy4 .在極坐標(biāo)系中，假設(shè)過點(diǎn)A(3,0)且與極軸垂直的直線交曲線p = 4cos 0于A、B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)./Xx=K，是將fyy =口代入y= f(x)，得仝，整理之后得到 y= h(x),即為所求變換之后的方程.|畫弋訓(xùn)姊x = x,1. 在同一坐標(biāo)系中，曲線

5、 C經(jīng)過伸縮變換1后得到的曲線方y(tǒng) =刃程為y = ig( x + 5)，求曲線C的方程.5. 圓的極坐標(biāo)方程為p = 2cos 0 ,求該圓的圓心到直線 p sin 0 + 2 p cos 0=1的距離.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化勰窓豐坐出諜區(qū)膽 | i F蠹品蠡例2.2tn圓0和圓O的極坐標(biāo)方程分別為 p = 2, p 2 2 p cos 0 4伸縮變換的應(yīng)用2x 2例1求橢圓4 + y = 1，經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程.2 / 2 , 2假設(shè)橢圓4+ y2=1經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程為務(wù)+1求滿足的伸縮的變換.2.(1) 把圓O和圓O的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2) 求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線

6、的極坐標(biāo)方程.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的注意點(diǎn)(1) 在由點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，一定要注意點(diǎn)所在的象限和極角的圍， 否那么點(diǎn)的極坐標(biāo)將不惟一.(2) 在曲線的方程進(jìn)展互化時(shí)，一定要注意變量的圍要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.II團(tuán)朮 un練2. (2021 檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1 , , 3).假 設(shè)以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)P的極坐標(biāo).(p R)的距離.n3. 求以點(diǎn)A(2,0)為圓心，且過點(diǎn) B 2 .3,的圓的極坐標(biāo)方程.極坐標(biāo)系的綜合問題例3從極點(diǎn)0作直線與另一直線I : P cos e = 4相交于點(diǎn) M在0M上取一點(diǎn) P,使 0M 011

7、2.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程； 設(shè)R為I上的任意一點(diǎn)，試求| RR的最小值.通法歸納領(lǐng)悟1個(gè)互化一一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化(1) 互化的三個(gè)前提條件 極點(diǎn)與原點(diǎn)重合； 極軸與x軸正方向重合； 取一樣的單位長(zhǎng)度.(2) 假設(shè)把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，求極角e時(shí)，應(yīng)注意判斷點(diǎn)p所在的象限(即角e的終邊的位置)，以便正確地求出角e.利用兩種坐標(biāo)的互化，可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.5個(gè)步驟求曲線極坐標(biāo)方程的五步曲|建麹 (程正適腎的出嘩標(biāo)疾】O在曲線上任取點(diǎn)用p,._相桶I附賤上的點(diǎn)淄足前幾洞新寫出尋式彳用械吐揄P$灰示上述箸咒，片優(yōu)簡(jiǎn)得極牛標(biāo)方稈：國(guó)劇一蜀訕阡斜的方稱小刪線的標(biāo)方刮易誤警示極坐標(biāo)系

8、中的解題誤區(qū)典例(2021 高考改編)在極坐標(biāo)系中，曲線C： P (2cos e + Sin e )=1與曲線C2： p = a( a0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，求a的值.求解與極坐標(biāo)有關(guān)的問題的主要方法一是直接利用極坐標(biāo)系求解，求解時(shí)可與數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合使用；二是轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系后，用直接坐標(biāo)求解.使用后一種時(shí)應(yīng)注意，假設(shè)結(jié)果要求的是極坐標(biāo)，還應(yīng)將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo).|麼式訓(xùn)罐4. (2021 五校聯(lián)考)在極坐標(biāo)系(p , e)(0 e b 0)的參數(shù)方程為a bx = acos 0 ,y = bsin 0( 0 為參數(shù)).探究2x2.橢圓云+2y詁=1(ab0)的參x= acos 6 ,方程6

9、為參數(shù)中，參數(shù)6的幾何意義是什么?y= bs in6提示：如圖，取橢圓2 2扌+ = 1 ab0上任一點(diǎn)M作x軸垂線，交以原點(diǎn)為圓心，a為半徑的圓于點(diǎn) A 6就是點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的圓的半徑 0A勺旋轉(zhuǎn)角或點(diǎn)M的離心角即Ox繞O逆時(shí)針轉(zhuǎn)到與 OA重合時(shí)的最小正角，6 0,2 n .自測(cè)牛刀小試x = 1 + 3t ,1假設(shè)直線I的參數(shù)方程為t為參數(shù),求直線I傾斜角的余y = 2-4t弦值.考什么怎么考1. 了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2. 能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓 的參數(shù)方程本節(jié)考查的重點(diǎn)是參數(shù)方程和直角坐標(biāo) 方程的互化，熱點(diǎn)是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方 程的綜合性問題，難度較小，主要考查轉(zhuǎn) 化和

10、化歸的思想方法，如 2021年新課標(biāo)T23 等.x = 4t22點(diǎn)R3 , m在以點(diǎn)F為焦點(diǎn)的拋物線t為參數(shù)上，求|PF|.y= 4t3. 2021 模擬將參數(shù)方程x= cos a , y= 1 + sin aa為參數(shù)化成普通方程.歸納知識(shí)整合1 參數(shù)方程的概念般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C上任意一點(diǎn) P的坐標(biāo)x, y都可以x=f t表示為某個(gè)變量t的函數(shù)：y=g t反過來，對(duì)于t的每個(gè)允許值，由函x = ft ,x = ft ,數(shù)式所確定的點(diǎn)Px,y都在曲線C上，那么方程y=g ty = g t叫做這條曲線 c的參數(shù)方程，變量t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù).相對(duì)于參數(shù)方程而言, 直接給出點(diǎn)的坐

11、標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.探究1.平面直角坐標(biāo)系中，同一曲線的參數(shù)方程惟一嗎？提示：不唯一，平面直角坐標(biāo)系中， 對(duì)于同一曲線來說，由于選擇的參數(shù)不同， 得到的曲線的參數(shù)方程也不同.2 .直線的參數(shù)方程x = X0+ t cos a , 經(jīng)過點(diǎn)MXo,yo，傾斜角為a的直線l的參數(shù)方程為ty = yo+ tsin a 為參數(shù).1x= t +1，4 求參數(shù)方程ty= 25求橢圓t為參數(shù)表示的曲線.的參數(shù)方程.x= t + 1 ,例22021 高考在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：t為參y= 1 - 2tt DI AH Tl I IHQC2：x = asin 0 ,y= 3cos 00為參數(shù)，a 0有

12、一個(gè)公共點(diǎn)在 x軸上，求a的值.參數(shù)方程與普通方程的互化3kx=，例1將以下參數(shù)方程化為普通方程.6k2y=irr，x = 1 sin 2 0 , y = sin 0 + cos 0 .x= At R，求它們的交點(diǎn)坐標(biāo).與參數(shù)方程有關(guān)的問題，求解時(shí)，一般是將參數(shù)方程化為普通方程，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式，利用直角坐標(biāo)方程求解問題.II範(fàn)朮un掠x =、f5cos 0 ,2. 2021 高考改編兩曲線參數(shù)方程分別為0 0 ny = sin 0y= t1. 將以下參數(shù)方程化為普通方程.(1)t為參數(shù);1 t2x = 1 +12， ty=!+?t為參數(shù).2x 23. 2021 模擬Px, y是橢圓-+

13、y = 1上的點(diǎn)，求M= x + 2y的取值圍.極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合. . 2 2 - 2 例3 2021 高考在直角坐標(biāo)系 xOy中，圓C: x + y = 4,圓O： x 22+ y = 4.1在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓C, C2的極坐標(biāo)方程，并求出圓 C, C2的交點(diǎn)坐標(biāo)用極坐標(biāo)表示；2求圓G與C2的公共弦的參數(shù)方程.典例2021 高考改編在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線 G和C2的參數(shù)方x= t，x = xf2cos 0 ,程分別為t為參數(shù)和 0為參數(shù)，求曲線C與y=y = :2sin 0C2的交點(diǎn)坐標(biāo).可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解P ,0的取值

14、圍，取值圍不同對(duì)應(yīng)的曲x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，0為參數(shù)和曲線C2： p = 1上,x = 3+ cos 0 ,y = 4+ sin 0求| AB的最小值.求參數(shù)方程與極坐標(biāo)問題的轉(zhuǎn)化方法在極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)、切線等幾何問題時(shí)，如果不能直接 用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩時(shí)， 決.轉(zhuǎn)化時(shí)要注意兩坐標(biāo)系的關(guān)系，注意 線不同.11訓(xùn)城4 .直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn),設(shè)點(diǎn)A, B分別在曲線C：題后悟道1此題是利用交軌法解決參數(shù)方程問題的常見題型，解題方法是將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，關(guān)鍵是消去參數(shù)，這里特別注意所給參數(shù)的取值圍.2對(duì)于此類問題，熟練掌握將參數(shù)方程化為普

15、通方程的方法，如代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角恒等式消元法等是必要的，也是必須的.變式訓(xùn)練2021 模擬在平面直角坐標(biāo)系中，直線I與曲線C的參數(shù)方程分別為I :x= 1 + s,x= t + 2,s為參數(shù)和C:丄2t為參數(shù)，假設(shè)I與C相交于Ay= 1 - sy= tB兩點(diǎn)，求| AB的長(zhǎng).通匯歸納領(lǐng)悟4種方法化參數(shù)方程為普通方程的方法x =- 2+ t,1.直線y = 1-txt為參數(shù)被圓y3 + 5cos 0 ,1 + 5si n00為參數(shù)，求0 0,2 n 所截得的弦長(zhǎng).消去參數(shù)方程中的參數(shù)，就可把參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有： 代入消元法; 加減消元法; 乘除消元

16、法;2 22. 2021 模擬點(diǎn)Rx, y在曲線A +右=1，且 a ba2 + b2 3,求x + y的最小值.在對(duì)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考查中，最能表達(dá)坐標(biāo)法的解題優(yōu)勢(shì)，靈活地利用坐標(biāo)法可以使問題得到簡(jiǎn)捷的解答.例如，將題設(shè)條件中涉與的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程， 然后在直角坐標(biāo)系下對(duì)問題進(jìn)展求解就是一種常見的 解題方法，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)問題求解的“化生為熟原那么，充分表達(dá)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.x = sin a ,3 .曲線C的參數(shù)方程為2a 0,2 n )，曲線 D的極坐標(biāo)方程y = cos a ,為 p sin 9 + = ：.2(1) 將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；(2) 曲

17、線C與曲線D有無公共點(diǎn)？試說明理由.教師備選題轉(zhuǎn)枇憚備曲說間1. (2021 模擬)圓的極坐標(biāo)方程為2 p + 4 p cos 9 + -3 5 = 0.3(1)將圓的極坐標(biāo)方程化為普通方程，并選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程; 假設(shè)點(diǎn)P(x, y)在該圓上，求x + 3y的最大值和最小值.4. (2021 高考)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系直線 l上兩點(diǎn)M N的極坐標(biāo)分別為(2,0), 羋,斗，圓32x= 2 + 2cos 9 ,C的參數(shù)方程為廠(9為參數(shù)).y=寸 3+ 2sin 9(1) 設(shè)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線 OP的平面直角坐標(biāo)方程；(2)

18、 判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.n建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為 p cos 9 4 = 2.2.(1) 求直線I的直角坐標(biāo)方程；(2) 點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn) P到直線I距離的最大值.x = 2cos 6 ,5. (2021 新課標(biāo)全國(guó)卷)曲線C的參數(shù)方程是(6為參數(shù)),y = 3s in 6以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線CC的極坐標(biāo)方程是 p=2.正方形ABCD勺頂點(diǎn)都在C2上，且A, B, C, D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn) A的極坐n標(biāo)為2,.(1)求點(diǎn)A B, C, D的直角坐標(biāo)； 設(shè)P為C上任意一點(diǎn)，求|PA . (2021 模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線